Пелих А.С., Терехов Л.Л., Терехова Л.А. Экономико-математические методы и модели в управлении производством

Подождите немного. Документ загружается.

в I квадранте содержатся межотраслевые потоки средств

производства. По форме он представляет собой квадратную

матрицу, сумма всех элементов которой равняется годовому

фонду возмещения затрат средств производства в материаль-

ной

сфере.

Он должен включать затраты предметов труда

сто-

имость износа средств труда (амортизащюнных отчислений).

Данные I квадранта играют решающую роль в анализе струк-

туры материальных затрат отраслей, пропорщш и производ-

ственных связей между отраслями, потоков в системе матери-

ально-технического снабжения.

Во П квадранте представлена конечная продукщ1я всех от-

раслей материального производства. Под конечной понимает-

ся продукщ1я, входящая из сферы производства в область ко-

нечного использования - на потребление и накопление.

раз-

вернутой схеме баланса конечная проДуюция каждой отрасли

показана дифферешщрованно

по

направлениям использования:

на личное потребление населения, общественное питание, на

накопление, возмещение потерь, экспорт и

др.

При отражении

в I квадранте амортизащюнных отчислений конечная продук-

1ЩЯ

не отличается от нащюнального дохода. Таким образом,

II квадрант характеризует отраслевую мaтq)иaльнyю структу-

ру нащ1онального дохода, его распределение на фонды накоп-

ления и потребления, структуру потребления и накопления —

по отраслям производства и потребления.

Ш квадрант также характеризует национальный доход, но

со стороны его стоимостного состава - как сумму оплаты тру-

да

чистого дохода

всех

отраслей материального производства.

Данные III квадранта необходимы для анализа соотношений

между вновь созданной и перенесенной стоимостью, между ве-

личиной необходимого и прибавочного продукта в целом по

материальному производству и в отраслевом разрезе.

Просуммируем по всем отраслям уравнения (3.1):

Хх.= SSx.+ Sv. + S

Суммируя no 1-му уравнения (3.2), имеем:

110

т.,

Левые части

обоих выражений дают

одну

и ту

же

величину—

весь валовой общественный продукт. Первые слагаемые пра-

вых частей — итог I квадранта. Таким образом, соблюдается

равенство:

п п п

Левая часть этого уравнения

—

сумма III квадранта, правая

часть

- итог II квадранта.

целом уравнение показывает, что в

межотраслевом балансе соблюдается важнейший принцип един-

ства материально-вещественного и стоимостного состава на-

ционального дохода. Равенство справедливо лишь для всего

материального производства в целом. В отдельных же отрас-

лях конечная и чистая продукция не равны друг другу.

IV кващ1ант межотраслевого баланса находится на пересе-

чении столбцов конечной продукции и строк доходов. Этим

определяется его содержание: он отражает конечное распреде-

ление и использование национального дохода. В результате

перераспределения первоначально созданного национального

дохода образуются конечные доходы населения, предприятий,

государства. Общий итог

квадранта, так

же

как II и

III,

дол-

жен быть равен созданному национальному доходу.

В целом межотра)слевой баланс в рамках единой экономи-

ко-математической модели объединяет балансы отраслей ма-

териального производства, баланс всего общественного про-

дукта, балансы национального дохода, финансовый, доходов

и расходов населения.

Наряду

межотраслевьпкШ балансами в стоимостном исчис-

лении разрабатываются межородуктовые балансы в натураль-

ном выражении. Натуральный баланс содержит перечень не

отраслей, а самих продуктов материального производства.

В качестве единиц измерения выступают специфические для

каждого продукта количественные характеристики,

натураль-

ном балансе I

П квадранты по содержанию аналогичны соот-

ветствующим квадрантам стоимостного баланса. Каждая стро-

ка содержит данные о ресурсах того или иного продукта и их

распределение на производство других продуктов и на конеч-

ное потребление. В сущности, каждая строка представляет со-

бой материальный баланс отдельного продукта.

111

Ш квадранте

отражаются

натуральных измерителях (на-

пример, человеко-часах) затраты труда на производство каж-

дого вида продукции. Анализ столбцов баланса позволяет су-

дить о структуре основных материальных и трудовых затрат

на вьшуск любого продукта из числа включенных в модель.

Однако суммирование в столбцах не производится. Таким об-

разом, основное значение межпродуктового баланса заключа-

ется

комплексном рассмотрении материальных балансов всех

важнейших видов продукции.

Одним из решающих преимуществ межотраслевого метода,

по сравнению с обычными методами построения и анализа ба-

лансов производства

распределения продукции, является воз-

можность широкого применения математики. Это обусловле-

но тем, что все основные величины межотраслевых моделей

находятся в определенной математической зависимости. Она

характеризуется прежде всего уравнениями (3.1) и (3.2), отра-

жающими реально существующие взаимосвязи отраслей в об-

щественном производстве.

