Новиков А.И. Тригонометрические функции, уравнения и неравенства. Пособие для поступающих
Подождите немного. Документ загружается.
(!)10. а)
(
)
8x2sin8x2sin
8
1
xsinxcos
2488
+−=+ ; (2.46)
б)
(
)
1x2cos6x2cos
8
1
xsinxcos
2488
++=+ ; (2.47)
в)
(
)
17x4cos14x4cos
32
1
xsinxcos
288
++=+ ; (2.48)
(!)11. а)
2
x2cos1
x2cosxsinxcos
2
88
+
=− ; (2.49)
б)
4
x4cos3
x2cosxsinxcos
88
+
=− ; (2.50)
в)
(
)
xsinxcosx2cosxsinxcos
4488
+=− . (2.51)
(!)12.
(
)
,
2
x
sin
2
x1n
cos
2
nx
sin
nxcos...x3cosx2cosxcos
+
=++++
Zm,m2x
∈
π
≠
.(2.52)
13. Zn,nx,
xsin
xcos1
xsin1xsin1
xsin1xsin1
∈π≠
−
=
−++
−−+
.
14. ,x5tgx3tgtgx
x
9
cos
x
7
cos
x
3
cos
x
cos
x9sinxsinx3sinx7sin
=
+++
−
−
+
3
n
6
x
π
+
π
≠ , Zn;
5
n
10
x ∈
π
+
π
≠ .
15.
(
)
(
)
x2tg
x
2
cos
4
ctgxtgxx4cos1
=
+
−
,
Zn,n
2
x,
2
n
4
x ∈
π
≠
π
+
π
≠ .
16. ,
2
cos
2
cos
2
cos4sinsinsin
γ
β
α
=γ+β+α если
π
=
γ
+
β
+
α
.
17. x4sin
4
3
xsinx3cosxcosx3sin
33
=+ .
18.
( )
x2sin3x6sin
4
1
xsinx3cosxcosx3sin
33
+=− .
19.
x2cosxsinx3sinxcosx3cos
333
=+
.
20.
( )
x4cos31
4
1
xsinx3sinxcosx3cos
33
+=− .
21.
(
)
x2sin23
2
x2sin
xsinx3cosxcosx3sin
233
−=− .
22.
(
)
(
)
1xsinxcos2xcosxsin3
6644
=+−+ .
23. xtg
x
4
sin
x
2
sin
2
x4sinx2sin2
2
=
+
−
.
24.
π
+=
−
−+
4
xtg
2
1
xsecx2sinctgxtgx2
x4costgxx2cos2
2
2
,
Zn,
2
n
4
x,
2
n
x ∈
π
+
π
≠
π
≠ .
25. Zn,n2
2
x,
2
x
4
tg
xcos1xcos1
xcos1xcos1
∈π+
π
−≠
−
π
=
−−+
−−+
.
Раздел 2.3. Вычислите
26.
000
80sin50cos20sinA =
.
27.
000
27sin18sin63sinA =
.
28.
000
108cos78sin222sinA ++=
.
29.
0000
287cos133cos557cos223cosA +=
.
30.
0000
0000
120sin105sin30sin285cos
150sin135cos120sin45cos
A
+
+
= .
31.
.
75ctg480ctg3
15tg510sin2
A
00
00
+−
−
=
32. .10eccos
20cos280cos
50sin270sin
A
0
00
00
−
−
=
33. α+α=
33
ctgtgA , если 4ctgtg
=
α
+
α
.
34. α+α=
810
ctgtgA , если 2ctgtg
−
=
α
+
α
.
35.
.
1,1sin6,1ctg2,4cos
4,1cos9,2tg3,1sin
A
πππ
π
⋅
π
π
=
36.
8
sin
8
cosA
44
π
−
π
= .
37. а) ;
12
11
sin
12
cosA
66
π−
π
= б)
π+
π
=
12
11
sin
12
cosA
66
.
38. а) ;
8
7
sin
8
cosA
88
π−
π
= б) ;
8
7
sin
8
cosA
88
π+
π
=
в) ;
12
sin
12
cosA
88
π
−
π
= г)
12
sin
12
cosA
88
π
+
π
= .
