Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл
Подождите немного. Документ загружается.
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
473
472
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
Âåêòîð
c
íàïðàâëåí ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñ-
òè õÎó, â êîòîðîé ëåæàò âåêòîðû
i
è
,j
êàê óêàçàíî
íà ðèñ. 246. Çíà÷èò,
c
ýòî åäèíè÷íûé âåêòîð, íà-
ïðàâëåíèå êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì
îñè Oz, ò. å. âåêòîð
.k
Èòàê,
.kji =´
Àíàëîãè÷íî
ïîëó÷èì
., jikikj =´=´
Çàìåòèì, ÷òî âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå êîëëèíåàð-
íûõ âåêòîðîâ ðàâíî íóëåâîìó âåêòîðó (òàê,
´=´ jii
0=´= kkj
).
Ïóñòü
},;;{
111
ZYXa =
}.;;{
222
ZYXb =
Òîãäà
âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå
ba ´
ìîæíî íàéòè ïî ôîð-
ìóëå
.
222
111
ZYX
ZYX
kji
ba =´
(1)
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ñ
âåðøèíàìè
)7;4;1(),4;2;3( ------ NM
è
).2;2;1( -P
q Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà
MNP
ðàâíà ïîëîâèíå
ïëîùàäè ïàðàëëåëîãðàììà
MNQP
(ðèñ. 247), ïîñò-
ðîåííîãî íà âåêòîðàõ
}3;2;2{ --== aMN
è
=MP
}.6;0;4{== b
Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1), èìååì
,82412
604
322 kji
kji
ba +--=-=´
äåíèþ äëèí âåêòîðîâ
a
è
b
íà ñèíóñ óãëà ìåæäó
íèìè, ò. å.
,sin
j=
bac
à íàïðàâëåíèå ïåðïåíäè-
êóëÿðíî ïëîñêîñòè, â êîòîðîé ëåæàò âåêòîðû
a
è
b
, ïðè÷åì ïîâîðîò îò âåêòîðà
a
ê âåêòîðó
b
íà
íàèìåíüøèé óãîë âèäåí èç êîíöà âåêòîðà
c
ïðîèñ-
õîäÿùèì ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè (ðèñ. 245).
Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå
a
íà
b
îáîçíà÷àåòñÿ
òàê:
ba ´
èëè
].,[ ba
Òàê êàê
jsinba
ýòî ïëîùàäü ïàðàëëåëîã-
ðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ
a
è
b
, òî äëèíà
âåêòîðà
c
÷èñëåííî ðàâíà ïëîùàäè ýòîãî ïàðàëëå-
ëîãðàììà.
Íàéäåì, íàïðèìåð,
jic ´=
(ðèñ. 246). Òàê êàê
ïàðàëëåëîãðàìì, ïîñòðîåííûé íà ïåðåìíîæàåìûõ
âåêòîðàõ, ýòî êâàäðàò ñî ñòîðîíîé 1, òî
.1=c
Ðèñ. 246Ðèñ. 245
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
473
472
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
Âåêòîð
c
íàïðàâëåí ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñ-
òè õÎó, â êîòîðîé ëåæàò âåêòîðû
i
è
,j
êàê óêàçàíî
íà ðèñ. 246. Çíà÷èò,
c
ýòî åäèíè÷íûé âåêòîð, íà-
ïðàâëåíèå êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì
îñè Oz, ò. å. âåêòîð
.k
Èòàê,
.kji =´
Àíàëîãè÷íî
ïîëó÷èì
., jikikj =´=´
Çàìåòèì, ÷òî âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå êîëëèíåàð-
íûõ âåêòîðîâ ðàâíî íóëåâîìó âåêòîðó (òàê,
´=´ jii
0=´= kkj
).
Ïóñòü
},;;{
111
ZYXa =
}.;;{
222
ZYXb =
Òîãäà
âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå
ba ´
ìîæíî íàéòè ïî ôîð-
ìóëå
.
