Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл
Подождите немного. Документ загружается.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
217216
.,2
3
1
arctg2 ZÎp+= nn
Ïðîâåðêîé óáåæäàåìñÿ, ÷òî
çíà÷åíèÿ
nx p+p= 2
íå óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ
(2). Èòàê,
.,2
3
1
arctg2 ZÎp+= nnx
n
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå
.012cos2sin3 =++ xx
q Âîñïîëüçóåìñÿ óíèâåðñàëüíîé ïîäñòàíîâêîé.
Âûðàçèâ
x2sin
è
x2cos
÷åðåç
xtg
è ïîëàãàÿ =xtg
,
u=
ïîëó÷èì ðàöèîíàëüíîå óðàâíåíèå
,01
1
1
1
6
2
2
2
=+
+
-
+
+ u
u
u
u
îòêóäà
.
3
1
-=u
Äàëåå, èç óðàâíåíèÿ
3
1
tg -=x
íàõî-
äèì
.,
3
1
arctg ZÎp+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-= kkx
Îäíàêî íóæíî åùå ïðîâåðèòü, íå óäîâëåòâîðÿþò
ëè çàäàííîìó óðàâíåíèþ òå çíà÷åíèÿ õ, ïðè êîòîðûõ
,22 nx p+p=
ò. å. çíà÷åíèÿ
.
2
nx p+
p
=
Èìååì
=+p+p+p+p 1)2(cos)2(sin3 nn
,011031cossin3 =+-×=+p+p=
ò. å. çíà÷åíèÿ
np+
p
2
òàêæå ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè
163. Óíèâåðñàëüíàÿ ïîäñòàíîâêà. Èçâåñòíî (ñì.
ï. 84), ÷òî
xsin
è
xcos
âûðàæàþòñÿ ðàöèîíàëüíî
÷åðåç
,
2
tg
x
à èìåííî:
,
2
tg1
2
tg1
cos,
2
tg1
2
tg2
sin
2
2
2
x
x
x
x
x
x
+
-
=
+
=
(1)
ãäå
.2 nx p+p¹
Ïîäñòàíîâêà
u
x
=
2
tg
íàçûâàåòñÿ
óíèâåðñàëüíîé. Åå ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðè ðåøå-
íèè ëþáîãî óðàâíåíèÿ âèäà
.0)cos,(sin =xxR
Ïîñêîëüêó èñïîëüçîâàíèå óíèâåðñàëüíîé ïîäñòà-
íîâêè âîçìîæíî ëèøü ïðè
,2 nx p+p¹
íóæíî ïðîâå-
ðÿòü, íå ÿâëÿþòñÿ ëè ÷èñëà âèäà
nx p+p= 2
ðåøå-
íèÿìè çàäàííîãî óðàâíåíèÿ.
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå
.5cos4sin3 =+ xx
(2)
q Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (1) è ïîëàãàÿ
,
2
tg u
x
=
ïðè-
äåì ê ðàöèîíàëüíîìó óðàâíåíèþ
.5
1
1
4
1
2
3
2
2
2
=
+
-
×+
+
×
u
u
u
u
Ðåøèâ åãî, íàõîäèì
.
3
1
=u
Äàëåå, èç óðàâíåíèÿ
3
1
2
tg =
x
ñëåäóåò, ÷òî
,
3
1
arctg
2
n
x
p+=
ò. å. =x
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
217216
.,2
3
1
arctg2 ZÎp+= nn
Ïðîâåðêîé óáåæäàåìñÿ, ÷òî
çíà÷åíèÿ
nx p+p= 2
íå óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ
(2). Èòàê,
.,2
3
1
arctg2 ZÎp+= nnx
n
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå
.012cos2sin3 =++ xx
q Âîñïîëüçóåìñÿ óíèâåðñàëüíîé ïîäñòàíîâêîé.
Âûðàçèâ
x2sin
è
x2cos
÷åðåç
xtg
è ïîëàãàÿ =xtg
,
u=
ïîëó÷èì ðàöèîíàëüíîå óðàâíåíèå
,01
1
1
1
6
2
2
2
=+
+
-
+
+ u
u
u
u
îòêóäà
.
3
1
-=u
Äàëåå, èç óðàâíåíèÿ
3
1
tg -=x
íàõî-
äèì
.,
3
1
arctg ZÎp+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-= kkx
Îäíàêî íóæíî åùå ïðîâåðèòü, íå óäîâëåòâîðÿþò
ëè çàäàííîìó óðàâíåíèþ òå çíà÷åíèÿ õ, ïðè êîòîðûõ
,22 nx p+p=
ò. å. çíà÷åíèÿ
.
2
nx p+
p
=
Èìååì
=+p+p+p+p 1)2(cos)2(sin3 nn
,011031cossin3 =+-×=+p+p=
ò. å. çíà÷åíèÿ
np+
p
2
òàêæå ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè
163. Óíèâåðñàëüíàÿ ïîäñòàíîâêà. Èçâåñòíî (ñì.
