Новиков А.И. Тригонометрические функции, уравнения и неравенства. Пособие для поступающих
Подождите немного. Документ загружается.
Способ 1: =
π−
π
−π=
5
2
2
sin
10
3
sinA
=
π
−π
π
π
=
π
−π=
10
sin
10
3
sin
10
cos2
10
cos2
10
sin
10
3
sin
=
ππ
−
ππ
π
=
10
sin
10
cos2
10
sin
10
cos2
10
cos2
1
=
π
−
π
+π
π
=
5
sin
5
sin
5
2
sin
10
cos2
1
2
1
10
cos
10
cos
2
1
10
cos
5
2
sin
2
1
=
π
π
=
π
π
=
.
Способ 2. Воспользовавшись формулой разности синусов,
получим
=
π
π
=
π
−π=
5
cos
10
sin2
10
sin
10
3
sinA
.
2
1
10
cos
5
2
sin
2
1
5
cos
10
cos2
10
cos
10
sin22
=
π
π
=
π
π
ππ
=
Способ 3. В соответствии с формулой (2.15)
.
10
sin4
10
sin3)
10
3sin(
10
3
sin
3
π
−
π
=
π
⋅=π
С учетом данного результата
=
π
−
π
=
π
−
π
=
10
sin21
10
sin2
10
sin4
10
sin3A
23
.
2
1
5
cos
10
cos2
10
cos
10
sin22
5
cos
10
sin2 =
π
π
ππ
=
ππ
=
Ответ: .
2
1
A =
Отметим, что использование результатов решения примера
2.18 позволяет вычислить искомое значение А в примере 2.19
следующим образом
2
1
4
15
4
15
10
sin
5
cos
10
sin
10
3
sinA =
−
−
+
=
π
−
π
=
π
−π= .
(!) Пример 2.20. Вычислите
12
sin
12
11
cosA
66
π
−π= .
Решение. Воспользовавшись тождеством (2.43):
(
)
x2cos3x2cos
4
1
xsinxcos
266
+=− ,
получим =
π
−
π
=
π
−π=
12
sin
12
cos
12
sin
12
11
cosA
6666
32
315
4
3
3
2
3
4
1
6
cos3
6
cos
4
1
2
=
+=
π
+
π
= .
Ответ:
.
32
315
(!) Пример 2.21. Вычислите
02020202
50sin30cos70sin10cosA −+−=
.
Решение. Основной способ решения тригонометрических
задач (вычислительных, как в данном примере, а также
тригонометрических уравнений и неравенств), в которые входят
основные тригонометрические функции синус и косинус в
четных степенях, заключается в применении формул понижения
степени. Решение данного примера после применения формул
понижения степени выполнено двумя способами. Первый, хотя
и более длинный, еще раз демонстрирует прием домножения
выражения, использованный в примерах 2.4 и 2.5.
Способ 1.
=
−
−
+
+
−
−
+
=
2
100cos1
2
60cos1
2
140cos1
2
20cos1
A
0000
(
)
(
)
[
]
=+++=
oooo
100cos60cos140cos20cos
2
1
=+⋅=
0000
20cos80cos60cos80cos
(
)
==+=
000000
20cos40cos80cos220cos60cos80cos
===
0
0
0
0
0000
20sin
160sin
4
1
20sin
80cos40cos20cos20sin2
4
1
20sin
20sin
4
1
0
0
0
== .
В процессе вычислений последовательно были применены
формулы понижения степени (2.17), (2.18), формула (2.29)
преобразования суммы косинусов в произведение. На
последнем шаге для вычисления
000
80cos40cos20cos2
использован прием домножения на
0
20sin
Способ 2:
=
−
−
+
+
−
−
+
=
2
100cos1
2
60cos1
2
140cos1
2
20cos1
A
0000
=
+++=
oo
100cos140cos20cos
2
1
2
1
0
=
++=
o
100cos60cos80cos2
2
1
2
1
00
4
1
80cos80cos
2
1
2
1
0
=
−+=
o
.
При решении примера вторым способом использовано явно
равенство
2
1
60cos =
o
, формула (2.29) и формулы приведения
).80cos)100180cos(cos100(
o
o
o
o
−=−−=
Ответ:
4
1
.
Пример 2.22. Вычислите
2
x
tg , если
5
1
xcosxsin =+ .
Решение. Выразив
xsin
и
x
cos
через
2
x
tg по формулам
(2.32) и (2.33), получим
,
5
1
2
x
tg1
2
x
tg1
2
x
tg1
2
x
tg2
2
2
2
=
+
−
+
+
(
)
Zn,1n2x ∈+π≠ .
Заменим t
2
x
tg = . Тогда .02t5t3
5
1
t1
t1
t1
t2
2
2
2
2
=−−⇔=
+
−
+
+
Его корни
3
1
t,2t
21
−== .
В первой четверти
2xcosxsin1 ≤+≤
(почему?), в
третьей –
(
)
0xcosxsin <+ . Поэтому аргумент
х
принадлежит
либо второй, либо четвертой четверти; аргумент
2
x
– первой
или второй. Если ,x
2
π<<
π
то 2
2
x
tg = ; если π<<π 2x
2
3
,
то
3
1
2
x
tg −= .
Ответ:
3
1
2
x
tg −= , если π<<π 2x
2
3
;
2
2
x
tg = , если π<<
π
x
2
.
Пример 2.23. Вычислите
xsin
, если и
π<<π
2
3
x .
Решение. Если π<<π
2
3
x , то
0xsin
<
.
Тогда =
+
−=−=
xsinxcos
xsin
xsinxsin
22
2
2
xtg1
tgx
xtg1
xtg
2
2
2
+
−
=
+
−=
и
10
3
xsin
−
=
.
