Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл

Подождите немного. Документ загружается.

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 37. Âçàèìí. ðàñïîëîæ. ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

483

482

Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

304. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìîé è ïëîñêî-

ñòè. Óãîë ìåæäó ïðÿìîé è ïëîñêîñòüþ. Ïðÿìàÿ è

ïëîñêîñòü íàçûâàþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè, åñëè îíè íå

ïåðåñåêàþòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, âîçìîæíû òðè ñëó-

÷àÿ ðàñïîëîæåíèÿ ïðÿìîé îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè:

1) îíà ëåæèò â ïëîñêîñòè; 2) îíà ïåðåñåêàåò ïëîñ-

êîñòü; 3) îíà ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè (ðèñ. 256, à, á).

Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:

Ò.10.5. Ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè òîãäà è

òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà íå ëåæèò â ýòîé ïëîñêî-

ñòè è ïàðàëëåëüíà êàêîé-ëèáî ïðÿìîé, ëåæàùåé â

ýòîé ïëîñêîñòè (ïðèçíàê ïàðàëëåëüíîñòè ïðÿ-

ìîé è ïëîñêîñòè).

Òàê, åñëè ïðÿìàÿ b ïàðàëëåëüíà ïðÿìîé à, ëåæà-

ùåé â ïëîñêîñòè

l (ðèñ. 257), òî îíà ïàðàëëåëüíà

ýòîé ïëîñêîñòè.

Ò.10.6. Åñëè ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè

÷åðåç ýòó ïðÿìóþ ïðîâåäåíà ïëîñêîñòü, ïåðåñåêà-

þùàÿ

òî ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ ïëîñêîñòåé ïàðàë-

ëåëüíà äàííîé ïðÿìîé (ðèñ. 258).

Íàïðèìåð, â êóáå (ñì. ðèñ. 252) îáùèì ïåðïåíäè-

êóëÿðîì ê ñêðåùèâàþùèìñÿ ïðÿìûì ÀÀ

ÿâëÿåòñÿ ðåáðî

.AD

Ï ð è ì å ð. Äâà ðàâíîáåäðåííûõ ïðÿìîóãîëüíûõ

òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ è ADC ðàñïîëîæåíû âî âçàèìíî

ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïëîñêîñòÿõ è èìåþò îáùóþ ãèïî-

òåíóçó (ðèñ. 255). Íàéòè êðàò÷àéøåå ðàññòîÿíèå ìåæ-

äó ïðÿìûìè ÀÑ è BD, åñëè êàæäûé êàòåò ðàâåí 4.

q Ïðîâåäåì âûñîòû ÂÍ è DH. Òîãäà ïîëó÷èì

BHDD

 ðàâíîáåäðåííûé è ïðÿìîóãîëüíûé. Ïðîâå-

äåì â íåì âûñîòó HF. Òàê êàê

BHAC^

,DHAC^

òî ÀÑ  ïåðïåíäèêóëÿð ê ïëîñêîñòè BHD (ñì. òåî-

ðåìó 10.7 â ï. 304). Îòñþäà

.HFAC^

Çíà÷èò,

ACHF^

,BDHF^

ò. å. HF è åñòü èñêîìîå ðàññòîÿíèå. Èìå-

åì

.225,0,2225,0 ==== BHHFBCBH

Ðèñ. 256

Ðèñ. 255Ðèñ. 254

à)

á)

â)

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 37. Âçàèìí. ðàñïîëîæ. ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

483

482

Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

304. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìîé è ïëîñêî-

ñòè. Óãîë ìåæäó ïðÿìîé è ïëîñêîñòüþ. Ïðÿìàÿ è

ïëîñêîñòü íàçûâàþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè, åñëè îíè íå

ïåðåñåêàþòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, âîçìîæíû òðè ñëó-

÷àÿ ðàñïîëîæåíèÿ ïðÿìîé îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè:

1) îíà ëåæèò â ïëîñêîñòè; 2) îíà ïåðåñåêàåò ïëîñ-

êîñòü; 3) îíà ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè (ðèñ. 256, à, á).

Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:

Ò.10.5. Ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè òîãäà è

òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà íå ëåæèò â ýòîé ïëîñêî-

ñòè è ïàðàëëåëüíà êàêîé-ëèáî ïðÿìîé, ëåæàùåé â

ýòîé ïëîñêîñòè (ïðèçíàê ïàðàëëåëüíîñòè ïðÿ-

ìîé è ïëîñêîñòè).

Òàê, åñëè ïðÿìàÿ b ïàðàëëåëüíà ïðÿìîé à, ëåæà-

ùåé â ïëîñêîñòè

l (ðèñ. 257), òî îíà ïàðàëëåëüíà

ýòîé ïëîñêîñòè.

Ò.10.6. Åñëè ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè

÷åðåç ýòó ïðÿìóþ ïðîâåäåíà ïëîñêîñòü, ïåðåñåêà-

þùàÿ

òî ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ ïëîñêîñòåé ïàðàë-

ëåëüíà äàííîé ïðÿìîé (ðèñ. 258).

Íàïðèìåð, â êóáå (ñì. ðèñ. 252) îáùèì ïåðïåíäè-

êóëÿðîì ê ñêðåùèâàþùèìñÿ ïðÿìûì ÀÀ

ÿâëÿåòñÿ ðåáðî

.AD

Ï ð è ì å ð. Äâà ðàâíîáåäðåííûõ ïðÿìîóãîëüíûõ

òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ è ADC ðàñïîëîæåíû âî âçàèìíî

ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïëîñêîñòÿõ è èìåþò îáùóþ ãèïî-

òåíóçó (ðèñ. 255). Íàéòè êðàò÷àéøåå ðàññòîÿíèå ìåæ-

äó ïðÿìûìè ÀÑ è BD, åñëè êàæäûé êàòåò ðàâåí 4.

q Ïðîâåäåì âûñîòû ÂÍ è DH. Òîãäà ïîëó÷èì

BHDD

 ðàâíîáåäðåííûé è ïðÿìîóãîëüíûé. Ïðîâå-

äåì â íåì âûñîòó HF. Òàê êàê

BHAC^

,DHAC^

òî ÀÑ  ïåðïåíäèêóëÿð ê ïëîñêîñòè BHD (ñì. òåî-

ðåìó 10.7 â ï. 304). Îòñþäà

.HFAC^

Çíà÷èò,

ACHF^

,BDHF^

ò. å. HF è åñòü èñêîìîå ðàññòîÿíèå. Èìå-

åì

.225,0,2225,0 ==== BHHFBCBH

Ðèñ. 256

Ðèñ. 255Ðèñ. 254

à)

á)

â)

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 37. Âçàèìí. ðàñïîëîæ. ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

485

484

Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Îòìåòèì, ÷òî èç äâóõ íàêëîííûõ áîëüøå òà, ó êî-

òîðîé ïðîåêöèÿ áîëüøå; ðàâíûå íàêëîííûå èìåþò

ðàâíûå ïðîåêöèè.

Ò.10.8. Ïðÿìàÿ, ïðîâåäåííàÿ íà ïëîñêîñòè ÷åðåç îñ-

íîâàíèå íàêëîííîé ïåðïåíäèêóëÿðíî åå ïðîåêöèè,

ïåðïåíäèêóëÿðíà è ñàìîé íàêëîííîé (òåîðåìà î

òðåõ ïåðïåíäèêóëÿðàõ).

Âåðíî è îáðàòíîå:

Ò.10.9. Ïðÿìàÿ, ïðîâåäåííàÿ íà ïëîñêîñòè ÷åðåç îñ-

íîâàíèå íàêëîííîé ïåðïåíäèêóëÿðíî ýòîé íàêëîí-

íîé, ïåðïåíäèêóëÿðíà è åå ïðîåêöèè.

Ïóñòü, íàïðèìåð, ÌÌ

 ïåðïåíäèêóëÿð ê ïëîñ-

êîñòè, ÌÅ  íàêëîííàÿ (ðèñ. 260). Òîãäà, åñëè ïðÿ-

ìàÿ DE ïåðïåíäèêóëÿðíà Ì

Å (ïðîåêöèè íàêëîí-

íîé ÌÅ), òî îíà ïåðïåíäèêóëÿðíà è ñàìîé íàêëîí-

íîé ÌÅ. Åñëè æå èçâåñòíî, ÷òî ïðÿìàÿ DE ïåðïåí-

äèêóëÿðíà íàêëîííîé ÌÅ, òî îíà ïåðïåíäèêóëÿð-

íà è åå ïðîåêöèè Ì

Å.