ï. 84), ÷òî
xsin
è
xcos
âûðàæàþòñÿ ðàöèîíàëüíî
÷åðåç
,
2
tg
x
à èìåííî:
,
2
tg1
2
tg1
cos,
2
tg1
2
tg2
sin
2
2
2
x
x
x
x
x
x
+
-
=
+
=
(1)
ãäå
.2 nx p+p¹
Ïîäñòàíîâêà
u
x
=
2
tg
íàçûâàåòñÿ
óíèâåðñàëüíîé. Åå ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðè ðåøå-
íèè ëþáîãî óðàâíåíèÿ âèäà
.0)cos,(sin =xxR
Ïîñêîëüêó èñïîëüçîâàíèå óíèâåðñàëüíîé ïîäñòà-
íîâêè âîçìîæíî ëèøü ïðè
,2 nx p+p¹
íóæíî ïðîâå-
ðÿòü, íå ÿâëÿþòñÿ ëè ÷èñëà âèäà
nx p+p= 2
ðåøå-
íèÿìè çàäàííîãî óðàâíåíèÿ.
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå
.5cos4sin3 =+ xx
(2)
q Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (1) è ïîëàãàÿ
,
2
tg u
x
=
ïðè-
äåì ê ðàöèîíàëüíîìó óðàâíåíèþ
.5
1
1
4
1
2
3
2
2
2
=
+
-
×+
+
×
u
u
u
u
Ðåøèâ åãî, íàõîäèì
.
3
1
=u
Äàëåå, èç óðàâíåíèÿ
3
1
2
tg =
x
ñëåäóåò, ÷òî
,
3
1
arctg
2
n
x
p+=
ò. å. =x
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
219218
,1)(sin =j+x
îòêóäà
.2
2
j-p+
p
= nx
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
,
17
8
arcsin=j
îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì ðåøåíèå äàí-
íîãî óðàâíåíèÿ:
.,2
17
8
arcsin
2
ZÎp+-
p
= nnx
n
165. Ãðàôè÷åñêîå ðåøåíèå óðàâíåíèé. Íà ïðàê-
òèêå äîâîëüíî ÷àñòî îêàçûâàåòñÿ ïîëåçíûì ãðàôè-
÷åñêèé ìåòîä ðåøåíèÿ óðàâíåíèé.Îí çàêëþ÷àåòñÿ
â ñëåäóþùåì: äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ
0)( =xf
ñòðî-
ÿò ãðàôèê ôóíêöèè
)(xfy =
è íàõîäÿò àáñöèññû òî-
÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ãðàôèêà ñ îñüþ Îõ; ýòè àáñöèññû è
ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè óðàâíåíèÿ.
Íàïðèìåð, ãðàôèê ôóíêöèè ó = 0,5õ
2
õ + 4
(ñì. ðèñ. 64) ïåðåñåêàåò îñü Îõ â òî÷êàõ (4; 0) è
(2; 0), çíà÷èò, óðàâíåíèå 0,5 õ
2
õ + 4 = 0 èìååò äâà
êîðíÿ: õ
1
= 4 è õ
2
= 2. Ãðàôèê ôóíêöèè ó = õ
2
4õ +
+ 5 íå ïåðåñåêàåò îñü Îõ, ïîýòîìó óðàâíåíèå õ
2
4õ +
+ 5 = 0 íå èìååò êîðíåé.
×àñòî óðàâíåíèå
0)( =xf
çàìåíÿþò ðàâíîñèëü-
íûì
),()( xhxg =
ñòðîÿò ãðàôèêè ôóíêöèé
)(xgy =
è
)(xhy =
(åñëè ýòî ïðîùå, ÷åì ïîñòðîåíèå ãðàôèêà
ôóíêöèè
)(xfy =
) è íàõîäÿò àáñöèññû òî÷åê ïåðå-
ñå÷åíèÿ ïîñòðîåííûõ ãðàôèêîâ.
