Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл
Подождите немного. Документ загружается.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé
ÀËÃÅÁÐÀ
227226
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
q Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ âûðàçèì õ = 3ó + 10.
Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèå 3ó +10 âìåñòî õ âî âòîðîå óðàâ-
íåíèå ñèñòåìû, ïîëó÷èì (3ó + 10)
2
24ó = 100, îòêó-
äà ó
1
= 0, ó
2
= 4. Ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ
õ íàéäåì èç óðàâíåíèÿ õ = 3ó + 10. Åñëè ó = 0, òî
õ = 10; åñëè ó = 4, òî õ = 2. Èòàê, ñèñòåìà èìååò äâà
ðåøåíèÿ: (2; 4) è (10; 0). n
172. Ðåøåíèå ñèñòåì äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ
ïåðåìåííûìè ìåòîäîì ñëîæåíèÿ. Ìåòîä ñëîæåíèÿ
îñíîâàí íà òåîðåìàõ 4.9 è 4.10 (ñì. ï.170).
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
î
í
ì
=-
=+
.163
,732
yx
yx
(1)
q Óìíîæèâ îáå ÷àñòè âòîðîãî óðàâíåíèÿ ñèñòå-
ìû (1) íà 3, ïîëó÷èì ñèñòåìó
î
í
ì
=-
=+
,4839
,732
yx
yx
(2)
ðàâíîñèëüíóþ äàííîé ïî òåîðåìå 4.9.
Ñëîæèì òåïåðü îáà óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (2). Ïî
òåîðåìå 4.10 ñèñòåìà
î
í
ì
+=-++
=+
487
)
39
(
)
32
(
,732
yxyx
yx
(3)
ðàâíîñèëüíà ñèñòåìå (2). Ñèñòåìà (3), â ñâîþ î÷åðåäü,
ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó
î
í
ì
=
=+
.5511
,732
x
yx
Äâå ñèñòåìû óðàâíåíèé íàçûâàþòñÿ ðàâíîñèëü-
íûìè, åñëè ýòè ñèñòåìû èìåþò îäíè è òå æå ðåøå-
íèÿ. Åñëè, â ÷àñòíîñòè, îáå ñèñòåìû íå èìåþò ðåøå-
íèé, òî îíè òàêæå ñ÷èòàþòñÿ ðàâíîñèëüíûìè.
Ò.4.9. Ïóñòü äàíà ñèñòåìà äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ
ïåðåìåííûìè. Åñëè îäíî óðàâíåíèå ñèñòåìû îñ-
òàâèòü áåç èçìåíåíèÿ, à äðóãîå óðàâíåíèå ñèñòå-
ìû çàìåíèòü óðàâíåíèåì, åìó ðàâíîñèëüíûì, òî
ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà áóäåò ðàâíîñèëüíà çàäàííîé.
Èç ýòîé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî åñëè êàæäîå óðàâíå-
íèå ñèñòåìû çàìåíèòü ðàâíîñèëüíûì óðàâíåíèåì,
òî ïîëó÷èòñÿ ñèñòåìà, ðàâíîñèëüíàÿ çàäàííîé.
Ò.4.10. Ïóñòü äàíà ñèñòåìà äâóõ óðàâíåíèé ñ äâó-
ìÿ ïåðåìåííûìè. Åñëè îäíî óðàâíåíèå ñèñòåìû
îñòàâèòü áåç èçìåíåíèÿ, à äðóãîå çàìåíèòü ñóì-
ìîé èëè ðàçíîñòüþ îáîèõ óðàâíåíèé ñèñòåìû, òî
ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà áóäåò ðàâíîñèëüíà çàäàííîé.
171. Ðåøåíèå ñèñòåì äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ
ïåðåìåííûìè ìåòîäîì ïîäñòàíîâêè. Ìåòîä ïîä-
ñòàíîâêè çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì:
1. Îäíî èç óðàâíåíèé ñèñòåìû ïðåîáðàçóþò ê âèäó,
â êîòîðîì ïåðåìåííàÿ ó âûðàæåíà ÷åðåç õ (èëè õ
÷åðåç ó).
2. Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå ïîäñòàâëÿþò âìåñòî ó
(èëè âìåñòî õ) â äðóãîå óðàâíåíèå. Â ðåçóëüòàòå ïî-
ëó÷àþò óðàâíåíèå ñ îäíîé ïåðåìåííîé.
3. Íàõîäÿò êîðíè ýòîãî óðàâíåíèÿ.
4. Âîñïîëüçîâàâøèñü âûðàæåíèåì ó ÷åðåç õ
(èëè õ ÷åðåç ó), íàõîäÿò ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ
ó (èëè õ).
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
ï
î
ï
í
ì
=-
=-
.10024
,103
2
yx
yx
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé
ÀËÃÅÁÐÀ
227226
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
q Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ âûðàçèì õ = 3ó + 10.
Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèå 3ó +10 âìåñòî õ âî âòîðîå óðàâ-
íåíèå ñèñòåìû, ïîëó÷èì (3ó + 10)
2
24ó = 100, îòêó-
äà ó
1
= 0, ó
2
= 4. Ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ
õ íàéäåì èç óðàâíåíèÿ õ = 3ó + 10. Åñëè ó = 0, òî
õ = 10; åñëè ó = 4, òî õ = 2. Èòàê, ñèñòåìà èìååò äâà
ðåøåíèÿ: (2; 4) è (10; 0). n
172. Ðåøåíèå ñèñòåì äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ
ïåðåìåííûìè ìåòîäîì ñëîæåíèÿ. Ìåòîä ñëîæåíèÿ
îñíîâàí íà òåîðåìàõ 4.9 è 4.10 (ñì. ï.170).
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
î
í
ì
=-
=+
.163
,732
yx
yx
(1)
q Óìíîæèâ îáå ÷àñòè âòîðîãî óðàâíåíèÿ ñèñòå-
ìû (1) íà 3, ïîëó÷èì ñèñòåìó
î
í
ì
=-
=+
,4839
,732
yx
yx
(2)
ðàâíîñèëüíóþ äàííîé ïî òåîðåìå 4.9.
Ñëîæèì òåïåðü îáà óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (2). Ïî
òåîðåìå 4.10 ñèñòåìà
î
í
ì
+=-++
=+
487
)
39
(
)
32
(
,732
yxyx
yx
(3)
ðàâíîñèëüíà ñèñòåìå (2). Ñèñòåìà (3), â ñâîþ î÷åðåäü,
ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó
î
í
ì
=
=+
.5511
,732
x
yx
Äâå ñèñòåìû óðàâíåíèé íàçûâàþòñÿ ðàâíîñèëü-
íûìè, åñëè ýòè ñèñòåìû èìåþò îäíè è òå æå ðåøå-
íèÿ. Åñëè, â ÷àñòíîñòè, îáå ñèñòåìû íå èìåþò ðåøå-
íèé, òî îíè òàêæå ñ÷èòàþòñÿ ðàâíîñèëüíûìè.
Ò.4.9. Ïóñòü äàíà ñèñòåìà äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ
ïåðåìåííûìè. Åñëè îäíî óðàâíåíèå ñèñòåìû îñ-
òàâèòü áåç èçìåíåíèÿ, à äðóãîå óðàâíåíèå ñèñòå-
ìû çàìåíèòü óðàâíåíèåì, åìó ðàâíîñèëüíûì, òî
ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà áóäåò ðàâíîñèëüíà çàäàííîé.
Èç ýòîé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî åñëè êàæäîå óðàâíå-
íèå ñèñòåìû çàìåíèòü ðàâíîñèëüíûì óðàâíåíèåì,
òî ïîëó÷èòñÿ ñèñòåìà, ðàâíîñèëüíàÿ çàäàííîé.
Ò.4.10. Ïóñòü äàíà ñèñòåìà äâóõ óðàâíåíèé ñ äâó-
ìÿ ïåðåìåííûìè. Åñëè îäíî óðàâíåíèå ñèñòåìû
îñòàâèòü áåç èçìåíåíèÿ, à äðóãîå çàìåíèòü ñóì-
ìîé èëè ðàçíîñòüþ îáîèõ óðàâíåíèé ñèñòåìû, òî
ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà áóäåò ðàâíîñèëüíà çàäàííîé.
171. Ðåøåíèå ñèñòåì äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ
ïåðåìåííûìè ìåòîäîì ïîäñòàíîâêè. Ìåòîä ïîä-
ñòàíîâêè çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì:
1. Îäíî èç óðàâíåíèé ñèñòåìû ïðåîáðàçóþò ê âèäó,
â êîòîðîì ïåðåìåííàÿ ó âûðàæåíà ÷åðåç õ (èëè õ
÷åðåç ó).
2. Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå ïîäñòàâëÿþò âìåñòî ó
(èëè âìåñòî õ) â äðóãîå óðàâíåíèå. Â ðåçóëüòàòå ïî-
ëó÷àþò óðàâíåíèå ñ îäíîé ïåðåìåííîé.
3. Íàõîäÿò êîðíè ýòîãî óðàâíåíèÿ.
4. Âîñïîëüçîâàâøèñü âûðàæåíèåì ó ÷åðåç õ
(èëè õ ÷åðåç ó), íàõîäÿò ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ
ó (èëè õ).
