Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл
Подождите немного. Документ загружается.
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
463
462
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
èçâåñòíû êîîðäèíàòû åãî êîíöîâ
);;(
111
zyxA
è
)
.;;
(
222
zyxB
q Ïóñòü òî÷êà
);;( zyxM
ñåðåäèíà îòðåçêà ÀÂ.
Òîãäà
ABAM 5,0=
(ðèñ. 239). Ñîåäèíèì òî÷êè À è
Ì ñ íà÷àëîì êîîðäèíàò Î. Èìååì
}
,;;
{
111
zyxOA =
};;{ zyxOM =
è
}
.;;
{
121212
zzyyxxAB ---=
Òàê
êàê
}
;;
{
111
zzyyxxOAOMAM ---=-=
è
=AM
)}
,
(
5,0
)
;
(
5,0
)
;
(
5,0
{
5,0
121212
zzyyxxAB ---==
òî,
ïðèðàâíÿâ äðóã äðóãó ñîîòâåòñòâóþùèå êîîðäèíàòû,
èìååì
),(5,0),(5,0
121121
yyyyxxxx -=--=-
).(5,0
121
zzzz -=-
Îòñþäà ïîëó÷àåì èçâåñòíûå
ôîðìóëû äëÿ êîîðäèíàò ñåðåäèíû îòðåçêà:
õ = 0,5 (õ
1
+ õ
2
),
).(5,0),(5,0
2121
zzzyyy +=+=
n
ðàì
a
è
,b-
íàõîäèì èñêîìóþ ðàçíîñòü
ba -
(ðèñ. 238, à). Çàìåòèì, ÷òî â ïàðàëëåëîãðàììå, ïî-
ñòðîåííîì íà âåêòîðàõ
a
è
,b
äèàãîíàëü, âûõîäÿ-
ùàÿ èç èõ îáùåãî íà÷àëà, ðàâíà
,ba +
à âòîðàÿ äèà-
ãîíàëü ðàâíà
,ba -
ïðè÷åì âåêòîð-ðàçíîñòü íàïðàâ-
ëåí èç êîíöà âû÷èòàåìîãî â êîíåö óìåíüøàåìîãî
(ðèñ. 238, á). n
Îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ âåêòîðà íà ÷èñëî îáëàäàåò
ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè (
ml,
ëþáûå ÷èñëà;
ba,
ëþáûå âåêòîðû):
1
0
.
)()( aa ml=lm
(ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí).
2
0
.
aaa m+l=m+l )(
(ðàñïðåäåëèòåëüíûé çà-
êîí ïî îòíîøåíèþ ê ÷èñëîâîìó ìíîæèòåëþ).
3
0
.
baba l+l=+l )(
(ðàñïðåäåëèòåëüíûé çà-
êîí ïî îòíîøåíèþ ê âåêòîðíîìó ìíîæèòåëþ).
Ï ð è ì å ð 2. Âûâåñòè ôîðìóëû (3) èç ï. 295,
ò. å. íàéòè êîîðäèíàòû ñåðåäèíû îòðåçêà ÀÂ, åñëè
à)
á)
Ðèñ. 238
Ðèñ. 239 Ðèñ. 240
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
463
462
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
èçâåñòíû êîîðäèíàòû åãî êîíöîâ
);;(
111
zyxA
è
)
.;;
(
222
zyxB
q Ïóñòü òî÷êà
);;( zyxM
ñåðåäèíà îòðåçêà ÀÂ.
