Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл
Подождите немного. Документ загружается.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
207206
158. Ïîêàçàòåëüíî-ëîãàðèôìè÷åñêèå óðàâíåíèÿ.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå
.01,0
lg1
=
- x
x
(1)
q Íàéäåì îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ:
.0>x
 ýòîé îáëàñòè âûðàæåíèÿ, âõîäÿùèå â îáå ÷àñòè óðàâ-
íåíèÿ (1), ïðèíèìàþò òîëüêî ïîëîæèòåëüíûå çíà÷å-
íèÿ; ïîýòîìó, ïðîëîãàðèôìèðîâàâ îáå åãî ÷àñòè ïî
îñíîâàíèþ 10, ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ
,01,0lglg
lg1
=
- x
x
ðàâíîñèëüíîìó (1). Äàëåå èìååì
.2lg)lg1( -=- xx
Ïîëàãàÿ
,lg xu =
ïîëó÷èì
,2)1( -=- uu
îòêóäà
.2,1
21
=-= uu
Îñòàåòñÿ ðåøèòü ñîâîêóïíîñòü óðàâ-
íåíèé:
.2lg;1lg =-= xx
Èç ýòîé ñîâîêóïíîñòè íà-
õîäèì
100,1,0
21
== xx êîðíè óðàâíåíèÿ (1). n
Çäåñü ïðèìåíåí ìåòîä ëîãàðèôìèðîâàíèÿ, çàê-
ëþ÷àþùèéñÿ â ïåðåõîäå îò óðàâíåíèÿ
)()( xgxf =
ê
óðàâíåíèþ
)
.
(
log
)
(
log xgxf
aa
=
159. Ïðîñòåéøèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ.
Óðàâíåíèå
,sin ax =
ãäå
,1£a
èìååò áåñêîíå÷íî
ìíîãî êîðíåé. Íàïðèìåð, óðàâíåíèþ
2
1
sin =x
óäîâ-
ëåòâîðÿþò ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ:
,
6
5
,
6
21
p
=
p
= xx
;21)32()4( xxx -=++
.011132
2
=++ xx
Èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ íàõîäèì
=-=
21
,1
xx
.5,5-=
Îñòàåòñÿ ñäåëàòü ïðîâåðêó. Åå ìîæíî âû-
ïîëíèòü ñ ïîìîùüþ ñèñòåìû íåðàâåíñòâ
,04 >+x
,032 >+x
.021 >- x
Ïîäñòàâèâ ïîî÷åðåäíî çíà÷å-
íèÿ 1 è 5,5 â ýòè íåðàâåíñòâà, óáåæäàåìñÿ, ÷òî 1
óäîâëåòâîðÿåò âñåì íåðàâåíñòâàì, à 5,5 íåò, íà-
ïðèìåð, ïðè ýòîì çíà÷åíèè íå âûïîëíÿåòñÿ ïåðâîå
íåðàâåíñòâî. Çíà÷èò, 5,5 ïîñòîðîííèé êîðåíü.
Èòàê, õ = 1. n
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå
.
)5,0(log
7
1loglog
2
2
2
2
x
xx =++
(1)
q Òàê êàê
,1log5,0loglog)5,0(log
2222
-=+= xxx
òî óðàâíåíèå (1) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
.
1log
7
1loglog
2
2
2
2
-
=++
x
xx
(2)
Ââåäåì íîâóþ ïåðåìåííóþ, ïîëàãàÿ
.log
2
yx =
Òîãäà óðàâíåíèå (2) ïðèìåò âèä
1
7
1
2
-
=++
y
yy
è
äàëåå
,7)1()1(
2
=++- yyy
.2,8,71
33
===- yyy
Íî
,log
2
xy =
ïîýòîìó èç óðàâíåíèÿ
2log
2
=x
íàõî-
äèì õ = 4. n
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
207206
158. Ïîêàçàòåëüíî-ëîãàðèôìè÷åñêèå óðàâíåíèÿ.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå
.01,0
lg1
=
- x
x
(1)
q Íàéäåì îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ:
.0>x
 ýòîé îáëàñòè âûðàæåíèÿ, âõîäÿùèå â îáå ÷àñòè óðàâ-
íåíèÿ (1), ïðèíèìàþò òîëüêî ïîëîæèòåëüíûå çíà÷å-
íèÿ; ïîýòîìó, ïðîëîãàðèôìèðîâàâ îáå åãî ÷àñòè ïî
îñíîâàíèþ 10, ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ
,01,0lglg
lg1
=
- x
x
ðàâíîñèëüíîìó (1). Äàëåå èìååì
.2lg)lg1( -=- xx
Ïîëàãàÿ
,lg xu =
ïîëó÷èì
,2)1( -=- uu
îòêóäà
.2,1
21
=-= uu
Îñòàåòñÿ ðåøèòü ñîâîêóïíîñòü óðàâ-
íåíèé:
.2lg;1lg =-= xx
Èç ýòîé ñîâîêóïíîñòè íà-
õîäèì
100,1,0
21
== xx êîðíè óðàâíåíèÿ (1). n
Çäåñü ïðèìåíåí ìåòîä ëîãàðèôìèðîâàíèÿ, çàê-
ëþ÷àþùèéñÿ â ïåðåõîäå îò óðàâíåíèÿ
)()( xgxf =
ê
óðàâíåíèþ
)
.