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü ãðàôè÷åñêè óðàâíåíèå
.2-= xx
óðàâíåíèÿ. Èòàê, çàäàííîå óðàâíåíèå èìååò ñëåäóþ-
ùèå ðåøåíèÿ:
.,;
2
,
3
1
arctg ZÎp+
p
=p+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-= nknxkx
n
164. Ìåòîä ââåäåíèÿ âñïîìîãàòåëüíîãî àðãóìåí-
òà. Èíîãäà ïðè ðåøåíèè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâ-
íåíèé îêàçûâàåòñÿ ïîëåçíûì çàìåíèòü âûðàæåíèå
xbxa sincos +
íà
),(cos j+xA
ãäå
,
22
baA +=
2222
cos,sin
ba
b
ba
a
+
=
j
+
=
j
(ñì. ï. 87). Â ýòîì
ñëó÷àå
j
íàçûâàþò âñïîìîãàòåëüíûì àðãóìåí-
òîì.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå
.17sin15cos8 =+ xx
q Ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè äàííîãî óðàâíåíèÿ íà
,17158
22
=+
ïîëó÷èì
.1sin
17
15
cos
17
8
=+ xx
(1)
Òàê êàê
,1
17
15
17
8
22
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
òî ñóùåñòâóåò òàêîå
j
, ÷òî
j= sin
17
8
è
.cos
17
15
j=
Ïåðåïèøåì óðàâíå-
íèå (1) ñëåäóþùèì îáðàçîì: sin j cos x + s i n x cos j =
= 1. Íî
).(sincossincossin j+=j+j xxx
Çíà÷èò,
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
219218
,1)(sin =j+x
îòêóäà
.2
2
j-p+
p
= nx
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
,
17
8
arcsin=j
îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì ðåøåíèå äàí-
íîãî óðàâíåíèÿ:
.,2
17
8
arcsin
2
ZÎp+-
p
= nnx
n
165. Ãðàôè÷åñêîå ðåøåíèå óðàâíåíèé. Íà ïðàê-
òèêå äîâîëüíî ÷àñòî îêàçûâàåòñÿ ïîëåçíûì ãðàôè-
÷åñêèé ìåòîä ðåøåíèÿ óðàâíåíèé.Îí çàêëþ÷àåòñÿ
â ñëåäóþùåì: äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ
0)( =xf
ñòðî-
ÿò ãðàôèê ôóíêöèè
)(xfy =
è íàõîäÿò àáñöèññû òî-
÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ãðàôèêà ñ îñüþ Îõ; ýòè àáñöèññû è
ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè óðàâíåíèÿ.
Íàïðèìåð, ãðàôèê ôóíêöèè ó = 0,5õ
2
õ + 4
(ñì. ðèñ. 64) ïåðåñåêàåò îñü Îõ â òî÷êàõ (4; 0) è
(2; 0), çíà÷èò, óðàâíåíèå 0,5 õ
2
õ + 4 = 0 èìååò äâà
êîðíÿ: õ
1
= 4 è õ
2
= 2. Ãðàôèê ôóíêöèè ó = õ
2
4õ +
+ 5 íå ïåðåñåêàåò îñü Îõ, ïîýòîìó óðàâíåíèå õ
2
4õ +
+ 5 = 0 íå èìååò êîðíåé.
×àñòî óðàâíåíèå
0)( =xf
çàìåíÿþò ðàâíîñèëü-
íûì
),()( xhxg =
ñòðîÿò ãðàôèêè ôóíêöèé
)(xgy =
è
)(xhy =
(åñëè ýòî ïðîùå, ÷åì ïîñòðîåíèå ãðàôèêà
ôóíêöèè
)(xfy =
) è íàõîäÿò àáñöèññû òî÷åê ïåðå-
ñå÷åíèÿ ïîñòðîåííûõ ãðàôèêîâ.
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü ãðàôè÷åñêè óðàâíåíèå
.2-= xx
óðàâíåíèÿ. Èòàê, çàäàííîå óðàâíåíèå èìååò ñëåäóþ-
ùèå ðåøåíèÿ:
.,;
2
,
3
1
arctg ZÎp+
p
=p+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-= nknxkx
n
164. Ìåòîä ââåäåíèÿ âñïîìîãàòåëüíîãî àðãóìåí-
òà. Èíîãäà ïðè ðåøåíèè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâ-
íåíèé îêàçûâàåòñÿ ïîëåçíûì çàìåíèòü âûðàæåíèå
xbxa sincos +
íà
),(cos j+xA
ãäå
,
22
baA +=
2222
cos,sin
ba
b
ba
a
+
=
j
+
=
j
(ñì. ï. 87). Â ýòîì
ñëó÷àå
j
íàçûâàþò âñïîìîãàòåëüíûì àðãóìåí-
òîì.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå
.17sin15cos8 =+ xx
q Ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè äàííîãî óðàâíåíèÿ íà
,17158
22
=+
ïîëó÷èì
.1sin
17
15
cos
17
8
=+ xx
(1)
Òàê êàê
,1
17
15
17
8
22
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
òî ñóùåñòâóåò òàêîå
j
, ÷òî
j= sin
17
8
è
.cos
17
15
j=
Ïåðåïèøåì óðàâíå-
íèå (1) ñëåäóþùèì îáðàçîì: sin j cos x + s i n x cos j =
= 1. Íî
).(sincossincossin j+=j+j xxx
Çíà÷èò,
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
221220
Òîãäà óðàâíåíèå
axf =)(
èìååò åäèíñòâåííûé êî-
ðåíü â ïðîìåæóòêå Õ.