Òîãäà
ABAM 5,0=
(ðèñ. 239). Ñîåäèíèì òî÷êè À è
Ì ñ íà÷àëîì êîîðäèíàò Î. Èìååì
}
,;;
{
111
zyxOA =
};;{ zyxOM =
è
}
.;;
{
121212
zzyyxxAB ---=
Òàê
êàê
}
;;
{
111
zzyyxxOAOMAM ---=-=
è
=AM
)}
,
(
5,0
)
;
(
5,0
)
;
(
5,0
{
5,0
121212
zzyyxxAB ---==
òî,
ïðèðàâíÿâ äðóã äðóãó ñîîòâåòñòâóþùèå êîîðäèíàòû,
èìååì
),(5,0),(5,0
121121
yyyyxxxx -=--=-
).(5,0
121
zzzz -=-
Îòñþäà ïîëó÷àåì èçâåñòíûå
ôîðìóëû äëÿ êîîðäèíàò ñåðåäèíû îòðåçêà:
õ = 0,5 (õ
1
+ õ
2
),
).(5,0),(5,0
2121
zzzyyy +=+=
n
ðàì
a
è
,b-
íàõîäèì èñêîìóþ ðàçíîñòü
ba -
(ðèñ. 238, à). Çàìåòèì, ÷òî â ïàðàëëåëîãðàììå, ïî-
ñòðîåííîì íà âåêòîðàõ
a
è
,b
äèàãîíàëü, âûõîäÿ-
ùàÿ èç èõ îáùåãî íà÷àëà, ðàâíà
,ba +
à âòîðàÿ äèà-
ãîíàëü ðàâíà
,ba -
ïðè÷åì âåêòîð-ðàçíîñòü íàïðàâ-
ëåí èç êîíöà âû÷èòàåìîãî â êîíåö óìåíüøàåìîãî
(ðèñ. 238, á). n
Îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ âåêòîðà íà ÷èñëî îáëàäàåò
ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè (
ml,
ëþáûå ÷èñëà;
ba,
ëþáûå âåêòîðû):
1
0
.
)()( aa ml=lm
(ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí).
2
0
.
aaa m+l=m+l )(
(ðàñïðåäåëèòåëüíûé çà-
êîí ïî îòíîøåíèþ ê ÷èñëîâîìó ìíîæèòåëþ).
3
0
.
baba l+l=+l )(
(ðàñïðåäåëèòåëüíûé çà-
êîí ïî îòíîøåíèþ ê âåêòîðíîìó ìíîæèòåëþ).
Ï ð è ì å ð 2. Âûâåñòè ôîðìóëû (3) èç ï. 295,
ò. å. íàéòè êîîðäèíàòû ñåðåäèíû îòðåçêà ÀÂ, åñëè
à)
á)
Ðèñ. 238
Ðèñ. 239 Ðèñ. 240
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
465
464
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
q Åñëè òî÷êè À,  è Ñ ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé, òî
âåêòîðû
AC
è
BC
êîëëèíåàðíû. Èìååì
=AC
}.2;2;2{},1;1;1{ ---== BC
Ñëåäîâàòåëüíî, (2) : 1 =
= (2) : 1 = (2) : 1, ò. å. òî÷êè À, Â, Ñ ëåæàò íà îäíîé
ïðÿìîé. n
Âåêòîðû íàçûâàþòñÿ êîìïëàíàðíûìè, åñëè îíè
ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè (èëè ïàðàëëåëüíû îäíîé è
òîé æå ïëîñêîñòè). Íóëåâîé âåêòîð êîìïëàíàðåí ëþ-
áûì âåêòîðàì.
Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:
Ò.10.3. Òðè âåêòîðà
}
,;;
{
111
ZYXa =
};;{
222
ZYXb =
è
}
;;
{
333
ZYXc =
è êîìïëàíàðíû òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
0
333
222
111
=
ZYX
ZYX
ZYX
(ïðèçíàê êîìïëàíàðíîñòè âåêòîðîâ).
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå âåêòî-
ðîâ (ñì. ï. 302)
ba,
è
c
ðàâíî íóëþ.
Ï ð è ì å ð 3. Ïðîâåðèòü êîìïëàíàðíîñòü âåêòî-
ðîâ
},1;2;3{=a
}0;1;1{ -=b
è
}.1;0;5{=c
q Èìååì
,0235
11
23
05
11
105
011
123
=--=
-
+
-
=-
ò. å. âåêòîðû êîìïëàíàðíû (çäåñü îïðåäåëèòåëü ðàç-
ëîæåí ïî ýëåìåíòàì òðåòüåãî ñòîëáöà). n
299. Êîëëèíåàðíîñòü è êîìïëàíàðíîñòü âåêòî-
ðîâ. Âåêòîðû íàçûâàþòñÿ êîëëèíåàðíûìè, åñëè îíè
ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé (èëè ïàðàëëåëüíû îäíîé è
òîé æå ïðÿìîé). Íóëåâîé âåêòîð ñ÷èòàåòñÿ êîëëèíå-
àðíûì ëþáîìó âåêòîðó.