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
ï
î
ï
í
ì
=-
=-
.10024
,103
2
yx
yx
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé
ÀËÃÅÁÐÀ
229228
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
î
í
ì
=+
=
;5
,2
/
3
yx
xy
î
í
ì
=+
=
.5
,3
/
2
yx
xy
Èç ïåðâîé ñèñòåìû íàõîäèì õ = 2, ó = 3, èç âòîðîé
õ = 3, ó = 2. Èòàê, (2; 3) è (3; 2) ðåøåíèÿ äàííîé
ñèñòåìû.n
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
ï
î
ï
í
ì
=++
=+++
.26
)
(
2
,32
22
yxxy
yxyx
(1)
q Ïîëîæèì õ + ó = è,
.vxy =
Òîãäà õ
2
+ ó
2
= (õ +
+ ó)
2
2õó = è
2
2v è ñèñòåìà (1) ïðèìåò âèä
ï
î
ï
í
ì
=+
=+-
.262
,322
2
uv
uvu
(2)
Ñèñòåìó (2) ðåøèì ìåòîäîì ïîäñòàíîâêè. Âûðà-
çèâ èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ v ÷åðåç è, ïîëó÷èì
=v
;226 u-=
ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå â ïåðâîå óðàâíå-
íèå, èìååì
u
2
2(26 u) + u = 32; u
2
+ 5u 84 = 0;
.7,12
21
=-= uu
Ñîîòâåòñòâåííî íàõîäèì
.12,50
21
== vv
Èòàê, íàé-
äåíû äâà ðåøåíèÿ ñèñòåìû (2):
50,12
11
=-= vu
è
.12,7
22
== vu
Âîçâðàùàÿñü ê èñõîäíûì ïåðåìåííûì, ïîëó÷èì
ñîâîêóïíîñòü ñèñòåì:
î
í
ì
=
=+
î
í
ì
=
-=+
,12
,7
;50
,12
xy
yx
xy
yx
Èç óðàâíåíèÿ 11õ = 55 íàõîäèì õ = 5. Ïîäñòàâèâ
ýòî çíà÷åíèå â óðàâíåíèå 2õ + 3ó = 7, ïîëó÷èì
ó = 1.
Èòàê, (5; 1) ðåøåíèå ñèñòåìû (3), à çíà÷èò, è
ðåøåíèå ðàâíîñèëüíîé åé ñèñòåìû (1). n
173. Ðåøåíèå ñèñòåì äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ
ïåðåìåííûìè ìåòîäîì ââåäåíèÿ íîâûõ ïåðåìåííûõ.
Ñóùåñòâóþò äâà âàðèàíòà èñïîëüçîâàíèÿ ìåòîäà ââå-
äåíèÿ íîâûõ ïåðåìåííûõ ïðè ðåøåíèè ñèñòåì
äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè: 1) ââîäÿò îäíó
íîâóþ ïåðåìåííóþ òîëüêî äëÿ îäíîãî óðàâíåíèÿ ñè-
ñòåìû; 2) ââîäÿò äâå íîâûå ïåðåìåííûå ñðàçó äëÿ
îáîèõ óðàâíåíèé.
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
ï
î
ï
í
ì
=+
=+
.5
,
6
13
yx
x
y
y
x
q Ïîëîæèì x/y = z, òîãäà y/x = 1/z è ïåðâîå
óðàâíåíèå ñèñòåìû ïðèìåò âèä
.
6
131
=+
z
z
Îòíîñè-
òåëüíî íîâîé ïåðåìåííîé z ïîëó÷àåì óðàâíåíèå
,06136
2
=+- zz
îòêóäà
.2
/
3,3
/
2
21
== zz
Òà-
êèì îáðàçîì, ëèáî
,3/2/ =yx
ò. å.
,2/3xy =
ëèáî
,2/3/ =yx
ò. å.