Технологические связи между отраслями измеряются с по-

мощью коэффициентов прямых материальных затрат. По дан-

ньпл межотраслевого баланса (табл. 3.1), они могут быть рас-

считаны путем деления величин межотраслевых потоков на ва-

ловую продукцию потребляющих отраслей:

^^ij

Коэффициенты прямых затрат показывают, сколько единиц

продукции i-й отрасли непосредственно затрачивается на вы-

пуск единицы продукции у-й отрасли. Они образуют квадрат-

ную матрицу

а:

а =

«11 ^2

^1 «22

«la

«2п

=[".]•

Из формулы следует, что х.

a^jX..

Поэтому выражение (3.2)

может быть представлено в следующем виде:

112

Ea„x,

u. (3.3)

Формула (3.3), охватывающая систему из п уравнений, яв-

ляется основным математическим соотношением как стоимост-

ных, так и натуральных балансов, и служит исходным пзшктом

расчетов при разработке балансов на плановый период. Пола-

гая известными на плановый период коэффициенты

а..,

имеем в

системе (3.3)

уравнений и 2п неизвестных

(х^

у). Для нахожде-

ния

решения системы необходимо задаться произвольными зна-

чениями любых

неизвестных величин, тогда значения осталь-

ных п неизвестных будут определяться однозначно решениями

системы (3.3). Имея в виду экономический смысл показателей

системы (3.3), можно говорить о трех вариантах расчета: либо

мы задаем величины х.; либо у.; либо по одним отраслям х., а

по другим у., так, что в сумме число заданных величин состав-

ляет п.

Первый вариант напоминает существующую практику пла-

нирования, когда на основе изучения резервов развития отрас-

лей намечаются задания по валовому выпуску продукции, а

величина и отраслевая структура национального дохода явля-

ются производными показателями. Такой метод легче осуще-

ствить на практике, он позволяет точнее учесть возможности

капиталовложений в отрасли, их ресурсы, но он имеет принци-

пиальные недостатки. Экономически более оправданным явля-

ется планирование потребностей, когда намечается величина

конечной продукции, а в качестве производного показателя

рассчитывается уровень валовой продукции.

При планировании от валовой продукции реальной являет-

ся опасность получения нерациональной структуры националь-

ного дохода, неоптимальных пропорций

развитии отдельных

отраслей, неоправданного роста промежуточной продукции без

соответствующего увеличения конечного продукта. Это позво-

ляет говорить о его неприемлемости.

Второй вариант вполне обоснован теоретически, но его при-

менение сталкивается с известными трудностями. Когда по за-

данным объему и структуре национального дохода будут рас-

считаны уровни валовой продукции, они могут оказаться для

113

отдельных отраслей чрезмерно высокими, не обеспеченными

совокупностью материальных

ресурсов этих

отраслей.

При этом

в других отраслях незагруженными будут даже действующие

производственные мощности. Это потребует пересмотра зада-

ний по нащюнальному доходу и повторных расчетов.

Третий

вариант

расчетов,

когда в системе (3.3) по

некоторьпл

отраслям задается валовой выпуск, по другим - конечный,

представляется наиболее приемлемьпл в практическом отноше-

нии.

Валовой вьшуск целесообразно задавать по отраслям, со-

ставляющим

фундамент общественного

производства:

энергети-

ческой,

топливной, металлургической промьшшенности. По от-

раслям, непосредственно удовлетворяющим общественные и

личщ>1е

потребности, намечается уровень конечной продукщш.

Решим

систему (3.3) относительно

В матричной форме

имеем:

X = aX + Y,

где X — вектор валовых выпусков;

Y—

вектор

конечной продукщш;

а — матрица коэффициентов прямых затрат.

Учитьгоая, что X = ЕХ, где Е — единичная матрица, полу-

чаем:

Х-аХ = ЕХ-аХ = (Е-а)Х = ¥илиХ = (Е-а)->¥.

Таким образом, решение связано с обращением матрицы

(Е

а).

Обратную матрицу обозначим через А, а ее

элементы

Aj..

Тогда

имеем:

А = (Е -

а)"*=

[А^.

Окончательно

в общем

виде

имеем:

X.= SA,y,. (3.4)

Валовая продукция выступает здесь как взвешенная сумма

количеств конечных продуктов, причем

весами являются

неко-

торые коэффициенты А., которые показывают, сколько всего

нужно произвести продз^сции i-й отрасли для вьшуска

сферу

конечного использования единицы продукции у-й отрасли.