Âåêòîðû
ba,
è
,c
èçîáðàæåííûå íà ðèñ. 240,
êîëëèíåàðíû, ïðè÷åì
a
è
b
íàïðàâëåíû îäèíàêî-
âî, à
b
è
c
(èëè
a
è
c
) ïðîòèâîïîëîæíî.
Åñëè
0¹a
è âåêòîð
b
êîëëèíåàðåí
,a
òî
.ab l=
Îòñþäà âûòåêàåò ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:
Ò.10.2. Äâà âåêòîðà
};;{
111
ZYXa =
è
};;{
222
ZYXb =
êîëëèíåàðíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èõ êîîð-
äèíàòû ïðîïîðöèîíàëüíû, ò. å.
2
1
2
1
2
1
Z
Z
Y
Y
X
X
==
(1)
(ïðèçíàê êîëëèíåàðíîñòè âåêòîðîâ).
Òàê, âåêòîðû
}3;2;1{=a
è
}6;4;2{ ---=b
êîëëè-
íåàðíû è ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåíû, ïîñêîëüêó
.2ab -=
Ï ð è ì å ð 1. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ
m
è
n
âåêòîðû
}5;2;{ -m
è
}4;;1{ -n
êîëëèíåàðíû?
q ×òîáû äàííûå âåêòîðû áûëè êîëëèíåàðíû, äîë-
æíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå (1), ò. å.
.
4
52
1 -
=
-
=
n
m
Çíà÷èò,
,52,1-=m
.6,1=n
n
Ï ð è ì å ð 2. Ëåæàò ëè òî÷êè
),3;2;1(A
)6;5;4(B
è
)4;3;2(C
íà îäíîé ïðÿìîé?
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
465
464
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
q Åñëè òî÷êè À,  è Ñ ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé, òî
âåêòîðû
AC
è
BC
êîëëèíåàðíû. Èìååì
=AC
}.2;2;2{},1;1;1{ ---== BC
Ñëåäîâàòåëüíî, (2) : 1 =
= (2) : 1 = (2) : 1, ò. å. òî÷êè À, Â, Ñ ëåæàò íà îäíîé
ïðÿìîé. n
Âåêòîðû íàçûâàþòñÿ êîìïëàíàðíûìè, åñëè îíè
ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè (èëè ïàðàëëåëüíû îäíîé è
òîé æå ïëîñêîñòè). Íóëåâîé âåêòîð êîìïëàíàðåí ëþ-
áûì âåêòîðàì.
Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:
Ò.10.3. Òðè âåêòîðà
}
,;;
{
111
ZYXa =
};;{
222
ZYXb =
è
}
;;
{
333
ZYXc =
è êîìïëàíàðíû òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
0
333
222
111
=
ZYX
ZYX
ZYX
(ïðèçíàê êîìïëàíàðíîñòè âåêòîðîâ).
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå âåêòî-
ðîâ (ñì. ï. 302)
ba,
è
c
ðàâíî íóëþ.
Ï ð è ì å ð 3. Ïðîâåðèòü êîìïëàíàðíîñòü âåêòî-
ðîâ
},1;2;3{=a
}0;1;1{ -=b
è
}.1;0;5{=c
q Èìååì
,0235
11
23
05
11
105
011
123
=--=
-
+
-
=-
ò. å. âåêòîðû êîìïëàíàðíû (çäåñü îïðåäåëèòåëü ðàç-
ëîæåí ïî ýëåìåíòàì òðåòüåãî ñòîëáöà). n
299. Êîëëèíåàðíîñòü è êîìïëàíàðíîñòü âåêòî-
ðîâ. Âåêòîðû íàçûâàþòñÿ êîëëèíåàðíûìè, åñëè îíè
ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé (èëè ïàðàëëåëüíû îäíîé è
òîé æå ïðÿìîé). Íóëåâîé âåêòîð ñ÷èòàåòñÿ êîëëèíå-
àðíûì ëþáîìó âåêòîðó.