39.
10
3
sin2
5
11
cos
10
9
sinA
π
−π+π= .
40. π++
π
+
π
+
π
=
20
19
cos...
20
3
cos
10
cos
20
cosA .
41.
(
)
002020202
10eccos50cos40sin20cos10sinA −−+= .
42. Вычислите ,cos,sin
α
α
если 2tg
=
α
и
ππ∈α
2
3
; .
43. Вычислите ,3tg
α
если
0cossin
=
α
+
α
.
44. Вычислите ,2cos,2sin
α
α
если
5
4
cos −=α и
π
π
∈α ;
2
.
45. Вычислите ,2cos,2sin
α
α
если
5
4
sin =α и
π
π
∈α ;
2
.
46. Вычислите ,sin
α
если
3
4
2
tg =
α
.
47. Определите знак числа ,
2
cos2sin
2
A
α
α
α−
π
= если
0cos,0sin
<
α
<
α
.
48. Вычислите ,
2
x
tg если
2xcosxsin =+
.
49. Вычислите
,
tgx
если 2
x
cos
4
x
sin
3
xcos5xsin2
=
−
+
.
50. Вычислите
α
sin
и
α
cos
, если
а) 0
2
tg =
α
; б) 1
2
tg =
α
; в) 3
2
tg =
α
.
51. Вычислите ,
2
tg
α
если
2
1
sin −=α и
ππ∈α 2;
2
3
.
52. Вычислите ,
2
tg
π
−α если
3
1
sin −=α и
ππ∈α 2;
2
3
.
53. Вычислите ,
4
tg
π
−α если
2
3
sin −=α и
ππ∈α 2;
2
3
.
54. Вычислите
,
cos
α
если
5
12
ctg −=α и
ππ∈α 4;
2
7
.
(!) 55. Вычислите а) ;x2sin б) ;xcosxsin
33
+
в) ;xcosxsin
44
+ г)
xcosxsin
66
+
,
если
axcosxsin
=
+
.
56. Вычислите
,
cos
α
если 5ctg
=
α
и
0sin
<
α
.
57. Упростите а)
0000
42ctg56sin48tg154cosA −−−=
;
б)
0000
40cos40sin140sin140cosA −+−=
.
58. Вычислите а)
00202
225tg
2
3
15cos75cosA +−= ;
б)
0000
15ctg15cos275sin2105tgA −−−=
.
59. Вычислите
−+−=
00000
60tg
2
1
105sin330cos285sin15sinA
.
2.5. Ответы
26.
8
3
. 27.
8
1
. 28. 0. 29.
2
1
. 30. 32− . 31.
3
1
. 32. 2.
33. 52. 34. 2. 35. -1. 36.
2
1
. 37. а)
32
315
; б)
16
13
.
38. а)
8
23
; б)
32
17
; в)
16
37
; г)
128
97
. 39.
2
1
− . 40. 0. 41.
2
1
.
42.
5
2
sin −=α
;
5
1
cos −=α
. 43. 13tg
=
α
.
44.
25
24
2sin −=α ;
25
7
2cos =α .
45.
25
24
2sin −=α ;
25
7
2cos −=α . 46.
25
24
sin =α . 47.
0A
>
.
48. 12
2
x
tg −= . 49.
4
13
.
50. а) ;1cos;0sin
=
α
=
α
б) ;1sin
=
α
0cos
=
α
;
в)
2
1
cos;
2
3
sin −=α=α .
51. 23 − . 52. 2
2
. 53. 32+ . 54.
13
12
.
55. а)
1ax2sin
2
−=
; б)
(
)
233
a3
2
a
xcosxsin −=+ ;
в)
(
)
4244
aa21
2
1
xcosxsin −+=+ ;
г)
(
)
4266
a3a61
4
1
xcosxsin −+=+ .
56.
26
5
−
. 57. а)
0
4cos3 ; б)
0
40сos2
.
58. а) 3 ; б) 13 + . 59.
