Новиков А.И. Тригонометрические функции, уравнения и неравенства. Пособие для поступающих
Подождите немного. Документ загружается.
замечанием к теореме 3.3 исходное уравнение равносильно
уравнению
(
)
01x3xx1x
2
2
=+−⇔=−
только на множестве
[
)
∞+= ;1X
1
. На этом промежутке
последнее уравнение имеет единственный корень .
2
53
x
+
=
На полуинтервале
[
)
1;0
функция
(
)
(
)
2
1xxf −=
является убывающей, а функция
(
)
x1xg +=
- возрастающей и
при этом
(
)
(
)
[
)
∞= ;1gEfE
I
.
Поэтому, если исходное
уравнение имеет на промежутке
[
)
1;0 решение, то оно
единственное. Нетрудно видеть,
что
0x
=
является его
решением (рис. 3.7).
Ответ: 0x
1
= ; .
2
53
x
2
+
=
Пример 3.7. Найдите обратную функцию
1
f
−
для заданной
(
]
0,x,
1
x
1
y
2
∞−∈
+
= .
Решение. Выясним, является ли заданная функция
обратимой на указанном множестве. Найдем
()
( )
1
x
x2
1xxy
2
1
2
+
−
=
′
+=
′
−
.
Поскольку
(
)
0xy ≥
′
на
(
]
0,∞− , то функция
1
x
1
y
2
+
= строго возрастает (почему?) на этом промежутке и
является непрерывной функцией на нем. Множество значений
(
)
(
]
1,0yE = . Действительно, 0
1
x
1
2
→
+
при
(
)
10y;x =−∞→ . Поэтому с учетом непрерывности и
монотонного возрастания функции
(
)
xy заключаем, что
(
)
(
]
1;0yE = .
Тогда в соответствии с теоремой 3.2 существует обратная
функция
(
)
xf
1−
, которая определена, непрерывна и строго
возрастает на полуинтервале
(
]
1;0 , а множество принимаемых
ею значений составляет бесконечный промежуток
(
)
(
]
0;fE
1
∞−=
−
. Отметим, что на всей числовой прямой
функция
1
x
1
y
2
+
= не обратима (почему?).
Решив уравнение y
1
x
1
2
=
+
, получим
y
y1
x
−
±=
. Из
двух ветвей обратной функции выбираем
y
y1
x
−
−=
,
поскольку
(
)
0yx <
(
)
(
]
(
)
0;yx ∞−∈ . На рис. 3.8 приведены
графики заданной
1x
1
y
2
+
= ,
(
]
0,x ∞−∈ и обратной
x
x1
y
−
−= ,
(
]
1,0x ∈ , функций.
Ответ:
(
]
1;0x,
x
x1
y ∈
−
−= .
Пример 3.8. Решите уравнение
(
)
,5xsinxsin7xcos6f2
21
+=+
−
если известно, что
(
)
.5x62x3f +=+
Решение. Для решения данного примера необходимо:
а) построить отображение
(
)
xf ;
б) найти обратную функцию
(
)
xf
1−
;
в) составить и решить искомое уравнение.
Отображение
(
)
xf нужно получить из условия
(
)
5x62x3f +=+ . Это можно сделать с помощью явной замены
переменной:
( )
⇒−=+= 2t
3
1
x,2x3t
() ()
1x2xf5
3
2t
6tf +=⇔+
−
=⇒ .
Другой способ – неявная замена переменной:
(
)
(
)
(
)
12x332x3f5x62x3f ++=+⇔+=+
или
(
)
,1t2tf += где
.2x3t
+
=
Для нахождения обратной функции
(
)
xf
1−
к
(
)
1x2xf +=
решим уравнение 1x2y
+
=
относительно переменной x.
Получим
()
.
2
1x
xf
2
1y
x
1
−
=⇒
−
=
−
Составим и решим уравнение, которое следует из условия
примера:
(
)
⇔+=−+ 5xsin1xsin7xcos6
2
1
2
2
.Zk,k
2
x;Zn,nx0xsinxsin
2
∈
π
=∈π=⇔=−
Ответ: Zk,k
2
x;Zn,nx ∈
π
=∈π= .