Âåêòîðû
ba,
è
,c
èçîáðàæåííûå íà ðèñ. 240,
êîëëèíåàðíû, ïðè÷åì
a
è
b
íàïðàâëåíû îäèíàêî-
âî, à
b
è
c
(èëè
a
è
c
) ïðîòèâîïîëîæíî.
Åñëè
0¹a
è âåêòîð
b
êîëëèíåàðåí
,a
òî
.ab l=
Îòñþäà âûòåêàåò ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:
Ò.10.2. Äâà âåêòîðà
};;{
111
ZYXa =
è
};;{
222
ZYXb =
êîëëèíåàðíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èõ êîîð-
äèíàòû ïðîïîðöèîíàëüíû, ò. å.
2
1
2
1
2
1
Z
Z
Y
Y
X
X
==
(1)
(ïðèçíàê êîëëèíåàðíîñòè âåêòîðîâ).
Òàê, âåêòîðû
}3;2;1{=a
è
}6;4;2{ ---=b
êîëëè-
íåàðíû è ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåíû, ïîñêîëüêó
.2ab -=
Ï ð è ì å ð 1. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ
m
è
n
âåêòîðû
}5;2;{ -m
è
}4;;1{ -n
êîëëèíåàðíû?
q ×òîáû äàííûå âåêòîðû áûëè êîëëèíåàðíû, äîë-
æíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå (1), ò. å.
.
4
52
1 -
=
-
=
n
m
Çíà÷èò,
,52,1-=m
.6,1=n
n
Ï ð è ì å ð 2. Ëåæàò ëè òî÷êè
),3;2;1(A
)6;5;4(B
è
)4;3;2(C
íà îäíîé ïðÿìîé?
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
467
466
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
Òîãäà ëþáîé âåêòîð
a
ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
,kzjyixa ++=
ïðè÷åì ÷èñëà
zyx
,,
ÿâëÿþòñÿ åãî
êîîðäèíàòàìè. Íàïðèìåð, âåêòîð
}1;5;2{ -=a
ìîæ-
íî çàïèñàòü êàê
,52 kjia -+=
à çàïèñü
+-= jib 23
k5+
îçíà÷àåò, ÷òî
}.5;2;3{ -=b
300. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ. Ñêàëÿð-
íîå ïðîèçâåäåíèå îïðåäåëÿåòñÿ äëÿ äâóõ âåêòîðîâ.
Ïóñòü
}
;;
{
111
ZYXa =
è
}.;;{
222
ZYXb =
Òîãäà ñêà-
ëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðîâ
a
è
b
íàçûâàåò-
ñÿ ÷èñëî
.
212121
ZZYYXX ++
Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäå-
íèå îáîçíà÷àåòñÿ òàê:
ba
èëè (
ba,
).
Íàïðèìåð, åñëè
}1;1;2{ -=a
è
}
,2;3;1
{
=b
òî
.3232 =-+=ba
Ââåäåì íà îñÿõ êîîðäèíàò Îõ, Îó, Oz åäèíè÷íûå
âåêòîðû
ji,
è
.k
Îíè èìåþò ñëåäóþùèå êîîðäèíà-
òû:
}.1;0;0{},0;1;0{},0;0;1{ === kji
Ýòè âåêòîðû
íåêîìïëàíàðíû, òàê êàê óñëîâèå êîìïëàíàðíîñòè äëÿ
íèõ íå âûïîëíÿåòñÿ:
.01
100
010
001
¹=
Ïóñòü çàäàíû êàêèå-ëèáî âåêòîðû
.,, cba
Åñëè
âåêòîð
d
ïðåäñòàâëåí â âèäå
,cbad g+b+a=
òî ãî-
âîðÿò, ÷òî âåêòîð
d
ðàçëîæåí ïî âåêòîðàì
,,, cba
ïðè÷åì
gba ,,
íàçûâàþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè ðàç-
ëîæåíèÿ. Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:
Ò.10.4. Äëÿ ëþáîãî âåêòîðà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåí-
íîå ðàçëîæåíèå ïî òðåì äàííûì íåêîìïëàíàðíûì
âåêòîðàì.
