Новиков А.И. Тригонометрические функции, уравнения и неравенства. Пособие для поступающих
Подождите немного. Документ загружается.
Нетрудно видеть, что
(
)
3xf = при 1tgx
=
, т.е.
Zn,n
4
x ∈π+
π
= .
67. Преобразовав произведения тригонометрических функций в
суммы, получить равносильную форму уравнения
(
)
(
)
0x2sinx8cos1x3cos1
2
=+−+ .
Далее применить метод оценок.
68. Применить метод оценок.
71. Найти ОДЗ уравнения. Возвести обе части уравнения в
квадрат; в полученном уравнении применить подстановку
xcosxsint
−
=
.
73
*
. Применив подстановку
t
x
cos
=
, получить уравнение
01t3t2
23
=+−
.
Для решения этого уравнения можно использовать
подстановку
zt2 =
. Тогда
(
)
(
)
0zz2z1z0zz3z
223
=−−−⇔=+− .
77. Способ 1.
(
)
2x2cosx2sinmax
Rx
=+
∈
и достигается при
Zn,
2
n
4
x2 ∈
π
+
π
= .
Способ 2. Возвести обе части уравнения в квадрат. Получить
и решить простейшее уравнение .1x4sin =
78. Функция
(
)
xcosxsinxf = является четной
π
2
-
периодической. Поэтому достаточно найти решение на
отрезке
[
]
π;0 , на котором xsinxsin = и
()
x2sin
2
1
xf = .
79. Раскрыв модуль, свести уравнение к совокупности двух
однородных уравнений.
81. 5x;2x
=
−
=
- корни уравнения
.0xx310
2
=−+
Далее
отобрать корни уравнения 0
3
x4
tg =
π
, удовлетворяющие
условию
5x2
≤
≤
−
.
83. Для решения задачи использовать графический подход.
Построив графики функций
()
2
x
cosxy
1
π
= и
()
3
1
3
x
xy
2
−= , вычислить значения этих функций в точках,
определяющих взаимное положение графиков функций.
84. ==
+
2
x
cos2
2
x
cos2
xcos1
2
x
cos2
.Zn
,n43xn4если,1
,n4xn4если,1
∈
π+π<<π+π−
π+π<<π+π−
=
Но 1
2
x
sin = при
n4x
π
+
π
=
и 1
2
x
sin −= при
n43x
π
+
π
=
. В этих точках левая часть уравнения не
определена.
5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
5.1. Простейшие тригонометрические неравенства
Решение простейших тригонометрических неравенств
целесообразно осуществлять либо с использованием графика
соответствующей тригонометрической функции, либо с
помощью единичной окружности.
Пример 5.1. Решите неравенство
2
1
xsin −> .
Решение. Функция
xsin
определена на всей числовой
прямой, непрерывна и является
π
2
-периодической, поэтому
решением неравенства будет объединение интервалов вида
(
)
Zn,n2x;n2x
21
∈π+π+ , где
1
x и
2
x - корни уравнения
2
1
xsin −= на некотором
отрезке длинной
π
2
.
Действительно, прямая
2
1
y
~
−= пересекает
единичную окружность в
двух точках
1
M и
2
M . Точке
1
M отвечает угол
π
−
6
радиан, а точке
2
M – π
6
7
радиан (рис. 5.1), т. е.
6
x
1
π
−= ,
π=
6
7
x
2
и синус угла в
x
радиан будет больше
−
2
1
, если
ордината
p
y
~
точки
(
)
xP на единичной окружности,
отвечающей углу в
x
радиан, будет больше
−
2
1
. Из рис. 5.1
Рис. 5.1
y
~
x
~
y
~
=-1/2
M
1
M
2
-1/2
−π/6
7π/6
x
P(x)
p
y
~
0
следует, что неравенство
2
1
y
~
p
−> выполняется при
π<<
π
−
6
7
x
6
, а с учетом периодичности функции
xsin
при
Zn,n2
6
7
xn2
6
∈π+π<<π+
π
− .
Ответ: Zn,n2
6
7
xn2
6
∈π+π<<π+
π
− .
