Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл
Подождите немного. Документ загружается.
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 38. Äâóãðàííûå è ìíîãîãðàííûå óãëû
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
493
492
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
§ 38. Äâóãðàííûå è ìíîãîãðàííûå óãëû
306. Äâóãðàííûé óãîë. Äâå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïëîñ-
êîñòè ðàçáèâàþò ïðîñòðàíñòâî íà ÷åòûðå ÷àñòè, êàæ-
äàÿ èç êîòîðûõ íàçûâàåòñÿ äâóãðàííûì óãëîì. Òà-
êèì îáðàçîì, äâóãðàííûé óãîë îáðàçîâàí äâóìÿ ïî-
ëóïëîñêîñòÿìè, íàçûâàåìûìè ãðàíÿìè; ëèíèÿ èõ
ïåðåñå÷åíèÿ íàçûâàåòñÿ ðåáðîì äâóãðàííîãî óãëà.
Ïðîâåäåì ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ðåáðó äâó-
ãðàííîãî óãëà. Óãîë, ïîëó÷åííûé â ñå÷åíèè (ðèñ. 274),
íàçûâàåòñÿ ïëîñêèì (ëèíåéíûì) óãëîì äâóãðàí-
íîãî óãëà. Ýòîò ïëîñêèé óãîë ïðèíèìàåòñÿ çà ìåðó
äâóãðàííîãî óãëà.
Äâå ïëîñêîñòè, îáðàçóþùèå ïðÿìîé äâóãðàííûé
óãîë, íàçûâàþòñÿ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûìè.
Ò.10.11. Äâå ïëîñêîñòè âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îäíà èç íèõ ñîäåð-
æèò ïåðïåíäèêóëÿð ê äðóãîé ïëîñêîñòè (ïðèçíàê
ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè äâóõ ïëîñêîñòåé).
Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:
Ò.10.12. Ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ïëîñêîñòåé, ïåðïåí-
äèêóëÿðíûõ òðåòüåé ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿð-
íà ýòîé ïëîñêîñòè.
Íàïðèìåð, â êóáå âñå âåðòèêàëüíûå ãðàíè ïåð-
ïåíäèêóëÿðíû íèæíåé ãðàíè è âñå âåðòèêàëüíûå
ðåáðà (ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ âåðòèêàëüíûõ ãðàíåé) òàê-
æå ïåðïåíäèêóëÿðíû íèæíåé ãðàíè.
Ï ð è ì å ð.  êóáå ïðîâåäåíî ñå÷åíèå ABCDEF
(ðèñ. 275), ãäå òî÷êè A, B, C, D, E, F ñåðåäèíû ñîîò-
âåòñòâóþùèõ ðåáåð. Íàéòè äâóãðàííûé óãîë ìåæäó
ýòèì ñå÷åíèåì è íèæíåé ãðàíüþ.
q Ïîñòðîèì
a=ÐDFK
ïëîñêèé óãîë èñêîìî-
ãî äâóãðàííîãî óãëà. Çäåñü AF ðåáðî äâóãðàííîãî
óãëà;
,AFDF^
òàê êàê ñå÷åíèå ïðàâèëü-
íûé øåñòèóãîëüíèê, à óãîë DFA îïèðàåòñÿ íà äèà-
ìåòð;
,AFKF^
ïîñêîëüêó ýòè îòðåçêè ñîåäèíÿþò
ñåðåäèíû ñòîðîí êâàäðàòà. Ïóñòü à ðåáðî êóáà.
Òîãäà DK = a,
,25,0 aFK =
îòêóäà
2tg =a
è
.
