Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл
Подождите немного. Документ загружается.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé
ÀËÃÅÁÐÀ
237236
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
ñòâåííî
,0,2
21
=-= yy
à èç óðàâíåíèÿ
zyx --= 2
íàõîäèì
.1,3
21
-== xx
Èòàê, ïîëó÷èëè ñëåäóþùèå ðåøåíèÿ: (3; 2; 1),
(1; 0; 3). n
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
ï
î
ï
í
ì
=++
=-+
=++-
.1223
,72
,44
zyx
zyx
zyx
q Óìíîæèâ ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû íà 2 è ñëî-
æèâ ðåçóëüòàò ñî âòîðûì óðàâíåíèåì ñèñòåìû, ïðè-
äåì ê óðàâíåíèþ
.159 =+ zy
(1)
Óìíîæèâ ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû íà 3 è ñëî-
æèâ ðåçóëüòàò ñ òðåòüèì óðàâíåíèåì ñèñòåìû, ïðè-
äåì ê óðàâíåíèþ
.13514 =+ zy
(2)
 óðàâíåíèÿõ (1) è (2) îòñóòñòâóåò ïåðåìåííàÿ õ,
ìû åå èñêëþ÷èëè. Ðàññìîòðèì ýòè óðàâíåíèÿ îòíî-
ñèòåëüíî ïåðåìåííûõ
.,
zy
Óìíîæèâ óðàâíåíèå (1)
íà 14, óðàâíåíèå (2) íà 9 è âû÷òÿ âòîðîé ðåçóëüòàò
èç ïåðâîãî, ïðèäåì ê óðàâíåíèþ
-+ )9(14 zy
,9131415)514(9 ×-×=+- zy
ò. å.
9331 =- z
, îòêóäà
.3-=z
(3)
Òåïåðü, êàê âèäíî, èñêëþ÷åíà ïåðåìåííàÿ ó.
Ïåðåïèøåì ïåðâîå óðàâíåíèå èñõîäíîé ñèñòåìû
â âèäå
,44 -=-- zyx
óðàâíåíèå (1) â âèäå
Ðåøåíèåì òàêîé ñèñòåìû íàçûâàåòñÿ âñÿêàÿ
òðîéêà ÷èñåë, óäîâëåòâîðÿþùàÿ êàæäîìó óðàâíåíèþ
ñèñòåìû.
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
ï
î
ï
í
ì
=-+++
=++
=++
.9
)
1
(
)
2
(
,132
,2
222
zyx
zyx
zyx
q Ïðèìåíèì ìåòîä ïîäñòàíîâêè. Âûðàçèì èç
ïåðâîãî óðàâíåíèÿ õ ÷åðåç ó è z è ïîäñòàâèì ðå-
çóëüòàò âî âòîðîå è òðåòüå óðàâíåíèÿ. Èìååì
ï
î
ï
í
ì
=-+++--
=++--
--=
;9
)
1
(
)
2
(
)
2
(
,13
)
2
(
2
,2
222
zyzy
zyzy
zyx
ï
î
ï
í
ì
=-++
-=-
--=
.03
,3
,2
22
zyzzy
zy
zyx
Ïîñëåäíèå äâà óðàâíåíèÿ ïîëó÷åííîé ñèñòåìû â ñâîþ
î÷åðåäü îáðàçóþò ñèñòåìó äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ
ïåðåìåííûìè. Ðåøèì ýòó ñèñòåìó ìåòîäîì ïîäñòà-
íîâêè. Èìååì
ï
î
ï
í
ì
=+-
-=
ï
î
ï
í
ì
=--++-
-=
.034
,3
,03
)
3
(
)
3
(
,3
222
zz
zy
zzzzz
zy
Ðåøèâ óðàâíåíèå
,034
2
=+- zz
íàõîäèì
,1
1
=z
.3
2
=z
Èç óðàâíåíèÿ
3-= zy
ïîëó÷àåì ñîîòâåò-
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé
ÀËÃÅÁÐÀ
237236
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
ñòâåííî
,0,2
21
=-= yy
à èç óðàâíåíèÿ