Пример 5.2. Решите неравенство
2
1
xcos > . (5.1)
Решение. Способ 1. Построим графики функций xcosy =
и
2
1
y = .
M
1
M
2
M
y=1/2
x
y= cos x
x
M
-
π
3
π
3
π
2
π
3
2
π
3
4
π
2
3
y
Рис. 5.2
0
Функция xcosy = определена для всех
R
x
∈
,
непрерывна и является
π
-периодической, поэтому достаточно
найти решение неравенства на отрезке
ππ
−
2
;
2
длинной
π
.
Прямая
2
1
y = пересекает график функции xcosy = на
отрезке
ππ
−
2
;
2
в двух точках
1
M и
2
M , абсциссы которых
соответственно
3
x
1
π
−= и
3
x
2
π
= .
Решением неравенства (5.1) будут абсциссы
M
x тех точек
графика функции xcosy = , которые лежат выше прямой
2
1
y = . Абсциссы
M
x таких точек образуют интервал
ππ
−
3
;
3
на отрезке
ππ
−
2
;
2
. С учетом периодичности функции
xcosy = решением неравенства (5.1) будет объединение
интервалов .Zn,n
3
;n
3
∈
π+
π
π+
π
−
Ответ: .Zn,n
3
xn
3
∈π+
π
<<π+
π
−
Способ 2. Решение неравенства (5.1) можно осуществить
также с помощью единичной окружности. Поскольку
−<
>
⇔>
,
2
1
xcos
,
2
1
xcos
2
1
xcos
то решение неравенства (5.1) равносильно нахождению
множества точек
{
}
p
x
~
на оси
x
~
O
таких, что
2
1
x
~
1
p
−<≤−
или 1x
~
2
1
p
≤< .
Из рис. 5.3 следует, что искомые точки
(
)
xP , абсциссы
p
x
~
которых удовлетворяют указанным неравенствам, лежат на
дугах
21
MM и
21
MM
′
′
. Дуге
21
MM отвечают углы
,Zn,n2
3
;n2
3
∈
π+
π
π+
π
−
а дуге
21
MM
′
′
- углы
.Zn,n2
3
4
;n2
3
2
∈
π+ππ+π
Поскольку
,
3
3
4
;
3
3
2
π+
π
=ππ+
π
−=π
то полученные решения можно
записать в виде одного двойного
неравенства:
Zn,n
3
xn
3
∈π+
π
<<π+
π
− .
Ответ: Zn,n
3
xn
3
∈π+
π
<<π+
π
− .
Пример 5.3. Решите
неравенство
1tgx
−
≤
. (5.2)
Решение. Для решения
данного неравенства
воспользуемся графиком
функции
tgx
y
=
(рис. 5.4).
Из рисунка следует, что
решением неравенства (5.2)
будут все точки полуинтервалов ,BA
11
22
BA и т.д., т.е.
Zn,n
4
xn
2
∈π+
π
−≤<π+
π
− .
Ответ: Zn,n
4
xn
2
∈π+
π
−≤<π+
π
− .
Рис. 5.3
y
~
x
~
M
1
M
2
−π/
3
x
P(x)
π/3
p
x
~
=-1/2
x
~
x=1/2
~
M
1
M
2
0
x
y
π
π/
2−π/2 34π/
-1
y=-1
A
2
B
2
A
1
B
1
Рис. 5.4
Некоторые неравенства не являются простейшими, но легко
сводятся к ним. Такой случай рассматривается в примерах 5.4 и
5.5.
Пример 5.4. Решите неравенство
2xsinxcos ≥+
. (5.3)
Решение. Поскольку
π
−=+
4
xcos2xsinxcos ,
то неравенство (5.3) равносильно простейшему неравенству
1
4
xcos ≥
π
− . Его решением будет множество точек
Zn,n2
4
x ∈π=
π
− , или Zn,n2
4
x ∈π+
π
= .
Ответ: Zn,n2
4
x ∈π+
π
= .
Пример 5.5. Решите неравенство
1xsinxcos >+ .