Îïðåäåëèì ïîíÿòèå ïåðïåíäèêóëÿðà ê ïëîñêîñòè.

Ïðÿìàÿ íàçûâàåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðîì ê ïëîñêîñòè,

åñëè îíà ïåðïåíäèêóëÿðíà ëþáîé ïðÿìîé, ëåæàùåé

â ýòîé ïëîñêîñòè. Ïåðïåíäèêóëÿðîì ê ïëîñêîñòè íà-

çûâàåòñÿ òàêæå îòðåçîê ýòîé ïðÿìîé îò êàêîé-ëèáî

òî÷êè Ì äî òî÷êè Ì

ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé è ïëîñêî-

ñòè (ðèñ. 259). Òî÷êà Ì

íàçûâàåòñÿ îñíîâàíèåì ïåð-

ïåíäèêóëÿðà.

Ò.10.7. Ïðÿìàÿ, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ äâóì ïåðåñåêàþ-

ùèìñÿ ïðÿìûì, ëåæàùèì â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäè-

êóëÿðíà ýòîé ïëîñêîñòè (ïðèçíàê ïåðïåíäèêó-

ëÿðíîñòè ïðÿìîé è ïëîñêîñòè).

Ïóñòü èç òî÷êè Ì ïðîâåäåí ïåðïåíäèêóëÿð ê ïëîñ-

êîñòè (ðèñ. 259). Äëèíà îòðåçêà ÌÌ

íàçûâàåòñÿ ðàñ-

ñòîÿíèåì îò òî÷êè Ì äî ïëîñêîñòè. Ñîåäèíèâ òî÷-

êó Ì ñ êàêîé-ëèáî òî÷êîé ïëîñêîñòè, îòëè÷íîé îò

îñíîâàíèÿ ïåðïåíäèêóëÿðà Ì

, ïîëó÷èì íàêëîííóþ

ÌÀ. Ëþáàÿ íàêëîííàÿ äëèííåå ïåðïåíäèêóëÿðà, ïðî-

âåäåííîãî èç òîé æå òî÷êè. Îòðåçîê Ì

À íàçûâàåòñÿ

ïðîåêöèåé íàêëîííîé.

Ðèñ. 257 Ðèñ. 258

Ðèñ. 260Ðèñ. 259

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 37. Âçàèìí. ðàñïîëîæ. ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

485

484

Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Îòìåòèì, ÷òî èç äâóõ íàêëîííûõ áîëüøå òà, ó êî-

òîðîé ïðîåêöèÿ áîëüøå; ðàâíûå íàêëîííûå èìåþò

ðàâíûå ïðîåêöèè.

Ò.10.8. Ïðÿìàÿ, ïðîâåäåííàÿ íà ïëîñêîñòè ÷åðåç îñ-

íîâàíèå íàêëîííîé ïåðïåíäèêóëÿðíî åå ïðîåêöèè,

ïåðïåíäèêóëÿðíà è ñàìîé íàêëîííîé (òåîðåìà î

òðåõ ïåðïåíäèêóëÿðàõ).

Âåðíî è îáðàòíîå:

Ò.10.9. Ïðÿìàÿ, ïðîâåäåííàÿ íà ïëîñêîñòè ÷åðåç îñ-

íîâàíèå íàêëîííîé ïåðïåíäèêóëÿðíî ýòîé íàêëîí-

íîé, ïåðïåíäèêóëÿðíà è åå ïðîåêöèè.