zyx --= 2
íàõîäèì
.1,3
21
-== xx
Èòàê, ïîëó÷èëè ñëåäóþùèå ðåøåíèÿ: (3; 2; 1),
(1; 0; 3). n
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
ï
î
ï
í
ì
=++
=-+
=++-
.1223
,72
,44
zyx
zyx
zyx
q Óìíîæèâ ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû íà 2 è ñëî-
æèâ ðåçóëüòàò ñî âòîðûì óðàâíåíèåì ñèñòåìû, ïðè-
äåì ê óðàâíåíèþ
.159 =+ zy
(1)
Óìíîæèâ ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû íà 3 è ñëî-
æèâ ðåçóëüòàò ñ òðåòüèì óðàâíåíèåì ñèñòåìû, ïðè-
äåì ê óðàâíåíèþ
.13514 =+ zy
(2)
 óðàâíåíèÿõ (1) è (2) îòñóòñòâóåò ïåðåìåííàÿ õ,
ìû åå èñêëþ÷èëè. Ðàññìîòðèì ýòè óðàâíåíèÿ îòíî-
ñèòåëüíî ïåðåìåííûõ
.,
zy
Óìíîæèâ óðàâíåíèå (1)
íà 14, óðàâíåíèå (2) íà 9 è âû÷òÿ âòîðîé ðåçóëüòàò
èç ïåðâîãî, ïðèäåì ê óðàâíåíèþ
-+ )9(14 zy
,9131415)514(9 ×-×=+- zy
ò. å.
9331 =- z
, îòêóäà
.3-=z
(3)
Òåïåðü, êàê âèäíî, èñêëþ÷åíà ïåðåìåííàÿ ó.
Ïåðåïèøåì ïåðâîå óðàâíåíèå èñõîäíîé ñèñòåìû
â âèäå
,44 -=-- zyx
óðàâíåíèå (1) â âèäå
Ðåøåíèåì òàêîé ñèñòåìû íàçûâàåòñÿ âñÿêàÿ
òðîéêà ÷èñåë, óäîâëåòâîðÿþùàÿ êàæäîìó óðàâíåíèþ
ñèñòåìû.
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
ï
î
ï
í
ì
=-+++
=++
=++
.9
)
1
(
)
2
(
,132
,2
222
zyx
zyx
zyx
q Ïðèìåíèì ìåòîä ïîäñòàíîâêè. Âûðàçèì èç
ïåðâîãî óðàâíåíèÿ õ ÷åðåç ó è z è ïîäñòàâèì ðå-
çóëüòàò âî âòîðîå è òðåòüå óðàâíåíèÿ. Èìååì
ï
î
ï
í
ì
=-+++--
=++--
--=
;9
)
1
(
)
2
(
)
2
(
,13
)
2
(
2
,2
222
zyzy
zyzy
zyx
ï
î
ï
í
ì
=-++
-=-
--=
.03
,3
,2
22
zyzzy
zy
zyx
Ïîñëåäíèå äâà óðàâíåíèÿ ïîëó÷åííîé ñèñòåìû â ñâîþ
î÷åðåäü îáðàçóþò ñèñòåìó äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ
ïåðåìåííûìè. Ðåøèì ýòó ñèñòåìó ìåòîäîì ïîäñòà-
íîâêè. Èìååì
ï
î
ï
í
ì
=+-
-=
ï
î
ï
í
ì
=--++-
-=
.034
,3
,03
)
3
(
)
3
(
,3
222
zz
zy
zzzzz
zy
Ðåøèâ óðàâíåíèå
,034
2
=+- zz
íàõîäèì
,1
1
=z
.3
2
=z
Èç óðàâíåíèÿ
3-= zy
ïîëó÷àåì ñîîòâåò-
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé
ÀËÃÅÁÐÀ
239238
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
ðåäåëåííûìè çíàêàìè: ñî çíàêîì «+» òðè ÷ëåíà,
ñîñòîÿùèå èç ýëåìåíòîâ ãëàâíîé äèàãîíàëè è èç ýëå-
ìåíòîâ, ðàñïîëîæåííûõ â âåðøèíàõ òðåóãîëüíèêîâ ñ
îñíîâàíèÿìè, ïàðàëëåëüíûìè ãëàâíîé äèàãîíàëè; ñî
çíàêîì «» òðè ÷ëåíà, ðàñïîëîæåííûå àíàëîãè÷íûì
îáðàçîì îòíîñèòåëüíî ïîáî÷íîé äèàãîíàëè.
