Михалевська Т.В., Ісаєнко В.М., Гроза В.А. Основи статистичного обліку і банки інформації в екології. НАУ-друк, 2009

Подождите немного. Документ загружается.

131

Метод множинного кореляційного аналізу зводиться до дещо

іншого способу побудови рівняння регресії й аналізу отриманої ха-

рактеристики.

Розглянемо запис лінійного рівняння множинної регресії в тако-

му вигляді:

1122133 1 12

= b x + b x + ... + b x + а

(7.15)

де

х ,

х , ...,

— змінні досліджуваного комплексу;

— час-

тиннi коефіцієнти регресії

х по

х .

Побудуємо кореляційну матрицю

для всього комплексу змін-

них:

r= , де

ij i j

xxx

−

σσ

, (7.16)

— середнє арифметичне i -ї змінної; σ

— стандартне відхилення

i -ї змінної.

За матрицею D розраховують приведені коефіцієнти регресії для

β (1)

=− , (7.17)

де

D і

D — мінори відповідних елементів матриці.

Після цього визначають значення коефіцієнтів рівняння множин-

ної регресії (7.15):

β .

(7.18)

Вільний член рівняння знаходять так:

12 1 12 2 13 13 1 1

... .

axbxbx bx=− − −− (7.19)

Якість отриманої функції множинної регресії визначається кое-

фіцієнтом множинної кореляції, який розраховують за формулою

1, 2, 3, ..., 12 12 13 13 1 1

β ... ;

nnn

rr r=+β++β (7.20)

він показує загальний ступінь залежності змін змінної

х від змін

усіх факторів комплексу.

Сумарна залишкова дисперсія визначиться як

1, 2, 3, ..., 1 1, 2, 3, ...,

σ (1 )

Rσ=− . (7.21)

132

Використовуючи (7.21), можна визначити значення довірчого ін-

тервалу для змінної

х із припущення багатомірного нормального

розподілу параметрів:

2 3 1, 2, 3,..., 1 2 3 n 1, 2, 3,...,

( , ,..., ) ( , ,..., ) ,

nn n

fxxxm xfxxxm−σ ≤≤ +σ

де

m — коефіцієнт, зумовлений заданою ймовірністю.

Як приклад розглянемо використання множинної кореляційної

моделі для виявлення зв’язку між параметрами об’єкта прогнозу-

вання, що являє собою який-небудь вид забруднення. Одна з харак-

теристик при цьому є визначальною, головною — цільова функція,

інші — аргументами, зв’язаними з нею кореляційними зв’язками.

Суть задачі

полягає тому, щоб установити аналітичну форму зв’язку

цільової функції — залежної змінної від кількох незалежних чи на-

віть залежних змінних (факторів). Математично це виражається в

такому вигляді:

() ψ( , ,..., ,..., ),

Cx x x x x=

де С(х) — цільова функція (вага, надійність, ефективність і т. д.)

складної системи;

х ,

х , ...,

х — основні техніко-екологічні

параметри системи чи її складових елементів.

Для того щоб практично розв’язати поставлену задачу, необхідно

здійснити ряд послідовних етапів: відібрати основні аргументи (не-

залежні змінні) чи системи складових елементів; зібрати необхідні

емпіричні (статистичні) дані; перевірити емпіричні дані на однорід-

ність статистичної вибірки; прийняти чи вибрати аналітичну форму

зв’язку; розробити метод, алгоритм розв’язування й описати алго-

ритм у вигляді програми задля отримання конкретних числових ре-

зультатів; провести статистичну оцінку і техніко-екологічну інтер-

претацію побудованої математичної моделі.

Будемо розглядати зв’язок між змінними у вигляді нелінійної

ступеневої моделі:

01 2

α ... ... ,

iik

Cpppp

ααα

(7.22)

де C — значення цільової функції;

,...,

— змінні, що ви-

значають об’єкт; α

— параметри, що задають вигляд зв’язку.