.3/2xy =
Èòàê, ïåðâîå óðàâíåíèå çàäàííîé ñèñòåìû ðàñïà-
ëîñü íà äâà óðàâíåíèÿ:
2/3xy =
è
.3/2xy =
 ñî-
îòâåòñòâèè ñ ýòèì íóæíî ðåøèòü ñîâîêóïíîñòü äâóõ
ñèñòåì:
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé
ÀËÃÅÁÐÀ
229228
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
î
í
ì
=+
=
;5
,2
/
3
yx
xy
î
í
ì
=+
=
.5
,3
/
2
yx
xy
Èç ïåðâîé ñèñòåìû íàõîäèì õ = 2, ó = 3, èç âòîðîé
õ = 3, ó = 2. Èòàê, (2; 3) è (3; 2) ðåøåíèÿ äàííîé
ñèñòåìû.n
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
ï
î
ï
í
ì
=++
=+++
.26
)
(
2
,32
22
yxxy
yxyx
(1)
q Ïîëîæèì õ + ó = è,
.vxy =
Òîãäà õ
2
+ ó
2
= (õ +
+ ó)
2
2õó = è
2
2v è ñèñòåìà (1) ïðèìåò âèä
ï
î
ï
í
ì
=+
=+-
.262
,322
2
uv
uvu
(2)
Ñèñòåìó (2) ðåøèì ìåòîäîì ïîäñòàíîâêè. Âûðà-
çèâ èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ v ÷åðåç è, ïîëó÷èì
=v
;226 u-=
ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå â ïåðâîå óðàâíå-
íèå, èìååì
u
2
2(26 u) + u = 32; u
2
+ 5u 84 = 0;
.7,12
21
=-= uu
Ñîîòâåòñòâåííî íàõîäèì
.12,50
21
== vv
Èòàê, íàé-
äåíû äâà ðåøåíèÿ ñèñòåìû (2):
50,12
11
=-= vu
è
.12,7
22
== vu
Âîçâðàùàÿñü ê èñõîäíûì ïåðåìåííûì, ïîëó÷èì
ñîâîêóïíîñòü ñèñòåì:
î
í
ì
=
=+
î
í
ì
=
-=+
,12
,7
;50
,12
xy
yx
xy
yx
Èç óðàâíåíèÿ 11õ = 55 íàõîäèì õ = 5. Ïîäñòàâèâ
ýòî çíà÷åíèå â óðàâíåíèå 2õ + 3ó = 7, ïîëó÷èì
ó = 1.
Èòàê, (5; 1) ðåøåíèå ñèñòåìû (3), à çíà÷èò, è
ðåøåíèå ðàâíîñèëüíîé åé ñèñòåìû (1). n
173. Ðåøåíèå ñèñòåì äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ
ïåðåìåííûìè ìåòîäîì ââåäåíèÿ íîâûõ ïåðåìåííûõ.
Ñóùåñòâóþò äâà âàðèàíòà èñïîëüçîâàíèÿ ìåòîäà ââå-
äåíèÿ íîâûõ ïåðåìåííûõ ïðè ðåøåíèè ñèñòåì
äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè: 1) ââîäÿò îäíó
íîâóþ ïåðåìåííóþ òîëüêî äëÿ îäíîãî óðàâíåíèÿ ñè-
ñòåìû; 2) ââîäÿò äâå íîâûå ïåðåìåííûå ñðàçó äëÿ
îáîèõ óðàâíåíèé.
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
ï
î
ï
í
ì
=+
=+
.5
,
6
13
yx
x
y
y
x
q Ïîëîæèì x/y = z, òîãäà y/x = 1/z è ïåðâîå
óðàâíåíèå ñèñòåìû ïðèìåò âèä
.
6
131
=+
z
z
Îòíîñè-
òåëüíî íîâîé ïåðåìåííîé z ïîëó÷àåì óðàâíåíèå
,06136
2
=+- zz
îòêóäà
.2
/
3,3
/
2
21
== zz
Òà-
êèì îáðàçîì, ëèáî
,3/2/ =yx
ò. å.
,2/3xy =
ëèáî
,2/3/ =yx
ò. å.
.3/2xy =
Èòàê, ïåðâîå óðàâíåíèå çàäàííîé ñèñòåìû ðàñïà-
ëîñü íà äâà óðàâíåíèÿ:
2/3xy =
è
.3/2xy =
 ñî-
îòâåòñòâèè ñ ýòèì íóæíî ðåøèòü ñîâîêóïíîñòü äâóõ
ñèñòåì:
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé
ÀËÃÅÁÐÀ
231230
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
1
0
. Åñëè îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû
,0
2221
1211
¹=D
aa
aa
òî ñèñòåìà (1) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, êîòî-
ðîå íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëàì Êðàìåðà:
.,
212
111
222
121
D
D
=
D
=
D
D
=
D
=
y
x
ba
ba
y
ab
ab
x
(2)
Çäåñü
x
D
è
y
D
îïðåäåëèòåëè, ïîëó÷àþùèåñÿ
èç îïðåäåëèòåëÿ ñèñòåìû
D
çàìåíîé ñòîëáöîâ êî-
ýôôèöèåíòîâ ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì íåèçâåñòíîì
ñòîëáöîì ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ.
2
0
. Åñëè
,0=D
íî
0¹D
x
(èëè
0
¹D
y
), òî ñèñòå-
ìà (1) íå èìååò ðåøåíèé (ñèñòåìà íåñîâìåñòíàÿ).
3
0
. Åñëè
,0
=D=D=D
yx
òî ñèñòåìà (1) èìååò
áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé (ñèñòåìà íåîïðå-
äåëåííàÿ).
