Михалевська Т.В., Ісаєнко В.М., Гроза В.А. Основи статистичного обліку і банки інформації в екології. НАУ-друк, 2009

Подождите немного. Документ загружается.

121

шим, показники якого належать до більш тривалих періодів часу.

Новостворений ряд може складатися з абсолютних значень, взятих

за укрупнені періоди часу (ці величини дістають додаванням рівнів

первинного ряду абсолютних величин), або із середніх величин по

інтервалах. При додаванні рівнів або при виведенні середніх по

укрупнених інтервалах взаємоврівноважуються коливання первин-

ного ряду, внаслідок чого тенденція розвитку вирізняється чіткіше.

При виборі інтервалу згладжування необхідно враховувати, що

чим більше укрупнений інтервал, тим більш плавною буде тенден-

ція розвитку, але при цьому можуть загубитися суттєві для явища

ознаки, що викликають специфічні коливання рівнів ряду динаміки.

Визначення основної тенденції розвитку методом згладжування є

прийомом попереднього аналізу. Для того щоб мати кількісну мо-

дель, яка виражає загальну тенденцію зміни рівнів динамічного ряду

у часі, використовують

аналітичне вирівнювання ряду динаміки.

При аналітичному вирівнюванні динамічного ряду фактичні зна-

чення замінюються обчисленими на основі певної функції, яку нази-

вають

трендовим рівнянням. У разі, коли адекватність трендової

моделі доведено, її можна використовувати для прогнозування роз-

витку процесу чи явища.

Вибір форми трендового рівняння залежить від інтенсивності

динаміки явища (див. підрозд. 6.2). Параметри трендових рівнянь

визначають методом найменших квадратів, суть якого полягає у знахо-

дженні такої прямої або кривої, ординати точок якої були б

найближчі

до значень фактичного динамічного ряду. Для лінійної функції

Yabt=+

Метод найменших квадратів приводить до такої системи для

знаходження параметрів тренду:

111

nnn

iiii

iii

na b t y

at bt yt

===

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

∑∑

∑∑∑

Адекватність лінії тренду характеризує параметр R

достовір-

ності апроксимації:

ii i i

nty t y

tny

tyn

−

∑∑

∑

⎧⎫⎧ ⎫

⎪⎪⎪ ⎪

−−

∑∑

⎨⎬⎨ ⎬

⎪⎪⎪ ⎪

⎩⎭⎩ ⎭

⎛⎞ ⎛ ⎞

∑∑

⎜⎟ ⎜ ⎟

⎝⎠ ⎝ ⎠

= .

122

Чим ближчий параметр R

до 1, тим адекватніше лінія тренду

описує характер зміни величини Y. Якщо R

близьке до 0, то не мож-

на приймати обраний тренд за модель залежності. У випадку, коли

жоден із типів трендів не дає задовільного результату, то можна ви-

сувати гіпотезу про відсутність тенденції зміни величини Y. Якщо ж

параметр R

близький до 1, то за деяких припущень (а саме, з пев-

ним рівнем достовірності) можна розглядати побудований тренд як

модель зміни величини Y. При аналізі динамічних рядів часто вико-

ристовують такі методи як інтерполяція та екстраполяція.

Інтерполяція — це знаходження невідомого (відсутнього у пер-

винному динамічному ряді) рівня у межах досліджуваного ряду.

Екстраполяція — розрахунок (прогноз) показників, що можуть

знаходитися за межами досліджуваного ряду динаміки. Такі розра-

хунки здійснюють, виходячи з припущення, що виявлена тенденція

матиме місце і надалі.

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

1. Які методи використовуються для обробки й аналізу динамічних рядів?

2. Як здійснюється згладжування рівнів динамічних рядів?

3. У чому полягає суть методу аналітичного вирівнювання рядів динаміки?

4. Що таке інтерполяція та екстраполяція рядів динаміки?

6.5. Статистичне вивчення сезонних коливань

Багато природних явищ, які є предметом вивчення статистики,

мають сезонний характер. Сезонними називають більш-менш стійкі

коливання в рядах динаміки, зумовлені специфічними факторами,

пов’язаними в основному з порами року.

Для дослідження сезонних коливань можна використовувати різ-

ні методи, які дають змогу оцінити сезонність з різною точністю і

надійністю. Сезонні коливання характеризують спеціальним показни-

ком, який називають індексом сезонності

I . У сукупності ці індекси

утворюють сезонну хвилю.

Індекс сезонності — це процентне відношення фактичних рівнів

рядів динаміки до середніх або вирівняних рядів:

= .