Óêàçàííîå ïðàâèëî, íàçûâàåìîå ïðàâèëîì òðåó-
ãîëüíèêîâ, èëëþñòðèðóåò ñõåìà, èçîáðàæåííàÿ íà
ðèñ. 76.
,
9
15
9
1
=+ zy
à óðàâíåíèå (3) îñòàâèì áåç èçìåíå-
íèÿ. Ïîëó÷èì «òðåóãîëüíóþ» ñèñòåìó
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
-=
=+
-=--
,3
,
9
15
9
1
,44
z
zy
zyx
êîòîðàÿ ëåãêî ðåøàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíûìè ïîäñòà-
íîâêàìè «ñíèçó ââåðõ»: òàê êàê
,3-=z
òî èç âòîðî-
ãî óðàâíåíèÿ íàõîäèì
,
9
15
9
3
=-y
ò. å. ó = 2. Íàêî-
íåö, èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ «òðåóãîëüíîé» ñèñòåìû íà-
õîäèì õ 8 + 3 =4, ò. å. õ = 1.
Èòàê, (1; 2; 3) ðåøåíèå äàííîé ñèñòåìû. n
Îïèñàííûé ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíîãî èñêëþ÷åíèÿ
íåèçâåñòíûõ íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì Ãàóññà.
178. Îïðåäåëèòåëè òðåòüåãî ïîðÿäêà. Èññëåäî-
âàíèå ñèñòåì òðåõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ òðåìÿ ïå-
ðåìåííûìè. Îïðåäåëèòåëåì òðåòüåãî ïîðÿäêà
íàçûâàåòñÿ ÷èñëî, îïðåäåëÿåìîå ðàâåíñòâîì
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
.
332112322311312213
322113312312332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
---
-++
(1)
Òàêèì îáðàçîì, êàæäûé ÷ëåí îïðåäåëèòåëÿ òðå-
òüåãî ïîðÿäêà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîèçâåäåíèå òðåõ
åãî ýëåìåíòîâ, âçÿòûõ ïî îäíîìó èç êàæäîé ñòðîêè
è êàæäîãî ñòîëáöà. Ýòè ïðîèçâåäåíèÿ áåðóòñÿ ñ îï-
Íàïðèìåð, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1), ïîëó÷èì
=
-
-
314
531
142
.1093
)
1
(
4
)
1
(
52431
)
1
(
)
1
(
1454332
=×---×-××-
--×-×+××+××
Àëãåáðàè÷åñêèì äîïîëíåíèåì ýëåìåíòà
ik
a
îï-
ðåäåëèòåëÿ íàçûâàåòñÿ ÷èñëî
,
ik
A
ïðåäñòàâëÿþùåå
ñîáîé îïðåäåëèòåëü âòîðîãî ïîðÿäêà, ïîëó÷àþùèéñÿ
Ðèñ. 76
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé
ÀËÃÅÁÐÀ
239238
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
ðåäåëåííûìè çíàêàìè: ñî çíàêîì «+» òðè ÷ëåíà,
ñîñòîÿùèå èç ýëåìåíòîâ ãëàâíîé äèàãîíàëè è èç ýëå-
ìåíòîâ, ðàñïîëîæåííûõ â âåðøèíàõ òðåóãîëüíèêîâ ñ
îñíîâàíèÿìè, ïàðàëëåëüíûìè ãëàâíîé äèàãîíàëè; ñî
çíàêîì «» òðè ÷ëåíà, ðàñïîëîæåííûå àíàëîãè÷íûì
îáðàçîì îòíîñèòåëüíî ïîáî÷íîé äèàãîíàëè.