222
111
ZYX
ZYX
kji
ba =´
(1)
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ñ
âåðøèíàìè
)7;4;1(),4;2;3( ------ NM
è
).2;2;1( -P
q Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà
MNP
ðàâíà ïîëîâèíå
ïëîùàäè ïàðàëëåëîãðàììà
MNQP
(ðèñ. 247), ïîñò-
ðîåííîãî íà âåêòîðàõ
}3;2;2{ --== aMN
è
=MP
}.6;0;4{== b
Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1), èìååì
,82412
604
322 kji
kji
ba +--=-=´
äåíèþ äëèí âåêòîðîâ
a
è
b
íà ñèíóñ óãëà ìåæäó
íèìè, ò. å.
,sin
j=
bac
à íàïðàâëåíèå ïåðïåíäè-
êóëÿðíî ïëîñêîñòè, â êîòîðîé ëåæàò âåêòîðû
a
è
b
, ïðè÷åì ïîâîðîò îò âåêòîðà
a
ê âåêòîðó
b
íà
íàèìåíüøèé óãîë âèäåí èç êîíöà âåêòîðà
c
ïðîèñ-
õîäÿùèì ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè (ðèñ. 245).
Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå
a
íà
b
îáîçíà÷àåòñÿ
òàê:
ba ´
èëè
].,[ ba
Òàê êàê
jsinba
ýòî ïëîùàäü ïàðàëëåëîã-
ðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ
a
è
b
, òî äëèíà
âåêòîðà
c
÷èñëåííî ðàâíà ïëîùàäè ýòîãî ïàðàëëå-
ëîãðàììà.
Íàéäåì, íàïðèìåð,
jic ´=
(ðèñ. 246). Òàê êàê
ïàðàëëåëîãðàìì, ïîñòðîåííûé íà ïåðåìíîæàåìûõ
âåêòîðàõ, ýòî êâàäðàò ñî ñòîðîíîé 1, òî
.1=c
Ðèñ. 246Ðèñ. 245
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
475
474
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
q Èñêîìàÿ ïëîùàäü ðàâíà ìîäóëþ âåêòîðíîãî
ïðîèçâåäåíèÿ
)()( baba -´+
(ñì. ðèñ. 238, á). Èìå-
åì
.
)
(
)
(
bbbaabaababa ´-´-´+´=-´+
Íî
,,0 baabbbaa ´-=´=´=´
îòêóäà
-´+ aba ()(
).(2) abb ´=-
Èòàê, èñêîìàÿ ïëîùàäü ðàâíà
20 êâ. åä. n
Ï ð è ì å ð 3. Äàíû íåíóëåâûå âåêòîðû
a
è
.b
Íàéòè âñå âåêòîðû
c
, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ
.caba ´=´
q Èìååì
,sin
1
j=´
baba
2
sin
j
=´ caca
(ðèñ. 248), ò. å. ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåí-
íîãî íà âåêòîðàõ
a
è
,b
äîëæíà áûòü ðàâíà ïëîùà-
äè ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ
a
è
.c
Òàê êàê ýòè ïàðàëëåëîãðàììû èìåþò îáùåå îñíî-
âàíèå
,a
òî ó íèõ äîëæíû áûòü ðàâíûå âûñîòû. Èòàê,
â êà÷åñòâå âåêòîðà
c
ìîæíî âçÿòü ëþáîé âåêòîð, íà-
÷àëî êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ íà÷àëîì âåêòîðà
,a
à êî-
íåö ëåæèò íà ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç êîíåö âåê-
òîðà
b
ïàðàëëåëüíî âåêòîðó
a
. n
302. Ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ. Ñìåøàí-
íûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðîâ
ba,
è
,c
êîòîðîå
îáîçíà÷àåòñÿ
cba
èëè (
,, ba
c
), íàçûâàåòñÿ ÷èñëî,
ðàâíîå ñêàëÿðíîìó ïðîèçâåäåíèþ âåêòîðà
a
íà âåê-
òîðíîå ïðîèçâåäåíèå
cb ´
èëè ñêàëÿðíîìó ïðîèçâå-
îòêóäà
=++=´=
D
645761445,05,0 baS
MNP
14285,0 =×=
(êâ.åä). n
Îòìåòèì ñâîéñòâà âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ (
,a
cb,
ëþáûå âåêòîðû,
l
ëþáîå ÷èñëî):
1
0
.