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü ãðàôè÷åñêè óðàâíåíèå
.62 x
x
-=
q Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî õ = 2 êîðåíü óðàâíå-
íèÿ. Òàê êàê ôóíêöèÿ ó = 2
õ
âîçðàñòàåò, à ôóíêöèÿ
ó = 6 õ óáûâàåò, òî äðóãèõ êîðíåé ýòî óðàâíåíèå
íå èìååò (ðèñ. 72). n
166. Óðàâíåíèÿ ñ ïàðàìåòðîì. Ïóñòü äàíî
ðàâåíñòâî ñ ïåðåìåííûìè õ, à:
.0);( =axf
Åñëè
ñòàâèòñÿ çàäà÷à äëÿ êàæäîãî äåéñòâèòåëüíîãî çíà÷å-
íèÿ à ðåøèòü ýòî óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî õ, òî
óðàâíåíèå f (x; a) = 0 íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ñ
ïåðåìåííîé õ è ïàðàìåòðîì à. Ðåøèòü óðàâíå-
íèå ñ ïàðàìåòðîì à ýòî çíà÷èò äëÿ êàæäîãî
çíà÷åíèÿ à íàéòè çíà÷åíèÿ õ, óäîâëåòâîðÿþùèå
ýòîìó óðàâíåíèþ.
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå
.2)2(2 -=- axaa
(1)
q Ðàññìîòðèì ïðåæäå âñåãî òå çíà÷åíèÿ ïàðà-
ìåòðà, êîòîðûå îáðàùàþò â íóëü êîýôôèöèåíò ïðè
õ (ïðè ýòèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà íåâîçìîæíî äåëå-
íèå îáåèõ ÷àñòåé óðàâíåíèÿ íà êîýôôèöèåíò ïðè õ,
à ïðè îñòàëüíûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà òàêîå äåëå-
íèå âîçìîæíî). Òàêèìè çíà÷åíèÿìè ÿâëÿþòñÿ à = 0,
à = 2. Ïðè à = 0 óðàâíåíèå (1) ïðèíèìàåò âèä 0 · õ =
= 2. Ýòî óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé. Ïðè à = 2
óðàâíåíèå (1) ïðèíèìàåò âèä 0 · õ = 0, åãî êîðíåì
ñëóæèò ëþáîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî. Ïðè
0¹a
è
q Ïîñòðîèì â îäíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ãðàôèêè
ôóíêöèé
xy =
è
2-= xy
(ðèñ. 71). Îíè ïåðåñå-
êàþòñÿ â äâóõ òî÷êàõ ñ àáñöèññàìè
.4,1
21
== xx
Ýòî äâà êîðíÿ äàííîãî óðàâíåíèÿ. n
Ñ ãðàôè÷åñêèì ìåòîäîì ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ
f(x) = g(x) ñâÿçàíû è íåêîòîðûå ôóíêöèîíàëüíûå
ìåòîäû, îñíîâàííûå íà èñïîëüçîâàíèè ðàçëè÷íûõ
ñâîéñòâ ôóíêöèé f(x) è g(x). Óêàæåì äâå òåîðåìû,
ëåæàùèå â îñíîâå ýòèõ ìåòîäîâ.
Ò.4.7. Åñëè îäíà èç ôóíêöèé
)(),( xgxf
óáûâàåò, à
äðóãàÿ âîçðàñòàåò â îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ óðàâ-
íåíèÿ f(x) = g(x), òî ýòî óðàâíåíèå ëèáî íå èìååò
êîðíåé, ëèáî èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü.
Ò.4.8. Ïóñòü ôóíêöèÿ
)(xf
âîçðàñòàåò (óáûâàåò)
íà ïðîìåæóòêå Õ, ÷èñëî à ëþáîå èç çíà÷åíèé,
ïðèíèìàåìûõ ôóíêöèåé
f
â ýòîì ïðîìåæóòêå.
Ðèñ. 71 Ðèñ. 72
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
221220
Òîãäà óðàâíåíèå
axf =)(
èìååò åäèíñòâåííûé êî-
ðåíü â ïðîìåæóòêå Õ.
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü ãðàôè÷åñêè óðàâíåíèå
.62 x
x
-=
q Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî õ = 2 êîðåíü óðàâíå-
íèÿ. Òàê êàê ôóíêöèÿ ó = 2
õ
âîçðàñòàåò, à ôóíêöèÿ
ó = 6 õ óáûâàåò, òî äðóãèõ êîðíåé ýòî óðàâíåíèå
íå èìååò (ðèñ. 72). n
166. Óðàâíåíèÿ ñ ïàðàìåòðîì. Ïóñòü äàíî
ðàâåíñòâî ñ ïåðåìåííûìè õ, à:
.0);( =axf
Åñëè
ñòàâèòñÿ çàäà÷à äëÿ êàæäîãî äåéñòâèòåëüíîãî çíà÷å-
íèÿ à ðåøèòü ýòî óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî õ, òî
óðàâíåíèå f (x; a) = 0 íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ñ
ïåðåìåííîé õ è ïàðàìåòðîì à. Ðåøèòü óðàâíå-
íèå ñ ïàðàìåòðîì à ýòî çíà÷èò äëÿ êàæäîãî
çíà÷åíèÿ à íàéòè çíà÷åíèÿ õ, óäîâëåòâîðÿþùèå
ýòîìó óðàâíåíèþ.