Для визначення параметрів статистичної функції приведемо її до

лінійного вигляду логарифмуванням:

011

ln ln α ln ... ln

Cpp=+α ++α . (7.23)

133

Введемо позначення: ln ;CC=

α ln ;=α

ln ;

…

; ln

p= .

Рівняння (7.23) зобразимо тепер у вигляді:

01122

α ... ...

ii kk

Cpp p p=α+α+ ++α++ α.

Задача знаходження невідомих коефіцієнтів розв’язується мето-

дом найменших квадратів:

01122

αα... ... min

jj jii jkk

SC pp p p

⎡⎤

=−−α−−−α−−α→

⎣⎦

∑

, (7.24)

де

C — фактичні значення залежної характеристики.

Знаходимо частинні похідні за коефіцієнтами регресії:

2 ... ... 0;

ji i

jjkk

Cpp p

⎡⎤

⎣⎦

∂

=− −α − − − α − − α =

∂α

∑

011 1

2 ... ... 0;

ji i

jjkk

Cp p pp

⎡⎤

⎣⎦

∂

=− −α − α − − α − − α =

∂α

∑

ф 011

2 α ... ... 0

j j ji i jk k ji

Cp p pp

∂

⎡⎤

=− − − α − − α − − α =

⎣⎦

∂α

∑

. (7.25)

Замінимо в правій частині системи рівнянь (7.25)

∑

на

винесемо за знак сум сталі множники. Систему нормальних рівнянь

(7.25) запишемо так:

011 ф

1111

1 0 11 11 1 ф 1

11 1 1 1

... α ... ;

... ... ;

...........................................................................

NNNN

jjiijkkj

jjjj

NN N N N

jj jij jkjkjj

jj j j j

Np p p C

pp pp ppCp

====

== = = =

α+ α+ + + + α=

α+ α+ + α+ + α=

∑∑∑∑

∑∑ ∑ ∑ ∑

011 ф

11 1 1 1

......................

... ... ;

....................................................................................................

NN N N N

ji j ji ji i jk ji k i ji

jj j j j

ppp p ppCp

== = = =

α+ α+ + α+ + α=

∑∑ ∑ ∑ ∑

11 ф

11 1 11

... ... .

NN N NN

jk ji jk i jk k j jk

jjjj

pp pp p Cp

====

+α++α++α=

∑∑ ∑ ∑∑

134

Розв’язуючи систему нормальних рівнянь будь-яким із відомих

методів, знаходимо невідомі значення

α ,

, ,..., ,...,ααα, що по-

тім підставляємо в рівняння (7.23), і, зробивши ще раз заміну змін-

них, матимемо шукане рівняння регресії (7.22).

За допомогою рівняння множинної регресії встановлюється зв’я-

зок між цільовою функцією та її характерними параметрами.

Наступним етапом є визначення, наскільки цей зв’язок відпові-

дає емпіричним даним і наскільки істотний зв’язок

між залежною і

незалежними змінними. Показниками, за якими це можна оцінити, є

стандартна похибка оцінки і коефіцієнт множинної кореляції.

Замість стандартної похибки оцінки розглядається дисперсійне

відношення:

()/(1)

jpj

CC N

CC NK

−−

−−−

∑

де

S — дисперсія статистичної вибірки цільової функції;

S — дис-

персія, що характеризує різницю між емпіричними даними та лінією

регресії;

C — фактичні значення цільової функції;

—середньо-

арифметичне значення цільової функції;

C — розрахункові значення

функції за обраною формою зв’язку;

N — число спостережень; K —

число техніко-екологічних параметрів, що визначають зв’язок.

Дисперсійне відношення

SS не може бути менше деякого

критичного значення, тоді ступінь наближення множинної регресії

визнається істотним.

Критичне значення відношення дисперсій

SS знаходять за

таблицею значень

що складена на основі методу, запропонова-

ного Р. Фiшером, і залежить тільки від числа ступенів вільності для

порівнюваних дисперсій (

1vN=−,

1vNK=−−) при обраному

значенні довірчої ймовірності. Для оцінки вірогідності знайденої

форми залежності слугує величина

100 %

jpj

−

ε= ⋅

∑

яка є середньою відносною похибкою апроксимації і характеризує

якість наближення набору вихідних даних рівнянням множинної

регресії.

