Новиков А.И. Тригонометрические функции, уравнения и неравенства. Пособие для поступающих
Подождите немного. Документ загружается.
−π+π
3
2
arcsin2;
3
2
arcsin ;
π−π
6
7
;
3
2
arcsin2 .
Далее определяем знак выражения
−
+
2
1
xsin
3
2
xsin
на любом из приведенных интервалов, например на четвертом -
π−π
6
7
;
3
2
arcsin2 . На нем 0
2
1
xsin <− , 0
3
2
xsin >+ , т.е.
знак выражения
−
+
2
1
xsin
3
2
xsin отрицательный. На
следующих интервалах знаки этого выражения будут
чередоваться (рис. 5.8 б).
Теперь можно записать ответ:
∪
π+ππ+
π
∈ n2
6
5
;n2
6
x
.Zn,n2
3
2
arcsin2;n2
3
2
arcsin ∈
π+−ππ++π∪
Комментарий к методу интервалов
Метод интервалов для решения тригонометрических
неравенств удобно применять, когда последние приведены к
виду
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0axfaxfaxf
n21
≤−−−
K
,
где
(
)
xf - одна из тригонометрических функций
n21
a,,a,a ;tgx ,xcos ,xsin
K
- некоторые числа.
Далее находятся корни K,,2,1k,x
k
K
= простейших
уравнений:
(
)
,axf
1
=
(
)
(
)
.axf,,axf
n2
==
K
Эти корни наносятся на единичную окружность в виде точек.
Они разобьют окружность на некоторое число
M
дуг (отрезок
[
]
π2;0 на
M
интервалов). Это число
M
в общем случае не
будет совпадать с числом
K
корней
k
x простейших
уравнений, поскольку некоторые корни могут совпадать.
Если в некоторой точке на единичной окружности нечетное
число совпадающих корней, то при переходе через такую точку
знак выражения
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
n21
axf,,axfaxf −−−
K
меняется на противоположный. Если же в точке четное число
корней, то знак выражения не меняется.
Пример 5.8. Решите неравенство
1x2cosxcos4
>
. (5.4)
Решение. Преобразуем
Zn,nx,
x
sin
x4sin
x
sin
x2cosxcosxsin4
x2cosxcos4 ∈π≠== .
Исходное неравенство примет вид
0
x
sin
xsinx4sin
1
x
sin
x4sin
>
−
⇔> .
Полученное неравенство является следствием неравенства (5.4).
Оно определено для всех
R
x
∈
за исключением Zn,nx
∈
π
=
,
тогда как неравенство (5.4) определено на всей числовой
прямой. Проверка показывает, что значения Zn,n2x
∈
π
=
,
являются решением неравенства (5.4). Для решения неравенства
0
x
sin
xsinx4sin
>
−
применим метод интервалов на единичной
окружности. Для этого найдем нули функций
(
)
xsinx4sinxy
1
−= и
(
)
xsinxy
2
= :
⇔
∈π+−π=
∈π+=
⇔=−
,Zm,m2xx4
,Zn,n2xx4
0xsinx4sin
∈
π
+
π
=
∈
π
=
⇔
,Zm,
5
m2
5
x
,Zn,
3
n2
x
.Zk,kx0xsin
∈
π
=
⇔
=
Нанесем нули функций
(
)
xy
1
и
(
)
xy
2
на единичную
окружность (рис. 5.9). При
5
x0
π
<< выражение
x
sin
xsinx4sin
−
положительно. Далее при переходе через каждый
нуль функций
(
)
xy
1
и
(
)
xy
2
знак выражения меняется на
противоположный. В точках Zk,kx
∈
π
=
, «нуль двойной» и
потому знак выражения не меняется (рис. 5.9.).
С учетом сделанного выше замечания о включении точек
Zn,n2x
∈
π
=
в множество решений исходного неравенства
(5.4) записываем ответ.
Ответ: ;n2
5
xn2
5
π+
π
<<π+
π
−
;n2
3
2
xn2
5
3
π+
π
<<π+π
;n2
3
2
xn2
5
3
π+
π
<<π+π .Zn
∈
Замечание. Выражение « в точках Zk,kx
∈
π
=
, нуль
двойной» означает, что в этих точках обе функции
(
)
xy
1
и
(
)
xy
2
обращаются в нуль, т.е.
(
)
0ky
1
=π и
(
)
0ky
2
=π .