Óêàçàííîå ïðàâèëî, íàçûâàåìîå ïðàâèëîì òðåó-
ãîëüíèêîâ, èëëþñòðèðóåò ñõåìà, èçîáðàæåííàÿ íà
ðèñ. 76.
,
9
15
9
1
=+ zy
à óðàâíåíèå (3) îñòàâèì áåç èçìåíå-
íèÿ. Ïîëó÷èì «òðåóãîëüíóþ» ñèñòåìó
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
-=
=+
-=--
,3
,
9
15
9
1
,44
z
zy
zyx
êîòîðàÿ ëåãêî ðåøàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíûìè ïîäñòà-
íîâêàìè «ñíèçó ââåðõ»: òàê êàê
,3-=z
òî èç âòîðî-
ãî óðàâíåíèÿ íàõîäèì
,
9
15
9
3
=-y
ò. å. ó = 2. Íàêî-
íåö, èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ «òðåóãîëüíîé» ñèñòåìû íà-
õîäèì õ 8 + 3 =4, ò. å. õ = 1.
Èòàê, (1; 2; 3) ðåøåíèå äàííîé ñèñòåìû. n
Îïèñàííûé ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíîãî èñêëþ÷åíèÿ
íåèçâåñòíûõ íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì Ãàóññà.
178. Îïðåäåëèòåëè òðåòüåãî ïîðÿäêà. Èññëåäî-
âàíèå ñèñòåì òðåõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ òðåìÿ ïå-
ðåìåííûìè. Îïðåäåëèòåëåì òðåòüåãî ïîðÿäêà
íàçûâàåòñÿ ÷èñëî, îïðåäåëÿåìîå ðàâåíñòâîì
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
.
332112322311312213
322113312312332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
---
-++
(1)
Òàêèì îáðàçîì, êàæäûé ÷ëåí îïðåäåëèòåëÿ òðå-
òüåãî ïîðÿäêà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîèçâåäåíèå òðåõ
åãî ýëåìåíòîâ, âçÿòûõ ïî îäíîìó èç êàæäîé ñòðîêè
è êàæäîãî ñòîëáöà. Ýòè ïðîèçâåäåíèÿ áåðóòñÿ ñ îï-
Íàïðèìåð, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1), ïîëó÷èì
=
-
-
314
531
142
.1093
)
1
(
4
)
1
(
52431
)
1
(
)
1
(
1454332
=×---×-××-
--×-×+××+××
Àëãåáðàè÷åñêèì äîïîëíåíèåì ýëåìåíòà
ik
a
îï-
ðåäåëèòåëÿ íàçûâàåòñÿ ÷èñëî
,
ik
A
ïðåäñòàâëÿþùåå
ñîáîé îïðåäåëèòåëü âòîðîãî ïîðÿäêà, ïîëó÷àþùèéñÿ
Ðèñ. 76
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé
ÀËÃÅÁÐÀ
241240
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
èç èñõîäíîãî îïðåäåëèòåëÿ âû÷åðêèâàíèåì
i-é ñòðîêè è k-ãî ñòîëáöà è âçÿòûé ñî çíàêîì «+»,
åñëè ñóììà íîìåðîâ âû÷åðêíóòûõ ñòðîêè è ñòîëáöà
÷åòíàÿ, è ñî çíàêîì «» â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.
Íàïðèìåð, äëÿ îïðåäåëèòåëÿ (1) èìååì
.,
2321
1311
32
3332
2322
11
aa
aa
A
aa
aa
A -==
Îïðåäåëèòåëü ðàâåí ñóììå ïðîèçâåäåíèé ýëåìåí-
òîâ ëþáîé ñòðîêè (ñòîëáöà) íà ñîîòâåòñòâóþùèå
àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ (ðàçëîæåíèå îïðåäåëè-
òåëÿ ïî ýëåìåíòàì êàêîé-ëèáî ñòðîêè èëè
ñòîëáöà).
Âû÷èñëèì, íàïðèìåð, äàííûé âûøå îïðåäåëèòåëü
ðàçëîæåíèåì ïî ýëåìåíòàì ïåðâîé ñòðîêè.