135

Для визначення щільності зв’язку між залежною цільовою функ-

цією і техніко-екологічними параметрами знаходять коефіцієнт

множинної кореляції:

фф

1( )/( )

jpj ja

RCCCC

⎡⎤

=− − −

⎢⎥

⎣⎦

∑∑

Середньоквадратична похибка множинного кореляційного від-

ношення визначається формулою

σ (1 ) / 1

RNK=− −−. Відно-

шення коефіцієнта множинної кореляції до його середньоквадратич-

ної похибки визначається за допомогою значення

t -критерію Стью-

дента:

/ σtR= .

Якщо обчислене значення критерію Стьюдента t не менше кри-

тичного значення за таблицею при заданій імовірності і ступені віль-

ності

−= Nv

, то зв’язок цільової функції з техніко-екологічними

параметрами вважається істотним.

Далі за допомогою методу Стьюдента оцінюється, як коефіцієнт

множинної кореляції вибірки може змінитися щодо коефіцієнта

множинної кореляції генеральної сукупності при визначеній вибірці.

Користуючись таблицями значень критерію Стьюдента, визнача-

ємо границі довірчого інтервалу для заданої величини ймовірності,

тобто передбачувані границі,

в яких може бути невідома величина

коефіцієнта множинної кореляції генеральної сукупності:

[

]

[

]

,,σ

Rtvp RRtvp−σ≤≤+ .

Алгоритм розв’язання зводиться до наступного.

Вихідні дані записують в пам’ять ЕОМ у вигляді таблиці:

11 12 13 1 1 1

21 22 23 2 2 2

123

... ...

....................................................

... ...

....................................................

... ...

jj jjijkj

NN NNiNkN

pppppc

ppppc

()

k> , що називається інформаційною матрицею досліджуваної

системи. За базисну форму зв’язку приймається рівняння (7.22).

У матричній формі рівняння можна зобразити як

,CPX=

де

136

...

;

...

11 12 1 1

21 22 2 2

1 ln ln ...ln ...ln

...............................................

1 ln ln ...ln ...ln

...............................................

1 ln ln ...ln

j j ji jk

pppp

ppp

...ln

Ni Nk

;

...

= .

Для визначення невідомих компонентів вектора Х помножимо

обидві частини рівняння

CPX= зліва на матрицю

транспоно-

вану до

PC PPX= — отримаємо нормальну систему рівнянь,

розв’язком якої є невідомі параметри регресії, що визначаються за

компактною схемою Гаусса.

Метод Гаусса спеціальним перетворенням переводить матрицю

системи у верхню трикутну матрицю:

12 13 1 1, 2

23 2 2, 2

, 2

1 ... ...

0 1 .... ...

..............................

0 0 0......1....

0 0 0.......0.....1

cccc

ccc

Розв’язування системи рівнянь з такою матрицею не викликає

труднощів і розв’язок знаходиться послідовно із системи рівнянь:

1, 2 1

;

1, , 1,...,1.

iik i

ccx

ik kk

−+ αα−

α= +

=−

=+ −

∑

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

1. Методика використання кореляцій і регресій у прогнозуванні взає-

мозалежних випадкових змінних.

2. Виведення формули коефіцієнта кореляції.

3. Поняття регресійного методу.

4. Поняття кореляційного методу.

5. Коефіцієнт лінійної регресії. Що він визначає?

137

7.3. Опис довкілля за допомогою авторегресійних моделей

Авторегресійні методи є одним із окремих розділів статистичних

методів прогнозування. На відміну від методів використання взає-

мозалежностей між двома чи більше випадковими величинами вони

спрямовані на виявлення взаємних зв’язків між значеннями однієї і

тієї самої випадкової величини, рознесеними між собою на визначе-

ний проміжок часу.