Следующие примеры 5.9-5.14 демонстрируют применение
различных приемов преобразования тригонометрического
неравенства к простейшему или к совокупности простейших
тригонометрических неравенств.
Пример 5.9. Решите неравенство
1xcosxsinxcosxsin
≤
+
+
. (5.5)
Решение. Приняв
2
1t
xcosxsintxcosxsin
2
−
=⇒=+ ,
получим неравенство относительно новой переменной t, где
2t2 ≤≤−
(
[
]
2;2t −∈ ,
как
так
,
4
xcos2xcosxsint
π
−=+= а
2
4
xcos22- ≤
π
−≤ для всех
R
x
∈
).
⇔≤−+⇔≤
−
+ 03t2t1
2
1t
t
2
2
(
)
(
)
1t301t3t ≤≤−⇔≤−+⇔ .
Окончательно с учетом области допустимых значений
переменной
t
(
)
2t2 ≤≤− получаем неравенство
1t2 ≤≤−
.
Таким образом, неравенство (5.5) равносильно каждому из
неравенств
⇔≤
π
−⇔≤+≤−
2
1
4
xcos 1xcosxsin2
Zn,n2
4
7
xn2
4
∈π+π≤≤π+
π
⇔ ,
откуда Zn,n2
4
7
xn2
4
∈π+π≤≤π+
π
.
Ответ:
(
)
( )
Zn,1n2x
2
1n4
∈+π≤≤
+
π
.
Пример 5.10. Решите неравенство
1x3cosx2cosxcos
222
≤++
. (5.6)
Решение. Преобразуем выражение в левой части
неравенства
=++ x3cosx2cosxcos
222
=
+
+
+
+
+
=
2
x6сos1
2
x4сos1
2
x2сos1
( )
=+++= x6cosx2cos
2
1
x4cos
2
1
2
3
=++= x2cosx4cosx4cos
2
1
2
3
( )
=++= 1x2cos2x4cos
2
1
2
3
).1x2cos2)(1x2cos2(
2
1
2
3
2
−−+=
Здесь последовательно применены формулы понижения
степени и формулы преобразования суммы тригонометрических
функций в произведение.
Откуда получаем
неравенство, равносильное (5.6)
1)1x2cos2)(1x2cos2(
2
−≤+−
.
Обозначим
tx2cos
=
,
1t1
≤
≤
−
:
(
)
(
)
⇔−≤+− 11t21t2
2
⇔−≤−−+⇔ 11t2t2t4
23
(
)
⇔≤−+⇔ 01tt2t
2
(
)
(
)
.01t21tt ≤−+⇔
Решив последнее неравенство методом интервалов, получим
≤≤
−≤
2
1
t0
,1t
или
≤≤
−≤
.
2
1
x2cos0
,1x2cos
Последние неравенства решим с помощью единичной
окружности. Из рис. 5.10 следует, что решением неравенства
(5.6) будут углы
(
)
x2 радиан, которым отвечают точка
5
M и
дуги ,MM
21
,MM
43
т.е.
Zn;n2x2:M
5
∈π+π= :
Zn;n2
3
x2n2
2
:MM
21
∈π+
π
−≤≤π+
π
− ;
Zm;m2
2
x2m2
3
:MM
43
∈π+
π
≤≤π+
π
.
и окончательно имеем
∈π+
π
≤≤π+
π
∈π+
π
−≤≤π+
π
−
∈π+
π
=
.Zm,m
4
xm
6
,Zn,n
6
xn
4
,Zn,n
2
x
Ответ: .Zn,n
4
xn
6
,n
2
x ∈π+
π
≤≤π+
π
π+
π
=
Пример 5.11. Решите неравенство
0x3cosx2cosxcos
≤
+
+
. (5.7)
Решение. Способ 1. Применив формулу преобразования
суммы косинусов в произведение, получим
(
)
=+=++ x2cosxcosx2cos2x2cosx3cosxcos
(
)
1xcos2x2cos += ,
откуда следует, что неравенство (5.7) равносильно неравенству
(
)
,01xcos2x2cos ≤+ (5.8)
которое, в свою очередь, равносильно неравенству
(
)
(
)
01xcos21xcos2
2
≤+− . (5.9)
Каждое из неравенств (5.8) и (5.9) сводится к совокупности двух
систем неравенств и может быть использовано для продолжения
решения. Мы выберем для продолжения решения неравенство
(5.9). Оно равносильно совокупности неравенств
−≤
≥
−≥
≤
⇔
≤+
≥−
≥+
≤−
.