3tgx
=
Ответ:
10
3
−
.
Пример 2.24. Вычислите x2cos , если
4
3
2
x
sin = .
Решение. Поскольку 1xсos2x2cos
2
−= , а
,
2
x
sin21xcos
2
−= то 1
2
x
sin212x2cos
2
2
−
−= . Поэтому
32
31
1
16
9
212x2cos
2
−=−
⋅−= .
Ответ:
32
31
− .
Пример 2.25. Вычислите
0000
0000
70cos50sin40sin20cos
70sin50cos40cos20sin
A = .
Решение. Заметив, что
0
0
0
20tg
20cos
20sin
= ,
0
0
0
40ctg
40sin
40cos
=
и т.д., получим
==
0000
70tg50ctg40ctg20tgA
(
)
(
)
150ctg50tg20ctg20tg
0000
=⋅= .
Ответ: 1.
Пример 2.26. Вычислите
0
00
10sin
200sin2100sin
A
+
= .
Решение. Так как
(
)
0000
20sin20180sin200sin −=+= , то
(
)
=
−
=
−−
=
0
000
0
000
10sin
20sin60cos40sin2
10sin
20sin20sin100sin
A
3
10sin
30cos10sin2
10sin
20sin40sin
0
00
0
00
==
−
= .
Ответ: .3
Пример 2.27. Вычислите
ππ
π
⋅
π
⋅
π
=
7,1sin4,0cos
3,3tg7,2cos9,1sin
A .
Решение. Применив формулы приведения, получим
(
)
(
)
(
)
( )
=
π−π
π
−
π
π
π
π
−
π
=
3,02sin
102
cos
3,0tg7,0cos1,02sin
A
1
10
3
tg
10
3
ctg
10
3
sin
10
sin
10
3
tg
10
3
cos
10
sin
−=ππ−=
π−
π
π
π−
π
−
= .
Ответ: -1.
Пример 2.28. Вычислите:
(
)
(
)
2
00
2
00
80sin80cos40sin40cos −+− .
Решение.
.80sin80cos40sin40cosA
0000
−+−=
Так как
00
40sin40cos >
и
00
80sin80cos <
, то
=−+−=
0000
80cos80sin40sin40cosA
(
)
(
)
=−+−=
0000
10sin80sin40sin50sin
.5sin2245cos5sin245cos5sin2
0
0000
=+=
Ответ:
0
5sin22 .
Пример 2.29. Вычислите
.15ctg15cos275sin275tgA
0000
−+−=
Решение. Поскольку 360tg75tg
00
=> , а
275sin2
0
<
, то
00
75sin275tg > и
00
75sin275tg −
=
00
75sin275tg − .
Аналогично
.15cos275tg75tg15cos215ctg15cos2
000000
−=−=−
В результате имеем
(
)
.15cos275tg2A
00
−= Но
(
)
,
2
13
13
13
30tg45tg1
30tg45tg
75tg
2
+
=
−
+
=
−
+
=
oo
oo
o
22
13
4
26
15cos
+
=
+
=
o
(см. пример 2.16)
и потому окончательно
(
)
.33
22
13
2
2
13
2A
2
+=
+
−
+
=
Ответ: 33+ .
Пример 2.30. Сравните числа а)
π−
4
11
ctg и ;
4
21
tg π
б)
(
)
2ctg − и 2tg ;
в) π
3
28
sec и π
6
167
tg .
Решение.
а)
( )
11
4
3
ctg
4
3
2ctg
4
11
ctg =−−=π−=
π+π−=
π− .
1
4
tg
4
5tg
4
21
tg =
π
=
π
+π=π ,
откуда следует, что π=
π−
4
21
tg
4
11
ctg .
б)
(
)
;2ctg2ctg −=− так как π<<
π
2
2
, то 02ctg
<
(см. п. 1.1.2,
рис. 1.5), а
(
)
02ctg >− .
Аналогично получаем, что 02tg
<
(п.1.1.2, рис.1.4). Откуда
(
)
2ctg2tg −< ;
в) =
π
+π=
π+π=π
3
sec
3
4
8sec
3
28
sec
;2
3cos
1
3
sec −=
π
−
=
π
−=
3
1
6
tg
6
5
tg
6
5
27tg
6
167
tg −=
π
−=π=
π+π=π ,
откуда π>π
3
28
sec
6
167
tg .
Ответ: а) π=
π−
4
21
tg
4
11
ctg ; б)
(
)
2ctg2tg −< ;
в) π>π
3
28
sec
6
167
tg .
2.4. Задачи для самостоятельного решения
Раздел 2.2. Докажите тождества
1. а)
π
−=+
4
xcos2xcosxsin ; (2.44)
б)
π
−=−
4
xsin2xcosxsin . (2.45)
2. Zn,
2
n
x,
x
2
sin
2
ctgxtgx ∈
π
≠=+ .
3. Zn,
6
n
x,
x
6
sin
x2cos8
x3ctgx3tgctgxtgx
2
∈
π
≠=+++ .
4.
(
)
Zn,n
2
x,x3cos2xsec1x2cosx2cos2
2
∈π+
π
≠=−+ .
5.
π
−⋅−=−+−
4
x3cosx2sin22x5sinx5cosxcosxsin .
6. Zn,
3
n
x,x3ctg
x
4
sin
x
3
sin
4
x
2
sin
x4cosx3cos4x2cos
∈
π
≠=
+−
+
−
.
7. Zn,n
4
x,
4
xtg
xsinxcos
xsinxcos
∈π+
π
≠
π
+=
−
+
.
8.
2
x4cos
x2
8
sin
8
x2cos
22
=
−
π
−
π
+ .
9.
π
++=+
π
−+
π
−
3
x2cos
2
3
xcos
3
xsin
6
xsin
222
.