2
arctg
=
a
n
Ðèñ. 272Ðèñ. 271
Ðèñ. 273 Ðèñ. 274
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 38. Äâóãðàííûå è ìíîãîãðàííûå óãëû
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
493
492
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
§ 38. Äâóãðàííûå è ìíîãîãðàííûå óãëû
306. Äâóãðàííûé óãîë. Äâå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïëîñ-
êîñòè ðàçáèâàþò ïðîñòðàíñòâî íà ÷åòûðå ÷àñòè, êàæ-
äàÿ èç êîòîðûõ íàçûâàåòñÿ äâóãðàííûì óãëîì. Òà-
êèì îáðàçîì, äâóãðàííûé óãîë îáðàçîâàí äâóìÿ ïî-
ëóïëîñêîñòÿìè, íàçûâàåìûìè ãðàíÿìè; ëèíèÿ èõ
ïåðåñå÷åíèÿ íàçûâàåòñÿ ðåáðîì äâóãðàííîãî óãëà.
Ïðîâåäåì ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ðåáðó äâó-
ãðàííîãî óãëà. Óãîë, ïîëó÷åííûé â ñå÷åíèè (ðèñ. 274),
íàçûâàåòñÿ ïëîñêèì (ëèíåéíûì) óãëîì äâóãðàí-
íîãî óãëà. Ýòîò ïëîñêèé óãîë ïðèíèìàåòñÿ çà ìåðó
äâóãðàííîãî óãëà.
Äâå ïëîñêîñòè, îáðàçóþùèå ïðÿìîé äâóãðàííûé
óãîë, íàçûâàþòñÿ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûìè.
Ò.10.11. Äâå ïëîñêîñòè âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îäíà èç íèõ ñîäåð-
æèò ïåðïåíäèêóëÿð ê äðóãîé ïëîñêîñòè (ïðèçíàê
ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè äâóõ ïëîñêîñòåé).
Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:
Ò.10.12. Ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ïëîñêîñòåé, ïåðïåí-
äèêóëÿðíûõ òðåòüåé ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿð-
íà ýòîé ïëîñêîñòè.
Íàïðèìåð, â êóáå âñå âåðòèêàëüíûå ãðàíè ïåð-
ïåíäèêóëÿðíû íèæíåé ãðàíè è âñå âåðòèêàëüíûå
ðåáðà (ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ âåðòèêàëüíûõ ãðàíåé) òàê-
æå ïåðïåíäèêóëÿðíû íèæíåé ãðàíè.
Ï ð è ì å ð.  êóáå ïðîâåäåíî ñå÷åíèå ABCDEF
(ðèñ. 275), ãäå òî÷êè A, B, C, D, E, F ñåðåäèíû ñîîò-
âåòñòâóþùèõ ðåáåð. Íàéòè äâóãðàííûé óãîë ìåæäó
ýòèì ñå÷åíèåì è íèæíåé ãðàíüþ.
q Ïîñòðîèì
a=ÐDFK
ïëîñêèé óãîë èñêîìî-
ãî äâóãðàííîãî óãëà. Çäåñü AF ðåáðî äâóãðàííîãî
óãëà;
,AFDF^
òàê êàê ñå÷åíèå ïðàâèëü-
íûé øåñòèóãîëüíèê, à óãîë DFA îïèðàåòñÿ íà äèà-
ìåòð;
,AFKF^
ïîñêîëüêó ýòè îòðåçêè ñîåäèíÿþò
ñåðåäèíû ñòîðîí êâàäðàòà. Ïóñòü à ðåáðî êóáà.
Òîãäà DK = a,
,25,0 aFK =
îòêóäà
2tg =a
è
.
2
arctg
=
a
n
Ðèñ. 272Ðèñ. 271
Ðèñ. 273 Ðèñ. 274
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 38. Äâóãðàííûå è ìíîãîãðàííûå óãëû
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
495
494
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
q Îòëîæèì íà ðåáðå òðåõãðàííîãî óãëà îòðåçîê
ÎÀ = 1 è ïðîâåäåì ñå÷åíèå ÀÂÑ, ïåðïåíäèêóëÿðíîå
ýòîìó ðåáðó. Ïóñòü
=а=а=РBOCAOCAOB ,30,45
.60°=
Èñêîìûé óãîë ÑÀ îáîçíà÷èì ÷åðåç j (òàê
æå îáîçíà÷èì è ñîîòâåòñòâóþùèé äâóãðàííûé óãîë;
äâóãðàííûå óãëû Πè ÎÑ îáîçíà÷èì ñîîòâåòñòâåí-
íî ÷åðåç f è q). Èìååì AB = tg45° = 1, AC =
.
