Новиков А.И. Тригонометрические функции, уравнения и неравенства. Пособие для поступающих
Подождите немного. Документ загружается.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ
А.И. НОВИКОВ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ,
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Рязань 2005
Федеральное агентство по образованию
Рязанская государственная радиотехническая академия
А.И. НОВИКОВ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Пособие для поступающих
Издание второе,
исправленное и дополненное
Рязань 2005
УДК 514.11
Тригонометрические функции, уравнения и неравенства:
Пособие для поступающих /А.И.Новиков; Рязан. гос. радиотехн.
акад. Рязань, 2005. 288 c. ISBN 5-7722-0248-0.
Содержит подробное изложение курса тригонометрии в
примерах и задачах.
Предназначено для использования в системе довузовской
подготовки, в школах и классах физико-математического
профиля, а также для самостоятельного изучения курса
тригонометрии.
Табл. 3. Ил. 94. Библиограф.: 5 назв.
Печатается по решению методического совета Рязанской
государственной радиотехнической академии.
Рецензент: кафедра высшей математики Рязанской
государственной радиотехнической академии (зам. зав.
кафедрой канд. физ-мат. наук, доц. М.Е. Ильин)
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………..3
1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ………………...5
1.1. Определение и свойства тригонометрических функций.5
1.1.1. Функции синус и косинус ……………………………5
1.1.2. Функции тангенс и котангенс ………………….……7
1.1.3. Функции секанс и косеканс …………………….…....9
1.1.4. Знаки тригонометрических функций ………….…..12
1.1.5. Формулы приведения ………………………….……12
1.1.6. Некоторые значения
тригонометрических функций …………………….15
1.2. Задачи на свойства тригонометрических функций…….17
1.2.1. Связь градусной и радианной мер угла ……………17
1.2.2. Вычисление значений
тригонометрических функций …………………….25
1.2.3. Четность и нечетность
тригонометрических функций ......…………….......28
1.2.4. Периодичность тригонометрических функций …...32
1.2.5. Монотонность тригонометрических функций.
Экстремумы .………………………………………..38
1.2.6. Построение графиков
тригонометрических функций ……………………...52
1.3. Задачи для самостоятельного решения ……….………...53
1.4. Ответы ………………………………………………........59
2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ,
ТОЖДЕСТВА И ВЫЧИСЛЕНИЯ ………….……………...65
2.1. Тригонометрические формулы
…………………….……65
2.2. Тригонометрические тождества………………………....72
2.3. Вычисление тригонометрических выражений …….…...80
2.4. Задачи для самостоятельного решения
………………....92
2.5. Ответы ……………………………………………….…....98
3. ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ.
ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ....99
3.1. Обратные функции……………………………….....…...99
3.2. Обратные тригонометрические функции………….......114
3.2.1. Функции арксинус и арккосинус ……….………...115
3.2.2. Функции арктангенс и арккотангенс ….……….....118
3.2.3. Свойства обратных
тригонометрических функций ………...………....121
3.2.4. Вычислительные задачи
с обратными тригонометрическими функциями…124
3.2.5. Уравнения и неравенства
с обратными тригонометрическими функциями..141
3.3. Задачи для самостоятельного решения………………..154
3.4. Ответы ……………………………….…………………..162
4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ…………….169
4.1. Простейшие уравнения ……………………….…….......169
4.2. Метод введения вспомогательного угла ………….......176
4.3. Уравнения относительно одной
тригонометрической функции ………..……………….181
4.4. Однородные и приводящиеся к однородным
уравнения ………...……………………………………...183
4.4.1. Однородные уравнения …………………………...183
4.4.2. Уравнения, приводящиеся к однородным …...….189
4.5. Решение уравнений вида
(
)
0xcos,xsinR
k2n2
= ..…...192
4.6. Решение уравнений вида
(
)
0x2sin,xcosxsinR =± .198
4.7. Решение уравнений с использованием основных
тригонометрических формул …….……………….........200
4.8. Замена переменной
2
x
tgt =
(универсальная подстановка) ……………………...….205
4.9. Метод оценок и другие специальные приемы решения
тригонометрических уравнений……………………....213
4.10. Уравнения с радикалами и модулем
…………………217
4.11. Уравнения с дополнительными условиями.
Отбор корней……….…………………………………..223
4.12. Задачи для самостоятельного решения ………..……..226
4.13. Ответы ……………..…………………………………...231
5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА…….......245
5.1. Простейшие тригонометрические неравенства ……....245
5.2. Различные тригонометрические неравенства .……….251
5.3. Задачи для самостоятельного решения ……………….268
5.4. Ответы .…………………………………………………..270
6. ТЕМАТИЧЕСКИЕ КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ….…..274
6.1. Контрольная работа № 1:
Свойства тригонометрических функций…………........274
6.2. Контрольная работа № 2:
Тригонометрические тождества, вычисления.……….276
6.3. Контрольная работа № 3:
Обратные функции,
обратные тригонометрические функции…......……….279
6.4. Контрольная работа № 4:
Тригонометрические уравнения и неравенства ….…...282
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ …………282
ВВЕДЕНИЕ
Пособие для системного повторения и изучения курса
тригонометрии рассчитано на аудитории с различным уровнем
математической подготовки. Задачи, адресованные аудиториям
с углубленным изучением математики, в пособии отмечены
значком * (звездочка).