,abba ´-=´
ò. å. ïðè ïåðåìåíå ìåñò ñîìíî-
æèòåëåé âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå ìåíÿåò çíàê. Òà-
êèì îáðàçîì, âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå íå ïîä÷èíÿåò-
ñÿ ïåðåìåñòèòåëüíîìó çàêîíó.
2
0
.
cbcacba ´+´=´+ )(
(ðàñïðåäåëèòåëü-
íûé çàêîí).
3
0
.
)
(
)
(
baba ´l=´l
(ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí).
Ï ð è ì å ð 2. Ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñò-
ðîåííîãî íà âåêòîðàõ
a
è
,b
ðàâíà 10 êâ. åä. Íàéòè
ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà åãî äèà-
ãîíàëÿõ.
Ðèñ. 248Ðèñ. 247
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
475
474
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
q Èñêîìàÿ ïëîùàäü ðàâíà ìîäóëþ âåêòîðíîãî
ïðîèçâåäåíèÿ
)()( baba -´+
(ñì. ðèñ. 238, á). Èìå-
åì
.
)
(
)
(
bbbaabaababa ´-´-´+´=-´+
Íî
,,0 baabbbaa ´-=´=´=´
îòêóäà
-´+ aba ()(
).(2) abb ´=-
Èòàê, èñêîìàÿ ïëîùàäü ðàâíà
20 êâ. åä. n
Ï ð è ì å ð 3. Äàíû íåíóëåâûå âåêòîðû
a
è
.b
Íàéòè âñå âåêòîðû
c
, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ
.caba ´=´
q Èìååì
,sin
1
j=´
baba
2
sin
j
=´ caca
(ðèñ. 248), ò. å. ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåí-
íîãî íà âåêòîðàõ
a
è
,b
äîëæíà áûòü ðàâíà ïëîùà-
äè ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ
a
è
.c
Òàê êàê ýòè ïàðàëëåëîãðàììû èìåþò îáùåå îñíî-
âàíèå
,a
òî ó íèõ äîëæíû áûòü ðàâíûå âûñîòû. Èòàê,
â êà÷åñòâå âåêòîðà
c
ìîæíî âçÿòü ëþáîé âåêòîð, íà-
÷àëî êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ íà÷àëîì âåêòîðà
,a
à êî-
íåö ëåæèò íà ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç êîíåö âåê-
òîðà
b
ïàðàëëåëüíî âåêòîðó
a
. n
302. Ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ. Ñìåøàí-
íûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðîâ
ba,
è
,c
êîòîðîå
îáîçíà÷àåòñÿ
cba
èëè (
,, ba
c
), íàçûâàåòñÿ ÷èñëî,
ðàâíîå ñêàëÿðíîìó ïðîèçâåäåíèþ âåêòîðà
a
íà âåê-
òîðíîå ïðîèçâåäåíèå
cb ´
èëè ñêàëÿðíîìó ïðîèçâå-
îòêóäà
=++=´=
D
645761445,05,0 baS
MNP
14285,0 =×=
(êâ.åä). n
Îòìåòèì ñâîéñòâà âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ (
,a
cb,
ëþáûå âåêòîðû,
l
ëþáîå ÷èñëî):
1
0
.
,abba ´-=´
ò. å. ïðè ïåðåìåíå ìåñò ñîìíî-
æèòåëåé âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå ìåíÿåò çíàê. Òà-
êèì îáðàçîì, âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå íå ïîä÷èíÿåò-
ñÿ ïåðåìåñòèòåëüíîìó çàêîíó.
2
0
.
cbcacba ´+´=´+ )(
(ðàñïðåäåëèòåëü-
íûé çàêîí).
3
0
.
)
(
)
(
baba ´l=´l
(ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí).
Ï ð è ì å ð 2. Ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñò-
ðîåííîãî íà âåêòîðàõ
a
è
,b
ðàâíà 10 êâ. åä. Íàéòè
ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà åãî äèà-
ãîíàëÿõ.