(
log
)
(
log xgxf
aa
=
159. Ïðîñòåéøèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ.
Óðàâíåíèå
,sin ax =
ãäå
,1£a
èìååò áåñêîíå÷íî
ìíîãî êîðíåé. Íàïðèìåð, óðàâíåíèþ
2
1
sin =x
óäîâ-
ëåòâîðÿþò ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ:
,
6
5
,
6
21
p
=
p
= xx
;21)32()4( xxx -=++
.011132
2
=++ xx
Èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ íàõîäèì
=-=
21
,1
xx
.5,5-=
Îñòàåòñÿ ñäåëàòü ïðîâåðêó. Åå ìîæíî âû-
ïîëíèòü ñ ïîìîùüþ ñèñòåìû íåðàâåíñòâ
,04 >+x
,032 >+x
.021 >- x
Ïîäñòàâèâ ïîî÷åðåäíî çíà÷å-
íèÿ 1 è 5,5 â ýòè íåðàâåíñòâà, óáåæäàåìñÿ, ÷òî 1
óäîâëåòâîðÿåò âñåì íåðàâåíñòâàì, à 5,5 íåò, íà-
ïðèìåð, ïðè ýòîì çíà÷åíèè íå âûïîëíÿåòñÿ ïåðâîå
íåðàâåíñòâî. Çíà÷èò, 5,5 ïîñòîðîííèé êîðåíü.
Èòàê, õ = 1. n
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå
.
)5,0(log
7
1loglog
2
2
2
2
x
xx =++
(1)
q Òàê êàê
,1log5,0loglog)5,0(log
2222
-=+= xxx
òî óðàâíåíèå (1) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
.
1log
7
1loglog
2
2
2
2
-
=++
x
xx
(2)
Ââåäåì íîâóþ ïåðåìåííóþ, ïîëàãàÿ
.log
2
yx =
Òîãäà óðàâíåíèå (2) ïðèìåò âèä
1
7
1
2
-
=++
y
yy
è
äàëåå
,7)1()1(
2
=++- yyy
.2,8,71
33
===- yyy
Íî
,log
2
xy =
ïîýòîìó èç óðàâíåíèÿ
2log
2
=x
íàõî-
äèì õ = 4. n
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
209208
Òàê êàê
62
1
arcsin
p
=
(ñì. ï. 129), òî îêîí÷àòåëüíî
ïîëó÷àåì
.,
6
)1( ZÎp+
p
-= nnx
n
á) Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (2), èìååì
.,2
2
2
arccos3 ZÎp+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-±= nnx
Íî
4
3
42
2
arccos
2
2
arccos
p
=
p
-p=-p=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
(ñì.
ï. 129), ïîýòîìó
,2
4
3
3 nx p+
p
±=
ò. å. +
p
±=
4
x
.,
3
2
ZÎ
p
+ n
n
â) Ñîãëàñíî ôîðìóëå (3), èìååì
.,
)
3
(
arctg
6
ZÎp+-=
p
- nnx
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
3
3arctg)3(arctg
p
-=-=-
(ñì.
ï. 129), ïîëó÷èì
,
36
nx p+
p
-=
p
-
ò. å.
