Новиков А.И. Тригонометрические функции, уравнения и неравенства. Пособие для поступающих
Подождите немного. Документ загружается.
Складывая эти неравенства, получаем
.1xsinxcosxsinxcosxsinxcos
22
33
≡+>+>+
При
ππ∈
2
3
,x
(
)
>+−=+
3333
xsinxcosxsinxcos
(
)
1xsinxcosxsinxcos
22
≡+>+−> .
Объединив интервалы
ππ
π
2
3
;,
2
;0 , получим с учетом
периодичности функций
xsin
и
x
cos
, что неравенство (5.11)
выполняется для .Zn,n
2
,nx ∈
π+
π
π∈
Ответ: Zn,n
2
xn ∈π+
π
<<π .
Пример 5.14. Решите неравенство
xcosxsinx2sin1 +≤+ . (5.12)
Решение. На ОДЗ
( )
xcosxsinxcosxsinxcosxsinx2sin1
2
+=+=+=+ .
Поэтому неравенство (5.12) равносильно каждому из неравенств
(
)
,1t001tttt ≤≤⇒≤−⇔≤
где
π
−=+=
4
xcos2xcosxsint .
Таким образом,
⇔≤
π
−≤
2
1
4
xcos0
⇔
∈π+
π
≤
π
−≤π+
π
π+
π
−≤
π
−≤π+
π
−
⇔
,Zn,n2
24
xn2
4
,n2
44
xn2
2
∈π+π≤≤π+
π
π≤≤π+
π
−
⇔
.Zn,n2
4
3
xn2
2
,n2xn2
4
Ответ: ;Zn,n2xn2
4
∈π≤≤π+
π
−
.Zn,n2
4
3
xn2
2
∈π+π≤≤π+
π
Неравенства в примерах 5.15 - 5.20 отмечены символом «*».
Они относятся к категории неравенств повышенной сложности
и предназначены для групп с повышенной математической
подготовкой.
Пример 5.15
*
. Решите
неравенство
( )
2
3
xcoscos > .
Решение. Обозначим
t
x
cos
=
и рассмотрим
неравенство
2
3
tcos > . Его
решением будет
Zn,n2
6
tn2
6
∈π+
π
<<π+
π
− .
Поскольку возможные значения
[
]
1;1t −∈
(
)
1xcos1 ≤≤− ,
то окончательно имеем неравенства
6
t
6
π
<≤
π
− или
6
xcos
6
π
<≤
π
− (рис. 5.14).
Отсюда
∈π+
π
−π<<π+
π
π+
π
−<<π+
π
+π−
.Zn,n2
6
arccosxn2
6
arccos
,n2
6
arccosxn2
6
arccos
Эту совокупность неравенств можно записать в виде одного
двойного неравенства
Zn,n2
6
arccosxn2
6
arccos ∈π+
π
−π<<π+
π
.
Ответ: Zn,n2
6
arccosxn2
6
arccos ∈π+
π
−π<<π+
π
.
Пример 5.16
*
. Решите неравенство
( )
2
1
xcossin ≤ .
Решение. Поскольку
( )
−
π
= xcos
2
cosxcossin , то
исходное неравенство принимает вид
2
1
xcos
2
cos ≤
−
π
,
откуда
⇔
≤≤−
∈π+π≤−
π
≤π+
π
,1xcos1
,Zn,n2
3
5
xcos
2
n2
3
( )
⇔
π
≤≤−⇔
≤≤−
=
π
−
π
≤≤π−
⇔
6
xcos1
,1xcos1
,0n
32
xcos
6
7
.Zn,n2
6
arccos2xn2
6
arccos ∈π+
π
−π≤≤π+
π
⇔
Ответ: .Zn,n2
6
arccos2xn2
6
arccos ∈π+
π
−π≤≤π+
π
Пример 5.17
*
. Решите неравенство
( )
2
1
xsinсos ≤ .
Решение. Для всех
R
x
∈
справедливо двойное неравенство
1xsin1
≤
≤
−
. Поскольку
x
cos
- четная монотонно убывающая
на интервале
π
2
;0 функция и
2
10
π
<< , то
(
)
1cosxsinсos ≤
для всех
.Rx
∈
Далее из неравенства
3
1
π
<
π
< рад
3
рад 1
следует неравенство
2
1
3
cos1cos =
π
> , откуда
( )
2
1
xsinсos >
для всех
.Rx
∈
Ответ:
.x
∅
∈
Пример 5.18
*
. Докажите,
что для всех
x
из интервала
π
2
;0 справедливы
неравенства
tgxxxsin
<
<
. (5.13)
Решение. На координатной
плоскости y
~
x
~
O построим
единичную окружность и
проведем луч
OA
(рис. 5.15).