Ðèñ. 248Ðèñ. 247
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
477
476
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
AD
(ðèñ. 249). Íàõîäèì == ACAB },2;3;1{
},1;2;1{=
}.1;1;1{-=AD
Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1),
èìååì
=
-
+
-
-=
-
=××
11
21
2
11
11
3
11
12
111
121
231
ADACAB
.132231 =×+×-=
Èòàê,
6
1
=
DABC
V
(êóá. åä). n
Ï ð è ì å ð 2. Ïðÿìàÿ m
ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó
Ì (2; 1; 3) ïàðàëëåëüíî âåêòîðó
};2;1;1{ -=a
ïðÿ-
ìàÿ
n
ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó
)2;4;3(N
ïàðàëëåëüíî
âåêòîðó
}.2;1;2{=b
Óñòàíîâèòü, ïåðåñåêàþòñÿ ëè ýòè
ïðÿìûå èëè ñêðåùèâàþòñÿ (ñì. ï. 303).
q Åñëè ýòè ïðÿìûå ïåðåñåêàþòñÿ, òî âåêòîðû
ba,
è
MN
êîìïëàíàðíû, ò. å.
.0=×× MNba
Èìååì
,011047
31
12
2
11
22
13
21
131
212
211
¹-=+--=+
-
+
-
=
-
-
ñëåäîâàòåëüíî, äàííûå ïðÿìûå ñêðåùèâàþòñÿ. n
Ï ð è ì å ð 3. Íàéòè ðàññòîÿíèå ìåæäó ñêðåùè-
âàþùèìèñÿ ïðÿìûìè, çàäàííûìè â ïðèìåðå 2.
äåíèþ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ
ba ´
íà âåêòîð
,c
ò. å.
.
)
(
)
(
cbacbacba ´=´=
Ïóñòü
},;;{
111
ZYXa =
},;;{
222
ZYXb =
;
{
3
Xc =
}
.;
33
ZY
Òîãäà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
.
323
222
111
ZYX
ZYX
ZYX
cba =
(1)
Îòìåòèì ñâîéñòâà ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ
(
dcba ,,,
ëþáûå âåêòîðû,
l
ëþáîå ÷èñëî):
1
0
.
),()()( bcaabccabbacacbcba -=-=-===
ò. å. ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå íå ìåíÿåòñÿ ïðè êðó-
ãîâîé ïåðåñòàíîâêå ñîìíîæèòåëåé è ìåíÿåò çíàê ïðè
ïåðåñòàíîâêå äâóõ ñîìíîæèòåëåé.
2
0
.
dcbdcadcba +=+
)
(
(ðàñïðåäåëèòåëü-
íûé çàêîí).
3
0
.
)
(
)
(
cbacba l=l
(ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí
îòíîñèòåëüíî ñêàëÿðíîãî ìíîæèòåëÿ).
Àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ
âåêòîðîâ
ba,
è
c
ðàâíà îáúåìó ïàðàëëåëåïèïåäà,
ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ-ñîìíîæèòåëÿõ.
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè îáúåì ïèðàìèäû ñ âåð-
øèíàìè â òî÷êàõ À (1; 1; 1),  (2; 4; 3), Ñ (2; 3; 2),
D (0; 2; 2).
q Î÷åâèäíî, ÷òî èñêîìûé îáúåì ðàâåí
6
1
îáúåìà
ïàðàëëåëåïèïåäà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ
,AB
,AC
ÀÑ =
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
477
476
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
AD
(ðèñ. 249). Íàõîäèì == ACAB },2;3;1{
},1;2;1{=
}.1;1;1{-=AD
Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1),
èìååì
=
-
+
-
-=
-
=××
11
21
2
11
11
3
11
12
111
121
231
ADACAB
.132231 =×+×-=
Èòàê,
6
1
=
DABC
V
(êóá. åä). n
Ï ð è ì å ð 2. Ïðÿìàÿ m
ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó
Ì (2; 1; 3) ïàðàëëåëüíî âåêòîðó
};2;1;1{ -=a
ïðÿ-
ìàÿ
n
ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó
)2;4;3(N
ïàðàëëåëüíî
âåêòîðó
}.2;1;2{=b
Óñòàíîâèòü, ïåðåñåêàþòñÿ ëè ýòè
ïðÿìûå èëè ñêðåùèâàþòñÿ (ñì. ï. 303).
q Åñëè ýòè ïðÿìûå ïåðåñåêàþòñÿ, òî âåêòîðû
ba,
è
MN
êîìïëàíàðíû, ò. å.