,
6
nx p+
p
-=
.ZÎn
n
Çàìåòèì, ÷òî â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ óäîáíåå ïîëüçî-
âàòüñÿ ÷àñòíûìè ôîðìóëàìè (âî âñåõ ôîðìóëàõ
ZÎn
):
1)
;,0sin nxx p==
2)
;2
2
,1sin nxx p+
p
==
p-
p
=p+
p
= 2
6
,2
6
43
xx
è. ò. ä. Îáùàÿ ôîðìóëà, ïî
êîòîðîé íàõîäÿòñÿ âñå êîðíè óðàâíåíèÿ
,sin ax =
ãäå
,1£a
òàêîâà:
.,arcsin)1( ZÎp+-= nnax
n
(1)
Çäåñü n ìîæåò ïðèíèìàòü ëþáûå öåëûå çíà÷åíèÿ,
êàæäîìó èç íèõ ñîîòâåòñòâóåò îïðåäåëåííûé êîðåíü
óðàâíåíèÿ.
Àíàëîãè÷íî, ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
,cos
ax =
ãäå
,1£a
âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé
,,2arccos ZÎp+±= nnax
(2)
ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
ax =tg
ôîðìóëîé
,,arctg ZÎp+= nnax
(3)
à ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
ax =ctg
ôîðìóëîé
x = arcctg a + pn, n Î Z. (4)
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå:
à)
;
2
1
sin =x
á)
;
2
2
3cos
-=x
â)
.3
6
tg -=
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-x
q à) Ïî ôîðìóëå (1) íàõîäèì
.,
2
1
arcsin)1( ZÎp+-= nnx
n
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
209208
Òàê êàê
62
1
arcsin
p
=
(ñì. ï. 129), òî îêîí÷àòåëüíî
ïîëó÷àåì
.,
6
)1( ZÎp+
p
-= nnx
n
á) Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (2), èìååì
.,2
2
2
arccos3 ZÎp+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-±= nnx
Íî
4
3
42
2
arccos
2
2
arccos
p
=
p
-p=-p=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
(ñì.
ï. 129), ïîýòîìó
,2
4
3
3 nx p+
p
±=
ò. å. +
p
±=
4
x
.,
3
2
ZÎ
p
+ n
n
â) Ñîãëàñíî ôîðìóëå (3), èìååì
.,
)
3
(
arctg
6
ZÎp+-=
p
- nnx
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
3
3arctg)3(arctg
p
-=-=-
(ñì.
ï. 129), ïîëó÷èì
,
36
nx p+
p
-=
p
-
ò. å.
,
6
nx p+
p
-=
.ZÎn
n
Çàìåòèì, ÷òî â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ óäîáíåå ïîëüçî-
âàòüñÿ ÷àñòíûìè ôîðìóëàìè (âî âñåõ ôîðìóëàõ
ZÎn
):
1)
;,0sin nxx p==
2)
;2
2
,1sin nxx p+
p
==
p-
p
=p+
p
= 2
6
,2
6
43
xx
è. ò. ä. Îáùàÿ ôîðìóëà, ïî
êîòîðîé íàõîäÿòñÿ âñå êîðíè óðàâíåíèÿ
,sin ax =
ãäå
,1£a
òàêîâà:
.,arcsin)1( ZÎp+-= nnax
n
(1)
Çäåñü n ìîæåò ïðèíèìàòü ëþáûå öåëûå çíà÷åíèÿ,
êàæäîìó èç íèõ ñîîòâåòñòâóåò îïðåäåëåííûé êîðåíü
óðàâíåíèÿ.
Àíàëîãè÷íî, ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
,cos
ax =
ãäå
,1£a
âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé
,,2arccos ZÎp+±= nnax
(2)
ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
ax =tg
ôîðìóëîé
,,arctg ZÎp+= nnax
(3)
à ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
ax =ctg
ôîðìóëîé
x = arcctg a + pn, n Î Z. (4)
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå:
à)
;
2
1
sin =x
á)
;
2
2
3cos
-=x
â)
.3
6
tg -=
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-x
q à) Ïî ôîðìóëå (1) íàõîäèì
.,
2
1
arcsin)1( ZÎp+-= nnx
n
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
211210
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå
.1sin2sin5sin
2
=++ xxx
q Ïåðåíåñåì 1 â ëåâóþ ÷àñòü è, âûïîëíèâ ïðåîá-
ðàçîâàíèÿ ëåâîé ÷àñòè, ðàçëîæèì åå íà ìíîæèòåëè.
Ïðèìåíèì ê
xx sin5sin +
ôîðìóëó ñóììû ñèíóñîâ
(ñì. ï. 85) è âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî
=x
2
sin2
x2cos1 -=
(ñì. ï. 83). Òîãäà óðàâíåíèå ïðèìåò âèä
;01)2cos1(2cos3sin2 =--+ xxx
.0)13sin2(2cos =-xx
Òåïåðü çàäà÷à ñâåëàñü ê ðåøåíèþ ñîâîêóïíîñòè
óðàâíåíèé:
.013sin2;02cos =-= xx
Èç óðàâíåíèÿ
02cos =x
íàõîäèì
,
2
2 kx p+
p
=
ò. å.