3
32
30cos
1
,2
45cos
1
,
3
3
30tg
=
°
==
°
==°= OCOB
Ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ â
:OBCD
=°××-+= 60cos2
222
OCOBOCOBBC
).65(
5
2
3
62
3
4
2
-=-+=
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç
:ABCD
=j××-+= cos2
222
ACABACABBC
307. Òðåõãðàííûé óãîë. Ôèãóðà, îáðàçîâàííàÿ
òðåìÿ ëó÷àìè, âûõîäÿùèìè èç îäíîé òî÷êè è íå ëå-
æàùèìè â îäíîé ïëîñêîñòè, è òðåìÿ ÷àñòÿìè ïëîñ-
êîñòåé, çàêëþ÷åííûõ ìåæäó ýòèìè ëó÷àìè, íàçûâà-
åòñÿ òðåõãðàííûì óãëîì (ðèñ. 276). Òî÷êà À íà-
çûâàåòñÿ âåðøèíîé óãëà, ëó÷è åãî ðåáðàìè, à ÷à-
ñòè ïëîñêîñòåé ãðàíÿìè. Ãðàíè òðåõãðàííîãî óãëà
íàçûâàþòñÿ åãî ïëîñêèìè óãëàìè. Óãëû ìåæäó ïëîñ-
êèìè ãðàíÿìè íàçûâàþòñÿ äâóãðàííûìè óãëàìè
äàííîãî òðåõãðàííîãî óãëà.
Ò.10.13. Â òðåõãðàííîì óãëå êàæäûé ïëîñêèé óãîë
ìåíüøå ñóììû äâóõ äðóãèõ óãëîâ.
Ï ð è ì å ð. Ïëîñêèå óãëû a, b, g òðåõãðàííîãî
óãëà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî 45°, 30° è 60°. Íàéòè åãî
äâóãðàííûå óãëû (ðèñ. 277).
Ðèñ. 275 Ðèñ. 276
Ðèñ. 277
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 38. Äâóãðàííûå è ìíîãîãðàííûå óãëû
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
495
494
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
q Îòëîæèì íà ðåáðå òðåõãðàííîãî óãëà îòðåçîê
ÎÀ = 1 è ïðîâåäåì ñå÷åíèå ÀÂÑ, ïåðïåíäèêóëÿðíîå
ýòîìó ðåáðó. Ïóñòü
=а=а=РBOCAOCAOB ,30,45
.60°=
Èñêîìûé óãîë ÑÀ îáîçíà÷èì ÷åðåç j (òàê
æå îáîçíà÷èì è ñîîòâåòñòâóþùèé äâóãðàííûé óãîë;
äâóãðàííûå óãëû Πè ÎÑ îáîçíà÷èì ñîîòâåòñòâåí-
íî ÷åðåç f è q). Èìååì AB = tg45° = 1, AC =
.