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé:
à)
î
í
ì
=+
=-
;3710
,725
yx
yx
á)
î
í
ì
=-
=-
;2001435
,425
yx
yx
â)
î
í
ì
-=+
-=+
.5,115,15
,3,21,32,0
yx
yx
q à) Íàõîäèì îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû:
.552035
710
25
=+=
-
=D
êàæäóþ èç êîòîðûõ íåòðóäíî ðåøèòü ìåòîäîì ïîä-
ñòàíîâêè (âûðàçèâ, íàïðèìåð, ó ÷åðåç õ èç ïåðâîãî
óðàâíåíèÿ). Ïåðâàÿ ñèñòåìà íå èìååò ðåøåíèé, à âòî-
ðàÿ èìååò äâà ðåøåíèÿ: (3; 4) è (4; 3). Îíè è ÿâëÿþò-
ñÿ ðåøåíèÿìè èñõîäíîé ñèñòåìû (1). n
174. Îïðåäåëèòåëè âòîðîãî ïîðÿäêà. Èññëåäî-
âàíèå ñèñòåì äâóõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïå-
ðåìåííûìè. Â òåîðèè ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
óäîáíî èñïîëüçîâàòü ïîíÿòèå îïðåäåëèòåëÿ. Îïðåäå-
ëèòåëåì âòîðîãî ïîðÿäêà íàçûâàåòñÿ ÷èñëî, îïðå-
äåëÿåìîå ðàâåíñòâîì
.
12212211
2221
1211
aaaa
aa
aa
-=
×èñëà
22211211
,,,
aaaa
íàçûâàþò ýëåìåíòàìè îï-
ðåäåëèòåëÿ; ïðè ýòîì ýëåìåíòû
11
a
è
22
a
îáðàçóþò
ãëàâíóþ äèàãîíàëü, à ýëåìåíòû
12
a
è
21
a
ïî-
áî÷íóþ äèàãîíàëü. Òàêèì îáðàçîì, îïðåäåëèòåëü
âòîðîãî ïîðÿäêà ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ýëåìåíòîâ ãëàâ-
íîé äèàãîíàëè ìèíóñ ïðîèçâåäåíèå ýëåìåíòîâ ïîáî÷-
íîé äèàãîíàëè.
Íàïðèìåð,
.377382
83
72
-=×-×-=
-
Ïóñòü äàíà ñèñòåìà äâóõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè:
î
í
ì
=+
=+
.
,
22212
11211
byaxa
byaxa
(1)
21
21
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé
ÀËÃÅÁÐÀ
231230
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
1
0
. Åñëè îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû
,0
2221
1211
¹=D
aa
aa
òî ñèñòåìà (1) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, êîòî-
ðîå íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëàì Êðàìåðà:
.,
212
111
222
121
D
D
=
D
=
D
D
=
D
=
y
x
ba
ba
y
ab
ab
x
(2)
Çäåñü
x
D
è
y
D
îïðåäåëèòåëè, ïîëó÷àþùèåñÿ
èç îïðåäåëèòåëÿ ñèñòåìû
D
çàìåíîé ñòîëáöîâ êî-
ýôôèöèåíòîâ ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì íåèçâåñòíîì
ñòîëáöîì ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ.
2
0
. Åñëè
,0=D
íî
0¹D
x
(èëè
0
¹D
y
), òî ñèñòå-
ìà (1) íå èìååò ðåøåíèé (ñèñòåìà íåñîâìåñòíàÿ).
3
0
. Åñëè
,0
=D=D=D
yx
òî ñèñòåìà (1) èìååò
áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé (ñèñòåìà íåîïðå-
äåëåííàÿ).
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé:
à)
î
í
ì
=+
=-
;3710
,725
yx
yx
á)
î
í
ì
=-
=-
;2001435
,425
yx
yx
â)
î
í
ì
-=+
-=+
.5,115,15
,3,21,32,0
yx
yx
q à) Íàõîäèì îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû:
.552035
710
25
=+=
-
=D
êàæäóþ èç êîòîðûõ íåòðóäíî ðåøèòü ìåòîäîì ïîä-
ñòàíîâêè (âûðàçèâ, íàïðèìåð, ó ÷åðåç õ èç ïåðâîãî
óðàâíåíèÿ). Ïåðâàÿ ñèñòåìà íå èìååò ðåøåíèé, à âòî-
ðàÿ èìååò äâà ðåøåíèÿ: (3; 4) è (4; 3). Îíè è ÿâëÿþò-
ñÿ ðåøåíèÿìè èñõîäíîé ñèñòåìû (1). n
174. Îïðåäåëèòåëè âòîðîãî ïîðÿäêà. Èññëåäî-
âàíèå ñèñòåì äâóõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïå-
ðåìåííûìè. Â òåîðèè ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
óäîáíî èñïîëüçîâàòü ïîíÿòèå îïðåäåëèòåëÿ. Îïðåäå-
ëèòåëåì âòîðîãî ïîðÿäêà íàçûâàåòñÿ ÷èñëî, îïðå-
äåëÿåìîå ðàâåíñòâîì
.
