Новиков А.И. Тригонометрические функции, уравнения и неравенства. Пособие для поступающих
Подождите немного. Документ загружается.
( )
α=α=
π sinarcsin
3
29
cosarcsin .
Воспользовавшись формулами приведения, получим
6
sin
32
sin
3
cos
3
10cos
3
29
cos
π
=
π
−
π
=
π
=
π
−π=π .
Поскольку
ππ
−∈
π
2
;
26
, то
66
sinarcsin
3
29
cosarcsin
π
=
π
=
π=α .
Ответ:
63
29
cosarcsin
π
=
π .
Пример 3.15. Вычислите
π
7
54
tgarctg .
Решение. В соответствии с определением функции
arctgx
и тождеством (3.8) необходимо найти угол
ππ
−∈α
2
;
2
такой,
что π=α
7
54
tgtg . Такой угол существует и единствен
(почему?).
Преобразуем π
7
54
tg с помощью формул приведения:
π−=
π−π=π=
π+π=π
7
2
tg
7
2
tg
7
5
tg
7
5
7tg
7
54
tg .
Угол
ππ
−∈π−
2
;
27
2
. Поэтому
π−=
π−=
π
7
2
7
2
tgarctg
7
54
tgarctg
.
Ответ: π−=
π
7
2
7
54
tgarctg .
Пример 3.16. Вычислите
π
5
63
tgarcctg .
Решение. Здесь число π
5
63
tg необходимо заменить
равным ему значением
(
)
π∈αα ;0,ctg , чтобы иметь
возможность воспользоваться тождеством (3.11):
(
)
α=αctgarcctg при
(
)
π∈α ;0 :
π
−=
π−
π
=π=
π+π=π
10
ctg
5
3
2
ctg
5
3
tg
5
3
12tg
5
63
tg .
Но угол
( )
π∉
π
− ;0
10
. Продолжим преобразования:
π=
π+
π
−=
π
−
10
9
ctg
10
ctg
10
ctg .
Угол
( )
π∈π ,0
10
9
и потому
.
10
9
10
9
ctgarcctg
5
63
tgarcctg π=
π=
π
Ответ: .
10
9
5
63
tgarcctg π=
π
Пример 3.17. Вычислите
π
3
88
sinarccos .
Решение. Способ 1:
2
3
3
sin
3
29sin
3
88
sin −=
π
−=
π
+π=π .
Отсюда =
−=
π
2
3
arccos
3
88
sinarccos
π=
π
−π=−π=
6
5
6
2
3
arccos .
Для вычисления
−
2
3
arccos воспользовались
свойством (3.6).
Способ 2. Используя тождество (3.12), получаем
=
π
−−
π
=
π−
π
=
π
3
sinarcsin
23
88
sinarcsin
23
88
sinarccos
π=
π
+
π
=
π
+
π
=
6
5
323
sinarcsin
2
.
Ответ: .
6
5
3
88
sinarccos π=
π
Рассмотрим теперь методы решения задач того же вида, но
аргументы тригонометрических функций в которых не кратны
иррациональному числу
π
.
Пример 3.18. Вычислите
(
)
13сosarccos .
Решение. Cпособ 1. С учетом определения функции
[
]
(
)
xcos;0:xarccosxarccos =απ∈αα= решение
задачи заключается в поиске угла
[
]
π∈α ;0 такого, что
13coscos
=
α
. Решая это уравнение, получаем
⇔=
α
−
+
α
⇔=−α 0
2
13
sin
2
13
sin2013coscos
∈+π=α
∈−π=α
⇔
∈π=
α−
∈π=
+α
⇔
(3.16).Zm,13m2
(3.15),Zn,13n2
,Zm,m
2
13
,Zn,n
2
13
Теперь необходимо подобрать целые числа m или n так, чтобы
выполнялось одно из неравенств:
π
≤
−
π
≤
13n20
,
π
≤
+
π
≤
13m20
,
что равносильно неравенствам:
,13n213
+
π
≤
π
≤
.13m213
−
π
≤
π
≤
−
Отметим, что решение может иметь только одно из
приведенных двойных неравенств. Для первого неравенства
такое n не существует.
Действительно, если
2
n
=
, то ;1356,124
<
≈
π
если
3n
=
, то 1384,186
+
π
>
≈
π
.
Второе неравенство выполняется при
2
m
−
=
и, как
следствие, искомый угол
π
−
=
α
413
(формула (3.16)).
Ответ:
(
)
π−= 41313cosarccos .
Способ 2. Решение является незначительной модификацией
первого способа и отличается от него тем, что опускается этап
решения уравнения 13coscos
=
α
(
)
Ra,acosxcos ∈= . Как
следует из формул (3.15) и (3.16), решение этого уравнения
сразу можно записать в виде
∈+π=α
∈−π=α
.Zm,13m2
,Zn,13n2
Далее решение совпадает с приведенным в способе 1.
Способ 3. Графический подход.
Строим график функции
x
cos
y
=
. Отмечаем на нем точку
B
(
)
13cos,13 , т.е. 13cosy,13x
=
=
. Затем проводим через
эту точку прямую, параллельную оси Ох. Находим точку
пересечения прямой с графиком функции
x
cos
y
=
, абсцисса
α
=
x
которой лежит на отрезке
[
]
π;0 . Такая точка существует
и единственна (рис. 3.18) (почему?).
Из рисунка 3.18 и свойства периодичности функции
x
cos
y
=
заключаем, что искомый угол
π−===α 413CDOA
.