Ï ð è ì å ð 4. Äàíû òðè âåêòîðà, âûõîäÿùèå èç
îäíîé âåðøèíû ïðèçìû:
rACqABpAA === ,,
1
(ðèñ. 241). Ðàçëîæèòü âåêòîð
,AM
ãäå Ì ñåðåäè-
íà îòðåçêà ÑÂ
1
, ïî âåêòîðàì
qp,
è
.r
qÈìååì
)
(
5,0
1
ABACAM
+=
(ñì. ï. 298), ò. å.
)
.
(
5,0
1
ABrAM +=
Ñîãëàñíî ïðàâèëó òðåóãîëüíè-
êà,
.
11
pqBBABAB +=+=
Çíà÷èò, += rAM (5,0
).pq ++
n
Âîçüìåì â êà÷åñòâå òðåõ íåêîìïëàíàðíûõ âåêòî-
ðîâ åäèíè÷íûå âåêòîðû êîîðäèíàòíûõ îñåé
.,, kji
+
Ðèñ. 241
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
467
466
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
Òîãäà ëþáîé âåêòîð
a
ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
,kzjyixa ++=
ïðè÷åì ÷èñëà
zyx
,,
ÿâëÿþòñÿ åãî
êîîðäèíàòàìè. Íàïðèìåð, âåêòîð
}1;5;2{ -=a
ìîæ-
íî çàïèñàòü êàê
,52 kjia -+=
à çàïèñü
+-= jib 23
k5+
îçíà÷àåò, ÷òî
}.5;2;3{ -=b
300. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ. Ñêàëÿð-
íîå ïðîèçâåäåíèå îïðåäåëÿåòñÿ äëÿ äâóõ âåêòîðîâ.
Ïóñòü
}
;;
{
111
ZYXa =
è
}.;;{
222
ZYXb =
Òîãäà ñêà-
ëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðîâ
a
è
b
íàçûâàåò-
ñÿ ÷èñëî
.
212121
ZZYYXX ++
Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäå-
íèå îáîçíà÷àåòñÿ òàê:
ba
èëè (
ba,
).
Íàïðèìåð, åñëè
}1;1;2{ -=a
è
}
,2;3;1
{
=b
òî
.3232 =-+=ba
Ââåäåì íà îñÿõ êîîðäèíàò Îõ, Îó, Oz åäèíè÷íûå
âåêòîðû
ji,
è
.k
Îíè èìåþò ñëåäóþùèå êîîðäèíà-
òû:
}.1;0;0{},0;1;0{},0;0;1{ === kji
Ýòè âåêòîðû
íåêîìïëàíàðíû, òàê êàê óñëîâèå êîìïëàíàðíîñòè äëÿ
íèõ íå âûïîëíÿåòñÿ:
.01
100
010
001
¹=
Ïóñòü çàäàíû êàêèå-ëèáî âåêòîðû
.,, cba
Åñëè
âåêòîð
d
ïðåäñòàâëåí â âèäå
,cbad g+b+a=
òî ãî-
âîðÿò, ÷òî âåêòîð
d
ðàçëîæåí ïî âåêòîðàì
,,, cba
ïðè÷åì
gba ,,
íàçûâàþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè ðàç-
ëîæåíèÿ. Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:
Ò.10.4. Äëÿ ëþáîãî âåêòîðà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåí-
íîå ðàçëîæåíèå ïî òðåì äàííûì íåêîìïëàíàðíûì
âåêòîðàì.