.0=×× MNba
Èìååì
,011047
31
12
2
11
22
13
21
131
212
211
¹-=+--=+
-
+
-
=
-
-
ñëåäîâàòåëüíî, äàííûå ïðÿìûå ñêðåùèâàþòñÿ. n
Ï ð è ì å ð 3. Íàéòè ðàññòîÿíèå ìåæäó ñêðåùè-
âàþùèìèñÿ ïðÿìûìè, çàäàííûìè â ïðèìåðå 2.
äåíèþ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ
ba ´
íà âåêòîð
,c
ò. å.
.
)
(
)
(
cbacbacba ´=´=
Ïóñòü
},;;{
111
ZYXa =
},;;{
222
ZYXb =
;
{
3
Xc =
}
.;
33
ZY
Òîãäà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
.
323
222
111
ZYX
ZYX
ZYX
cba =
(1)
Îòìåòèì ñâîéñòâà ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ
(
dcba ,,,
ëþáûå âåêòîðû,
l
ëþáîå ÷èñëî):
1
0
.
),()()( bcaabccabbacacbcba -=-=-===
ò. å. ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå íå ìåíÿåòñÿ ïðè êðó-
ãîâîé ïåðåñòàíîâêå ñîìíîæèòåëåé è ìåíÿåò çíàê ïðè
ïåðåñòàíîâêå äâóõ ñîìíîæèòåëåé.
2
0
.
dcbdcadcba +=+
)
(
(ðàñïðåäåëèòåëü-
íûé çàêîí).
3
0
.
)
(
)
(
cbacba l=l
(ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí
îòíîñèòåëüíî ñêàëÿðíîãî ìíîæèòåëÿ).
Àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ
âåêòîðîâ
ba,
è
c
ðàâíà îáúåìó ïàðàëëåëåïèïåäà,
ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ-ñîìíîæèòåëÿõ.
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè îáúåì ïèðàìèäû ñ âåð-
øèíàìè â òî÷êàõ À (1; 1; 1),  (2; 4; 3), Ñ (2; 3; 2),
D (0; 2; 2).
q Î÷åâèäíî, ÷òî èñêîìûé îáúåì ðàâåí
6
1
îáúåìà
ïàðàëëåëåïèïåäà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ
,AB
,AC
ÀÑ =
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
479
478
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
îòêóäà
.299416 =++=´= baS
Èòàê,
.
29
1
=h
n
Ï ð è ì å ð 4. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè,
ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè À (1; 2; 3),  (3; 2; 1)
è Ñ (5; 2; 3).
q Âîçüìåì íà èñêîìîé ïëîñêîñòè ïðîèçâîëüíóþ
òî÷êó
);;( zyxM
(ðèñ. 251). Òîãäà âåêòîðû
,, ABAM
AC
êîìïëàíàðíû è
.0=×× ACABAM
Îòñþäà
,0
644
202
321
=
--
-
--- zyx
èëè
)2(4)1(8 -+-- yx
),3(8 -- z
ò. å.
.0622 =-+- zyx
n
q Èñêîìîå ðàññòîÿíèå ýòî âûñîòà ïàðàëëåëå-
ïèïåäà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ
MNba ,,
(ðèñ. 250).
Òàê êàê
,ShV =
òî
,
S
V
h =
ãäå V = 1 (àáñîëþòíàÿ
âåëè÷èíà ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ, íàéäåííîãî â ïðè-
ìåðå 2), à
.baS ´=
Èìååì
,324
212
211
kji
kji
ba ++-=-=´
Ðèñ. 250Ðèñ. 249
Ðèñ. 251
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
479
478
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
îòêóäà
.299416 =++=´= baS
Èòàê,
.