Ïóñòü, íàïðèìåð, ÌÌ

 ïåðïåíäèêóëÿð ê ïëîñ-

êîñòè, ÌÅ  íàêëîííàÿ (ðèñ. 260). Òîãäà, åñëè ïðÿ-

ìàÿ DE ïåðïåíäèêóëÿðíà Ì

Å (ïðîåêöèè íàêëîí-

íîé ÌÅ), òî îíà ïåðïåíäèêóëÿðíà è ñàìîé íàêëîí-

íîé ÌÅ. Åñëè æå èçâåñòíî, ÷òî ïðÿìàÿ DE ïåðïåí-

äèêóëÿðíà íàêëîííîé ÌÅ, òî îíà ïåðïåíäèêóëÿð-

íà è åå ïðîåêöèè Ì

Å.

Îïðåäåëèì ïîíÿòèå ïåðïåíäèêóëÿðà ê ïëîñêîñòè.

Ïðÿìàÿ íàçûâàåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðîì ê ïëîñêîñòè,

åñëè îíà ïåðïåíäèêóëÿðíà ëþáîé ïðÿìîé, ëåæàùåé

â ýòîé ïëîñêîñòè. Ïåðïåíäèêóëÿðîì ê ïëîñêîñòè íà-

çûâàåòñÿ òàêæå îòðåçîê ýòîé ïðÿìîé îò êàêîé-ëèáî

òî÷êè Ì äî òî÷êè Ì

ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé è ïëîñêî-

ñòè (ðèñ. 259). Òî÷êà Ì

íàçûâàåòñÿ îñíîâàíèåì ïåð-

ïåíäèêóëÿðà.

Ò.10.7. Ïðÿìàÿ, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ äâóì ïåðåñåêàþ-

ùèìñÿ ïðÿìûì, ëåæàùèì â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäè-

êóëÿðíà ýòîé ïëîñêîñòè (ïðèçíàê ïåðïåíäèêó-

ëÿðíîñòè ïðÿìîé è ïëîñêîñòè).

Ïóñòü èç òî÷êè Ì ïðîâåäåí ïåðïåíäèêóëÿð ê ïëîñ-

êîñòè (ðèñ. 259). Äëèíà îòðåçêà ÌÌ

íàçûâàåòñÿ ðàñ-

ñòîÿíèåì îò òî÷êè Ì äî ïëîñêîñòè. Ñîåäèíèâ òî÷-

êó Ì ñ êàêîé-ëèáî òî÷êîé ïëîñêîñòè, îòëè÷íîé îò

îñíîâàíèÿ ïåðïåíäèêóëÿðà Ì

, ïîëó÷èì íàêëîííóþ

ÌÀ. Ëþáàÿ íàêëîííàÿ äëèííåå ïåðïåíäèêóëÿðà, ïðî-

âåäåííîãî èç òîé æå òî÷êè. Îòðåçîê Ì

À íàçûâàåòñÿ

ïðîåêöèåé íàêëîííîé.

Ðèñ. 257 Ðèñ. 258

Ðèñ. 260Ðèñ. 259

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 37. Âçàèìí. ðàñïîëîæ. ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

487

486

Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Ï ð è ì å ð 1. Â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå

ÀÂÑ èçâåñòíû êàòåòû ÀÑ = 6, ÂÑ = 8. Èç âåðøèíû

ïðÿìîãî óãëà Ñ ê ïëîñêîñòè òðåóãîëüíèêà âîññòàâ-

ëåí ïåðïåíäèêóëÿð ÑÌ = 2 (ðèñ. 261). Íàéòè ðàñ-

ñòîÿíèå îò òî÷êè Ì äî ãèïîòåíóçû.

q Ïðîâåäåì

.ABMD^

Òàê êàê ÌÑ  ïåðïåíäè-

êóëÿð ê ïëîñêîñòè, MD  íàêëîííàÿ, CD  åå ïðî-

åêöèÿ, òî

ABCD^

(ïî òåîðåìå 10.9). Èç

ABCD

íàõî-

äèì

.1086

=+=AB

×òîáû íàéòè âûñîòó CD,

âîñïîëüçóåìñÿ äâóìÿ ôîðìóëàìè äëÿ îòûñêàíèÿ ïëî-

ùàäè

ABCD

. Èìååì

=×=

BCACS

ABC

5,0

,5,0 CDAB ×=

îòêóäà

.8,4

=CD

Òåïåðü èç

MCDD

íàõîäèì èñêîìîå ðàññòîÿíèå: =MD

.2,58,42

=+=

Óãëîì ìåæäó ïðÿìîé è ïëîñêîñòüþ íàçûâàåò-

ñÿ óãîë ìåæäó ïðÿìîé è åå ïðîåêöèåé íà ýòó ïëîñ-

êîñòü (óãîë

íà ðèñ. 262). Åñëè ïðÿìàÿ ïàðàëëåëü-

íà ïëîñêîñòè, òî óãîë ìåæäó íèìè ñ÷èòàåòñÿ ðàâíûì

íóëþ; åñëè ïðÿìàÿ ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè, òî

îí ðàâåí 90°.