Ï ð è ì å ð 4. Äàíû òðè âåêòîðà, âûõîäÿùèå èç
îäíîé âåðøèíû ïðèçìû:
rACqABpAA === ,,
1
(ðèñ. 241). Ðàçëîæèòü âåêòîð
,AM
ãäå Ì ñåðåäè-
íà îòðåçêà ÑÂ
1
, ïî âåêòîðàì
qp,
è
.r
qÈìååì
)
(
5,0
1
ABACAM
+=
(ñì. ï. 298), ò. å.
)
.
(
5,0
1
ABrAM +=
Ñîãëàñíî ïðàâèëó òðåóãîëüíè-
êà,
.
11
pqBBABAB +=+=
Çíà÷èò, += rAM (5,0
).pq ++
n
Âîçüìåì â êà÷åñòâå òðåõ íåêîìïëàíàðíûõ âåêòî-
ðîâ åäèíè÷íûå âåêòîðû êîîðäèíàòíûõ îñåé
.,, kji
+
Ðèñ. 241
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
469
468
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
2
0
.
abba =
(ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí).
3
0
. (a + b) c = a c + b c (ðàñïðåäåëèòåëüíûé
çàêîí).
4
0
.
)()( baba l=l
(ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí).
Ñâîéñòâà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ïîçâîëÿþò
ïðîèçâîäèòü ñî ñêàëÿðíûìè ïðîèçâåäåíèåì òå æå
ïðåîáðàçîâàíèÿ, ÷òî è ñ ìíîãî÷ëåíàìè â àëãåáðå.
Åñëè
,0=ba
òî
ba^
è îáðàòíî, åñëè
,ba ^
òî
.0=ba
Òàêèì îáðàçîì, íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷-
íûì óñëîâèåì ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè äâóõ íåíóëåâûõ
âåêòîðîâ ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî íóëþ èõ ñêàëÿðíîãî
ïðîèçâåäåíèÿ.
Ïóñòü âåêòîðû
a
è
b
çàäàíû ñâîèìè êîîðäèíà-
òàìè, ò. å.
};;{
111
ZYXa =
è
};;;{
222
ZYXb =
òîãäà
óñëîâèå ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè ïðèìåò âèä
.0
212121
=++ ZZYYXX (3)
Íóëåâîé âåêòîð ñ÷èòàåòñÿ îðòîãîíàëüíûì ëþáî-
ìó âåêòîðó.
Ï ð è ì å ð 3. Äîêàçàòü, ÷òî òðè âûñîòû òðåó-
ãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå.
q Ïóñòü Î òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ âûñîò â
ABCD
(ðèñ. 242):
BCOA^
è
.ACOB^
Ïîêàæåì, ÷òî
.ABOC^
Ðàññìîòðèì âåêòîðû
OBOACABCAB ,,,,
è
.OC
Íàéäåì
.ABOC ×
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî += OBOC
,, CABCABBC +=+
ïîëó÷èì
+×+×=++=× BCBCBCOBCABCBCOBABOC )()(
,CABCBCBCBCOBCABCCAOB ×+×+×=×+×+
Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå
ba
ìîæíî âû÷èñëèòü
ïî ôîðìóëå
,cos
j=
baba
(1)
ãäå
j
óãîë ìåæäó âåêòîðàìè
a
è
.b
Îòñþäà âû-
òåêàåò ôîðìóëà äëÿ íàõîæäåíèÿ êîñèíóñà óãëà ìåæ-
äó âåêòîðàìè:
.cos
ba
ba
=j
(2)
Ï ð è ì å ð 1. Äàíî:
.6,5
==
ba
Íàéòè ñêà-
ëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ
a
è
,b
åñëè óãîë
j
ìåæäó íèìè ðàâåí: à) 45°; á) 90°; â) 120°.
q Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1), èìååì:
à)
;21545cos65 =°×=ba
á)
;090cos65 =°×=ba
â)
.15120cos65 -=°×=ba
n
Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè óãîë ìåæäó âåêòîðàìè
}2;0;2{=a
è
}.0;1;1{=b
q Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (2), ïîëó÷àåì
=
j
cos
,
2
1
28
2
=
×
=
ba
ba
îòêóäà
.60°=j
n
Îòìåòèì ñâîéñòâà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåê-
òîðîâ (
cba ,,
ëþáûå âåêòîðû, l ëþáîå ÷èñëî):
1
0
.