.,
24
ZÎ
p
+
p
= k
k
x
Èç óðàâíåíèÿ
013sin2 =-x
íàõîäèì
,
2
1
3sin =x
îòêóäà
;
2
1
arcsin)1(3 nx
n
p+-=
òàê êàê
,
62
1
arcsin
p
=
òî
.,
318
)1(,
6
)1(3 ZÎ
p
+
p
-=p+
p
-= n
n
xnx
nn
Èòàê, ïîëó÷àåì îòâåò:
;
24
k
x
p
+
p
=
õ
;
318
)
1
(
n
n
p
+
p
-=
., ZÎnk
n
160. Ðåøåíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé
ìåòîäîì ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè. Åñëè òðèãî-
íîìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ïðèâåäåíî ê âèäó
,0)( =xf
ãäå åãî ëåâàÿ ÷àñòü ðàçëàãàåòñÿ íà ìíîæèòåëè, òî
ñëåäóåò ïðèðàâíÿòü íóëþ âñå ýòè ìíîæèòåëè. Â ðå-
çóëüòàòå ïîëó÷èòñÿ ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé, ïðè÷åì
êîðíè êàæäîãî èç íèõ îêàæóòñÿ êîðíÿìè äàííîãî
óðàâíåíèÿ, åñëè îíè âõîäÿò â îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ
êàæäîãî èç ìíîæèòåëåé ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ
.0)( =xf
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå
.0)1(tgcos =-xx
(1)
q Äàííîå óðàâíåíèå ñâîäèòñÿ ê ñîâîêóïíîñòè óðàâ-
íåíèé:
,1tg;0cos == xx
îòêóäà íàõîäèì
=x
,
2
kp+
p
=
.,;
4
ZÎp+
p
= nknx
Îäíàêî çíà÷åíèÿ
=x
kp+
p
=
2
ïîñòîðîííèå êîðíè äëÿ óðàâíåíèÿ (1),
ïîñêîëüêó ïðè ýòèõ çíà÷åíèÿõ íå îïðåäåëåí
.tg x
Èòàê, ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1) èìååò âèä
,
4
nx p+
p
=
.ZÎn
n
6)
;2,1cos nxx p+p=-=
7)
;,0tg nxx p==
8)
.
2
,0ctg nxx p+
p
==
3)
;2
2
,1sin nxx p+
p
-=-=
4)
;
2
,0cos nxx p+
p
==
5)
;2,1cos nxx p==
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
211210
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå
.1sin2sin5sin
2
=++ xxx
q Ïåðåíåñåì 1 â ëåâóþ ÷àñòü è, âûïîëíèâ ïðåîá-
ðàçîâàíèÿ ëåâîé ÷àñòè, ðàçëîæèì åå íà ìíîæèòåëè.
Ïðèìåíèì ê
xx sin5sin +
ôîðìóëó ñóììû ñèíóñîâ
(ñì. ï. 85) è âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî
=x
2
sin2
x2cos1 -=
(ñì. ï. 83). Òîãäà óðàâíåíèå ïðèìåò âèä
;01)2cos1(2cos3sin2 =--+ xxx
.0)13sin2(2cos =-xx
Òåïåðü çàäà÷à ñâåëàñü ê ðåøåíèþ ñîâîêóïíîñòè
óðàâíåíèé:
.013sin2;02cos =-= xx
Èç óðàâíåíèÿ
02cos =x
íàõîäèì
,
2
2 kx p+
p
=
ò. å.