3
32
30cos
1
,2
45cos
1
,
3
3
30tg
=
°
==
°
==°= OCOB
Ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ â
:OBCD
=°××-+= 60cos2
222
OCOBOCOBBC
).65(
5
2
3
62
3
4
2
-=-+=
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç
:ABCD
=j××-+= cos2
222
ACABACABBC
307. Òðåõãðàííûé óãîë. Ôèãóðà, îáðàçîâàííàÿ
òðåìÿ ëó÷àìè, âûõîäÿùèìè èç îäíîé òî÷êè è íå ëå-
æàùèìè â îäíîé ïëîñêîñòè, è òðåìÿ ÷àñòÿìè ïëîñ-
êîñòåé, çàêëþ÷åííûõ ìåæäó ýòèìè ëó÷àìè, íàçûâà-
åòñÿ òðåõãðàííûì óãëîì (ðèñ. 276). Òî÷êà À íà-
çûâàåòñÿ âåðøèíîé óãëà, ëó÷è åãî ðåáðàìè, à ÷à-
ñòè ïëîñêîñòåé ãðàíÿìè. Ãðàíè òðåõãðàííîãî óãëà
íàçûâàþòñÿ åãî ïëîñêèìè óãëàìè. Óãëû ìåæäó ïëîñ-
êèìè ãðàíÿìè íàçûâàþòñÿ äâóãðàííûìè óãëàìè
äàííîãî òðåõãðàííîãî óãëà.
Ò.10.13. Â òðåõãðàííîì óãëå êàæäûé ïëîñêèé óãîë
ìåíüøå ñóììû äâóõ äðóãèõ óãëîâ.
Ï ð è ì å ð. Ïëîñêèå óãëû a, b, g òðåõãðàííîãî
óãëà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî 45°, 30° è 60°. Íàéòè åãî
äâóãðàííûå óãëû (ðèñ. 277).
Ðèñ. 275 Ðèñ. 276
Ðèñ. 277
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 38. Äâóãðàííûå è ìíîãîãðàííûå óãëû
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
497
496
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
âåðøèíîé (ðèñ. 278), ïðè÷åì êàæäûé èç ïëîñêèõ
óãëîâ ìåíüøå ðàçâåðíóòîãî. Ìíîãîãðàííûé óãîë íà-
çûâàåòñÿ âûïóêëûì, åñëè îí ëåæèò ïî îäíó ñòîðîíó
îò ïëîñêîñòè êàæäîé èç ñâîèõ ãðàíåé.
Ñóììà äâóãðàííûõ óãëîâ n-ãðàííîãî óãëà çàêëþ-
÷åíà ìåæäó 180° (n 2) è 180°n.
.cos
3
32
3
4
cos
3
32
3
1
1
j-=j-+=
Òàêèì îáðàçîì,
)
,65
(
3
2
cos
3
32
3
4
-=
j
-
îòêóäà
,36cos3 -=j
318,032cos -»-=j
è
.5,108)318,0(arccos °»-=j
Àíàëîãè÷íî íàéäåì
,837,0
3
3
2cos
»-=f
=f
°»= 2,33837,0arccos
è
,633,01
3
62
cos »-=q
=q
.1,50633,0arccos °»=
n
Ìåæäó ïëîñêèìè è äâóãðàííûìè óãëàìè òðåõ-
ãðàííîãî óãëà ñóùåñòâóþò ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ
(ñîõðàíèì îáîçíà÷åíèÿ, óêàçàííûå â ïðèìåðå):
.
sin
sin
sin
sin
sin
sin
a
q
=
b
f
=
g
j
Ò.10.14. Ñóììà ïëîñêèõ óãëîâ òðåõãðàííîãî óãëà
ìåíüøå 360°.
Ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî äëÿ ïðîèç-
âîëüíîãî âûïóêëîãî ìíîãîãðàííîãî óãëà.
Ìíîãîãðàííûì óãëîì íàçûâàåòñÿ ôèãóðà, îãðà-
íè÷åííàÿ íåñêîëüêèìè ïëîñêèìè óãëàìè ñ îáùåé
Ðèñ. 278
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 38. Äâóãðàííûå è ìíîãîãðàííûå óãëû
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
497
496
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
âåðøèíîé (ðèñ. 278), ïðè÷åì êàæäûé èç ïëîñêèõ
óãëîâ ìåíüøå ðàçâåðíóòîãî. Ìíîãîãðàííûé óãîë íà-
çûâàåòñÿ âûïóêëûì, åñëè îí ëåæèò ïî îäíó ñòîðîíó
îò ïëîñêîñòè êàæäîé èç ñâîèõ ãðàíåé.