,0³aa
ïðè÷åì
,0
2
>a åñëè
.0¹a
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
469
468
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
2
0
.
abba =
(ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí).
3
0
. (a + b) c = a c + b c (ðàñïðåäåëèòåëüíûé
çàêîí).
4
0
.
)()( baba l=l
(ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí).
Ñâîéñòâà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ïîçâîëÿþò
ïðîèçâîäèòü ñî ñêàëÿðíûìè ïðîèçâåäåíèåì òå æå
ïðåîáðàçîâàíèÿ, ÷òî è ñ ìíîãî÷ëåíàìè â àëãåáðå.
Åñëè
,0=ba
òî
ba^
è îáðàòíî, åñëè
,ba ^
òî
.0=ba
Òàêèì îáðàçîì, íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷-
íûì óñëîâèåì ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè äâóõ íåíóëåâûõ
âåêòîðîâ ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî íóëþ èõ ñêàëÿðíîãî
ïðîèçâåäåíèÿ.
Ïóñòü âåêòîðû
a
è
b
çàäàíû ñâîèìè êîîðäèíà-
òàìè, ò. å.
};;{
111
ZYXa =
è
};;;{
222
ZYXb =
òîãäà
óñëîâèå ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè ïðèìåò âèä
.0
212121
=++ ZZYYXX (3)
Íóëåâîé âåêòîð ñ÷èòàåòñÿ îðòîãîíàëüíûì ëþáî-
ìó âåêòîðó.
Ï ð è ì å ð 3. Äîêàçàòü, ÷òî òðè âûñîòû òðåó-
ãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå.
q Ïóñòü Î òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ âûñîò â
ABCD
(ðèñ. 242):
BCOA^
è
.ACOB^
Ïîêàæåì, ÷òî
.ABOC^
Ðàññìîòðèì âåêòîðû
OBOACABCAB ,,,,
è
.OC
Íàéäåì
.ABOC ×
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî += OBOC
,, CABCABBC +=+
ïîëó÷èì
+×+×=++=× BCBCBCOBCABCBCOBABOC )()(
,CABCBCBCBCOBCABCCAOB ×+×+×=×+×+
Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå
ba
ìîæíî âû÷èñëèòü
ïî ôîðìóëå
,cos
j=
baba
(1)
ãäå
j
óãîë ìåæäó âåêòîðàìè
a
è
.b
Îòñþäà âû-
òåêàåò ôîðìóëà äëÿ íàõîæäåíèÿ êîñèíóñà óãëà ìåæ-
äó âåêòîðàìè:
.cos
ba
ba
=j
(2)
Ï ð è ì å ð 1. Äàíî:
.6,5
==
ba
Íàéòè ñêà-
ëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ
a
è
,b
åñëè óãîë
j
ìåæäó íèìè ðàâåí: à) 45°; á) 90°; â) 120°.
q Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1), èìååì:
à)
;21545cos65 =°×=ba
á)
;090cos65 =°×=ba
â)
.15120cos65 -=°×=ba
n
Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè óãîë ìåæäó âåêòîðàìè
}2;0;2{=a
è
}.0;1;1{=b
q Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (2), ïîëó÷àåì
=
j
cos
,
2
1
28
2
=
×
=
ba
ba
îòêóäà
.60°=j
n
Îòìåòèì ñâîéñòâà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåê-
òîðîâ (
cba ,,
ëþáûå âåêòîðû, l ëþáîå ÷èñëî):
1
0
.