.,
24
ZÎ
p
+
p
= k
k
x
Èç óðàâíåíèÿ
013sin2 =-x
íàõîäèì
,
2
1
3sin =x
îòêóäà
;
2
1
arcsin)1(3 nx
n
p+-=
òàê êàê
,
62
1
arcsin
p
=
òî
.,
318
)1(,
6
)1(3 ZÎ
p
+
p
-=p+
p
-= n
n
xnx
nn
Èòàê, ïîëó÷àåì îòâåò:
;
24
k
x
p
+
p
=
õ
;
318
)
1
(
n
n
p
+
p
-=
., ZÎnk
n
160. Ðåøåíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé
ìåòîäîì ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè. Åñëè òðèãî-
íîìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ïðèâåäåíî ê âèäó
,0)( =xf
ãäå åãî ëåâàÿ ÷àñòü ðàçëàãàåòñÿ íà ìíîæèòåëè, òî
ñëåäóåò ïðèðàâíÿòü íóëþ âñå ýòè ìíîæèòåëè. Â ðå-
çóëüòàòå ïîëó÷èòñÿ ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé, ïðè÷åì
êîðíè êàæäîãî èç íèõ îêàæóòñÿ êîðíÿìè äàííîãî
óðàâíåíèÿ, åñëè îíè âõîäÿò â îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ
êàæäîãî èç ìíîæèòåëåé ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ
.0)( =xf
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå
.0)1(tgcos =-xx
(1)
q Äàííîå óðàâíåíèå ñâîäèòñÿ ê ñîâîêóïíîñòè óðàâ-
íåíèé:
,1tg;0cos == xx
îòêóäà íàõîäèì
=x
,
2
kp+
p
=
.,;
4
ZÎp+
p
= nknx
Îäíàêî çíà÷åíèÿ
=x
kp+
p
=
2
ïîñòîðîííèå êîðíè äëÿ óðàâíåíèÿ (1),
ïîñêîëüêó ïðè ýòèõ çíà÷åíèÿõ íå îïðåäåëåí
.tg x
Èòàê, ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1) èìååò âèä
,
4
nx p+
p
=
.ZÎn
n
6)
;2,1cos nxx p+p=-=
7)
;,0tg nxx p==
8)
.
2
,0ctg nxx p+
p
==
3)
;2
2
,1sin nxx p+
p
-=-=
4)
;
2
,0cos nxx p+
p
==
5)
;2,1cos nxx p==
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
213212
ãåáðàè÷åñêîìó óðàâíåíèþ îòíîñèòåëüíî
,sin x
åñëè
xcos
âõîäèò â óðàâíåíèå ëèøü â ÷åòíûõ ñòåïåíÿõ;
àíàëîãè÷íî, çàìåíîé
x
2
sin
íà
x
2
cos1
-
îíî ñâîäèò-
ñÿ ê àëãåáðàè÷åñêîìó óðàâíåíèþ îòíîñèòåëüíî
,cos x
åñëè
xsin
âõîäèò â óðàâíåíèå ëèøü â ÷åòíûõ ñòåïå-
íÿõ.
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå
.02sinsin3cos
44
---+ xxx
q Òàê êàê
xcos
âõîäèò â óðàâíåíèå ëèøü â
÷åòâåðòîé ñòåïåíè, òî, ñîãëàñíî óêàçàííîìó ïðà-
âèëó, çàìåíèì
x
2
cos
íà
,sin1
2
x-
ò. å.
x
4
cos
íà
.)sin1(
22
x-
Òîãäà äàííîå óðàâíåíèå ïðèìåò âèä
.02sinsin3)sin1(
422
=--+- xxx
Ïîëàãàÿ
,sin yx =
ïðèõîäèì ê àëãåáðàè÷åñêîìó
óðàâíåíèþ
,023)1(
422
=--+- yyy ò. å.
+- yy 32
2
,01 =+
îòêóäà
.5,0,1
21
== yy Íàêîíåö, ðåøèâ ñîâî-
êóïíîñòü óðàâíåíèé
,1sin =x
,5,0sin =x
ïîëó÷àåì
.,;
6
)
1
(
,
2
ZÎp+
p
-=p+
p
= nknxkx
n
n
162. Îäíîðîäíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå óðàâíå-
íèÿ.  ðÿäå ñëó÷àåâ òðèãîíîìåòðè÷åñêîå óðàâíå-
íèå âèäà
0)cos,(sin =xxR
ìîæíî ñâåñòè ê àëãåá-
ðàè÷åñêîìó îòíîñèòåëüíî
.tg x
Òàêèå óðàâíåíèÿ
õàðàêòåðèçóþòñÿ òåì, ÷òî îíè íå ìåíÿþòñÿ ïðè îä-
161. Ðåøåíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé
ìåòîäîì ââåäåíèÿ íîâîé ïåðåìåííîé. Ñóòü ýòîãî ìå-
òîäà çàêëþ÷àåòñÿ â ñâåäåíèè òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî
óðàâíåíèÿ ê àëãåáðàè÷åñêîìó.