Ï ð è ì å ð 2. Ïîä êàêèì óãëîì ïåðåñåêàåò

ïëîñêîñòü äàííàÿ ïðÿìàÿ, åñëè ïðîåêöèÿ ëþáîé åå

íàêëîííîé ðàâíà äëèíå ïåðïåíäèêóëÿðà, ïðîâåäåí-

íîãî èç òîé æå òî÷êè, ÷òî è íàêëîííàÿ?

q Â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ÌÌ

À (ñì. ðèñ.

259) èìååì ÀÌ

= ÌÌ

, ò .å. òðåóãîëüíèê ðàâíîáåä-

ðåííûé è óãîë

Îòìåòèì, ÷òî èç âñåõ óãëîâ, êîòîðûå îáðàçîâàíû

äàííîé ïðÿìîé, ïåðåñåêàþùåé ïëîñêîñòü, è âñåâîç-

ìîæíûìè ïðÿìûìè, ëåæàùèìè â ïëîñêîñòè, óãîë

ìåæäó äàííîé ïðÿìîé è åå ïðîåêöèåé ÿâëÿåòñÿ íàè-

ìåíüøèì. Òàê, äëÿ óãëîâ, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. 263,

èìååì

MABMAM Ð<Ð

Ï ð è ì å ð 3. Èç òî÷êè Ì ê äàííîé ïëîñêîñòè

ïðîâåäåíû ïåðïåíäèêóëÿð ÌÌ

è äâå íàêëîííûå ÌÀ

è ÌÂ (ðèñ. 264). Ïðîåêöèè íàêëîííûõ ïåðïåíäèêó-

ëÿðíû äðóã äðóãó, à äëèíà êàæäîé èç ïðîåêöèé ðàâ-

íà ÌÌ

. Íàéòè óãîë ÌÀÂ.

q Ïî óñëîâèþ,

000

MMBMAM ==

BMAM ^

AMMM ^

;

BMMM ^

çíà÷èò,

=D AMM

BAMBMM

D=D=

(ïî äâóì êàòåòàì). Îòñþäà ñëå-

äóåò, ÷òî

AMBD

 ïðàâèëüíûé, ò. å.

=ÐMAB

°= 60

(çàìåòèì, ÷òî

)

.45

°=Ð>Ð MAMMAB n

Ðèñ. 261 Ðèñ. 262

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 37. Âçàèìí. ðàñïîëîæ. ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

487

486

Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Ï ð è ì å ð 1. Â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå

ÀÂÑ èçâåñòíû êàòåòû ÀÑ = 6, ÂÑ = 8. Èç âåðøèíû

ïðÿìîãî óãëà Ñ ê ïëîñêîñòè òðåóãîëüíèêà âîññòàâ-

ëåí ïåðïåíäèêóëÿð ÑÌ = 2 (ðèñ. 261). Íàéòè ðàñ-

ñòîÿíèå îò òî÷êè Ì äî ãèïîòåíóçû.