123

Для вивчення загальної тенденції сезонності за деякий період часу

використовують узагальнювальний показник, яким може бути серед-

ньорічний коефіцієнт сезонності, що розраховується за формулою:

де

I — середньорічний коефіцієнт сезонності; d — середнє ліній-

не відхилення квартальних рівнів ряду динаміки від середнього рівня.

Чим ближче значення

до нуля, тим менший рівень сезонності.

Використовуючи середньорічний коефіцієнт сезонності, можна

визначити коефіцієнт стабільності:

II=−

Крім цього методу, можна використовувати інші методи, зокре-

ма, ковзної середньої, аналітичного згладжування, Персонса, рядів

Фур’є. Незалежно від методу згладжування емпіричних даних і спо-

собу визначення сезонної хвилі одержані індекси сезонності будуть

близькими за значенням, тому для поточного аналізу сезонності

будь-якого явища цілком прийнятне використання менш трудоміст-

кого

методу простої середньої.

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

1. Наведіть приклади природних явищ, що мають властивість сезон-

ності.

2. Якими методами досліджують сезонні коливання?

124

7.1. Основні поняття і визначення

Перед тим, як приступити до аналізу статистичних методів облі-

ку та прогнозування стану довкілля, розглянемо деякі загальні по-

няття і визначення, що належать до кореляційних і регресійних мо-

делей. Дві випадкові величини є кореляційно зв’язаними, якщо матема-

тичне сподівання однієї з них змінюється залежно від зміни іншої.

Застосування кореляційного аналізу

припускає виконання таких

передумов:

1. Випадкові величини y(у

, ..., y

) і х(х

, x

, ..., x

) можуть роз-

глядатись як вибірка з двовимірної генеральної сукупності з норма-

льним законом розподілу.

2. Очікувана величина похибки

дорівнює нулю:

0u =

∑

3. Окремі спостереження стохастично незалежні, тобто значення

даного спостереження не може залежати від значення попереднього

і наступного спостережень.

4. Коваріація між похибкою, зв’язаною з одним значенням залеж-

ної змінної у, і похибкою, зв’язаною з будь-яким іншим значенням у,

дорівнює нулю.

5. Дисперсія похибки, зв’язана з одним значенням у

, дорівнює

дисперсії похибки, зв’язаної з будь-яким іншим значенням у, тобто

σ=σ при і = 1, 2, ..., n.

6. Коваріацiя між похибкою і кожною з незалежних змінних до-

рівнює нулю, тобто

σ= при і = 0, 1, ..., n.

7. Безпосередня застосовність цього методу обмежується випадками,

коли рівняння кривої є лінійним щодо своїх параметрів b

, b

, …, b

. Це,

однак, не означає, що саме рівняння кривої щодо змінних має бути

лінійним. Якщо емпіричні рівняння спостережень не є лінійними, то

в багатьох випадках виявляється можливим звести їх до лінійної

форми й уже після цього застосовувати метод найменших квадратів.

8. Спостереження незалежних змінних виконується

без похибок.

СТАТИС

ИЧНІ МЕТОДИ АНАЛІЗУ

ЗВ’ЯЗКІВ МІЖ ЯВИЩАМИ

РОЗ

ІЛ

125

Перед початком кореляційного аналізу необхідно перевірити ви-

конання цих передумов.

Зв’язок між випадковою і невипадковою величинами називається

регресійним, а метод аналізу таких зв’язків —

регресійним аналі-

зом

. Застосування регресійного аналізу припускає обов’язкове ви-

конання передумов 2—8. Тільки при виконанні наведених переду-

мов оцінки коефіцієнтів кореляції і регресії, одержувані за допомо-

гою способу найменших квадратів, будуть незміщеними і матимуть

мінімальну дисперсію.

Регресійний аналіз тісно зв’язаний з кореляційним. При вико-

нанні передумов кореляційного аналізу виконуються передумови

регресійного аналізу

. У той же час регресійний аналіз ставить менш

тверді вимоги до вихідної інформації. Так, наприклад, проведення рег-

ресійного аналізу можливо навіть у випадку відмінності розподілу

випадкової величини від нормального, як це часто буває для техніко-

екологічних величин. Як залежна змінна в регресійному аналізі вико-

ристовується випадкова змінна, а як незалежна —

невипадкова змінна.