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå
.sin3cos14cos2
22
xxx =+
q Òàê êàê
,cos1sin
22
xx -=
òî óðàâíåíèå ìîæíî
ïåðåïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
,0)cos1(3cos14cos2
22
=--+ xxx
.03cos14cos5
2
=-+ xx
Ïîëàãàÿ
,cos
yx =
ïîëó÷èì êâàäðàòíîå óðàâíå-
íèå
.03145
2
=-+ yy
Ðåøèâ åãî íàõîäèì
,2,0
1
=y
.3
2
-=y
Çíà÷èò, ëèáî
,2,0cos =x
îòêóäà x = ä arccos
0,2 + 2pn, ëèáî
3cos -=x
ýòî óðàâíåíèå íå èìååò
ðåøåíèé, òàê êàê
.1cos £x
Èòàê,
=x
.,22,0arccos ZÎp+±= nn
n
Èíîãäà ìîæíî óêàçàòü ïðàâèëî, îáëåã÷àþùåå âû-
áîð íîâîé ïåðåìåííîé â òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíå-
íèÿõ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç
)cos,(sin xxR
ðàöèîíàëüíóþ
ôóíêöèþ îò
xsin
è
xcos
, ò. å. ôóíêöèþ, ïîëó÷åííóþ
èç
xsin
è
xcos
è ïîñòîÿííûõ âåëè÷èí ñ ïîìîùüþ
îïåðàöèé ñëîæåíèÿ, óìíîæåíèÿ è äåëåíèÿ. Ðàññìîò-
ðèì óðàâíåíèå âèäà
.0)cos,(sin =xxR
Òàêîå óðàâ-
íåíèå çàìåíîé
x
2
cos
íà
x
2
sin1
-
ñâîäèòñÿ ê àë-
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
213212
ãåáðàè÷åñêîìó óðàâíåíèþ îòíîñèòåëüíî
,sin x
åñëè
xcos
âõîäèò â óðàâíåíèå ëèøü â ÷åòíûõ ñòåïåíÿõ;
àíàëîãè÷íî, çàìåíîé
x
2
sin
íà
x
2
cos1
-
îíî ñâîäèò-
ñÿ ê àëãåáðàè÷åñêîìó óðàâíåíèþ îòíîñèòåëüíî
,cos x
åñëè
xsin
âõîäèò â óðàâíåíèå ëèøü â ÷åòíûõ ñòåïå-
íÿõ.
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå
.02sinsin3cos
44
---+ xxx
q Òàê êàê
xcos
âõîäèò â óðàâíåíèå ëèøü â
÷åòâåðòîé ñòåïåíè, òî, ñîãëàñíî óêàçàííîìó ïðà-
âèëó, çàìåíèì
x
2
cos
íà
,sin1
2
x-
ò. å.
x
4
cos
íà
.)sin1(
22
x-
Òîãäà äàííîå óðàâíåíèå ïðèìåò âèä
.02sinsin3)sin1(
422
=--+- xxx
Ïîëàãàÿ
,sin yx =
ïðèõîäèì ê àëãåáðàè÷åñêîìó
óðàâíåíèþ
,023)1(
422
=--+- yyy ò. å.
+- yy 32
2
,01 =+
îòêóäà
.5,0,1
21
== yy Íàêîíåö, ðåøèâ ñîâî-
êóïíîñòü óðàâíåíèé
,1sin =x
,5,0sin =x
ïîëó÷àåì
.,;
6
)
1
(
,
2
ZÎp+
p
-=p+
p
= nknxkx
n
n
162. Îäíîðîäíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå óðàâíå-
íèÿ.  ðÿäå ñëó÷àåâ òðèãîíîìåòðè÷åñêîå óðàâíå-
íèå âèäà
0)cos,(sin =xxR
ìîæíî ñâåñòè ê àëãåá-
ðàè÷åñêîìó îòíîñèòåëüíî
.tg x
Òàêèå óðàâíåíèÿ
õàðàêòåðèçóþòñÿ òåì, ÷òî îíè íå ìåíÿþòñÿ ïðè îä-
161. Ðåøåíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé
ìåòîäîì ââåäåíèÿ íîâîé ïåðåìåííîé. Ñóòü ýòîãî ìå-
òîäà çàêëþ÷àåòñÿ â ñâåäåíèè òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî
óðàâíåíèÿ ê àëãåáðàè÷åñêîìó.