Èìååì
=
-
-
×+
-
-
-
=
-
-
14
31
1
34
51
4
31
53
2
314
531
142
,109)11(1)23(4142 =-×+--×=
÷òî ñîâïàäàåò ñ ðåçóëüòàòîì, ïîëó÷åííûì ïî ôîðìó-
ëå (1) (ñì. ñ. 239).
Äëÿ ñèñòåìû òðåõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ òðåìÿ
íåèçâåñòíûìè
ï
î
ï
í
ì
=++
=++
=++
3333231
2232221
1131211
,
,
bzayaxa
bzayaxa
bzayaxa
(2)
ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå, àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèþ
ïðèâåäåííîìó â ï. 174, à èìåííî: åñëè îïðåäåëèòåëü
D
ñèñòåìû (2) îòëè÷åí îò íóëÿ, òî ñèñòåìà èìå-
åò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, êîòîðîå íàõîäèòñÿ ïî
ôîðìóëàì Êðàìåðà:
,,,
D
D
=
D
D
=
D
D
=
z
y
x
zyx
(3)
ãäå
zyx
DDD ,,
îïðåäåëèòåëè, ïîëó÷àþùèåñÿ èç
îïðåäåëèòåëÿ
D
çàìåíîé ñòîëáöîâ êîýôôèöèåíòîâ
ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ íåèçâåñòíûõ ñòîëáöîì ñâî-
áîäíûõ ÷ëåíîâ.
Ïðè
0=D
ñèñòåìà (2) ëèáî âîîáùå íå èìååò
ðåøåíèé, ëèáî èìååò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ðåøå-
íèé.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
ï
î
ï
í
ì
-=+-
=++-
-=++
.534
,753
,342
zyx
zyx
zyx
q Îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû áûë íàéäåí ðàíåå:
.109=D
Íàõîäèì îïðåäåëèòåëè
:,,
zyx
DDD
,0
354
571
132
,218
313
537
143
=
-
-
-
=D-=
--
-
=D
yx
,109
514
731
342
=
--
-
-
=D
z
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé
ÀËÃÅÁÐÀ
241240
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
èç èñõîäíîãî îïðåäåëèòåëÿ âû÷åðêèâàíèåì
i-é ñòðîêè è k-ãî ñòîëáöà è âçÿòûé ñî çíàêîì «+»,
åñëè ñóììà íîìåðîâ âû÷åðêíóòûõ ñòðîêè è ñòîëáöà
÷åòíàÿ, è ñî çíàêîì «» â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.
Íàïðèìåð, äëÿ îïðåäåëèòåëÿ (1) èìååì
.,
2321
1311
32
3332
2322
11
aa
aa
A
aa
aa
A -==
Îïðåäåëèòåëü ðàâåí ñóììå ïðîèçâåäåíèé ýëåìåí-
òîâ ëþáîé ñòðîêè (ñòîëáöà) íà ñîîòâåòñòâóþùèå
àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ (ðàçëîæåíèå îïðåäåëè-
òåëÿ ïî ýëåìåíòàì êàêîé-ëèáî ñòðîêè èëè
ñòîëáöà).
Âû÷èñëèì, íàïðèìåð, äàííûé âûøå îïðåäåëèòåëü
ðàçëîæåíèåì ïî ýëåìåíòàì ïåðâîé ñòðîêè.
Èìååì
=
-
-
×+
-
-
-
=
-
-
14
31
1
34
51
4
31
53
2
314
531
142
,109)11(1)23(4142 =-×+--×=
÷òî ñîâïàäàåò ñ ðåçóëüòàòîì, ïîëó÷åííûì ïî ôîðìó-
ëå (1) (ñì. ñ. 239).