29
1
=h
n
Ï ð è ì å ð 4. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè,
ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè À (1; 2; 3),  (3; 2; 1)
è Ñ (5; 2; 3).
q Âîçüìåì íà èñêîìîé ïëîñêîñòè ïðîèçâîëüíóþ
òî÷êó
);;( zyxM
(ðèñ. 251). Òîãäà âåêòîðû
,, ABAM
AC
êîìïëàíàðíû è
.0=×× ACABAM
Îòñþäà
,0
644
202
321
=
--
-
--- zyx
èëè
)2(4)1(8 -+-- yx
),3(8 -- z
ò. å.
.0622 =-+- zyx
n
q Èñêîìîå ðàññòîÿíèå ýòî âûñîòà ïàðàëëåëå-
ïèïåäà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ
MNba ,,
(ðèñ. 250).
Òàê êàê
,ShV =
òî
,
S
V
h =
ãäå V = 1 (àáñîëþòíàÿ
âåëè÷èíà ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ, íàéäåííîãî â ïðè-
ìåðå 2), à
.baS ´=
Èìååì
,324
212
211
kji
kji
ba ++-=-=´
Ðèñ. 250Ðèñ. 249
Ðèñ. 251
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 37. Âçàèìí. ðàñïîëîæ. ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
481
480
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
Ì íà ïðÿìóþ, íàçûâàåòñÿ ïðÿìàÿ, îáðàçóþùàÿ ñ äàí-
íîé óãîë 90° è ïåðåñåêàþùàÿ åå (ïåðïåíäèêóëÿðîì
íàçûâàåòñÿ òàêæå äëèíà îòðåçêà
MN
îò òî÷êè Ì äî
òî÷êè N ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ; ðèñ. 253). Åñëè òî÷êà
Ì ëåæèò âíå ïðÿìîé, òî òàêîé ïåðïåíäèêóëÿð åäèí-
ñòâåííûé. Åñëè æå òî÷êà Ì ëåæèò íà ïðÿìîé, òî ìîæ-
íî ïðîâåñòè áåñêîíå÷íî ìíîãî ïðÿìûõ, ïðîõîäÿùèõ
÷åðåç Ì è ïåðïåíäèêóëÿðíûõ äàííîé ïðÿìîé.
Ñóùåñòâóåò òîëüêî îäèí ïåðïåíäèêóëÿð, îáùèé
äëÿ äâóõ ñêðåùèâàþùèõñÿ ïðÿìûõ. Åãî äëèíà íà-
çûâàåòñÿ ðàññòîÿíèåì ìåæäó ñêðåùèâàþùèìè-
ñÿ ïðÿìûìè. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ýòîãî ïåðïåíäèêóëÿ-
ðà ïðîâåäåì ÷åðåç îäíó èç ñêðåùèâàþùèõñÿ ïðÿ-
ìûõ ïëîñêîñòü, ïàðàëëåëüíóþ äðóãîé ïðÿìîé (íà
ðèñ. 254 ïëîñêîñòü Ð ïðîâåäåíà ÷åðåç ïðÿìóþ
m
è
ïàðàëëåëüíà ïðÿìîé
n
), çàòåì ÷åðåç âòîðóþ ïðÿ-
ìóþ (
n
) ïðîâåäåì ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ
ïåðâîé ïëîñêîñòè (
QP^
). Ïóñòü ïëîñêîñòü
Q
ïå-
ðåñåêàåò ïðÿìóþ
m
â òî÷êå À. Òîãäà ïåðïåíäèêó-
ëÿð ê ïðÿìîé
m
â òî÷êå À è åñòü èñêîìûé.