Пример 3.9. Решите неравенство
(
)
(
)
xfxg ≥ , где
(
)
xg –
функция, обратная к
()
1
x
2x
xf
+
+
= .
Решение. Функция
()
(
)
1
x
1
1
1
x
11x
xf
+
+=
+
+
+
= определена
на множестве
(
)
(
)
∞+−∪−∞−= ,11,)f(D
непрерывна и монотонно убывает на каждом из бесконечных
промежутков
(
)
1, −∞− и
(
)
∞+− ,1 (но не на
(
)
fD ). Поэтому
обратная функция существует (теорема 3.1).
Решив уравнение y
1
x
2x
=
+
+
, получим
1y
y2
x
−
−
=
, откуда
()
1
x
x2
xg
−
−
=
или
()
1
x
1
1xg
−
+−= .
Эта функция определена на
множестве
(
)
(
)
(
)
(
)
,,11,fEgD ∞+∪∞−==
непрерывна и монотонно
убывает на каждом из бесконечных промежутков
(
)
(
)
∞+∞− ,1 и 1, .
Решим неравенство
(
)
(
)
xfxg ≥ :
(
)
( )( )
(
)
(
)
( )( )
.0
1x1x
2x2x
0
1x1x
2x2
1x
2x
1x
x2
2
≤
−+
−+
⇔≥
+−
−−
⇔
+
+
≥
−
−
Решив последнее неравенство методом интервалов,
получим, что
[
)
]
2,1(1;2x ∪−−∈ .
На рис. 3.9 приведена геометрическая иллюстрация данного
примера.
Ответ: 2x1 ≤< .
3.2. Обратные тригонометрические функции
Функции ctgx,tgx,xcos,xsin являются периодическими
и потому каждое значение
y
из своей области значений
(
[
]
1;1y −∈ для
xsin
и
сosx
; Ry
∈
- для
tgx
и
ctgx
) они
принимают бесконечное число раз. Каждая из названных
функций имеет бесконечное число периодически
повторяющихся промежутков монотонности. Для построения
обратной функции необходимо выбрать один из них. Удобно
выбирать ближайший к точке
0x
=
промежуток монотонности
тригонометрической функции. Для
xsin
- это отрезок
ππ
−
2
;
2
;
для
cosx
- отрезок
[
]
π;0 ; для
tgx
- интервал
ππ
−
2
;
2
; для
ctgx
- интервал
(
)
π;0 .
3.2.1. Функции арксинус и арккосинус
На отрезке
ππ
−
2
;
2
функция xsiny
=
непрерывна и
строго возрастает. В соответствии с теоремой 3.2 существует
обратная функция
(
)
xf
1−
,
[
]
1;1x −∈ , которая также будет
непрерывной и строго возрастающей. Обозначают эту функцию
xarcsin
(арксинус икс). Словосочетание
xarcsin
«переводится» (читается) как «угол, синус которого равен
x
»
(arc – угол, sin – синус).
Таким образом, арксинусом числа
[
]
1;1x −∈ называется
такой угол
α
, принадлежащий отрезку
[
]
2;2 ππ− , синус
которого равен
x
.
В соответствии со свойствами обратных функций
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
xxff;yyff
11
==
−−
имеем тождества
(
)
[
]
1;1x,xxarcsinsin −∈=
(3.2)
( )
ππ
−∈αα=α
2
;
2
,sinarcsin
(3.3)
Заметим, что как выражение
(
)
xarcsinsin , так и тождество
(3.2) имеют смысл только для
[
]
1;1x −∈ , тогда как выражение
(
)
αsinarcsin имеет смысл для любого
R
∈
α
, но тождество
(3.3) верно только для
ππ
−∈α
2
;
2
.
Свойства функции xarcsiny
=
1. Область определения:
(
)
[
]
1 ;1yD −= .
2. Область значений:
()
[ ]
∈
π
≤≤
π
−
ππ
−= 1 1;-всех x для
2
xarcsin
2
:
2
;
2
yE .