Äëÿ ñèñòåìû òðåõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ òðåìÿ
íåèçâåñòíûìè
ï
î
ï
í
ì
=++
=++
=++
3333231
2232221
1131211
,
,
bzayaxa
bzayaxa
bzayaxa
(2)
ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå, àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèþ
ïðèâåäåííîìó â ï. 174, à èìåííî: åñëè îïðåäåëèòåëü
D
ñèñòåìû (2) îòëè÷åí îò íóëÿ, òî ñèñòåìà èìå-
åò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, êîòîðîå íàõîäèòñÿ ïî
ôîðìóëàì Êðàìåðà:
,,,
D
D
=
D
D
=
D
D
=
z
y
x
zyx
(3)
ãäå
zyx
DDD ,,
îïðåäåëèòåëè, ïîëó÷àþùèåñÿ èç
îïðåäåëèòåëÿ
D
çàìåíîé ñòîëáöîâ êîýôôèöèåíòîâ
ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ íåèçâåñòíûõ ñòîëáöîì ñâî-
áîäíûõ ÷ëåíîâ.
Ïðè
0=D
ñèñòåìà (2) ëèáî âîîáùå íå èìååò
ðåøåíèé, ëèáî èìååò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ðåøå-
íèé.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
ï
î
ï
í
ì
-=+-
=++-
-=++
.534
,753
,342
zyx
zyx
zyx
q Îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû áûë íàéäåí ðàíåå:
.109=D
Íàõîäèì îïðåäåëèòåëè
:,,
zyx
DDD
,0
354
571
132
,218
313
537
143
=
-
-
-
=D-=
--
-
=D
yx
,109
514
731
342
=
--
-
-
=D
z
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé
ÀËÃÅÁÐÀ
243242
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
îòêóäà ïî ôîðìóëå (3) ïîëó÷àåì
,0,2 =-= yx
.1=z
n
179. Ñèñòåìû ïîêàçàòåëüíûõ è ëîãàðèôìè÷åñ-
êèõ óðàâíåíèé. Ïðè ðåøåíèè ñèñòåì ïîêàçàòåëüíûõ
è ëîãàðèôìè÷åñêèõ óðàâíåíèé èñïîëüçóþòñÿ îáû÷-
íûå ïðèåìû ðåøåíèÿ ëîãàðèôìè÷åñêèõ è ïîêàçàòåëü-
íûõ óðàâíåíèé (ñì. ïï. 156, 157) è îáû÷íûå ïðèåìû
ðåøåíèÿ ñèñòåì óðàâíåíèé (ñì. ïï. 171174).
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
ï
î
ï
í
ì
×=
=+
+
.393
,4loglog
215
42
2
yx
yx
q Ðàññìîòðèì ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû. Âîñ-
ïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî
2
4
2
2
2
logloglog
2
xxx ==
(ñì. ï.
75). Òîãäà óðàâíåíèå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
+
2
4
log
x
4log
4
=+ y
è äàëåå
4
)
(
log
2
4
=yx , îòêóäà
,4
42
=yx
ò. å.
.256
2
=yx
Òåïåðü ðàññìîòðèì âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû.
Èìååì
.415,333
22152
2
+=×=
+
yx
yx
Çàäà÷à ñâîäèò-
ñÿ ê ðåøåíèþ ñèñòåìû
ï
î
ï
í
ì
+=
=
.415
,256
2
2
yx
yx
Ïîäñòàâèì 15ó + 4 âìåñòî õ
2
â ïåðâîå óðàâíåíèå:
;0256415;256)415(
2
=-+=+ yyyy
.
15
64
,4
21
-== yy
Åñëè ó = 4, òî õ
2
= 15ó + 4 = 15 · 4 + 4 = 64, ò. å. õ
2
=
= 64, îòêóäà õ
1
= 8, õ
2
= 8. Åñëè
,
15
64
-=y
òî
,604
15
64
15415
2
-=+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-×=+= yx
ò. å. õ
2
= 60
ýòî óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé.
Èòàê, ìû íàøëè äâå ïàðû çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ:
õ
1
= 8, ó
1
= 4; õ
2
= 8, ó
2
= 4. Òàê êàê çàäàííàÿ ñèñòåìà
ñîäåðæèò âûðàæåíèÿ
,log,log
42
yx
òî äîëæíû âû-
ïîëíÿòüñÿ óñëîâèÿ
.0,0 >> yx
Ïîýòîìó âòîðàÿ ïàðà
èñõîäíîé ñèñòåìå íå óäîâëåòâîðÿåò. Èòàê, (8; 4)
ðåøåíèå ñèñòåìû. n
180. Ñèñòåìû òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé.