За ступенем комплексності статистичні дослідження можна по-

ділити на двовимірні і багатомірні. Перші стосуються розгляду пар-

них взаємозв’язків між змінними (парні кореляції і регресії) і спря-

мовані в прогнозних дослідженнях на рішення таких задач, як ви-

значення кількісної міри тісноти зв’язку між двома випадковими

величинами, оцінювання близькості

цього зв’язку до лінійного, оцінки

вірогідності і точності прогнозів, отриманих екстраполяцією регре-

сійної залежності. Багатомірні методи статистичного аналізу спря-

мовані в основному на рішення задачі системного аналізу багатомір-

них стохастичних об’єктів прогнозування. Метою такого аналізу є,

як правило, з’ясування внутрішніх взаємозв’язків між змінними

комплексу, побудова багатомірних

функцій зв’язку змінних, виді-

лення мінімального числа характеристик, що описує об’єкт із достат-

нім ступенем точності. Одним з основних завдань тут є пониження

розмірності опису об’єкта прогнозування.

Таким чином, статистичні методи використовуються в основно-

му для підготовки даних, приведення їх до вигляду, придатного для

прогнозу. Як правило, після

їхнього застосування використовується

один із методів екстраполяції чи інтерполяції для отримання безпо-

середньо прогнозного результату.

126

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

1. Які передумови застосування кореляційного аналізу?

2. Поняття регресійного аналізу.

3. Для чого застосовуються статистичні моделі?

7.2. Використання кореляцій і регресій у статистичному описі

впливу на довкілля взаємозалежних випадкових змінних

Нехай маємо множину значень двох випадкових змінних х

{

}

{

}

y , і = 1, 2,…, n, до яких застосовуємо припущення про наявність

взаємного зв’язку лінійного характеру bxay

+= з випадковими

відхиленнями.

Нехай

і y — середні арифметичні значення цих змінних:

;

∑

Середньоквадратичні відхилення:

()

−

σ=

∑

()

−

σ=

∑

Коефіцієнт кореляції визначається величиною

()()

xy y

−−

σσ

∑

. (7.1)

Він визначає ступінь розсіювання емпіричних точок від лінійної

залежності вигляду

(),

yyr xx

−= −

яка називається лінією регресії

по

. Якщо 0=r , то кореляцій-

ний зв’язок між

у i х відсутній; якщо 1=

, то

росте лінійно з ро-

стом

; якщо 1−=

, то

спадає лінійно з ростом х. Значення

01 r << характеризують деякі проміжні види зв’язку між у і х.

127

Коефіцієнт

називають коефіцієнтом лінійної регресії;

він визначає кут нахилу лінії регресії до осі х.

Стандартне відхилення фактичних значень від лінії регресії мож-

на визначити за формулою

ii i

lybx

′′

=−

, (7.2)

де

′

— центровані значення незалежної і залежної змінних:

yyyxxx

′′

=− =−.

Дисперсія відхилень випадкової величини

від лінії регресії оці-

нюється як

−

∑

. (7.3)

З урахуванням центрованої відносно ,

y системи координат ко-

ефіцієнт регресії можна зобразити як

()

′′

′

∑

. (7.4)

Використовуючи (7.4) і (7.2), можна записати:

22 222 2

11 1 1 1 1 1

() 2 () () 2 ()

()

() .

nn n n n n n

iiii ii

ii i i i i i

l y byx b x y byx x

ybxy

== = = = = =

′′

′′′′′′′ ′

=− + =− + =

′

′′′

=−

∑

∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑

∑∑

Дисперсія значення залежної змінної в рівнянні регресії буде ви-

значатися дисперсіями його параметрів

a і b . Ці останні знаходимо

з виразу:

= і

()

′

∑

Звідси дисперсія регресії залежної змінної в деякій заданій точці

′

визначиться як

128

222

()

() ()

SxS

⎛⎞

′

⎜⎟

′

=+ = +

⎜⎟

′′

⎜⎟

⎝⎠

∑∑

Для одержання сумарної дисперсії необхідно врахувати ще і ви-

падкові відхилення точок щодо лінії регресії:

222

()

SxS

′

=+ +

′

∑

Тоді довірчий інтервал для прогнозів значень у в заданій точці

′

визначиться величиною

αpp

yytS=± ,

де t

—

значення розподілу Стьюдента при заданій довірчій імовір-

ності α і n — 2 ступенях вільності.

Частинним випадком використання регресії в прогнозних дослід-

женнях є східчаста парна регресія. У цьому випадку через дослід-

ження ланцюжка парних взаємозв’язків змінних приходять до ви-

значення прогнозованої змінної. Схема застосування східчастої ре-

гресії зводиться в такий

спосіб до формули:

112

();

=f x

223 334

(); ()

=f x x=f x і т. д.