В основі авторегресійних методів лежить

гіпотеза стаціонарності

досліджуваного процесу, тобто збереження статистичних характерис-

тик процесу без змін на ретроспективному проміжку часу, на теперіш-

ній момент часу і на інтервал прогнозу. Як інформацію для прогнозу

використовують часовий ряд випадкової прогнозованої величини.

Часові ряди, в яких послідовні значення сильно залежні, доціль-

но розглядати як такі, що генеруються

послідовністю незалежних

імпульсів А(t). Ці імпульси — реалізації випадкової величини з фік-

сованим розподілом, що звичайно припускається нормальним із ну-

льовим середнім і дисперсією

. Така послідовність випадкових

імпульсів

a ,

−

, ... може розглядатись як білий шум (поши-

рене поняття в теорії автоматичного керування). У моделях авторег-

ресії (АР) поточне значення процесу виражається як кінцева лінійна

сукупність попередніх значень процесу й імпульсів А(t). Позначимо

значення випадкового процесу в рівновіддалені моменти часу t,

t – 1, ... як

z ,

−

, ... . Тоді залежність

11 2 2 0

...

tt t ptpt

zbz bz bz a

−− −

=+ ++ ++Θ (7.26)

називається процесом авторегресії порядку

()

AP p− , де

— сталі

параметри моделі АР,

1,ip= ;

Θ — стала складова;

a — білий шум.

Ця модель містить 2p

+ незалежних параметри:

012

, , ,..., ,σ

bb bΘ , які на практиці необхідно оцінити за спостере-

женнями.

Метод прогнозування із застосуванням моделі АР заснований на

використанні накопичених до моменту часу

t спостережень часово-

го ряду для прогнозування його значення на деякий момент часу

tl+ у майбутньому, де l — час випередження прогнозу.

Нехай ми маємо 1

n=+ спостережень процесу в дискретних

рівновіддалених проміжках часу до моменту

t :

z ,

−

, ...,

−

,…,

−

, або

{

}

−

, 0,in= . Використовуючи їх, можна дістати

138

()

zl, тобто прогнозне значення ряду на момент часу tl+ ,обчислене

в момент часу

Функція

()

zl,

1, 2,l =

... , називається прогнозувальною функці-

єю в момент часу

t .

Для того щоб побудувати

)(

, необхідно мати математичну мо-

дель часового ряду

{}

−

0,in=

, що відповідає вимогам максималь-

ної простоти, мінімального числа параметрів і при цьому адекватно

описує спостереження.

Таким чином, для одержання прогнозу необхідно спочатку побу-

дувати адекватну модель досліджуваного часового ряду, а потім з

її

допомогою знайти оптимальну прогнозувальну функцію.

Узагальнено процес прогнозування за допомогою моделей АР

може бути поданий такою послідовністю етапів:

1) вибір порядку моделі АР;

2) оцінка параметрів обраної моделі;

3) отримання прогнозів на підставі побудованої моделі.

Розглянемо докладніше ці етапи.

Вибір порядку моделі АР. На цьому етапі за виглядом автоко-

реляційної (АКФ) і частинної автокореляційної (ЧАКФ) функцій

визначається можливість опису вихідного часового ряду за допомо-

гою моделей АР і вибирається порядок моделі

р, тобто кількість її

параметрів.

Для процесу авторегресії порядку

р характерно, що АКФ спадає

плавно, а ЧАКФ має обрив після

р-затримки.

Для вибору порядку моделі АР необхідно обчислити:

— середнє значення

z і дисперсію

σ ряду:

;

∑

σ ().

=−

∑

де

n — загальне число членів ряду;

— значення часового ряду в

момент часу

, 1,ii n= ;

— автоковаріаційну функцію (АКВФ) ряду:

σ ;

(), 1,.