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå
.2)2(2 -=- axaa
(1)
q Ðàññìîòðèì ïðåæäå âñåãî òå çíà÷åíèÿ ïàðà-
ìåòðà, êîòîðûå îáðàùàþò â íóëü êîýôôèöèåíò ïðè
õ (ïðè ýòèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà íåâîçìîæíî äåëå-
íèå îáåèõ ÷àñòåé óðàâíåíèÿ íà êîýôôèöèåíò ïðè õ,
à ïðè îñòàëüíûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà òàêîå äåëå-
íèå âîçìîæíî). Òàêèìè çíà÷åíèÿìè ÿâëÿþòñÿ à = 0,
à = 2. Ïðè à = 0 óðàâíåíèå (1) ïðèíèìàåò âèä 0 · õ =
= 2. Ýòî óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé. Ïðè à = 2
óðàâíåíèå (1) ïðèíèìàåò âèä 0 · õ = 0, åãî êîðíåì
ñëóæèò ëþáîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî. Ïðè
0¹a
è
q Ïîñòðîèì â îäíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ãðàôèêè
ôóíêöèé
xy =
è
2-= xy
(ðèñ. 71). Îíè ïåðåñå-
êàþòñÿ â äâóõ òî÷êàõ ñ àáñöèññàìè
.4,1
21
== xx
Ýòî äâà êîðíÿ äàííîãî óðàâíåíèÿ. n
Ñ ãðàôè÷åñêèì ìåòîäîì ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ
f(x) = g(x) ñâÿçàíû è íåêîòîðûå ôóíêöèîíàëüíûå
ìåòîäû, îñíîâàííûå íà èñïîëüçîâàíèè ðàçëè÷íûõ
ñâîéñòâ ôóíêöèé f(x) è g(x). Óêàæåì äâå òåîðåìû,
ëåæàùèå â îñíîâå ýòèõ ìåòîäîâ.
Ò.4.7. Åñëè îäíà èç ôóíêöèé
)(),( xgxf
óáûâàåò, à
äðóãàÿ âîçðàñòàåò â îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ óðàâ-
íåíèÿ f(x) = g(x), òî ýòî óðàâíåíèå ëèáî íå èìååò
êîðíåé, ëèáî èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü.
Ò.4.8. Ïóñòü ôóíêöèÿ
)(xf
âîçðàñòàåò (óáûâàåò)
íà ïðîìåæóòêå Õ, ÷èñëî à ëþáîå èç çíà÷åíèé,
ïðèíèìàåìûõ ôóíêöèåé
f
â ýòîì ïðîìåæóòêå.
Ðèñ. 71 Ðèñ. 72
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 15. Óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè
ÀËÃÅÁÐÀ
223222
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
òî õ = 7/6; åñëè à = 4/5, òî õ = 1/3; åñëè
5/4->a
è
,1¹a
òî
.
1
45)12(
-
+±+-
=
a
aa
x
n
§ 15. Óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè
167. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè.
Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè
.0),( =yxf
Ïàðà çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ, îáðàùàþùàÿ óðàâíå-
íèå ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè â âåðíîå ðàâåíñòâî, íàçû-
âàåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ. Åñëè äàíî óðàâíåíèå
ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè õ è ó, òî ïðèíÿòî â çàïèñè åãî
ðåøåíèÿ íà ïåðâîå ìåñòî ñòàâèòü çíà÷åíèå ïåðåìåí-
íîé õ, à íà âòîðîå çíà÷åíèå ó.
Òàê, ïàðû (10; 0), (16; 2), (2; 4) ÿâëÿþòñÿ ðåøå-
íèÿìè óðàâíåíèÿ õ 3ó = 10, à ïàðà (1; 5) åãî ðåøå-
íèåì íå ÿâëÿåòñÿ.
Ýòî óðàâíåíèå èìååò è äðóãèå ðåøåíèÿ. Äëÿ èõ
îòûñêàíèÿ óäîáíî âûðàçèòü îäíó ïåðåìåííóþ ÷åðåç
äðóãóþ, íàïðèìåð õ ÷åðåç ó, ïîëó÷èâ óðàâíåíèå õ =
= 10 + 3ó. Âûáðàâ ïðîèçâîëüíîå çíà÷åíèå ó, âû÷èñ-
ëèì ñîîòâåòñòâóþùåå çíà÷åíèå õ. Òàê, åñëè ó = 7, òî
õ = 10 +3 · 7 = 31, çíà÷èò, ïàðà (31; 7) ÿâëÿåòñÿ ðåøå-
íèåì óðàâíåíèÿ.
Óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè íàçûâàþòñÿ
ðàâíîñèëüíûìè, åñëè îíè èìåþò îäíè è òå æå ðå-
øåíèÿ.
Äëÿ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè ñïðàâåäëè-
âû òåîðåìû 4.14.4 î ðàâíîñèëüíûõ ïðåîáðàçîâàíè-
ÿõ óðàâíåíèÿ (ñì. ï. 139).
2¹a
óðàâíåíèå (1) ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ê âèäó
,
)
2
(
2
2
-
-
=
aa
a
x
îòêóäà
.