Ïðè ðåøåíèè ñèñòåì òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíå-
íèé èñïîëüçóþò îáû÷íûå ïðèåìû ðåøåíèÿ ñèñòåì
óðàâíåíèé è ôîðìóëû òðèãîíîìåòðèè.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
ï
î
ï
í
ì
=+
=+
.25,1cossin
,5,1cossin
22
yx
yx
q Ïîëîæèì
.cos,sin vyux ==
Òîãäà ïîëó÷èì
ñèñòåìó
ï
î
ï
í
ì
=+
=+
.25,1
,5,1
22
vu
vu
Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ âûðà-
çèì v:
.5,1 uv -=
Ïîäñòàâèì íàéäåííîå âûðàæåíèå
âìåñòî v âî âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû:
;0132;25,1)5,1(
222
=+-=-+ uuuu
.5,0,1
21
== uu
Åñëè è = 1, òî
;5,015,1 =-=v
åñëè æå è = 0,5, òî
.15,05,1 =-=v
Èòàê, ìû íàøëè äâå ïàðû ðåøåíèé:
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé
ÀËÃÅÁÐÀ
243242
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
îòêóäà ïî ôîðìóëå (3) ïîëó÷àåì
,0,2 =-= yx
.1=z
n
179. Ñèñòåìû ïîêàçàòåëüíûõ è ëîãàðèôìè÷åñ-
êèõ óðàâíåíèé. Ïðè ðåøåíèè ñèñòåì ïîêàçàòåëüíûõ
è ëîãàðèôìè÷åñêèõ óðàâíåíèé èñïîëüçóþòñÿ îáû÷-
íûå ïðèåìû ðåøåíèÿ ëîãàðèôìè÷åñêèõ è ïîêàçàòåëü-
íûõ óðàâíåíèé (ñì. ïï. 156, 157) è îáû÷íûå ïðèåìû
ðåøåíèÿ ñèñòåì óðàâíåíèé (ñì. ïï. 171174).
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
ï
î
ï
í
ì
×=
=+
+
.393
,4loglog
215
42
2
yx
yx
q Ðàññìîòðèì ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû. Âîñ-
ïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî
2
4
2
2
2
logloglog
2
xxx ==
(ñì. ï.
75). Òîãäà óðàâíåíèå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
+
2
4
log
x
4log
4
=+ y
è äàëåå
4
)
(
log
2
4
=yx , îòêóäà
,4
42
=yx
ò. å.
.256
2
=yx
Òåïåðü ðàññìîòðèì âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû.
Èìååì
.415,333
22152
2
+=×=
+
yx
yx
Çàäà÷à ñâîäèò-
ñÿ ê ðåøåíèþ ñèñòåìû
ï
î
ï
í
ì
+=
=
.415
,256
2
2
yx
yx
Ïîäñòàâèì 15ó + 4 âìåñòî õ
2
â ïåðâîå óðàâíåíèå:
;0256415;256)415(
2
=-+=+ yyyy
.
15
64
,4
21
-== yy
Åñëè ó = 4, òî õ
2
= 15ó + 4 = 15 · 4 + 4 = 64, ò. å. õ
2
=
= 64, îòêóäà õ
1
= 8, õ
2
= 8. Åñëè
,
15
64
-=y
òî
,604
15
64
15415
2
-=+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-×=+= yx
ò. å. õ
2
= 60
ýòî óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé.
Èòàê, ìû íàøëè äâå ïàðû çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ:
õ
1
= 8, ó
1
= 4; õ
2
= 8, ó
2
= 4. Òàê êàê çàäàííàÿ ñèñòåìà
ñîäåðæèò âûðàæåíèÿ
,log,log
42
yx
òî äîëæíû âû-
ïîëíÿòüñÿ óñëîâèÿ
.0,0 >> yx
Ïîýòîìó âòîðàÿ ïàðà
èñõîäíîé ñèñòåìå íå óäîâëåòâîðÿåò. Èòàê, (8; 4)
ðåøåíèå ñèñòåìû. n
180. Ñèñòåìû òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé.