12212211
2221
1211
aaaa
aa
aa
-=
×èñëà
22211211
,,,
aaaa
íàçûâàþò ýëåìåíòàìè îï-
ðåäåëèòåëÿ; ïðè ýòîì ýëåìåíòû
11
a
è
22
a
îáðàçóþò
ãëàâíóþ äèàãîíàëü, à ýëåìåíòû
12
a
è
21
a
ïî-
áî÷íóþ äèàãîíàëü. Òàêèì îáðàçîì, îïðåäåëèòåëü
âòîðîãî ïîðÿäêà ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ýëåìåíòîâ ãëàâ-
íîé äèàãîíàëè ìèíóñ ïðîèçâåäåíèå ýëåìåíòîâ ïîáî÷-
íîé äèàãîíàëè.
Íàïðèìåð,
.377382
83
72
-=×-×-=
-
Ïóñòü äàíà ñèñòåìà äâóõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè:
î
í
ì
=+
=+
.
,
22212
11211
byaxa
byaxa
(1)
21
21
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé
ÀËÃÅÁÐÀ
233232
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
Äàëåå íàõîäèì
,065,3565,35
5,155,11
1,33,2
=+-=
-
-
=D
x
.03,23,2
5,111
3,22,0
=+-=
-
-
=D
y
Çíà÷èò, ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ íåîïðåäåëåííîé (ýòî
âèäíî è èç òîãî, ÷òî âñå êîýôôèöèåíòû ñèñòåìû ïðî-
ïîðöèîíàëüíû: âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû ïîëó÷àåò-
ñÿ èç ïåðâîãî óìíîæåíèåì íà 5). Ãåîìåòðè÷åñêè ýòî
îçíà÷àåò, ÷òî äàííûå ïðÿìûå ñîâïàäàþò. n
175. Ñèììåòðè÷åñêèå ñèñòåìû. Ìíîãî÷ëåí
),( yxP
íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷åñêèì, åñëè ïðè çà-
ìåíå õ íà ó è ó íà õ âûðàæåíèå
),( yxP
íå èçìåíÿåò-
ñÿ. Íàïðèìåð, ìíîãî÷ëåíû
33
1
3
)
,
(
yxyxyxP ++=
è
yxyxyxP
44
)
,
(
22
2
+++=
ÿâëÿþòñÿ ñèììåòðè÷åñ-
êèìè.
Ñèñòåìà óðàâíåíèé íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷åñêîé,
åñëè îáà åå óðàâíåíèÿ ñèììåòðè÷åñêèå. Ñèììåò-
ðè÷åñêóþ ñèñòåìó ìîæíî ðåøèòü ìåòîäîì çàìåíû
ïåðåìåííûõ, åñëè â êà÷åñòâå íîâûõ ïåðåìåííûõ âûá-
ðàòü îñíîâíûå ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû, ò. å.
õ + ó è õó.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
ï
î
ï
í
ì
=++
=++
.5
,17
3333
yxyx
yyxx
q Ýòî ñèììåòðè÷åñêàÿ ñèñòåìà. Ïîëîæèì õ +
+ ó = è, õó = v. Òàê êàê
-+=+
233
()(
xyxyx
-=-=-++=+-
3222
)3()3)(()()
uvuuxyyxyxyxy
Çàìåíèâ òåïåðü â íåì ïåðâûé ñòîëáåö ñòîëáöîì
ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ, ïîëó÷èì
.55649
73
27
=+=
-
=D
x
Àíàëîãè÷íî èìååì
.557015
310
75
-=-==D
y
Òåïåðü ïî ôîðìóëå (2) íàõîäèì
=== yx ,1
55
55
,1
55
55
-=
-
=
ò. å. (1; 1) ðåøåíèå ñèñòåìû. Ãåî-
ìåòðè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðÿìûå, çàäàþùèå
óðàâíåíèÿ ñèñòåìû, ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå (1; 1).
á) Íàéäåì îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû:
.07070
1435
25
=+-=
-
-
=D
Òåïåðü âû÷èñëèì
;
x
D
èìååì
.040056
14200
24
¹+-=
-
-
=D
x
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñèñòåìà íåñîâìåñòíà. Ýòîò
âûâîä ìîæíî áûëî ñäåëàòü áåç ïîìîùè îïðåäåëèòå-
ëåé, åñëè çàìåòèòü, ÷òî â äàííîé ñèñòåìå êîýôôèöè-
åíòû ïðè õ è ó ïðîïîðöèîíàëüíû, à ñâîáîäíûå ÷ëåíû
èì íå ïðîïîðöèîíàëüíû: 5 : 35 = (2) : ( 14) ¹
¹ 4 : 200. Ãåîìåòðè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äàííûå
ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû.