В отличие от коэффициентов прямых затрат

д..,

коэффициенты

AJ.

назьшаются

коэффициентами

полных

материальных

затрат.

Они

включают

в себя как

прямые,

так и косвенные затраты всех

114

порядков. Если прямые затраты отражают количество средств

производства, израсходованных непосредственно при изготов-

лении данного продукта, то косвенные относится

предшеству-

ющим стадиям производства и входят в продукт через другие

средства производства.

Коэффициенты полных затрат в одних случаях лишь не на-

много превышают прямые затраты, в других — отличаются

очень резко. Коэффициенты прямых и полных затрат возмож-

но рассчитывать и по лзяным межпродуктовых натуральных

балансов. Коэффициенты полных затрат являются глубоко со-

держательньп^и экономическими показателями, дающими ис-

черпывающую характеристику сложных многозвенных произ-

водственных связей.

Расчеты в матричных моделях, сводимые в главной части к

определению объема валовой продукции по заданной конеч-

ной

продукции,

могут осуществляться

по

соотношению

(3.3)

или

(3.4).

И хотя они взаимосвязаны, однако с точки зрения расче-

тов обе системы имеют самостоятельное значение.

Для определения валовой продукции п отраслей при задан-

ной конечной продукции по формуле (3.3) необходимо решить

систему

линейных уравнений

с п

неизвестными. Пользование

формулой

(3.4) более

удобно.

Каждое уравнение решается здесь

элементарно и независимо от

других.

Если в задание по конеч-

ной продукции одной или нескольких отраслей вносятся изме-

нения, пересчет валовой продукции заключается в добавлении

(вычитании) определенных величин. В случае подобных изме-

нений при использовании формулы (3.3) приходится заново

решать всю систему уравнений.

Однако применение формулы (3.4) требует знания коэффи-

циентов полных затрат. Расчет всей матрицы представляет со-

бой решение п систем линейных уравнений с п неизвестными.

При больших значениях п это довольно громоздкая задача.

Поэтому для практических расчетов на матричных моделях

более рационально пользоваться соотношениями

(3.3),

особенно

если

просчитывается

один или

несколько

вариантов.

Если

же

рас-

чет

производится

для

ряда вариантов конечной продукции и воз-

можны неоднократные последующие изменения, то целесообраз-

нее

один раз рассчитать коэффициенты полных затрат.

115

0,3 0,25 0.2

0,15 0,12 0,03

0,1 0.05 0,08

У =

Рассмотрим пример расчета основных показателей межот-

раслевого баланса при условном делении экономики на три

отрасли: промышленность, сельское хозяйство и прочие отрас-

ли.

На плановый период заданы матрица коэффициентов пря-

мых

затрат а

вектор конечной продукции у (цифры условные):

а =

Необходимо рассчитать плановые объемы валовой продукции,

величину межотраслевых

потоков,

чистую продукцию отраслей и

представить результаты в форме межотраслевого баланса. Для

расчета валовой продукции составим систему уравнений:

= 0,3

JC,

+ 0,25

х^

+ 0,2

лгз

+ 56;

х^

0,15х,

+ 0,12

х^

+ 0,03

Хз

+ 20;

Хз

= 0,1 X, + 0,05

+ 0,08

Хз

+ 12.

Решив эту систему, получим:

X, =

102,2;

Х2

= 41,0;

х^

= 26,4.

Для составления баланса рассчитаем межотраслеые потоки

средств производства по формуле:

Xj.

а.^.

х.. Получаем:

х„ = 0,3

•

102,2 =

30,6;

х,^ = 0,25

•

41,0 =10,3 и т. д.

Величина чистой продукции определяется как разница меж-

ду, валовой продукцией отрасли и суммой межотраслевых по-

токов

каждом столбце. Так, для промышленности чистая про-

дукция равна:

102,2 — (30,6 + 15,3 + 10,2) = 46,1.

Результаты вычислений представим в форме межотраслево-

го баланса (табл. 3.2).

Таким образом, получим полностью сбалансированный план

общего производства продукции и ее распределения как между

отраслями в качестве средств производства, так и для конечно-

го использования.

Проиллюстрируем на том же примере другой путь расчета,

основанный на предварительном определении коэффициентов

полных затрат.

116

Таблица 3.2

Баланс производства и распределения продукции

(условный)

Произво-

дящие

отрасли

Промыш-

ленность

Сельское

хозяйство

Прочие

отрасли

1 Чистая

продукция

1 Валовая

1 продукция

Потребляющие отрасли

Промыщ-

ленность

30,6

15,3

10,2

46,1

102,2

Сельское

хозяйство

10,3

4,9

2,1

23,7

41,0

Прочие

отрасли

5,3

0,8

2,1

18,2

26,4

Конеч-ная

продукция

Вало-

вая .