Ñóììà äâóãðàííûõ óãëîâ n-ãðàííîãî óãëà çàêëþ-
÷åíà ìåæäó 180° (n 2) è 180°n.
.cos
3
32
3
4
cos
3
32
3
1
1
j-=j-+=
Òàêèì îáðàçîì,
)
,65
(
3
2
cos
3
32
3
4
-=
j
-
îòêóäà
,36cos3 -=j
318,032cos -»-=j
è
.5,108)318,0(arccos °»-=j
Àíàëîãè÷íî íàéäåì
,837,0
3
3
2cos
»-=f
=f
°»= 2,33837,0arccos
è
,633,01
3
62
cos »-=q
=q
.1,50633,0arccos °»=
n
Ìåæäó ïëîñêèìè è äâóãðàííûìè óãëàìè òðåõ-
ãðàííîãî óãëà ñóùåñòâóþò ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ
(ñîõðàíèì îáîçíà÷åíèÿ, óêàçàííûå â ïðèìåðå):
.
sin
sin
sin
sin
sin
sin
a
q
=
b
f
=
g
j
Ò.10.14. Ñóììà ïëîñêèõ óãëîâ òðåõãðàííîãî óãëà
ìåíüøå 360°.
Ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî äëÿ ïðîèç-
âîëüíîãî âûïóêëîãî ìíîãîãðàííîãî óãëà.
Ìíîãîãðàííûì óãëîì íàçûâàåòñÿ ôèãóðà, îãðà-
íè÷åííàÿ íåñêîëüêèìè ïëîñêèìè óãëàìè ñ îáùåé
Ðèñ. 278
498
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 39. Ìíîãîãðàííèêè
499
Ïóñòü à ÷èñëî ãðàíåé,  ÷èñëî âåðøèí, à
Ð ÷èñëî ðåáåð ìíîãîãðàííèêà.
Ò.11.1. Äëÿ ëþáîãî ìíîãîãðàííèêà âûïîëíÿåòñÿ ñî-
îòíîøåíèå  + à Р= 2, ò. å. ÷èñëî âåðøèí ïëþñ
÷èñëî ãðàíåé ìèíóñ ÷èñëî ðåáåð ðàâíî 2 (òåîðåìà
Ýéëåðà).
Ò.11.2. Â âûïóêëîì ìíîãîãðàííèêå ñóììà âñåõ ïëîñ-
êèõ óãëîâ ïðè êàæäîé èç âåðøèí ìåíüøå 360°.
309. Ïðàâèëüíûå ìíîãîãðàííèêè. Ìíîãîãðàííèê
íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíûì, åñëè âñå åãî ãðàíè ðàâ-
íûå ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè è âñå ìíîãîãðàí-
íûå óãëû ïðè âåðøèíå ðàâíû ìåæäó ñîáîé.
Ãðàíÿìè ïðàâèëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ ìîãóò áûòü
òîëüêî ïðàâèëüíûå òðåóãîëüíèêè, êâàäðàòû è ïðà-
âèëüíûå ïÿòèóãîëüíèêè. Èç ýòèõ ýëåìåíòîâ ìîæíî
ïîñòðîèòü ïÿòü ïðàâèëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ. Âñå ïðà-
âèëüíûå ìíîãîãðàííèêè äàííîãî òèïà ïîäîáíû. Ðàñ-
ñìîòðèì òèïû ïðàâèëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ.
1. Ïðàâèëüíûé òåòðàýäð (ðèñ. 280). Ýòî ÷åòû-
ðåõãðàííèê, êàæäàÿ ãðàíü êîòîðîãî ïðàâèëüíûé òðå-
óãîëüíèê, à â êàæäîé âåðøèíå ñõîäÿòñÿ òðè ãðàíè.