â) Èìååì
.01,31,3
5,151
1,32,0
=-==D
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé
ÀËÃÅÁÐÀ
233232
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
Äàëåå íàõîäèì
,065,3565,35
5,155,11
1,33,2
=+-=
-
-
=D
x
.03,23,2
5,111
3,22,0
=+-=
-
-
=D
y
Çíà÷èò, ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ íåîïðåäåëåííîé (ýòî
âèäíî è èç òîãî, ÷òî âñå êîýôôèöèåíòû ñèñòåìû ïðî-
ïîðöèîíàëüíû: âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû ïîëó÷àåò-
ñÿ èç ïåðâîãî óìíîæåíèåì íà 5). Ãåîìåòðè÷åñêè ýòî
îçíà÷àåò, ÷òî äàííûå ïðÿìûå ñîâïàäàþò. n
175. Ñèììåòðè÷åñêèå ñèñòåìû. Ìíîãî÷ëåí
),( yxP
íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷åñêèì, åñëè ïðè çà-
ìåíå õ íà ó è ó íà õ âûðàæåíèå
),( yxP
íå èçìåíÿåò-
ñÿ. Íàïðèìåð, ìíîãî÷ëåíû
33
1
3
)
,
(
yxyxyxP ++=
è
yxyxyxP
44
)
,
(
22
2
+++=
ÿâëÿþòñÿ ñèììåòðè÷åñ-
êèìè.
Ñèñòåìà óðàâíåíèé íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷åñêîé,
åñëè îáà åå óðàâíåíèÿ ñèììåòðè÷åñêèå. Ñèììåò-
ðè÷åñêóþ ñèñòåìó ìîæíî ðåøèòü ìåòîäîì çàìåíû
ïåðåìåííûõ, åñëè â êà÷åñòâå íîâûõ ïåðåìåííûõ âûá-
ðàòü îñíîâíûå ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû, ò. å.
õ + ó è õó.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
ï
î
ï
í
ì
=++
=++
.5
,17
3333
yxyx
yyxx
q Ýòî ñèììåòðè÷åñêàÿ ñèñòåìà. Ïîëîæèì õ +
+ ó = è, õó = v. Òàê êàê
-+=+
233
()(
xyxyx
-=-=-++=+-
3222
)3()3)(()()
uvuuxyyxyxyxy
Çàìåíèâ òåïåðü â íåì ïåðâûé ñòîëáåö ñòîëáöîì
ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ, ïîëó÷èì
.55649
73
27
=+=
-
=D
x
Àíàëîãè÷íî èìååì
.557015
310
75
-=-==D
y
Òåïåðü ïî ôîðìóëå (2) íàõîäèì
=== yx ,1
55
55
,1
55
55
-=
-
=
ò. å. (1; 1) ðåøåíèå ñèñòåìû. Ãåî-
ìåòðè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðÿìûå, çàäàþùèå
óðàâíåíèÿ ñèñòåìû, ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå (1; 1).
á) Íàéäåì îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû:
.07070
1435
25
=+-=
-
-
=D
Òåïåðü âû÷èñëèì
;
x
D
èìååì
.040056
14200
24
¹+-=
-
-
=D
x
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñèñòåìà íåñîâìåñòíà. Ýòîò
âûâîä ìîæíî áûëî ñäåëàòü áåç ïîìîùè îïðåäåëèòå-
ëåé, åñëè çàìåòèòü, ÷òî â äàííîé ñèñòåìå êîýôôèöè-
åíòû ïðè õ è ó ïðîïîðöèîíàëüíû, à ñâîáîäíûå ÷ëåíû
èì íå ïðîïîðöèîíàëüíû: 5 : 35 = (2) : ( 14) ¹
¹ 4 : 200. Ãåîìåòðè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äàííûå
ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû.