Пособие состоит из пяти основных разделов, имеющих
однотипную структуру. В начале каждого раздела, подраздела
или пункта даются краткие теоретические сведения. Затем
подробно разбирается решение типовых задач,
иллюстрирующих теоретический материал или расширяющих
теоретические положения. Завершается каждый раздел
обширной подборкой задач для самостоятельного решения.
Окончание доказательства утверждений, тождеств отмечается
значком ■ (заштрихованный квадрат).
В первом разделе – «Тригонометрические функции» -
подобраны задачи, позволяющие понять и глубже усвоить
основные свойства тригонометрических функций. Второй
раздел как по структуре, так и по содержанию является
традиционным для пособий такого типа.
Особое место в пособии занимает третий раздел –
«Обратные функции. Обратные тригонометрические функции».
Этот раздел, как правило, слабо изучается в средней школе; не
уделяется ему должное внимание и в стандартных вузовских
курсах математики. В традиционных учебниках и учебных
пособиях по математике, предназначенных для средней школы,
изучение обратных функций сводится в основном к обратным
тригонометрическим функциям. В настоящем пособии
достаточно широко представлены задачи на нахождение
обратных функций и построение их графиков для различных
классов функций. Рассматриваются уравнения, решаемые с
использованием свойств взаимно обратных функций. Тщательно
изучаются и обратные тригонометрические функции.
Тригонометрические уравнения и неравенства достаточно
полно представлены соответственно в четвертом и пятом
разделах.
В шестом разделе пособия приведены тематические
контрольные работы, соответствующие тематике основных
разделов.
Многие задачи тригонометрии можно решать различными
способами, не обязательно равноценными, но приводящими к
искомому результату. Владение широким спектром решения
задач является, с одной стороны, составной частью
математической культуры человека, а, с другой, существенно
повышает шансы на успешное решение задач на экзамене.
Этому аспекту уделено достаточно большое внимание во всех
разделах пособия, но прежде всего в третьем и в четвертом
разделах.
Пособие предназначено для использования в системе
организованной довузовской подготовки (подготовительные
курсы, факультеты довузовской подготовки и т.д.), а также в
школах и классах физико-математического профиля.
Предлагаемые пособием способы изучения материала
(теоретические сведения
→
решение типовых задач
→
самостоятельное решение аналогичных задач) позволяют
рекомендовать его и тем абитуриентам, которые самостоятельно
готовятся к вступительным экзаменам.
Пособие можно использовать для подготовки к экзаменам,
проводимым как в классической, так и в тестовой формах.
Условиям тестовых экзаменов соответствуют задачи первого и
второго разделов, а также отдельные задачи остальных
разделов.
Основная цель пособия: подготовка не только к
вступительным экзаменам в вуз, но и к обучению в вузе. С
учетом сказанного, автор надеется, что пособие отвечает
запросам системы довузовской подготовки, профильных
классов с углубленным изучением математики и представляет
интерес для преподавателей математики школ, лицеев и
гимназий.
1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Основным вопросом для любого класса функций является
изучение свойств функций, входящих в этот класс. Первый
раздел пособия полностью посвящен изучению свойств
тригонометрических функций. Предполагается, что читатель
знаком с основными понятиями и способами исследования
функций. Вместе с тем, в одноимённых пунктах данного раздела
приводятся определения четной (нечетной) функции,
интервалов возрастания (убывания), локальных экстремумов и
наибольших (наименьших) значений функции на промежутке.
Изучение каждого свойства функции осуществляется через
решение специальных подборок задач.
1.1. Определение и свойства тригонометрических функций
1.1.1. Функции синус и косинус
На координатной плоскости
y
~
x
~
O построим окружность
единичного радиуса с центром в
точке О. Пусть
x
M -
произвольная точка окружности и
вектор
x
OM
образует угол
x
радиан с положительным
направлением оси
x
~
O
. При этом
величина угла
x
считается
положительной, если отсчет
ведется от оси
x
~
O
против хода часовой стрелки, и
отрицательным – по ходу часовой стрелки.
Определение 1.1. Синусом угла
х
называется число
x
b ,
равное ординате конца
x
M единичного радиуса
x
OM
,
образующего угол
x
с положительным направлением оси
x
~
O
.
Обозначается это число
xsin
.