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå
.sin3cos14cos2
22
xxx =+
q Òàê êàê
,cos1sin
22
xx -=
òî óðàâíåíèå ìîæíî
ïåðåïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
,0)cos1(3cos14cos2
22
=--+ xxx
.03cos14cos5
2
=-+ xx
Ïîëàãàÿ
,cos
yx =
ïîëó÷èì êâàäðàòíîå óðàâíå-
íèå
.03145
2
=-+ yy
Ðåøèâ åãî íàõîäèì
,2,0
1
=y
.3
2
-=y
Çíà÷èò, ëèáî
,2,0cos =x
îòêóäà x = ä arccos
0,2 + 2pn, ëèáî
3cos -=x
ýòî óðàâíåíèå íå èìååò
ðåøåíèé, òàê êàê
.1cos £x
Èòàê,
=x
.,22,0arccos ZÎp+±= nn
n
Èíîãäà ìîæíî óêàçàòü ïðàâèëî, îáëåã÷àþùåå âû-
áîð íîâîé ïåðåìåííîé â òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíå-
íèÿõ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç
)cos,(sin xxR
ðàöèîíàëüíóþ
ôóíêöèþ îò
xsin
è
xcos
, ò. å. ôóíêöèþ, ïîëó÷åííóþ
èç
xsin
è
xcos
è ïîñòîÿííûõ âåëè÷èí ñ ïîìîùüþ
îïåðàöèé ñëîæåíèÿ, óìíîæåíèÿ è äåëåíèÿ. Ðàññìîò-
ðèì óðàâíåíèå âèäà
.0)cos,(sin =xxR
Òàêîå óðàâ-
íåíèå çàìåíîé
x
2
cos
íà
x
2
sin1
-
ñâîäèòñÿ ê àë-
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
215214
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå
.5cos6cossin3sin5
22
=++ xxxx
q Èìååì
);cos(sin5cos6cossin3sin5
2222
xxxxxx +=++
.0coscossin3
2
=+ xxx
(1)
 óðàâíåíèè (1) îòñóòñòâóåò ÷ëåí âèäà
,sin
2
xa
ò. å. à = 0. Çäåñü äåëèòü îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà
x
2
cos
íåëüçÿ, òàê êàê òå çíà÷åíèÿ õ, ïðè êîòîðûõ
=x
2
cos
,0=
óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ (1), à ïîòîìó äåëåíèå
íà
x
2
cos
ïðèâåäåò ê ïîòåðå êîðíåé. Ïîñòóïèì èíà-
÷å: ðàçëîæèâ ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (1) íà ìíîæèòå-
ëè, ïîëó÷èì
.0)cossin3(cos =+ xxx
Òåïåðü çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ñîâîêóïíîñòè
óðàâíåíèé:
.0cossin3;0cos =+= xxx
Èç ïåðâîãî
óðàâíåíèÿ íàõîäèì
.,
2
ZÎp+
p
= kkx
Ðàçäåëèâ îáå
÷àñòè óðàâíåíèÿ
0cossin3 =+ xx
íà
,cos
x
ïîëó÷èì
,01gt3 =+x
îòêóäà
,
3
1
tg -=
x
=x
,
3
1
arctg np+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-=
ò. å.
.,
6
ZÎp+
p
-= nnx
Èòàê,
ïîëó÷àåì äâå ñåðèè ðåøåíèé:
.,;
6
,
2
ZÎp+
p
-=p+
p
= nknxkx
n
íîâðåìåííîé çàìåíå
xsin
íà sin x è cos x íà cos x.
Ïðèìåðàìè òàêèõ óðàâíåíèé ÿâëÿþòñÿ îäíîðîä-
íûå óðàâíåíèÿ:
;0cossin =+ xbxa
0coscossinsin
22
=++ xcxxbxa
(ñîîòâåòñòâåííî ïåðâîé è âòîðîé ñòåïåíè).
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà
.0¹a
Ðàçäåëèì îáå
÷àñòè ïåðâîãî óðàâíåíèÿ íà
,cos
x
à îáå ÷àñòè âòîðî-
ãî íà
.cos
2
x
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ,
àëãåáðàè÷åñêèå îòíîñèòåëüíî
:tg x
.0tgtg;0tg
2
=++=+ cxbxabxa
Çàìåòèì, ÷òî ïðè
0¹a
îäíîðîäíîìó óðàâíåíèþ
íå óäîâëåòâîðÿþò òå çíà÷åíèÿ õ, ïðè êîòîðûõ
.0cos =x
Ïîýòîìó äåëåíèå íà
xcos
(èëè
x
2
cos
)
îáåèõ ÷àñòåé îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ â ñëó÷àå
0¹a
íå ïðèâîäèò ê ïîòåðå êîðíåé.