â) Èìååì
.01,31,3
5,151
1,32,0
=-==D
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé
ÀËÃÅÁÐÀ
235234
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
åòñÿ ãèïåðáîëà
x
y
12
=
(ñì. ï. 75). Ïîñòðîèâ ãðàôè-
êè â îäíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò (ðèñ. 75), íàéäåì êîîð-
äèíàòû òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ îêðóæíîñòè è ãèïåðáî-
ëû: À (4; 3),  (3; 4), Ñ (4; 3), D (3; 4). Çíà÷èò,
(4; 3), (3; 4), (4; 3), (3; 4) ðåøåíèÿ äàííîé ñèñ-
òåìû. n
177. Ñèñòåìû òðåõ óðàâíåíèé ñ òðåìÿ ïåðåìåí-
íûìè. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó òðåõ óðàâíåíèé ñ
òðåìÿ ïåðåìåííûìè
ï
î
ï
í
ì
=
=
=
.0
)
,,
(
,0
)
,,
(
,0
)
,,
(
zyxh
zyxg
zyxf
,3uv-
òî çàäàííàÿ ñèñòåìà ïðèìåò âèä
ï
î
ï
í
ì
=+
=+-
.5
,173
33
vu
vuvu
Èç ýòîé ñèñòåìû, êîòîðóþ ëåãêî ðåøèòü ìåòîäîì
ïîäñòàíîâêè, íàõîäèì
2,3
11
== vu
è
,2
2
=u
.3
2
=v
Îñòàåòñÿ ðåøèòü ñîâîêóïíîñòü ñèñòåì
î
í
ì
=
=+
î
í
ì
=
=+
.3
,2
;2
,3
xy
yx
xy
yx
Ïåðâàÿ èìååò ðåøåíèÿ (1; 2) è (2; 1), à âòîðàÿ íå
èìååò ðåøåíèé. Èòàê, (1; 2), (2; 1) ðåøåíèÿ äàííîé
ñèñòåìû. n
176. Ãðàôè÷åñêîå ðåøåíèå ñèñòåì äâóõ óðàâíå-
íèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè. ×òîáû ãðàôè÷åñêè ðå-
øèòü ñèñòåìó äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííû-
ìè, íóæíî â îäíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ïîñòðîèòü ãðà-
ôèêè óðàâíåíèé è íàéòè êîîðäèíàòû òî÷åê ïåðåñå-
÷åíèÿ ýòèõ ãðàôèêîâ.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ãðàôè÷åñêè ñèñòåìó óðàâíå-
íèé
ï
î
ï
í
ì
=
=+
.12
,25
22
xy
yx
q Ãðàôèêîì óðàâíåíèÿ
25
22
=+ yx
ÿâëÿåòñÿ îê-
ðóæíîñòü ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò è ðàäèó-
ñîì, ðàâíûì 5. Ãðàôèêîì óðàâíåíèÿ õó = 12 ÿâëÿ-
Ðèñ. 75
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé
ÀËÃÅÁÐÀ
235234
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
åòñÿ ãèïåðáîëà
x
y
12
=
(ñì. ï. 75). Ïîñòðîèâ ãðàôè-
êè â îäíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò (ðèñ. 75), íàéäåì êîîð-
äèíàòû òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ îêðóæíîñòè è ãèïåðáî-
ëû: À (4; 3),  (3; 4), Ñ (4; 3), D (3; 4). Çíà÷èò,
(4; 3), (3; 4), (4; 3), (3; 4) ðåøåíèÿ äàííîé ñèñ-
òåìû. n
177. Ñèñòåìû òðåõ óðàâíåíèé ñ òðåìÿ ïåðåìåí-
íûìè. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó òðåõ óðàâíåíèé ñ
òðåìÿ ïåðåìåííûìè
ï
î
ï
í
ì
=
=
=
.0
)
,,
(
,0
)
,,
(
,0
)
,,
(
zyxh
zyxg
zyxf
,3uv-
òî çàäàííàÿ ñèñòåìà ïðèìåò âèä
ï
î
ï
í
ì
=+
=+-
.5
,173
33
vu
vuvu
Èç ýòîé ñèñòåìû, êîòîðóþ ëåãêî ðåøèòü ìåòîäîì
ïîäñòàíîâêè, íàõîäèì
2,3
11
== vu
è
,2
2
=u
.3
2
=v
Îñòàåòñÿ ðåøèòü ñîâîêóïíîñòü ñèñòåì
î
í
ì
=
=+
î
í
ì
=
=+
.3
,2
;2
,3
xy
yx
xy
yx
Ïåðâàÿ èìååò ðåøåíèÿ (1; 2) è (2; 1), à âòîðàÿ íå
èìååò ðåøåíèé. Èòàê, (1; 2), (2; 1) ðåøåíèÿ äàííîé
ñèñòåìû. n
176. Ãðàôè÷åñêîå ðåøåíèå ñèñòåì äâóõ óðàâíå-
íèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè. ×òîáû ãðàôè÷åñêè ðå-
øèòü ñèñòåìó äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííû-
ìè, íóæíî â îäíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ïîñòðîèòü ãðà-
ôèêè óðàâíåíèé è íàéòè êîîðäèíàòû òî÷åê ïåðåñå-
÷åíèÿ ýòèõ ãðàôèêîâ.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ãðàôè÷åñêè ñèñòåìó óðàâíå-
íèé
ï
î
ï
í
ì
=
=+
.12
,25
22
xy
yx
q Ãðàôèêîì óðàâíåíèÿ
25
22
=+ yx
ÿâëÿåòñÿ îê-
ðóæíîñòü ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò è ðàäèó-
ñîì, ðàâíûì 5. Ãðàôèêîì óðàâíåíèÿ õó = 12 ÿâëÿ-
Ðèñ. 75