2
1
a
x =
Èòàê, åñëè à = 0, òî óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé;
åñëè à = 2, òî êîðíåì ñëóæèò ëþáîå äåéñòâèòåëüíîå
÷èñëî; åñëè
0¹a
è
,2¹a
òî
.
2
1
a
x =
n
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå
.034)12(2)1(
2
=++++- axaxa
(2)
q Âûäåëèì îñîáî çíà÷åíèå ïàðàìåòðà à = 1. Äåëî
â òîì, ÷òî ïðè à = 1 óðàâíåíèå (2) íå ÿâëÿåòñÿ êâàä-
ðàòíûì, à ïðè
1¹a
îíî êâàäðàòíîå. Çíà÷èò, ðåøàòü
åãî â êàæäîì èç ýòèõ ñëó÷àåâ íàäî ïî-ñâîåìó. Ïðè
à = 1 óðàâíåíèå (2) ïðèíèìàåò âèä 6õ + 7 = 0, îòêóäà
íàõîäèì õ = 7/6.  ñëó÷àå
1¹a
äëÿ êâàäðàòíîãî
óðàâíåíèÿ (2) âûäåëèì òå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà, ïðè
êîòîðûõ äèñêðèìèíàíò îáðàùàåòñÿ â íóëü. Èìååì
0,25D = 5à + 4. Çíà÷èò, à = 4/5 çíà÷åíèå ïàðà-
ìåòðà, íà êîòîðîå íàäî îáðàòèòü âíèìàíèå.
Åñëè
,5/4-<a
òî
,0<D
è, ñëåäîâàòåëüíî, óðàâ-
íåíèå íå èìååò êîðíåé; åñëè æå
5/4->a
è
,1¹a
òî
0>D
è
;
1
45
)
12
(
-
+±+-
=
a
aa
x
íàêîíåö, åñëè
=a
,5/4-=
òî
0=D
è
,
1
12
-
+
-=
a
a
x
ò. å. õ = 1/3.
Èòàê, åñëè
,5/4-<a
òî êîðíåé íåò; åñëè à = 1,
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 15. Óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè
ÀËÃÅÁÐÀ
223222
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
òî õ = 7/6; åñëè à = 4/5, òî õ = 1/3; åñëè
5/4->a
è
,1¹a
òî
.
1
45)12(
-
+±+-
=
a
aa
x
n
§ 15. Óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè
167. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè.
Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè
.0),( =yxf
Ïàðà çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ, îáðàùàþùàÿ óðàâíå-
íèå ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè â âåðíîå ðàâåíñòâî, íàçû-
âàåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ. Åñëè äàíî óðàâíåíèå
ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè õ è ó, òî ïðèíÿòî â çàïèñè åãî
ðåøåíèÿ íà ïåðâîå ìåñòî ñòàâèòü çíà÷åíèå ïåðåìåí-
íîé õ, à íà âòîðîå çíà÷åíèå ó.
Òàê, ïàðû (10; 0), (16; 2), (2; 4) ÿâëÿþòñÿ ðåøå-
íèÿìè óðàâíåíèÿ õ 3ó = 10, à ïàðà (1; 5) åãî ðåøå-
íèåì íå ÿâëÿåòñÿ.
Ýòî óðàâíåíèå èìååò è äðóãèå ðåøåíèÿ. Äëÿ èõ
îòûñêàíèÿ óäîáíî âûðàçèòü îäíó ïåðåìåííóþ ÷åðåç
äðóãóþ, íàïðèìåð õ ÷åðåç ó, ïîëó÷èâ óðàâíåíèå õ =
= 10 + 3ó. Âûáðàâ ïðîèçâîëüíîå çíà÷åíèå ó, âû÷èñ-
ëèì ñîîòâåòñòâóþùåå çíà÷åíèå õ. Òàê, åñëè ó = 7, òî
õ = 10 +3 · 7 = 31, çíà÷èò, ïàðà (31; 7) ÿâëÿåòñÿ ðåøå-
íèåì óðàâíåíèÿ.
Óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè íàçûâàþòñÿ
ðàâíîñèëüíûìè, åñëè îíè èìåþò îäíè è òå æå ðå-
øåíèÿ.
Äëÿ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè ñïðàâåäëè-
âû òåîðåìû 4.14.4 î ðàâíîñèëüíûõ ïðåîáðàçîâàíè-
ÿõ óðàâíåíèÿ (ñì. ï. 139).
2¹a
óðàâíåíèå (1) ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ê âèäó
,
)
2
(
2
2
-
-
=
aa
a
x
îòêóäà
.
2
1
a
x =
Èòàê, åñëè à = 0, òî óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé;
åñëè à = 2, òî êîðíåì ñëóæèò ëþáîå äåéñòâèòåëüíîå
÷èñëî; åñëè
0¹a
è
,2¹a
òî
.