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå
.0cos3cossin2sin
22
=-+ xxxx
q Ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà
,cos
2
x
ïîëó-
÷èì
.03tg2tg
2
=-+ xx
Äàëåå ïîëîæèì
,tg xu =
òîãäà ïðèõîäèì â êâàäðàòíîìó óðàâíåíèþ
-+ uu 2
2
,03 =-
îòêóäà
.1,3
21
=-= uu
Íàêîíåö, ðåøèâ ñîâî-
êóïíîñòü óðàâíåíèé
,1tg,3tg =-= xx
íàõîäèì
.,;
4
,)3(arctg ZÎp+
p
=p+-= nknxkx
n
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
215214
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå
.5cos6cossin3sin5
22
=++ xxxx
q Èìååì
);cos(sin5cos6cossin3sin5
2222
xxxxxx +=++
.0coscossin3
2
=+ xxx
(1)
 óðàâíåíèè (1) îòñóòñòâóåò ÷ëåí âèäà
,sin
2
xa
ò. å. à = 0. Çäåñü äåëèòü îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà
x
2
cos
íåëüçÿ, òàê êàê òå çíà÷åíèÿ õ, ïðè êîòîðûõ
=x
2
cos
,0=
óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ (1), à ïîòîìó äåëåíèå
íà
x
2
cos
ïðèâåäåò ê ïîòåðå êîðíåé. Ïîñòóïèì èíà-
÷å: ðàçëîæèâ ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (1) íà ìíîæèòå-
ëè, ïîëó÷èì
.0)cossin3(cos =+ xxx
Òåïåðü çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ñîâîêóïíîñòè
óðàâíåíèé:
.0cossin3;0cos =+= xxx
Èç ïåðâîãî
óðàâíåíèÿ íàõîäèì
.,
2
ZÎp+
p
= kkx
Ðàçäåëèâ îáå
÷àñòè óðàâíåíèÿ
0cossin3 =+ xx
íà
,cos
x
ïîëó÷èì
,01gt3 =+x
îòêóäà
,
3
1
tg -=
x
=x
,
3
1
arctg np+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-=
ò. å.
.,
6
ZÎp+
p
-= nnx
Èòàê,
ïîëó÷àåì äâå ñåðèè ðåøåíèé:
.,;
6
,
2
ZÎp+
p
-=p+
p
= nknxkx
n
íîâðåìåííîé çàìåíå
xsin
íà sin x è cos x íà cos x.
Ïðèìåðàìè òàêèõ óðàâíåíèé ÿâëÿþòñÿ îäíîðîä-
íûå óðàâíåíèÿ:
;0cossin =+ xbxa
0coscossinsin
22
=++ xcxxbxa
(ñîîòâåòñòâåííî ïåðâîé è âòîðîé ñòåïåíè).
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà
.0¹a
Ðàçäåëèì îáå
÷àñòè ïåðâîãî óðàâíåíèÿ íà
,cos
x
à îáå ÷àñòè âòîðî-
ãî íà
.cos
2
x
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ,
àëãåáðàè÷åñêèå îòíîñèòåëüíî
:tg x
.0tgtg;0tg
2
=++=+ cxbxabxa
Çàìåòèì, ÷òî ïðè
0¹a
îäíîðîäíîìó óðàâíåíèþ
íå óäîâëåòâîðÿþò òå çíà÷åíèÿ õ, ïðè êîòîðûõ
.0cos =x
Ïîýòîìó äåëåíèå íà
xcos
(èëè
x
2
cos
)
îáåèõ ÷àñòåé îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ â ñëó÷àå
0¹a
íå ïðèâîäèò ê ïîòåðå êîðíåé.
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå
.0cos3cossin2sin
22
=-+ xxxx
q Ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà
,cos
2
x
ïîëó-
÷èì
.03tg2tg
2
=-+ xx
Äàëåå ïîëîæèì
,tg xu =
òîãäà ïðèõîäèì â êâàäðàòíîìó óðàâíåíèþ
-+ uu 2
2
,03 =-
îòêóäà
.1,3
21
=-= uu
Íàêîíåö, ðåøèâ ñîâî-
êóïíîñòü óðàâíåíèé
,1tg,3tg =-= xx
íàõîäèì
.,;
4
,)3(arctg ZÎp+
p
=p+-= nknxkx
n