q Ïðîâåäåì

.ABMD^

Òàê êàê ÌÑ  ïåðïåíäè-

êóëÿð ê ïëîñêîñòè, MD  íàêëîííàÿ, CD  åå ïðî-

åêöèÿ, òî

ABCD^

(ïî òåîðåìå 10.9). Èç

ABCD

íàõî-

äèì

.1086

=+=AB

×òîáû íàéòè âûñîòó CD,

âîñïîëüçóåìñÿ äâóìÿ ôîðìóëàìè äëÿ îòûñêàíèÿ ïëî-

ùàäè

ABCD

. Èìååì

=×=

BCACS

ABC

5,0

,5,0 CDAB ×=

îòêóäà

.8,4

=CD

Òåïåðü èç

MCDD

íàõîäèì èñêîìîå ðàññòîÿíèå: =MD

.2,58,42

=+=

Óãëîì ìåæäó ïðÿìîé è ïëîñêîñòüþ íàçûâàåò-

ñÿ óãîë ìåæäó ïðÿìîé è åå ïðîåêöèåé íà ýòó ïëîñ-

êîñòü (óãîë

íà ðèñ. 262). Åñëè ïðÿìàÿ ïàðàëëåëü-

íà ïëîñêîñòè, òî óãîë ìåæäó íèìè ñ÷èòàåòñÿ ðàâíûì

íóëþ; åñëè ïðÿìàÿ ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè, òî

îí ðàâåí 90°.

Ï ð è ì å ð 2. Ïîä êàêèì óãëîì ïåðåñåêàåò

ïëîñêîñòü äàííàÿ ïðÿìàÿ, åñëè ïðîåêöèÿ ëþáîé åå

íàêëîííîé ðàâíà äëèíå ïåðïåíäèêóëÿðà, ïðîâåäåí-

íîãî èç òîé æå òî÷êè, ÷òî è íàêëîííàÿ?

q Â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ÌÌ

À (ñì. ðèñ.

259) èìååì ÀÌ

= ÌÌ

, ò .å. òðåóãîëüíèê ðàâíîáåä-

ðåííûé è óãîë

Îòìåòèì, ÷òî èç âñåõ óãëîâ, êîòîðûå îáðàçîâàíû

äàííîé ïðÿìîé, ïåðåñåêàþùåé ïëîñêîñòü, è âñåâîç-

ìîæíûìè ïðÿìûìè, ëåæàùèìè â ïëîñêîñòè, óãîë

ìåæäó äàííîé ïðÿìîé è åå ïðîåêöèåé ÿâëÿåòñÿ íàè-

ìåíüøèì. Òàê, äëÿ óãëîâ, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. 263,

èìååì

MABMAM Ð<Ð

Ï ð è ì å ð 3. Èç òî÷êè Ì ê äàííîé ïëîñêîñòè

ïðîâåäåíû ïåðïåíäèêóëÿð ÌÌ

è äâå íàêëîííûå ÌÀ

è ÌÂ (ðèñ. 264). Ïðîåêöèè íàêëîííûõ ïåðïåíäèêó-

ëÿðíû äðóã äðóãó, à äëèíà êàæäîé èç ïðîåêöèé ðàâ-

íà ÌÌ

. Íàéòè óãîë ÌÀÂ.

q Ïî óñëîâèþ,

000

MMBMAM ==

BMAM ^

AMMM ^

;

BMMM ^

çíà÷èò,

=D AMM

BAMBMM

D=D=

(ïî äâóì êàòåòàì). Îòñþäà ñëå-

äóåò, ÷òî

AMBD

 ïðàâèëüíûé, ò. å.

=ÐMAB

°= 60

(çàìåòèì, ÷òî

)

.45

°=Ð>Ð MAMMAB n

Ðèñ. 261 Ðèñ. 262

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 37. Âçàèìí. ðàñïîëîæ. ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

489

488

Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

305. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå äâóõ ïëîñêîñòåé.

Ñâîéñòâà ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé. Äâå

ïëîñêîñòè íàçûâàþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè, åñëè îíè íå

ïåðåñåêàþòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, äâå ïëîñêîñòè ëèáî

ïåðåñåêàþòñÿ (â ýòîì ñëó÷àå îíè èìåþò îáùóþ ïðÿ-

ìóþ; ðèñ. 265, à), ëèáî ïàðàëëåëüíû (â ýòîì ñëó÷àå

îíè íå èìåþò îáùèõ òî÷åê; ðèñ. 265, á).

Ò.10.10. Åñëè äâå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå îäíîé

ïëîñêîñòè ñîîòâåòñòâåííî ïàðàëëåëüíû äâóì

ïðÿìûì äðóãîé ïëîñêîñòè, òî ýòè ïëîñêîñòè ïà-

ðàëëåëüíû (ïðèçíàê ïàðàëëåëüíîñòè äâóõ ïëîñ-

êîñòåé).

Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü, ÷òî ÷åðåç äâå ñêðåùèâàþ-

ùèåñÿ ïðÿìûå ìîæíî ïðîâåñòè ïàðàëëåëüíûå ïëîñ-

êîñòè.

q Ïóñòü à è b  äàííûå ñêðåùèâàþùèåñÿ ïðÿ-

ìûå (ðèñ. 266). ×åðåç ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó ïðÿìîé à

ïðîâåäåì ïðÿìóþ

,bb

à ÷åðåç ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó

ïðÿìîé b  ïðÿìóþ

.aa

Äàëåå ïðîâåäåì äâå ïëîñ-

êîñòè: îäíó ÷åðåç ïðÿìûå à è

äðóãóþ  ÷åðåç b

Ñîãëàñíî òåîðåìå 10.10, ýòè ïëîñêîñòè ïàðàë-

ëåëüíû, ïðè÷åì ïðÿìàÿ à ëåæèò â îäíîé èç íèõ, à

ïðÿìàÿ b  â äðóãîé. n

Ðèñ. 263 Ðèñ. 264

Ðèñ. 265

Ðèñ. 266

à) á)

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 37. Âçàèìí. ðàñïîëîæ. ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

489

488

Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

305. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå äâóõ ïëîñêîñòåé.

Ñâîéñòâà ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé. Äâå

ïëîñêîñòè íàçûâàþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè, åñëè îíè íå

ïåðåñåêàþòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, äâå ïëîñêîñòè ëèáî

ïåðåñåêàþòñÿ (â ýòîì ñëó÷àå îíè èìåþò îáùóþ ïðÿ-

ìóþ; ðèñ. 265, à), ëèáî ïàðàëëåëüíû (â ýòîì ñëó÷àå

îíè íå èìåþò îáùèõ òî÷åê; ðèñ. 265, á).

Ò.10.10. Åñëè äâå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå îäíîé

ïëîñêîñòè ñîîòâåòñòâåííî ïàðàëëåëüíû äâóì

ïðÿìûì äðóãîé ïëîñêîñòè, òî ýòè ïëîñêîñòè ïà-

ðàëëåëüíû (ïðèçíàê ïàðàëëåëüíîñòè äâóõ ïëîñ-

êîñòåé).

Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü, ÷òî ÷åðåç äâå ñêðåùèâàþ-

ùèåñÿ ïðÿìûå ìîæíî ïðîâåñòè ïàðàëëåëüíûå ïëîñ-

êîñòè.

q Ïóñòü à è b  äàííûå ñêðåùèâàþùèåñÿ ïðÿ-

ìûå (ðèñ. 266). ×åðåç ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó ïðÿìîé à

ïðîâåäåì ïðÿìóþ

,bb

à ÷åðåç ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó

ïðÿìîé b  ïðÿìóþ

.aa

Äàëåå ïðîâåäåì äâå ïëîñ-

êîñòè: îäíó ÷åðåç ïðÿìûå à è

äðóãóþ  ÷åðåç b

Ñîãëàñíî òåîðåìå 10.10, ýòè ïëîñêîñòè ïàðàë-

ëåëüíû, ïðè÷åì ïðÿìàÿ à ëåæèò â îäíîé èç íèõ, à

ïðÿìàÿ b  â äðóãîé. n

Ðèñ. 263 Ðèñ. 264

Ðèñ. 265

Ðèñ. 266

à) á)

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 37. Âçàèìí. ðàñïîëîæ. ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

491

490

Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Îòìåòèì òàêæå ñâîéñòâà ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ:

. Ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ äâóì ïåðåñåêàþùèì-

ñÿ ïëîñêîñòÿì, ïàðàëëåëüíà ëèíèè èõ ïåðåñå÷åíèÿ

(ðèñ. 270).

. Åñëè äâå ïëîñêîñòè ïåðåñåêàþòñÿ ïî ïðÿìîé à,

òî â êàæäîé èç íèõ ïàðàëëåëüíûìè äðóã äðóãó ÿâëÿ-

þòñÿ ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå ïðÿìîé à, è òîëüêî îíè

(ðèñ. 271).