,0³aa
ïðè÷åì
,0
2
>a åñëè
.0¹a
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
471
470
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
îò íóëÿ, èç
acab =
ñëåäóåò
cb =
).
q Èìååì
,cos
1
j= baba
2
cos
j
= caca
(ðèñ. 244). Íî
1
cos
j
b
ïðîåêöèÿ âåêòîðà
b
íà
âåêòîð
.a
Çíà÷èò, â êà÷åñòâå âåêòîðà
c
ìîæíî âçÿòü
ëþáîé âåêòîð, èìåþùèé òó æå ïðîåêöèþ íà âåêòîð
,a
÷òî è âåêòîð
.b
n
301. Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ. Âåêòîð-
íûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðà
a
íà âåêòîð
b
íàçû-
âàåòñÿ òàêîé âåêòîð
,c
÷òî åãî äëèíà ðàâíà ïðîèçâå-
òàê êàê
0=× ACOB
â ñèëó ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè âåê-
òîðîâ. Äàëåå èìååì
).( CABCOBBCABOC ++=×
Íî
OACABCOB =++
(ðèñ. 242). Çíà÷èò,
=× ABOC
,0=×= OABC
ïîñêîëüêó
.OABC ^
Îòñþäà ñëåäóåò,
÷òî è
.ABOC^
n
Ï ð è ì å ð 4. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè,
ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó À (4; 1; 2) ïåðïåíäèêóëÿð-
íî âåêòîðó
}.1;2;3{=n
q Âîçüìåì íà èñêîìîé ïëîñêîñòè ïðîèçâîëüíóþ
òî÷êó
);;( zyxM
(ðèñ. 243). Òîãäà
nAM ^
è
.0=× AMn
Îòñþäà ïîëó÷èì
,0)2(1)1(2)4(3 =-×+++- zyx
èëè
.01223 =-++ zyx
n
Ï ð è ì å ð 5. Äàíû íåíóëåâûå âåêòîðû
a
è
.b
Íàéòè âñå âåêòîðû
,c
óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ
caba =
(çàìåòèì, ÷òî äëÿ ÷èñåë
cba ,,
, îòëè÷íûõ
Ðèñ. 243 Ðèñ. 244
Ðèñ. 242
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
471
470
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
îò íóëÿ, èç
acab =
ñëåäóåò
cb =
).
q Èìååì
,cos
1
j= baba
2
cos
j
= caca
(ðèñ. 244). Íî
1
cos
j
b
ïðîåêöèÿ âåêòîðà
b
íà
âåêòîð
.a
Çíà÷èò, â êà÷åñòâå âåêòîðà
c
ìîæíî âçÿòü
ëþáîé âåêòîð, èìåþùèé òó æå ïðîåêöèþ íà âåêòîð
,a
÷òî è âåêòîð
.b
n
301. Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ. Âåêòîð-
íûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðà
a
íà âåêòîð
b
íàçû-
âàåòñÿ òàêîé âåêòîð
,c
÷òî åãî äëèíà ðàâíà ïðîèçâå-
òàê êàê
0=× ACOB
â ñèëó ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè âåê-
òîðîâ. Äàëåå èìååì
).( CABCOBBCABOC ++=×
Íî
OACABCOB =++
(ðèñ. 242). Çíà÷èò,
=× ABOC
,0=×= OABC
ïîñêîëüêó
.OABC ^
Îòñþäà ñëåäóåò,
÷òî è
.ABOC^
n
Ï ð è ì å ð 4. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè,
ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó À (4; 1; 2) ïåðïåíäèêóëÿð-
íî âåêòîðó
}.1;2;3{=n
q Âîçüìåì íà èñêîìîé ïëîñêîñòè ïðîèçâîëüíóþ
òî÷êó
);;( zyxM
(ðèñ. 243). Òîãäà
nAM ^
è
.0=× AMn
Îòñþäà ïîëó÷èì
,0)2(1)1(2)4(3 =-×+++- zyx
èëè
.01223 =-++ zyx
n
Ï ð è ì å ð 5. Äàíû íåíóëåâûå âåêòîðû
a
è
.b
Íàéòè âñå âåêòîðû
,c
óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ
caba =
(çàìåòèì, ÷òî äëÿ ÷èñåë
cba ,,
, îòëè÷íûõ
Ðèñ. 243 Ðèñ. 244
Ðèñ. 242