2
1
.
3. ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ.
ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
3.1. Обратные функции
Задачи, в которых участвуют обратные функции,
встречаются в самых различных разделах математики и в ее
приложениях. Примерами задач с обратными функциями из
школьного курса математики могут служить некоторые классы
уравнений и неравенств (примеры 3.5, 3.7, 3.8 данного раздела).
Важную область математики составляют обратные задачи в
теории интегральных и интегро-дифференциальных уравнений.
Разработка теории и, в частности, методов решения
некорректных обратных задач во второй половине 20-го
столетия позволила решать прикладные задачи в самых
различных областях, например, в геофизике – обнаружение
полезных ископаемых; в микроэлектронике, радиолокации –
восстановление «размытых» изображений и т.д.
Напомним определение числовой функции и некоторые
связанные с ней понятия.
Определение 3.1. Пусть
Χ
- некоторое числовое множество
(
)
RX ⊂ и пусть указано правило
f
, в соответствии с которым
каждому числу
X
x
∈
отвечает единственный элемент (число)
(
)
xfy = из числового множества
.Y
В этом случае говорят,
что на множестве
Χ
задана числовая функция (далее просто
функция)
(
)
Xx,xfy ∈= , со значениями в множестве
.Y
Множество
Χ
, на
котором определена
функция
f
, называется
областью определения
этой функции и
обозначается также
(
)
fD . Если множество
Y
содержит только
образы
(
)
xf элементов
X
x
∈
, т.е.
(
)
{
}
Xx,xfyyY ∈== ,
то оно (множество
Y
) называется областью значений функции
f
и обозначается также
(
)
fE (рис. 3.1). Чтобы подчеркнуть, что
множество
Y
состоит только из образов
(
)
xf элементов
X
x
∈
,
пишут
(
)
XfY = .
Например, если
(
)
[
]
3;1x,2x3xf ∈−= , то
[
]
(
)
[
]
7;13;1f = .
Часто возникают задачи, в которых по заданному значению
0
y из области
(
)
(
)
XffE = функции
(
)
Xx,xfy ∈= ,
требуется найти соответствующее значение переменной
x
, т.е.
требуется решить уравнение
(
)
(
)
fEy,yxf
00
∈= .
Например, функция
[
]
4;1x,6x2y ∈+= , отображает
отрезок
[
]
4;1X = на отрезок
[
]
14;8Y = . Тогда для любого
Yy
0
∈ уравнение
0
y6x2 =+ имеет единственное решение
3
2
y
x
0
−= . При этом функция
()
[ ]
14;8y,3
2
y
ygx ∈−=≡ ,
отображает отрезок
Y
на отрезок
X
, т.е. осуществляет
обратное отображение.
Не всякое уравнение
(
)
(
)
fEy,yxf
00
∈= имеет
единственное решение. Например, уравнение
[
]
dc0,d;cy,yx
00
<<∈= , имеет два решения
01
yx −= и
02
yx = . Уравнение
[
]
1;1y,yxcos −∈= имеет бесконечное
множество решений Zn,n2yarccosx
∈
π
+
±
=
.
Особый интерес представляют функции
(
)
Xx,xfy ∈= ,
для которых уравнение
(
)
(
)
XfYy,yxf
00
=∈= , имеет
единственное решение. Такие функции называются
обратимыми.
Определение 3.2. Пусть
(
)
XfY = . Если каждому элементу
Yy
0
∈ отвечает единственный элемент Xx
0
∈ такой, что
(
)
00
yxf = , то функция
(
)
Xx,xfy ∈= , называется
обратимой.
Заметим, что говоря об обратимости функции
f
,
необходимо указывать множество
X
, на котором
рассматривается эта функция. Например, функция
0k,bkxy
≠
+
=
, обратима на любом промежутке
R
X
⊂
и, в
частности, на всей числовой прямой. Однако функция
2
xy = ,
заданная на всей числовой прямой, не обратима (каждому
значению 0y
0
> отвечают два значения
01
yx:Rx −=∈ и
02
yx = ).