Решение. Поскольку
π
−=+
4
xcos2xsinxcos , то
исходное неравенство равносильно неравенствам
⇔>
π
−
2
1
4
xcos
−<
π
−
>
π
−
⇔
.
2
1
4
xcos
,
2
1
4
xcos
Эти неравенства
аналогичны рассмотренным в
примере 5.2. Решив их, получим,
y
~
x
~
Рис. 5.5
0
что Zn,n
2
xn ∈π+
π
<<π (рис. 5.5).
Ответ: Zn,n
2
xn ∈π+
π
<<π .
Пример 5.6. Решите неравенства
а) ;3cosxcos
<
б) ;5sinxsin
≥
в) 3ctgtgx
≥
.
Решение. а) Иллюстрация к
неравенству
3cosxcos
<
приведена на рис. 5.6. Из него
следует, что решением
неравенства на отрезке
[
]
π2;0
будет интервал
(
)
32;3 −π , а на
всей числовой прямой –
объединение интервалов
(
)
Zn,n232;n23 ∈π+−ππ+ .
б) Из неравенства π<<π 25
2
3
и из рис. 5.7 следует, что
решением неравенства
5sinxsin
≥
будет множество
{
}
x точек
x
, удовлетворяющих
неравенствам
,n253xn225
π
+
−
π
≤
≤
π
+
π
−
Z
n
∈
.
в) Так как ,3
2
tg3ctg
−
π
=
Рис. 5.6
y
~
~
x
0
3
cos3
2-3π
2
3
2
2
π
<−
π
<
π
− и функция
tgx
y
=
строго возрастает на
интервале
ππ
−
2
;
2
, то
.Zn,n
2
xn3
2
3
2
tgtgx ∈π+
π
<≤π+−
π
⇔
−
π
≥
Это и есть решение неравенства в).
Ответ: а) ;Zn,n232xn23
∈
π
+
−
π
<
<
π
+
б) Zn,n253xn225
∈
π
+
−
π
≤
≤
π
+
π
−
;
в) Zn,n
2
xn3
2
∈π+
π
<≤π+−
π
.
5.2. Различные тригонометрические неравенства
Решение тригонометрических неравенств, не являющихся
простейшими, можно разделить, как правило, на два этапа. На
первом неравенство преобразуется к совокупности простейших
неравенств. Это преобразование осуществляется с помощью
методов, используемых для решения уравнений (раздел 4). На
втором этапе решаются простейшие неравенства.
Пример 5.7. Решите неравенство
02xsinxsin6
2
≥−+
.
Решение. Способ 1. Приняв ,1t,txsin ≤= получим
квадратное неравенство
02tt6
2
≥−+
.
Оно равносильно каждому из неравенств
≥
−≤
⇔≥
+
−
.
2
1
t
;
3
2
t
0
3
2
t
2
1
t
Возвратившись к переменной
x
, получим совокупность
простейших неравенств
≥
−≤
.
2
1
xsin
;
3
2
xsin
Иллюстрация к этим неравенствам приведена на рис. 5.8, а.
Решение последней совокупности неравенств будет иметь вид
∈π+π≤≤π+
π
∈π+−≤≤π++π−
.Zn,n2
6
5
xn2
6
,Zn,n2
3
2
arcsinxn2
3
2
arcsin
Ответ:
∪
π+−π++π−∈ n2
3
2
arcsin;n2
3
2
arcsinx
Zn,n2
6
5
;n2
6
∈
π+ππ+
π
∪ .
Способ 2. При решении тригонометрических неравенств
часто бывает удобно применять метод интервалов,
распространенный на тригонометрический круг. Рассмотрим
этот метод на данном примере.
Сначала находим корни уравнения
02xsinxsin6
2
=−+
.
На отрезке
[
]
π2,0 в данном случае это будут точки
.
3
2
arcsin2x;
3
2
arcsinx;
6
5
x;
6
x
4321
−π=+π=π=
π
=
Они разбивают отрезок
π
π
6
7
;
6
длиной
π
2
на четыре
интервала (рис. 5.8, б):
π
π
6
5
;
6
;
+ππ
3
2
arcsin;
6
5
;