Наприклад, за такою схемою можна досліджувати взаємозв’язки

показників вартості екологічного проекту

x , ступеня очищення стіч-

них вод

, ступеня очищення повітря

x , капіталовкладень

Варто мати на увазі, що похибки у визначенні кінцевого показ-

ника стрімко зростають з ростом довжини «драбинки». У випадку

незалежності розподілу випадкових похибок

u ,

u , ...,

u між

собою за деяких сталих довірчих інтервалах

D ,

D ,…,

D для

кожної сходинки ймовірності влучення в них будуть перемножува-

тися, стрімко знижуючи рівень значимості визначення фінальної

змінної «драбинки».

У більшості реальних досліджень об’єкт прогнозування являє

собою багатомірний комплекс, що описується сукупністю взаємоза-

лежних змінних.

Метод регресійного аналізу розглянемо на прикладі побудови

тривимірної регресійної моделі процесу.

129

Нехай задана сукупність значень

11112 1

{, ,, }

= х х ... х ,

22122 2

{, ,, }

= х х ... х і

112

{ , , ..., }

y= y y y , яку ми збираємося зобра-

зити тривимірною лінійною регресійною залежністю вигляду

11 2 2

.y=a bx b x++

Для визначення параметрів зв’язку

b і

b використовуємо

метод найменших квадратів:

11 2 2

()min

iii

Syabxbx

=−−− →

∑

. (7.5)

Візьмемо частиннi похідні від (7.5) за всіма трьома параметрами і

прирівняємо їх до нуля:

∂

Дістанемо систему трьох рівнянь із трьома невідомими, лінійну

щодо цих невідомих:

122

111

;

nnn

iii i

iii

ynabx bx

===

=+ +

∑∑∑

(7.6)

11212

111

;

nnn

ii i i i

iii

yx a x b x x

===

∑∑∑

(7.7)

2211222

111 1

nnn n

ii i ii i

iii i

yx a x b x x b x

=== =

=+ +

∑∑∑ ∑

(7.8)

Поділивши (7.6) на

n , розв’яжемо відносно параметра a :

11 2 2

,aybxbx=− − (7.9)

де

, , yx x — середні арифметичні відповідних змінних.

Підставимо (7.9) у (7.7):

11122111 12

1111

()

nnnn

ii i i i i

iiii

yx y bx b x x b x b x x

====

=− − ⋅ + +

∑∑∑∑

, (7.10)

звідки

11 1 2 2 2

111

() ( ) ( )

nnn

ii ii i

iii

yyx b x x b x x

===

−= −+ −

∑∑∑

. (7.11)

Ввівши позначення для відхилень:

,yyy

−=Δ

111

()

xxΔ= −

222

()

xxΔ= − , запишемо (7.11) у вигляді:

11 12 2

111

nnn

ii i i

iii

yx b x b x

===

Δ=Δ+Δ

∑∑∑

. (7.12)

130

Підставляючи (7.9) в (7.8), дістанемо аналогічно (7.12):

21 212 2

11 1

nn n

ii ii i

ii i

yx b x x b x

== =

ΔΔ = Δ Δ + Δ

∑∑∑

(7.13)

Розв’язуючи систему (7.12)—(7.13) відносно

b і

b , здобудемо

чисельні значення частинних коефіцієнтів регресії, що показують,

наскільки в середньому змінюється y при зміні відповідно

x чи

на одиницю.

Побудова рівняння множинної регресії супроводжується розра-

хунками рівнів значимості його коефіцієнтів за методикою Фішера і

залишкових дисперсій, що характеризують розсіювання експери-

ментальних даних, не врахованих отриманим рівнянням.

Для визначення значимості коефіцієнтів складають системи рів-

нянь:

11 1 12 1 2

iii

CxCxx

Δ+ ΔΔ=

∑∑

11 1 2 12 2

ii i

CxxCx

ΔΔ + Δ =

∑∑

21 1 22 1 2

iii

CxCxx

Δ+ ΔΔ=

∑∑

21 1 2 22 2

ii i

CxxCx

ΔΔ + Δ =

∑∑

Розв’язуючи ці системи відносно коефіцієнтів при сумах, діста-

ють значення

C ,

C . Потім за цими значеннями розрахо-

вують

b i

b :

111 1 12 2

111

221 1 22 2

;

nnn

ii i i

iii

ii i i

bC yx C yx

bC yxC yx

===

=Δ+ Δ

=Δ+Δ

∑∑∑

∑∑

Здобуті величини

b i

b мають бути рівні їхнім значенням, отри-

маним при вирішенні системи (7.12)—(7.13). Залишкову дисперсію

можна визначити за формулою

112 2

11 1

(1)

nn n

riii

ii i

ybyxbyx

== =

⎡

⎤

σ= − −

⎢

⎥

−+

⎣

⎦

∑∑ ∑

(7.14)

де

n — число вибіркових точок;

— число ступенів вільності.