продукция

102,2

41,0

26,4

169,6

Для исчисления полных затрат можно воспользоваться

соотношениями вида (3.3), если в качестве вектора конечной

продукции принимать единичные векторы, обозначающие вы-

пуск единицы конечной продукции лишь в одной из отраслей.

Действительно, в этом случае система (3.3) определяет, сколь-

ко продукции всех отраслей необходимо произвести (и затра-

тить),

чтобы выпустить в сферу конечного потребления одну

единицу продукции данной отрасли. В нашем примере требу-

ется найти матрицу коэффициентов полных затрат для трех

отраслей. Это требует решения трех систем уравнений, каждая

из которых включает три уравнения с тремя неизвестными. Для

расчета полных затрат на единицу продукции промышленнос-

ти необходимо решить следующую систему уравнений:

Xj = 0,3 jCj + 0,25JC2 + 0,2^3 + 1;

х^

= 0,15Xj + 0,12JC2 + 0,03x3;

0,lXj

0,05^2

+ 0,08X3.

Решив систему, получим значения трех коэффициентов пол-

ных затрат:

= A,j = 1,58;

х^

= Ajj = 0,276;

х^

= Ajj = 0,187.

Аналогично определяются полные затраты для сельского

хозяйства

прочих отраслей народного хозяйства. Окончатель-

но имеем:

117

А =

1,58

0,469

0,363

0,276

1,22 0,103

0,187 0,117 0,132

Все

коэффициенты полных затрат по величине заметно пре-

вышают соответствующие коэффициенты прямых затрат. Наи-

большее различие наблюдается

между

полными

прямыми зат-

ратами собственной продукции каждой отрасли: коэффициен-

ты полных затрат здесь больше единицы, так как включают ту

единицу

продукции,

которая входит

сферу конечного исполь-

зования.

3.2.

Модификации основной схемы

межотраслевого баланса

Различные модификации рассмотренной выше основной

модели межотраслевого баланса позволяют расширить круг

показателей, охватываемых моделью,

лучше приспособить ее

к отражению реальной экономической деятельности.

К числу важнейших аналитических возможностей межотрас-

левого метода относится определение прямых и полных затрат

труда

разработка на этой основе балансовых продуктово-тру-

довых моделей. Исходной моделью будет служить отчетный

межпродуктовый баланс в натуральном выражении.

строках

баланса дается распределение каждого отдельного продукта на

производство других продуктов

конечное потребление, а так-

же распределение затрат живого труда в производстве всех ви-

дов продукции.

Предполагается, что трудовые затраты выражены в едини-

цах труда одинаковой степени сложности.

Обозначим затраты живого труда в производстве у-го про-

дукта через

L.,

а объем производства этого продукта - через X..

Тогда прямые затраты труда на единицу

у-го

вида продукции

составят:

118

Введем также понятие полных затрат труда Т. как суммы

прямых затрат (живого труда) и затрат овеществленного тру-

да, перенесенных на продукт через израсходованные средства

производства. Формирование полных затрат труда в модели

происходит по следующей схеме:

^21^2 «22^2 •••^2пТ2

а,Т

п1

т,

аТ .

п2 п

и '

Т.

.. а

пп

т„-

Здесь для каждогоу-го продукта

Т.

обозначает величину пол-

ных затрат труда на единицу продукции, /.—величину прямых

затрат труда, а произведения вида а.Т. отражают затраты ове-

ществленного

труда,

перенесенного

нау-й

продукт через /-е сред-

ство

производства. Предполагается, что коэффициенты прямых

материальных затрат

а.,

выражены в натуральных единицах.

Полные трудовые затраты как сумма затрат овеществлен-

ного и живого труда равны:

T.=Sa.

+ z, (3.5)

Система включает

уравнений. Если заданы матрица коэф-

фициентов прямых материальных затрат межпродуктовой мо-

дели и вектор

—

строка коэффициентов прямой трудоемкости,

то решением системы уравнений могут быть определены коэф-

фициенты полных затрат труда на единицу каждого вида про-

дукции.

Система может быть разрешена в общем виде относительно

коэффициентов полных затрат

труда.

матричной записи

име-

ем:

Т = Та + t, откуда Т-Та

ТЕ-Та

Т (Е-а) = t, оконча-

тельно получим:

Т = /А.

Итак, для любого у-го продукта величина полных затрат

труда

Т.

определяется как взвешенная сумма прямых затрат тру-

да на все виды продукции, причем в качестве весов выступают

коэффициенты полных материальных затрат:

119