Ðàçäåë XI
ÌÍÎÃÎÃÐÀÍÍÈÊÈ È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
§ 39. Ìíîãîãðàííèêè
308. Îáùèå ïîíÿòèÿ. Ðàññìîòðèì òåëî, îãðàíè-
÷åííîå çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòüþ, ñîñòîÿùåé èç ïëîñ-
êèõ ìíîãîóãîëüíèêîâ. Êàæäûé ìíîãîóãîëüíèê íà-
çûâàåòñÿ ãðàíüþ, à ñàìî òåëî ìíîãîãðàííèêîì.
Ïðè ýòîì ëþáàÿ ñòîðîíà êàæäîãî ìíîãîóãîëüíèêà
ÿâëÿåòñÿ òàêæå ñòîðîíîé åùå îäíîãî è òîëüêî îä-
íîãî ìíîãîóãîëüíèêà,à ëþáûå äâà ìíîãîóãîëüíèêà
èìåþò ëèáî îáùóþ ñòîðîíó, ëèáî îáùóþ âåðøèíó,
ëèáî íå èìåþò îáùèõ òî÷åê. Ñòîðîíû ãðàíåé ìíî-
ãîãðàííèêà íàçûâàþòñÿ åãî ðåáðàìè, à âåðøèíû
ýòèõ ãðàíåé âåðøèíàìè ìíîãîãðàííèêà (ðèñ.
279). Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé äâå âåðøèíû, íå ïðè-
íàäëåæàùèå îäíîé ãðàíè, íàçûâàåòñÿ äèàãîíàëüþ
ìíîãîãðàííèêà.
Ìíîãîãðàííèê íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì, åñëè îí ëå-
æèò ïî îäíó ñòîðîíó îò ïëîñêîñòè ëþáîé èç ñâîèõ
ãðàíåé. Âñå ìíîãîãðàííèêè, èçîáðàæåííûå íà ðèñ.
279, âûïóêëûå. Â äàëüíåéøåì ìû áóäåì ðàñ-
ñìàòðèâàòü òîëüêî âûïóêëûå ìíîãîãðàííèêè.
Ðèñ. 279
Ðèñ. 281Ðèñ. 280
498
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 39. Ìíîãîãðàííèêè
499
Ïóñòü à ÷èñëî ãðàíåé,  ÷èñëî âåðøèí, à
Ð ÷èñëî ðåáåð ìíîãîãðàííèêà.
Ò.11.1. Äëÿ ëþáîãî ìíîãîãðàííèêà âûïîëíÿåòñÿ ñî-
îòíîøåíèå  + à Р= 2, ò. å. ÷èñëî âåðøèí ïëþñ
÷èñëî ãðàíåé ìèíóñ ÷èñëî ðåáåð ðàâíî 2 (òåîðåìà
Ýéëåðà).
Ò.11.2. Â âûïóêëîì ìíîãîãðàííèêå ñóììà âñåõ ïëîñ-
êèõ óãëîâ ïðè êàæäîé èç âåðøèí ìåíüøå 360°.
309. Ïðàâèëüíûå ìíîãîãðàííèêè. Ìíîãîãðàííèê
íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíûì, åñëè âñå åãî ãðàíè ðàâ-
íûå ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè è âñå ìíîãîãðàí-
íûå óãëû ïðè âåðøèíå ðàâíû ìåæäó ñîáîé.
Ãðàíÿìè ïðàâèëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ ìîãóò áûòü
òîëüêî ïðàâèëüíûå òðåóãîëüíèêè, êâàäðàòû è ïðà-
âèëüíûå ïÿòèóãîëüíèêè. Èç ýòèõ ýëåìåíòîâ ìîæíî
ïîñòðîèòü ïÿòü ïðàâèëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ. Âñå ïðà-
âèëüíûå ìíîãîãðàííèêè äàííîãî òèïà ïîäîáíû. Ðàñ-
ñìîòðèì òèïû ïðàâèëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ.