3. Четность:
xarcsin
– нечетная функция. Для любого
[
]
11;-x∈
(
)
xarcsinxarcsin −=−
.
4. Периодичность: непериодическая, так как каждое свое
значение она принимает один раз.
5. Интервалы монотонности: строго возрастает на всей области
определения.
6. Экстремальные значения: локальных экстремумов нет.
Наименьшее значение на отрезке
[
]
1,1− :
[ ]
( )
2
xarcsinmin
1;1x
π
−=
−∈
.
Наибольшее:
[ ]
( )
2
xarcsinmax
1;1x
π
=
−∈
.
7. График функции
[
]
1;1x,xarcsiny −∈= , приведен на
рис. 3.10 и 3.11 вместе с графиком функции
ππ
−∈=
2
;
2
x,xsiny , из которого он получается
отображением относительно прямой
x
y
=
.
Функция
x
cos
y
=
на отрезке
[
]
π;0 непрерывна и строго
убывает. В соответствии с теоремой 3.2 существует обратная
функция
(
)
[
]
,1;1x,xf
1
−∈
−
которая также будет непрерывной
и строго убывающей Обозначают ее
x
arccos
(арккосинус), т.е.
арккосинусом числа
[
]
1;1x −∈ называется такой угол
α
,
принадлежащий отрезку
[
]
π;0 , косинус которого равен
x
:
(
)
[
]
1;1x,xxarccoscos −∈=
(3.4)
Имеет место также тождество
(
)
[
]
π∈αα=α ;0,cosarccos . (3.5)
Выражение
(
)
αcosarccos определено для всех
R
∈
α
, но
тождество (3.5) верно только для
[
]
π∈α ;0 .
Свойства функции
x
arccos
y
=
1. Область определения:
(
)
[
]
1 ;1yD −= .
2. Область значений:
(
)
[
]
[
]
(
)
1 1;-всех x для xarccos0:;0yE ∈π≤≤π= .
3. Четность и нечетность:
x
arccos
- ни четная, ни нечетная
функция. Для всех
[
]
11;-x∈ справедливо тождество
(
)
xarccosxarccos −π=−
(3.6)
4. Периодичность: непериодическая функция.
5. Интервалы монотонности: строго убывает на всей области
определения.
6. Экстремальные значения: локальных экстремумов нет.
Наименьшее значение на отрезке
[
]
1,1− :
[ ]
(
)
0xcosarcсmin
1;1x
=
−∈
.
Наибольшее:
[ ]
(
)
π=
−∈
xcosarcсmax
1;1x
.
7. График функции
[
]
1,1x,xarccosy −∈= , приведён на
рис. 3.12 и на рис. 3.13 вместе с графиком «прямой»
функции
[
]
π∈= ;0x,xcosy .
3.2.2. Функции арктангенс и арккотангенс
На интервале
ππ
−
2
;
2
функция
tgx
y
−
непрерывна и
строго возрастает, принимая все значения от
∞
−
до
∞
+
(
)
(
)
RyE = , откуда, с учетом теоремы 3.2, следует, что
существует обратная к
tgx
y
=
,
ππ
−∈
2
;
2
x , функция
(
)
xf
1−
,
определенная на всей числовой прямой, непрерывная и строго
возрастающая. Обозначают ее
arctgx
(арктангенс), т.е.
арктангенсом числа
R
x
∈
называется такой угол
α
,
принадлежащий интервалу
ππ
−
2
;
2
, тангенс которого равен
x
:
(
)
Rx,xarctgxtg ∈=
(3.7)
( )
ππ
−∈αα=α
2
;
2
,tgarctg
(3.8)
Выражение
(
)
αtgarctg определено для всех
R
∈
α
,
n
2
π+
π
≠α ,
Z
n
∈
, но тождество (3.8) верно только для
ππ
−∈α
2
;
2
.
Свойства функции
arctgx
y
=
1. Область определения:
(
)
RyD = .
2. Область значений:
()
ππ
−=
2
;
2
yE (
2
arctgx
2
π
<<
π
− для
всех
R
x
∈
).
3. Четность и нечетность: нечетная функция
(
)
arctgxxarctg −=−
(3.9)