2
1
xcos
,
2
1
xcos
,
2
1
xcos
,
2
1
xcos
,01xcos2
,01xcos2
,01xcos2
,01xcos2
2
2
(5.10)
Из рис. 5.11, являющемся
иллюстрацией к первой системе
неравенств в (5.10) следует, что
решением этой системы будет
объединение отрезков
π+
π
−π+π− n2
4
;n2
3
2
и
π+ππ+
π
n2
3
2
;n2
4
или
n2
3
2
xn2
4
π+π≤≤π+
π
,
Z
n
∈
.
Решением второй системы неравенств является множество
Zn,n2
4
5
,n2
4
3
∈
π+ππ+π .
Ответ: Zn,n2
3
2
xn2
4
∈π+π≤≤π+
π
;
Zn,n2
4
5
xn2
4
3
∈π+π≤≤π+π .
Способ 2. Неравенство
(5.8) решим методом
интервалов на единичной
окружности.
1. Находим нули функции
(
)
)1xcos2(x2cosxf +=
(корни уравнения
)1xcos2(x2cos
+
=0).
Ими будут
Zn,
2
n
4
x ∈
π
+
π
= ,
Zm,m2
3
2
x ∈π+π±= .
2. Наносим найденные нули функции
(
)
xf на единичную
окружность для
n
и
m
таких, что
π
≤
≤
2x0
. В результате
получим, что нули функции
(
)
xf разбивают отрезок
π
π
4
9
;
4
на 6 интервалов (рис. 5.12).
3. Находим знак
(
)
xf на одном из 6 интервалов, например, при
0x
=
получим, что
(
)
00f > , откуда следует, что
(
)
0xf > для
всех
ππ∈
4
9
,
4
7
x .
Поскольку все нули
(
)
xf имеют кратность единица, то на
следующих интервалах знаки
(
)
xf будут чередоваться.
Отметив на единичной окружности знаки
(
)
xf на каждом из
6 интервалов, получим окончательный вид рисунка 5.12.
4. Из рис. 5.12 следует, что
(
)
0xf ≤ при
∪
π+
π
π+
π
∪
π+
π
π+
π
∈ n2
4
5
;n2
4
3
n2
3
2
;n2
4
x
Zn,n2
4
7
;n2
3
4
∈
π+
π
π+
π
∪ ,
или ;n2
3
2
xn2
4
π+π≤≤π+
π
n2
4
5
xn2
4
3
π+π≤≤π+π ,
Z
n
∈
.
Пример 5.12. Решите
неравенство
2
x
ctg
x
cos
1
xsin
≤
+
.
Решение. 1) ОДЗ
неравенства:
Zn,nx,Rx
∈
π
≠
∈
.
2) Поскольку
2
x
tg
x
cos
1
xsin
=
+
,
то исходное неравенство
равносильно каждому из
неравенств
0
t
1t
t
1
t
2
≤
−
⇔≤ , где
2
x
tgt = .
Решив последнее неравенство методом интервалов, получим
(см. рис. 5.13):
⇔
∈π+
π
≤<π
π+
π
−≤<π+
π
−
⇔
≤<
−≤
,Zn,n
42
x
n
,n
42
x
n
2
,1
2
x
tg0
,1
2
x
tg
⇔
∈π+
π
≤<π
∈π+
π
−≤<π+π−
⇔
,Zn,n2
2
xn2
,Zn,n2
2
xn2
.Zn,n
2
xn ∈π+
π
<<π⇔
Ответ: .Zn,n
2
xn ∈π+
π
≤<π
Пример 5.13. Решите неравенство
1xsinxcos
33
>+
. (5.11)
Решение. Поскольку 1xsinи 1xcos
33
≤≤ для всех
R
x
∈
, то неравенство (5.11) может выполняться только для тех
R
x
∈
, при которых функции
xsin
и
x
cos
имеют одинаковые
знаки, т.е. при Zn,n
2
,nx ∈
π+
π
π∈ ,- в первой и третьей
четвертях.
При
π
∈
2
;0x справедливы неравенства
,xcosxcosxcos
2
3
>>
.xsinxsinxsin
2
3
>>