Обозначим через
x
угол, который образует луч
OA
с
положительным направлением оси
x
~
O
π
<<
2
x0 .
Рассмотрим треугольник
OAB
, сектор
OAB
и
треугольник
(
)
B0CBOCB ⊥ . Обозначим их площади
соответственно
321
S и S,S . Очевидно
321
S SS << и при этом
.
2
xsin
xsinOAOB
2
1
ADOB
2
1
S
1
=⋅=⋅=
Отметим еще раз, что
.1OBOA
=
=
Находим далее
;
2
x
xR
2
1
S
2
2
=⋅=
2
tgx
OBtgxOB
2
1
BCOB
2
1
S
2
=⋅=⋅= ,
откуда tgxxxsin
2
tgx
2
x
2
xsin
<<⇔<< .■
Пример 5.19
*
. Используя неравенство (5.13), докажите
справедливость неравенств
а)
2
x
1xcos
2
−>
(5.14)
б)
4
x
xxsin
3
−>
(5.15)
для всех
π
∈
2
;0x .
Решение: а) ,
2
x
sin21xcos
2
−= но
2
x
2
x
sin < в силу (5.13)
и потому
2
x
1
2
x
21xcos
2
2
−=
−> ;
б)
−===
2
x
sin1
2
x
tg2
2
x
cos
2
x
tg2
2
x
cos
2
x
sin2xsin
22
.
В соответствии с неравенством (5.13) имеем
4
x
1
2
x
1
2
x
sin1;
2
x
2
x
tg
2
2
2
−=
−>−> .
Отсюда
4
x
x
4
x
1
2
x
2xsin
32
−=
−> . ■
Пример 5.20
*
. Докажите, что для всех
π
∈
2
;0x
справедливо неравенство
64
x
4
x
x
2
x
tg
53
+−> .
Решение. Представим
tgx
в виде
x
cos
2
x
cos
2
x
tg2
x
cos
2
x
cos
2
x
sin2
x
cos
xsin
tgx
2
=== .
Поскольку 1
x
cos
1
> для всех
π
∈
2
;0x , то
64
x
4
x
x
8
x
1
2
x
2
2
x
cos
2
x
tg2tgx
53
2
2
2
+−=
−>> .
Здесь использованы неравенства
2
x
2
x
tg > и (5.14)
2
2
x
2
1
1
2
x
cos
−> . ■
5.3. Задачи для самостоятельного решения
Раздел 5.1. Решите неравенства:
1. .
2
1
xsin < 2. .
2
1
xcos −≥ 3.
.4sinxsin
≥
4.
.2cosxcos
<
5. .3tgx ≥ 6. .3ctgx
<
7. .2tgtgx
≤
8. .
2
3
tgctgx >
9.
.1cosxsin
<
10. .
4
3
xcos
2
≥ 11. .
2
1
xsin
2
≤ 12. .3xtg
2
≥
Раздел 5.2. Решите неравенства
13.
01xcosxsin2
2
≤−−
.
14.
(
)
034xcos132xsin4
2
<−−++ .
15. 02tgxxtg
2
≥−+ . 16.
2
3
x3cos3x3sin <+ .
17.
1x2sinxcosxsin
≥
+
−
. 18.
.0x2sin26xcosxsin ≥+−
19.
0x6sinx4sinx2sin
≤
+
+
. 20
*
.
.1x4sinx3cosxcos
≥
21
*
.
.1x4cosx3cosxcos
≥
⋅
⋅
22
*
.
2x3sinx2sinxsin
222
≥++
.
23. .xcostgx −< 24. .1xsin2xcos21
2
−≥−
25. .1xsin2xsin43
2
+<− 26.
xsin4x4sin
≤
.
27.
(
)
.01x12cos1tgx ≥−− 28. .1
x
sin
1tgx
≥
−
29
*
. .0xsin3x2cos21 ≤+− 30. .0
x
3
cos
x2cosx6cos
≤
−
31.
.0x4cosx2cos
<
−
32.
(
)
.3x6cosxcosxsin4
44
>++
33. xsin2x3sin3 ≥+ . 34. .xcos2x3cos23 ≤+
35. .xcos
24
x4cos717
4
>
+
36. Найдите сумму корней уравнения
( )
0xcosxsinxx318
2
=π+π−+ .