2
1
a
x =
n
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå
.034)12(2)1(
2
=++++- axaxa
(2)
q Âûäåëèì îñîáî çíà÷åíèå ïàðàìåòðà à = 1. Äåëî
â òîì, ÷òî ïðè à = 1 óðàâíåíèå (2) íå ÿâëÿåòñÿ êâàä-
ðàòíûì, à ïðè
1¹a
îíî êâàäðàòíîå. Çíà÷èò, ðåøàòü
åãî â êàæäîì èç ýòèõ ñëó÷àåâ íàäî ïî-ñâîåìó. Ïðè
à = 1 óðàâíåíèå (2) ïðèíèìàåò âèä 6õ + 7 = 0, îòêóäà
íàõîäèì õ = 7/6.  ñëó÷àå
1¹a
äëÿ êâàäðàòíîãî
óðàâíåíèÿ (2) âûäåëèì òå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà, ïðè
êîòîðûõ äèñêðèìèíàíò îáðàùàåòñÿ â íóëü. Èìååì
0,25D = 5à + 4. Çíà÷èò, à = 4/5 çíà÷åíèå ïàðà-
ìåòðà, íà êîòîðîå íàäî îáðàòèòü âíèìàíèå.
Åñëè
,5/4-<a
òî
,0<D
è, ñëåäîâàòåëüíî, óðàâ-
íåíèå íå èìååò êîðíåé; åñëè æå
5/4->a
è
,1¹a
òî
0>D
è
;
1
45
)
12
(
-
+±+-
=
a
aa
x
íàêîíåö, åñëè
=a
,5/4-=
òî
0=D
è
,
1
12
-
+
-=
a
a
x
ò. å. õ = 1/3.
Èòàê, åñëè
,5/4-<a
òî êîðíåé íåò; åñëè à = 1,
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé
ÀËÃÅÁÐÀ
225224
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
= 2. Ïîäñòàâèâ â óðàâíåíèå 2õ 3ó = 6 âìåñòî ó
çíà÷åíèå 0, ïîëó÷èì 2õ = 6, îòêóäà õ = 3.
Èòàê, ìû íàøëè äâå òî÷êè ãðàôèêà: (0; 2) è
(3; 0). Ïðîâåäÿ ÷åðåç íèõ ïðÿìóþ, ïîëó÷èì èñêî-
ìûé ãðàôèê. n
§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé
170. Ñèñòåìû äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåí-
íûìè. Ðàâíîñèëüíûå ñèñòåìû. Ïóñòü äàíû äâà óðàâ-
íåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè
0),( =yxf
è
.0),( =yxg
Åñëè ñòàâèòñÿ çàäà÷à íàéòè âñå îáùèå ðåøåíèÿ äâóõ
óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè, òî, ãîâîðÿò, ÷òî íàäî
ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé. Êàæäàÿ ïàðà çíà÷åíèé
ïåðåìåííûõ, îáðàùàþùàÿ â âåðíîå ðàâåíñòâî êàæäîå
óðàâíåíèå ñèñòåìû, íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû
óðàâíåíèé. Ðåøèòü ñèñòåìó çíà÷èò íàéòè âñå åå
ðåøåíèÿ èëè äîêàçàòü, ÷òî èõ íåò.
168. Ãðàôèê óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè.
Ïóñòü äàíî óðàâíåíèå ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè
=),( yxf
.0=
Åñëè âñå åãî ðåøåíèÿ èçîáðàçèòü òî÷êàìè íà
êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè, òî ïîëó÷èòñÿ íåêîòîðîå ìíî-
æåñòâî òî÷åê ïëîñêîñòè. Ýòî ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ
ãðàôèêîì óðàâíåíèÿ
.0),( =yxf
Íàïðèìåð, ãðàôèêîì óðàâíåíèÿ ó õ
2
= 0 ÿâëÿ-
åòñÿ ïàðàáîëà ó = õ
2
(ñì. ðèñ. 15); ãðàôèêîì óðàâíå-
íèÿ ó õ = 0 ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ (áèññåêòðèñà I è III
êîîðäèíàòíûõ óãëîâ; ñì. ðèñ. 14). Ãðàôèêîì óðàâ-
íåíèÿ
021 =-+- yx
ÿâëÿåòñÿ îäíà òî÷êà (1; 2),
òàê êàê êîîðäèíàòû òîëüêî ýòîé òî÷êè óäîâëåòâîðÿ-
þò óðàâíåíèþ.
169. Ëèíåéíîå óðàâíåíèå ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè
è åãî ãðàôèê. Óðàâíåíèå âèäà
,cbyax =+
ãäå õ, ó
ïåðåìåííûå, à
cba ,,
÷èñëà, íàçûâàåòñÿ ëèíåé-
íûì; ÷èñëà à è b íàçûâàþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè ïðè
ïåðåìåííûõ, ÷èñëî ñ ñâîáîäíûì ÷ëåíîì.