§ 37. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå
ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé
303. Ïàðàëëåëüíûå, ïåðåñåêàþùèåñÿ è ñêðåùè-
âàþùèåñÿ ïðÿìûå. Äâå ïðÿìûå â ïðîñòðàíñòâå íà-
çûâàþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè, åñëè îíè ëåæàò â îäíîé
ïëîñêîñòè è íå ïåðåñåêàþòñÿ. Ïðÿìûå, êîòîðûå íå
ïåðåñåêàþòñÿ è íå ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè, íàçûâà-
þòñÿ ñêðåùèâàþùèìèñÿ. Èòàê, âîçìîæíû òðè ñëó-
÷àÿ âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ äâóõ ïðÿìûõ â ïðî-
ñòðàíñòâå: 1) îíè ïåðåñåêàþòñÿ; 2) îíè ïàðàëëåëü-
íû; 3) îíè ñêðåùèâàþòñÿ.  ïåðâûõ äâóõ ñëó÷àÿõ
ïðÿìûå ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè, â òðåòüåì
â ðàçíûõ ïëîñêîñòÿõ.
Íàïðèìåð, â êóáå
1111
DCBABCDA
(ðèñ. 252) ðåá-
ðà ÀÂ è À
1
Â
1
èëè
AD
è
11
DA
è ò. ä. ïàðàëëåëüíû;
ðåáðà ÀÀ
1
è À
1
Â
1
èëè ÂÑ è
CD
è ò. ä. ïåðåñåêàþò-
ñÿ; ðåáðà ÀÀ
1
è
CD
èëè ÀÀ
1
è Â
1
Ñ
1
è ò. ä. ñêðåùè-
âàþòñÿ.
Îòìåòèì, ÷òî â ïðîñòðàíñòâå, êàê è íà ïëîñêîñòè,
ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:
äâå ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå òðåòüåé, ïàðàëëåëüíû
ìåæäó ñîáîé (ïðè ýòîì âñå òðè ïðÿìûå ìîãóò è íå
ëåæàòü â îäíîé ïëîñêîñòè; íàïðèìåð, ÷åðåç ïàðàë-
ëåëüíûå ïðÿìûå ÀÂ,
CD
è À
1
Â
1
, èçîáðàæåííûå íà
ðèñ. 252, íåëüçÿ ïðîâåñòè ïëîñêîñòü);
óãëû ñ ñîîòâåòñòâåííî ïàðàëëåëüíûìè è îäèíà-
êîâî íàïðàâëåííûìè ñòîðîíàìè ðàâíû.
Óãëîì ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè íà-
çûâàåòñÿ óãîë ìåæäó äâóìÿ ïðÿìûìè, ïàðàëëåëüíû-
ìè äàííûì è ïðîõîäÿùèìè ÷åðåç ïðîèçâîëüíóþ òî÷-
êó Ì.
Ïåðïåíäèêóëÿðîì, îïóùåííûì èç äàííîé òî÷êè
Ðèñ. 252 Ðèñ. 253
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 37. Âçàèìí. ðàñïîëîæ. ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
481
480
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
Ì íà ïðÿìóþ, íàçûâàåòñÿ ïðÿìàÿ, îáðàçóþùàÿ ñ äàí-
íîé óãîë 90° è ïåðåñåêàþùàÿ åå (ïåðïåíäèêóëÿðîì
íàçûâàåòñÿ òàêæå äëèíà îòðåçêà
MN
îò òî÷êè Ì äî
òî÷êè N ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ; ðèñ. 253). Åñëè òî÷êà
Ì ëåæèò âíå ïðÿìîé, òî òàêîé ïåðïåíäèêóëÿð åäèí-
ñòâåííûé. Åñëè æå òî÷êà Ì ëåæèò íà ïðÿìîé, òî ìîæ-
íî ïðîâåñòè áåñêîíå÷íî ìíîãî ïðÿìûõ, ïðîõîäÿùèõ
÷åðåç Ì è ïåðïåíäèêóëÿðíûõ äàííîé ïðÿìîé.