Ïðè ðåøåíèè ñèñòåì òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíå-
íèé èñïîëüçóþò îáû÷íûå ïðèåìû ðåøåíèÿ ñèñòåì
óðàâíåíèé è ôîðìóëû òðèãîíîìåòðèè.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
ï
î
ï
í
ì
=+
=+
.25,1cossin
,5,1cossin
22
yx
yx
q Ïîëîæèì
.cos,sin vyux ==
Òîãäà ïîëó÷èì
ñèñòåìó
ï
î
ï
í
ì
=+
=+
.25,1
,5,1
22
vu
vu
Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ âûðà-
çèì v:
.5,1 uv -=
Ïîäñòàâèì íàéäåííîå âûðàæåíèå
âìåñòî v âî âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû:
;0132;25,1)5,1(
222
=+-=-+ uuuu
.5,0,1
21
== uu
Åñëè è = 1, òî
;5,015,1 =-=v
åñëè æå è = 0,5, òî
.15,05,1 =-=v
Èòàê, ìû íàøëè äâå ïàðû ðåøåíèé:
ÀËÃÅÁÐÀ
244
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
.1,5,0;5,0,1
2211
==== vuvu Òàê êàê
,sin xu =
,cos
yv =
òî îñòàåòñÿ ðåøèòü äâå ñèñòåìû óðàâíå-
íèé:
î
í
ì
=
=
5,0cos
,1sin
y
x
(1) è
î
í
ì
=
=
.1cos
,5,0sin
y
x
(2)
Èç óðàâíåíèÿ
1sin =x
íàõîäèì
,2
2
kx p+
p
=
.ZÎk
Èç óðàâíåíèÿ
5,0cos =y
íàõîäèì +
p
±=
3
y
.,2 ZÎp+ nn
Çíà÷èò, ðåøåíèÿ ñèñòåìû (1) èìåþò âèä
,2
2
kx p+
p
=
.,2
3
ZÎp+
p
±= nny
Èç óðàâíåíèÿ
5,0sin =x
íàõîäèì
+
p
-=
6
)
1
(
k
x
,kp+
.ZÎk
Èç óðàâíåíèÿ
1cos =y
íàõîäèì
,2 ny p=
.ZÎn
Çíà÷èò, ðåøåíèÿ ñèñòåìû (2) èìåþò âèä
.,2,
6
)
1
(
ZÎp=p+
p
-= nnykx
k
n
; k, n Î Z.
; k, n Î Z.
ÀËÃÅÁÐÀ
244
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
.1,5,0;5,0,1
2211
==== vuvu Òàê êàê
,sin xu =
,cos
yv =
òî îñòàåòñÿ ðåøèòü äâå ñèñòåìû óðàâíå-
íèé:
î
í
ì
=
=
5,0cos
,1sin
y
x
(1) è
î
í
ì
=
=
.1cos
,5,0sin
y
x
(2)
Èç óðàâíåíèÿ
1sin =x
íàõîäèì
,2
2
kx p+
p
=
.ZÎk
Èç óðàâíåíèÿ
5,0cos =y
íàõîäèì +
p
±=
3
y
.,2 ZÎp+ nn
Çíà÷èò, ðåøåíèÿ ñèñòåìû (1) èìåþò âèä
,2
2
kx p+
p
=
.,2
3
ZÎp+
p
±= nny
Èç óðàâíåíèÿ
5,0sin =x
íàõîäèì
+
p
-=
6
)
1
(
k
x
,kp+
.ZÎk
Èç óðàâíåíèÿ
1cos =y
íàõîäèì
,2 ny p=
.ZÎn
Çíà÷èò, ðåøåíèÿ ñèñòåìû (2) èìåþò âèä
.,2,
6
)
1
(
ZÎp=p+
p
-= nnykx
k
n
; k, n Î Z.
; k, n Î Z.