CzzkK

−

=−=

∑

(7.27)

— автокореляційну функцію (АКФ) ряду:

139

1, ,kK=

де

— максимальна затримка АКВФ і АКФ;

— частинну автокореляційну функцію (ЧАКФ):

, 1;

, 2, ,

mmjmj

mjj

−

−−

−

⎧

⎪

−ϕ

ϕ= =

⎨

⎪

−ϕ

⎪

⎩

∑

(7.28)

де

1, 1,

, 1, 1

mj m j mm m m j

−−−

−

ϕϕ

=−; М — максимальна затримка

ЧАКФ.

Вибір

і L можна здійснювати таким способом. Як показує

практика,

треба вибирати з умови 4/20 nK <≤ .

виби-

рають з умови

≤

, причому в більшості випадків

беруть

рівним

II.

Оцінка параметрів обраної моделі. З огляду на той факт, що

моделі АР є лінійними (див. (7.26)), параметри моделі можна визна-

чати за методом найменших квадратів

з умови мінімуму дисперсії:

22 2

111

σ ()min

at tjtj

tp tp j

azbz

np np

−

=+ =+ =

==−→

−− −−

∑∑∑

Ця умова приводить до системи нормальних рівнянь

()

()0, 1,

tj t jtj

tp j

zz bz j p

−−

=+ =

−==

∑∑

. (7.29)

Розв’язуючи цю систему рівнянь відносно b

, b

,…b

, дістанемо

значення параметрів нашої автокореляційної моделі.

Визначимо оцінку дисперсії випадкової величини

:/()

ta t

aanp

σ= −

∑

й оцінку сталої складової:

⎛⎞

Θ= −

⎜⎟

⎝⎠

∑

III.

Отримання прогнозів на підставі побудованої моделі. Ос-

новна вимога до моделі полягає у знаходженні такої прогнозуваль-

ної функції, в якої середнє значення квадрата відхилення істинного

від прогнозованого значення є найменшим для кожного випере-

дження l. Необхідно також визначити точність прогнозу, щоб можна

140

було оцінити ризик, пов’язаний з рішеннями, основаними на про-

гнозуванні. Точність прогнозу може бути виражена величиною до-

вірчого інтервалу для заданої ймовірності виконання прогнозу. Ці

межі можна обчислювати для будь-якого набору ймовірностей, на-

приклад 50 і 95 %.

Прогноз з мінімальною середньоквадратичною похибкою буде

обчислюватися за формулою

[]

() ;

, ;

, ,

titil

tli

til

zl bz

zli

−+

=Θ +

⎧

⎨

≤

⎩

∑

(7.30)

де

()

— прогноз на l кроків уперед, отриманий у момент часу t ;

t-i+l

z — значення часового ряду в момент часу til−+; 1,lL= , L —

максимальне випередження.

Як видно з вищенаведених формул (7.30), процедура прогнозу-

вання є рекурентною, що дає змогу в міру надходження нової інфор-

мації легко коригувати прогнози. Це являє собоє безсумнівне досто-

їнство даної процедури прогнозування.

Точність прогнозів, одержуваних на підставі даної моделі, може

бути визначена наступним способом. Верхня і нижня ймовірні межі

обчислюються

за формулою

() ()

zzlUVl

=± , де U = 0,68; 1,65;

1,96 чи 2,58 залежно від того, чи лежить прогнозоване значення між

цими межами з імовірністю в інтервалі 0,50; 0,90; 0,95 чи 0,99 від-

повідно (виходячи

з гіпотези нормального розподілу відхилень).

Функція дисперсії визначається як

() σ ,

−

∑

де

1, 0;

, 1,

1, ; 0, .

iji

jLb ip

−

⎧

⎪

⎨

≥

⎪

⎩

==>

∑

Таким чином, прогнозування з використанням моделей авторег-

ресії (АР) зводиться до побудови моделі й одержання за її допомо-

гою прогнозних оцінок значень процесу. Прогнозування з викорис-

танням цих моделей дає суттєві практичні результати.

Як приклад розглянемо задачу короткострокового прогнозування

концентрацій забруднювальних речовин (NO

) e приземному шарі