Ñóùåñòâóåò òîëüêî îäèí ïåðïåíäèêóëÿð, îáùèé
äëÿ äâóõ ñêðåùèâàþùèõñÿ ïðÿìûõ. Åãî äëèíà íà-
çûâàåòñÿ ðàññòîÿíèåì ìåæäó ñêðåùèâàþùèìè-
ñÿ ïðÿìûìè. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ýòîãî ïåðïåíäèêóëÿ-
ðà ïðîâåäåì ÷åðåç îäíó èç ñêðåùèâàþùèõñÿ ïðÿ-
ìûõ ïëîñêîñòü, ïàðàëëåëüíóþ äðóãîé ïðÿìîé (íà
ðèñ. 254 ïëîñêîñòü Ð ïðîâåäåíà ÷åðåç ïðÿìóþ
m
è
ïàðàëëåëüíà ïðÿìîé
n
), çàòåì ÷åðåç âòîðóþ ïðÿ-
ìóþ (
n
) ïðîâåäåì ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ
ïåðâîé ïëîñêîñòè (
QP^
). Ïóñòü ïëîñêîñòü
Q
ïå-
ðåñåêàåò ïðÿìóþ
m
â òî÷êå À. Òîãäà ïåðïåíäèêó-
ëÿð ê ïðÿìîé
m
â òî÷êå À è åñòü èñêîìûé.
§ 37. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå
ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé
303. Ïàðàëëåëüíûå, ïåðåñåêàþùèåñÿ è ñêðåùè-
âàþùèåñÿ ïðÿìûå. Äâå ïðÿìûå â ïðîñòðàíñòâå íà-
çûâàþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè, åñëè îíè ëåæàò â îäíîé
ïëîñêîñòè è íå ïåðåñåêàþòñÿ. Ïðÿìûå, êîòîðûå íå
ïåðåñåêàþòñÿ è íå ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè, íàçûâà-
þòñÿ ñêðåùèâàþùèìèñÿ. Èòàê, âîçìîæíû òðè ñëó-
÷àÿ âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ äâóõ ïðÿìûõ â ïðî-
ñòðàíñòâå: 1) îíè ïåðåñåêàþòñÿ; 2) îíè ïàðàëëåëü-
íû; 3) îíè ñêðåùèâàþòñÿ.  ïåðâûõ äâóõ ñëó÷àÿõ
ïðÿìûå ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè, â òðåòüåì
â ðàçíûõ ïëîñêîñòÿõ.
Íàïðèìåð, â êóáå
1111
DCBABCDA
(ðèñ. 252) ðåá-
ðà ÀÂ è À
1
Â
1
èëè
AD
è
11
DA
è ò. ä. ïàðàëëåëüíû;
ðåáðà ÀÀ
1
è À
1
Â
1
èëè ÂÑ è
CD
è ò. ä. ïåðåñåêàþò-
ñÿ; ðåáðà ÀÀ
1
è
CD
èëè ÀÀ
1
è Â
1
Ñ
1
è ò. ä. ñêðåùè-
âàþòñÿ.
Îòìåòèì, ÷òî â ïðîñòðàíñòâå, êàê è íà ïëîñêîñòè,
ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:
äâå ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå òðåòüåé, ïàðàëëåëüíû
ìåæäó ñîáîé (ïðè ýòîì âñå òðè ïðÿìûå ìîãóò è íå
ëåæàòü â îäíîé ïëîñêîñòè; íàïðèìåð, ÷åðåç ïàðàë-
ëåëüíûå ïðÿìûå ÀÂ,
CD
è À
1
Â
1
, èçîáðàæåííûå íà
ðèñ. 252, íåëüçÿ ïðîâåñòè ïëîñêîñòü);
óãëû ñ ñîîòâåòñòâåííî ïàðàëëåëüíûìè è îäèíà-
êîâî íàïðàâëåííûìè ñòîðîíàìè ðàâíû.
Óãëîì ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè íà-
çûâàåòñÿ óãîë ìåæäó äâóìÿ ïðÿìûìè, ïàðàëëåëüíû-
ìè äàííûì è ïðîõîäÿùèìè ÷åðåç ïðîèçâîëüíóþ òî÷-
êó Ì.
Ïåðïåíäèêóëÿðîì, îïóùåííûì èç äàííîé òî÷êè
Ðèñ. 252 Ðèñ. 253