1. Ïðàâèëüíûé òåòðàýäð (ðèñ. 280). Ýòî ÷åòû-
ðåõãðàííèê, êàæäàÿ ãðàíü êîòîðîãî ïðàâèëüíûé òðå-
óãîëüíèê, à â êàæäîé âåðøèíå ñõîäÿòñÿ òðè ãðàíè.
Ðàçäåë XI
ÌÍÎÃÎÃÐÀÍÍÈÊÈ È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
§ 39. Ìíîãîãðàííèêè
308. Îáùèå ïîíÿòèÿ. Ðàññìîòðèì òåëî, îãðàíè-
÷åííîå çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòüþ, ñîñòîÿùåé èç ïëîñ-
êèõ ìíîãîóãîëüíèêîâ. Êàæäûé ìíîãîóãîëüíèê íà-
çûâàåòñÿ ãðàíüþ, à ñàìî òåëî ìíîãîãðàííèêîì.
Ïðè ýòîì ëþáàÿ ñòîðîíà êàæäîãî ìíîãîóãîëüíèêà
ÿâëÿåòñÿ òàêæå ñòîðîíîé åùå îäíîãî è òîëüêî îä-
íîãî ìíîãîóãîëüíèêà,à ëþáûå äâà ìíîãîóãîëüíèêà
èìåþò ëèáî îáùóþ ñòîðîíó, ëèáî îáùóþ âåðøèíó,
ëèáî íå èìåþò îáùèõ òî÷åê. Ñòîðîíû ãðàíåé ìíî-
ãîãðàííèêà íàçûâàþòñÿ åãî ðåáðàìè, à âåðøèíû
ýòèõ ãðàíåé âåðøèíàìè ìíîãîãðàííèêà (ðèñ.
279). Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé äâå âåðøèíû, íå ïðè-
íàäëåæàùèå îäíîé ãðàíè, íàçûâàåòñÿ äèàãîíàëüþ
ìíîãîãðàííèêà.
Ìíîãîãðàííèê íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì, åñëè îí ëå-
æèò ïî îäíó ñòîðîíó îò ïëîñêîñòè ëþáîé èç ñâîèõ
ãðàíåé. Âñå ìíîãîãðàííèêè, èçîáðàæåííûå íà ðèñ.
279, âûïóêëûå. Â äàëüíåéøåì ìû áóäåì ðàñ-
ñìàòðèâàòü òîëüêî âûïóêëûå ìíîãîãðàííèêè.
Ðèñ. 279
Ðèñ. 281Ðèñ. 280
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 39. Ìíîãîãðàííèêè
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
501
500
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
è
3
3a
AO =
(ñì. ï. 293), òî
,
3
3
cos
=j
ò. å.
=
j
.
3
3
arccos
=
n
Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè äâóãðàííûå óãëû ïðè ðåá-
ðàõ îêòàýäðà.
q Ïðîâåäåì ñå÷åíèå, ïåðïåíäèêóëÿðíîå ðåáðàì
ÂÑ è DE (ðèñ. 286), ïðîõîäÿùåå ÷åðåç âåðøèíû À è
F; óãîë
AMFÐ=j
èñêîìûé (ñì. ï. 306). Ïóñòü
à ðåáðî îêòàýäðà; òîãäà
2
3
,
2
a
AM
a
MO ==
(âû-
ñîòà ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà),
.
2
j
=ÐAMN
Çíà÷èò,
2. Ïðàâèëüíûé øåñòèãðàííèê êóá (ðèñ. 281).
Êàæäàÿ ãðàíü êóáà ýòî êâàäðàò, à â êàæäîé âåð-
øèíå ñõîäÿòñÿ òðè ãðàíè.
3. Ïðàâèëüíûé âîñüìèãðàííèê îêòàýäð
(ðèñ. 282). Åãî ãðàíè ïðàâèëüíûå òðåóãîëüíèêè,
à â êàæäîé âåðøèíå ñõîäÿòñÿ ÷åòûðå ãðàíè.