37. Найдите сумму целочисленных решений неравенства
( )
0xcosxsinxx318
2
≤π+π−+ .
38. Решите неравенство
xcos1
2
x
cos2
xsinxcos
44
+
≥+
на отрезке
[
]
ππ− 3; .
39. Решите неравенство
ecx
cos
x
sec
≥
.
Решите неравенства:
40
*
.
( )
.
2
1
xcoscos <
41
*
.
( )
.
2
1
xsinsin ≥
42
*
.
(
)
.0xsinsin < 43
*
.
(
)
.0xsincos <
Докажите неравенства:
44
*
. .
16
x
2
x
1xcos
42
+−< 45
*
. .
32
x
2
x
1xcos
42
+−>
46
*
. .
64
x
4
x
xxsin
53
+−>
5.4. Ответы
1. .Zn,n2
6
13
xn2
6
5
∈π+π<<π+π
2. .Zn,n2
3
2
xn2
3
2
∈π+π≤≤π+π−
3. .Zn,n24xn24
∈
π
+
≤
≤
π
+
−
π
4. Zn,n222xn22
∈
π
+
−
π
<
<
π
+
.
5. .Zn,n
2
xn
3
∈π+
π
<≤π+
π
6. Zn,nxn3arcctg
∈
π
+
π
<
<
π
+
.
7. .Zn,n2xn
2
∈π+≤<π+
π
8. .Zn,n
2
3
2
xn ∈π+−
π
<<π
9. .Zn,n2
2
5
xn21
2
∈π+π<<π++
π
10. Zn,n
6
xn
6
∈π+
π
≤<π+
π
− .
11. Zn,n
4
xn
4
∈π+
π
≤≤π+
π
− .
12. Zm,n,m
2
xm
3
,n
3
xn
2
∈π+
π
≤≤π+
π
π+
π
−≤<π+
π
− .
13. ;n2x
π
+
π
=
Zm,n,m2
3
xm2
3
∈π+
π
≤≤π+
π
− .
14. n2
6
xn2
3
π+
π
−<<π+
π
− ,
Zm,n,m2
3
xm2
6
∈π+
π
<<π+
π
, или
Zk,k2
3
xk2
6
∈π+
π
<<π+
π
.
15. n2arctgxn
2
π+−≤<π+
π
− ;
Zm,n,m
2
xm
4
∈π+
π
<≤π+
π
.
16. n
3
2
4
3
arcsin
3
1
9
5
xn
3
2
4
3
arcsin
3
1
9
2
π++π<<π+−π ,
Z
n
∈
.
17. n2
2
xn2
4
π+
π
≤≤π+
π
;
Zm,n,m2
4
5
xm2 ∈π+π<≤π+π .
18. n2
4
3
arcsin
4
xn2
3
2
arcsin
4
π+π+
π
≤≤π+π−
π
;
( ) ( )
π++π+
π
≤≤π++π−
π
1n2
3
2
arcsin
4
x1n2
4
3
arcsin
4
,
Z
n
∈
.
19. m
3
xm
4
;nxn
4
π+
π
≤≤π+
π
π≤≤π+
π
− ;
Zk,m,n,k
3
2
xk
2
∈π+π≤≤π+
π
.
20
*
.
∅
. 21
*
. Zn,nx
∈
π
=
.
22. ;n
2
x π+
π
= Zm,n,m
4
xm
6
∈π+
π
≤≤π+
π
.
23. Zn,n2
2
15
arcsinxn2 ∈π+
−
+π<≤π+π .
24. ;n
2
x π+
π
= Zm,n,m2
4
7
xm2
4
5
∈π+π<<π+π .
25. n2
3
xn2
10
π+
π
<<π+
π
;
Zm,n,m2
10
9
xm2
3
2
∈π+π<<π+π .
26. Zn,n2xn2
∈
π
+
π
≤
≤
π
.
27. ;n
3
x π+
π
= Zm,m
4
x ∈π+
π
= .
28. n2xn2
2
π<<π+
π
− ;
m2
2
xm2
2
12
arcsin
4
π+
π
<≤π+
−
+
π
,
Zk,m,n,k2
2
12
arcsin
4
5
xk2 ∈π+
−
−π≤<π+π .
29. Zn,n2
4
1
arcsinxn2
4
1
arcsin ∈π+−≤≤π++π− .
30. ;m2
2
xm2
4
;n2
6
xn2
6
π+
π
<≤π+
π
π+
π
<<π+
π
−