Ãðàôèêîì ëþáîãî ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ
+ax
,cby =+
ó êîòîðîãî õîòÿ áû îäèí èç êîýôôèöèåíòîâ
ïðè ïåðåìåííûõ îòëè÷åí îò íóëÿ, ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ;
åñëè à = 0, òî îíà ïàðàëëåëüíà îñè Îõ, åñëè b = 0, òî
îíà ïàðàëëåëüíà îñè Îó (ðèñ. 73).
Ï ð è ì å ð. Ïîñòðîèòü ãðàôèê óðàâíåíèÿ
2õ 3ó = 6.
q Ãðàôèêîì ýòîãî ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåò-
ñÿ ïðÿìàÿ.Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðÿìîé äîñòàòî÷íî çíàòü
äâå åå òî÷êè. Ïîäñòàâèâ â óðàâíåíèå 2õ 3ó = 6
âìåñòî õ çíà÷åíèå 0, ïîëó÷èì 3ó = 6, îòêóäà ó =
Ðèñ. 73 Ðèñ. 74
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé
ÀËÃÅÁÐÀ
225224
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
= 2. Ïîäñòàâèâ â óðàâíåíèå 2õ 3ó = 6 âìåñòî ó
çíà÷åíèå 0, ïîëó÷èì 2õ = 6, îòêóäà õ = 3.
Èòàê, ìû íàøëè äâå òî÷êè ãðàôèêà: (0; 2) è
(3; 0). Ïðîâåäÿ ÷åðåç íèõ ïðÿìóþ, ïîëó÷èì èñêî-
ìûé ãðàôèê. n
§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé
170. Ñèñòåìû äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåí-
íûìè. Ðàâíîñèëüíûå ñèñòåìû. Ïóñòü äàíû äâà óðàâ-
íåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè
0),( =yxf
è
.0),( =yxg
Åñëè ñòàâèòñÿ çàäà÷à íàéòè âñå îáùèå ðåøåíèÿ äâóõ
óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè, òî, ãîâîðÿò, ÷òî íàäî
ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé. Êàæäàÿ ïàðà çíà÷åíèé
ïåðåìåííûõ, îáðàùàþùàÿ â âåðíîå ðàâåíñòâî êàæäîå
óðàâíåíèå ñèñòåìû, íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû
óðàâíåíèé. Ðåøèòü ñèñòåìó çíà÷èò íàéòè âñå åå
ðåøåíèÿ èëè äîêàçàòü, ÷òî èõ íåò.
168. Ãðàôèê óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè.
Ïóñòü äàíî óðàâíåíèå ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè
=),( yxf
.0=
Åñëè âñå åãî ðåøåíèÿ èçîáðàçèòü òî÷êàìè íà
êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè, òî ïîëó÷èòñÿ íåêîòîðîå ìíî-
æåñòâî òî÷åê ïëîñêîñòè. Ýòî ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ
ãðàôèêîì óðàâíåíèÿ
.0),( =yxf
Íàïðèìåð, ãðàôèêîì óðàâíåíèÿ ó õ
2
= 0 ÿâëÿ-
åòñÿ ïàðàáîëà ó = õ
2
(ñì. ðèñ. 15); ãðàôèêîì óðàâíå-
íèÿ ó õ = 0 ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ (áèññåêòðèñà I è III
êîîðäèíàòíûõ óãëîâ; ñì. ðèñ. 14). Ãðàôèêîì óðàâ-
íåíèÿ
021 =-+- yx
ÿâëÿåòñÿ îäíà òî÷êà (1; 2),
òàê êàê êîîðäèíàòû òîëüêî ýòîé òî÷êè óäîâëåòâîðÿ-
þò óðàâíåíèþ.
169. Ëèíåéíîå óðàâíåíèå ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè
è åãî ãðàôèê. Óðàâíåíèå âèäà
,cbyax =+
ãäå õ, ó
ïåðåìåííûå, à
cba ,,
÷èñëà, íàçûâàåòñÿ ëèíåé-
íûì; ÷èñëà à è b íàçûâàþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè ïðè
ïåðåìåííûõ, ÷èñëî ñ ñâîáîäíûì ÷ëåíîì.
Ãðàôèêîì ëþáîãî ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ
+ax
,cby =+
ó êîòîðîãî õîòÿ áû îäèí èç êîýôôèöèåíòîâ
ïðè ïåðåìåííûõ îòëè÷åí îò íóëÿ, ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ;
åñëè à = 0, òî îíà ïàðàëëåëüíà îñè Îõ, åñëè b = 0, òî
îíà ïàðàëëåëüíà îñè Îó (ðèñ. 73).
Ï ð è ì å ð. Ïîñòðîèòü ãðàôèê óðàâíåíèÿ
2õ 3ó = 6.
q Ãðàôèêîì ýòîãî ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåò-
ñÿ ïðÿìàÿ.Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðÿìîé äîñòàòî÷íî çíàòü
äâå åå òî÷êè. Ïîäñòàâèâ â óðàâíåíèå 2õ 3ó = 6
âìåñòî õ çíà÷åíèå 0, ïîëó÷èì 3ó = 6, îòêóäà ó =
Ðèñ. 73 Ðèñ. 74