4. Ïðàâèëüíûé äâåíàäöàòèãðàííèê äîäåêà-
ýäð (ðèñ. 283). Åãî ãðàíè ïðàâèëüíûå ïÿòèóãîëü-
íèêè, à â êàæäîé âåðøèíå ñõîäÿòñÿ òðè ãðàíè.
5. Ïðàâèëüíûé äâàäöàòèãðàííèê èêîñàýäð
(ðèñ 284). Åãî ãðàíè ïðàâèëüíûå òðåóãîëüíèêè, à
â êàæäîé âåðøèíå ñõîäÿòñÿ ïÿòü ãðàíåé.
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè óãîë íàêëîíà ðåáðà
FA
ïðàâèëüíîãî òåòðàýäðà
FABC
(ðèñ. 285) ê ïëîñêî-
ñòè ÀÂÑ.
q Ïóñòü ðåáðî òåòðàýäðà ðàâíî à. Ïðîâåäåì ïåð-
ïåíäèêóëÿð
FO
ê ïëîñêîñòè ÀÂÑ; òîãäà óãîë
OAF
èñêîìûé. Òàê êàê òî÷êà Î öåíòð
ABCD
Ðèñ. 283Ðèñ. 282
Ðèñ. 284 Ðèñ. 285
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 39. Ìíîãîãðàííèêè
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
501
500
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
è
3
3a
AO =
(ñì. ï. 293), òî
,
3
3
cos
=j
ò. å.
=
j
.
3
3
arccos
=
n
Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè äâóãðàííûå óãëû ïðè ðåá-
ðàõ îêòàýäðà.
q Ïðîâåäåì ñå÷åíèå, ïåðïåíäèêóëÿðíîå ðåáðàì
ÂÑ è DE (ðèñ. 286), ïðîõîäÿùåå ÷åðåç âåðøèíû À è
F; óãîë
AMFÐ=j
èñêîìûé (ñì. ï. 306). Ïóñòü
à ðåáðî îêòàýäðà; òîãäà
2
3
,
2
a
AM
a
MO ==
(âû-
ñîòà ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà),
.
2
j
=ÐAMN
Çíà÷èò,
2. Ïðàâèëüíûé øåñòèãðàííèê êóá (ðèñ. 281).
Êàæäàÿ ãðàíü êóáà ýòî êâàäðàò, à â êàæäîé âåð-
øèíå ñõîäÿòñÿ òðè ãðàíè.
3. Ïðàâèëüíûé âîñüìèãðàííèê îêòàýäð
(ðèñ. 282). Åãî ãðàíè ïðàâèëüíûå òðåóãîëüíèêè,
à â êàæäîé âåðøèíå ñõîäÿòñÿ ÷åòûðå ãðàíè.
4. Ïðàâèëüíûé äâåíàäöàòèãðàííèê äîäåêà-
ýäð (ðèñ. 283). Åãî ãðàíè ïðàâèëüíûå ïÿòèóãîëü-
íèêè, à â êàæäîé âåðøèíå ñõîäÿòñÿ òðè ãðàíè.
5. Ïðàâèëüíûé äâàäöàòèãðàííèê èêîñàýäð
(ðèñ 284). Åãî ãðàíè ïðàâèëüíûå òðåóãîëüíèêè, à
â êàæäîé âåðøèíå ñõîäÿòñÿ ïÿòü ãðàíåé.
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè óãîë íàêëîíà ðåáðà
FA
ïðàâèëüíîãî òåòðàýäðà
FABC
(ðèñ. 285) ê ïëîñêî-
ñòè ÀÂÑ.
q Ïóñòü ðåáðî òåòðàýäðà ðàâíî à. Ïðîâåäåì ïåð-
ïåíäèêóëÿð
FO
ê ïëîñêîñòè ÀÂÑ; òîãäà óãîë
OAF
èñêîìûé. Òàê êàê òî÷êà Î öåíòð
ABCD
Ðèñ. 283Ðèñ. 282
Ðèñ. 284 Ðèñ. 285