Пример 3.19. Вычислите
(
)
11cosarccos .
Решение. Воспользуемся графическим способом решения.
При применении этого способа важно определить положение
числа
x
(в данном случае
11
x
=
) относительно точек
2
n
π
. В
послесловии к примеру 1.4 (раздел 1, пункт 1.2.1) уже
отмечалось, что 11 рад отличается от числа π
2
7
лишь в третьем
знаке
π>
2
7
11 . Поэтому на рис. 3.19 точка
11
x
=
умышленно расположена заметно правее точки π=
2
7
x лишь с
одной целью - подчеркнуть, что π>
2
7
11 .
Из рис. 3.19 имеем AB
2
OA −
π
==α . Но
π−==
2
7
11СDAB и 114
2
7
11
2
−π=
π−−
π
=α .
Ответ:
114
−
π
.
Решите данный пример способом 1 (см. пример 3.18).
Пример 3.20. Вычислите
(
)
8cosarcsin .
Решение. Во-первых, необходимо преобразовать 8cos к
−
π
8
2
sin или
+
π
8
2
sin , чтобы иметь далее возможность
воспользоваться тождеством
(
)
,sinarcsin α=α если
ππ
−∈α
2
;
2
. Имеем
( )
=
−
π
==α 8
2
sinarcsin8cosarcsin
π+−
π
= n28
2
sinarcsin
.
Подберем n так, чтобы выполнялись неравенства
8n28
2
n28
2
2
≤π≤π−⇔
π
≤π+−
π
≤
π
− .
Подходит
1
n
=
. В результате 8
2
5
28
2
−π=π+−
π
=α .
Ответ:
( )
8
2
5
8cosarcsin −π= .
Способ 3. Графический подход.
Строим график функции
x
cos
y
=
и отмечаем на нем точку
(
)
8cos,8 . Здесь же строим график функции xsiny
=
, но только
на отрезке
ππ
−
2
;
2
. Через точку
(
)
8cos,8 проводим прямую,
параллельную оси 0х до пересечения с графиком функции
ππ
−∈=
2
;
2
x,xsiny . Такая точка существует и
единственна (рис. 3.20).
Из рис. 3.20 имеем 8
2
5
2
5
8BCA0 −π=
π−−=−=−=α .
Ответ: 8
2
5
−π .
Пример 3.21. Вычислите
(
)
17ctgarctg .
Решение. Способ 1. Необходимо найти угол
α
такой, что
ππ
−∈α
2
;
2
и 17ctgtg
=
α
, откуда
.Zn,n17
2
17
2
tgtg ∈π+−
π
=α⇒
−
π
=α
При этом должны выполняться неравенства
.17n17
2
n17
2
2
<π<π−⇔
π
<π+−
π
<
π
−
Решив это неравенство, найдем, что
5n
=
и искомый угол
.17
2
11
517
2
−π=π+−
π
=α
Ответ:
( )
17
2
11
17ctgarctg −π= .
Способ 2. Графический подход
В прямоугольной системе координат Оxy строим график
функции Zn,nx,6x0,ctgxy
∈
π
≠
π
<
<
=
(
)
π< 617 , и
график функции
ππ
−∈=
2
;
2
x,tgxy . На графике функции
ctgx
y
=
отмечаем точку
(
)
17ctg,17 и проводим через нее
прямую, параллельную оси Оx до пересечения с графиком
функции
tgx
y
=
. Абсцисса точки пересечения с графиком
функции
tgx
y
=
и будет искомым значением
(
)
17ctgаrctg
(рис. 3.21)
Из рис. 3.21 и свойств функций
tgx
и
ctgx
следует, что
17
2
11
BCOA −π===α .
Ответ: 17
2
11
−π .
Еще один способ вычисления значений обратных
тригонометрических функций по значениям
тригонометрических функций для произвольного аргумента
последних заключается в использовании графиков функций:
(
)
xsinarcsiny = ,
(
)
xcosarccosy = ,
(
)
xcosarcsiny = ,
(
)
xsinarccosy = ,
(
)
tgxarctgy = ,
(
)
ctgxarcctgy = ,
(
)
tgxarcctgy = ,
(
)
ctgxarctgy = .
Пример 3.22. Постройте график функции
(
)
xsinarcsiny =
и вычислите:
а)
(
)
8sinarcsin ; б)
(
)
10sinarcsin ; в)
2
23
sinarcsin ;
г)
(
)
13sinarcsin ; д)
(
)
17sinarcsin .
Решение. Поскольку
π
−
2xsin
- периодическая функция, то периодической с тем же
периодом
π
2
будет и функция
(
)
xsinarcsiny = . Поэтому
достаточно построить график этой функции на отрезке
π
π
−
2
3
;
2
длинной
π
2
.
На отрезке
ππ
−
2
;
2
(
)
xxsinarcsin = и потому
x
y
=
.
Если
π
π
∈
2
3
;
2
x , то (см. рис. 3.22)
(
)
OAxsinxsin =−π=
.
При этом
( )
ππ
−∈−π
2
;
2
x , если
π
π
∈
2
3
;
2
x . Таким
образом,
( )
π
≤<
π
−π
π
≤≤
π
=
.
2
3
x
2
если ,x
,
2
x
2
- если ,x
xsinarcsin
Далее строим периодическое продолжение полученного
фрагмента графика – «уголка» ABC – с отрезка
π
π
−
2
3
;
2
на
всю числовую прямую (рис. 3.23).