. Ïåðïåíäèêóëÿðû, ïðîâåäåííûå ê ïàðàëëåëü-

íûì ïðÿìûì, ïàðàëëåëüíû.

. Ïðîåêöèè ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ íà ïàðàë-

ëåëüíûå ïëîñêîñòè ïàðàëëåëüíû (ðèñ. 272).

. Îòðåçêè ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ, çàêëþ÷åííûå

ìåæäó ïàðàëëåëüíûìè ïëîñêîñòÿìè, ðàâíû (ðèñ. 273).

Îòìåòèì ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ïàðàëëåëüíûõ ïëîñ-

êîñòåé:

. ×åðåç ëþáóþ òî÷êó, ëåæàùóþ âíå äàííîé ïëîñ-

êîñòè, ìîæíî ïðîâåñòè åäèíñòâåííóþ ïëîñêîñòü, ïà-

ðàëëåëüíóþ äàííîé.

. Åñëè äâå ïëîñêîñòè ïàðàëëåëüíû òðåòüåé, òî

îíè ïàðàëëåëüíû ìåæäó ñîáîé.

. Åñëè äâå ïàðàëëåëüíûå ïëîñêîñòè ïåðåñå÷åíû

òðåòüåé ïëîñêîñòüþ, òî ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ïàðàëëåëü-

íû ìåæäó ñîáîé (ðèñ. 267).

. Äâå ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíûå îäíîé è òîé

æå ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíû (ðèñ. 268).

. Ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíûå ïàðàëëåëüíûì

ïðÿìûì, ïàðàëëåëüíû (ðèñ. 269).

Ðèñ. 268Ðèñ. 267

Ðèñ. 270Ðèñ. 269

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 37. Âçàèìí. ðàñïîëîæ. ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

491

490

Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Îòìåòèì òàêæå ñâîéñòâà ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ:

. Ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ äâóì ïåðåñåêàþùèì-

ñÿ ïëîñêîñòÿì, ïàðàëëåëüíà ëèíèè èõ ïåðåñå÷åíèÿ

(ðèñ. 270).

. Åñëè äâå ïëîñêîñòè ïåðåñåêàþòñÿ ïî ïðÿìîé à,

òî â êàæäîé èç íèõ ïàðàëëåëüíûìè äðóã äðóãó ÿâëÿ-

þòñÿ ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå ïðÿìîé à, è òîëüêî îíè

(ðèñ. 271).

. Ïåðïåíäèêóëÿðû, ïðîâåäåííûå ê ïàðàëëåëü-

íûì ïðÿìûì, ïàðàëëåëüíû.

. Ïðîåêöèè ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ íà ïàðàë-

ëåëüíûå ïëîñêîñòè ïàðàëëåëüíû (ðèñ. 272).

. Îòðåçêè ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ, çàêëþ÷åííûå

ìåæäó ïàðàëëåëüíûìè ïëîñêîñòÿìè, ðàâíû (ðèñ. 273).

Îòìåòèì ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ïàðàëëåëüíûõ ïëîñ-

êîñòåé:

. ×åðåç ëþáóþ òî÷êó, ëåæàùóþ âíå äàííîé ïëîñ-

êîñòè, ìîæíî ïðîâåñòè åäèíñòâåííóþ ïëîñêîñòü, ïà-

ðàëëåëüíóþ äàííîé.

. Åñëè äâå ïëîñêîñòè ïàðàëëåëüíû òðåòüåé, òî

îíè ïàðàëëåëüíû ìåæäó ñîáîé.

. Åñëè äâå ïàðàëëåëüíûå ïëîñêîñòè ïåðåñå÷åíû

òðåòüåé ïëîñêîñòüþ, òî ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ïàðàëëåëü-

íû ìåæäó ñîáîé (ðèñ. 267).

. Äâå ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíûå îäíîé è òîé

æå ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíû (ðèñ. 268).

. Ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíûå ïàðàëëåëüíûì

ïðÿìûì, ïàðàëëåëüíû (ðèñ. 269).

Ðèñ. 268Ðèñ. 267

Ðèñ. 270Ðèñ. 269