Пинчук С.И. Организация эксперимента при моделировании и оптимизации технических систем

Подождите немного. Документ загружается.

111

5.6.4 проверка нормальности распределения ошибок

измерений плотности в выборках

В таблице 5.7. приведены результаты необходимых расчётов

для проверки гипотезы о нормальном распределении ошибок из-

мерений плотности прессовок в выборках. Согласно справочным

данным, нижняя и верхняя границы отношения

равны 2,50 и

3,999,

соответственно.

Таблица 5.7

Данные для проверки гипотезы о нормальном распределении

ошибок измерений плотности прессовок

Вы-

бор-

ка

0,1912

0,1725

1,11

0,1912

2,79

5,662 – 5,129

2,05 0,99

0,3702

0,3288

= 1,13

0,3702

= 2,79

6,264 – 5,232

2,22 0,44

0,1767

0,1382

= 1,28

6,349 – 5,778

0,1767

= 3,23

2,53 0,22

Согласно данным, приведённым в табл. 5.7, можно принять гипо-

тезу о нормальном распределении ошибок измерения плотности

прессовок в выборках 1-3.

Действительно:

• отношения исправленных стандартных и среднеарифметичес-

ких отклонений

S и m в выборках близки по величине к 1,25;

• отношения размахов варьирования

R к выборочным стандар-

тным отклонениям S находятся внутри интервала между ниж-

ней и верхней критическими границами при выбранном уров-

не значимости α = 0,05;

• отношение выборочных значений коэффициентов асиммет-

рии A

и эксцесса E

к их стандартным ошибкам S

и S

мень-

ше критических, т.е. 3 и 5, соответственно.

112

5.7 Вопросы для самоконтроля

1. Что такое эксперимент?

2. Что такое опыт?

3. Что такое факторы (входы системы)?

4. Что мы понимаем под уровнями факторов?

5. Что такое выходы системы?

6. В чем заключается стратегия пассивного эксперимента?

7. В чем заключается стратегия активного эксперимента?

8. В чем различие между одно- и многофакторным экспериментами?

9. Что понимают под эффективностью эксперимента?

10. Что такое измерение?

11. Какие ошибки измерений относят к грубым (промахам)?

12. Какие ошибки измерений относят к систематическим?

13. Какие ошибки измерений являются случайными?

14. Что понимают под первичной обработкой эксперименталь-

ных данных?

15. Назовите процедуры первичной обработки эксперименталь-

ных данных.

16. Какие события являются достоверными?

17. Какие события являются невозможными?

18. Какие события являются случайными?

19. Что является предметом теории вероятностей?

20. Что называют вероятностью события?

21. Что называют частотой, а что – относительной частотой

события?

22. Что называют случайной величиной?

23. Что называют случайной дискретной величиной?

24. Что называют непрерывной случайной величиной?

25. Что понимают под законом распределения случайной дискрет-

ной величины?

26. Что такое математическое ожидание случайной дискретной

величины?

27. Какую числовую характеристику случайной величины называ-

ют дисперсией?

28. Дайте определение понятию «отклонение случайной величины».

29. Что понимают под средним квадратичным отклонением слу-

чайной величины?

30. Что понимают под начальным моментом случайной величины?

31. Что понимают под центральным моментом случайной ве-

личины?

32. Что такое интегральная функция распределения непрерывной

случайной величины?

113

33. Как определяют математическое ожидание непрерывной слу-

чайной величины?

34. Как определяют дисперсию непрерывной случайной величины?

35. Как определяют среднее квадратичное отклонение непрерыв-

ной случайной величины?

36. Какое распределение вероятностей случайной величины назы-

вают нормальным?

37. В чем состоит правило трёх сигм?

38. Дайте определение асимметрии.

39. Дайте определение эксцессу.

40. Что такое корреляционный момент двух случайных величин?

41. Что такое коэффициент корреляции двух случайных величин?

42. В чем состоит задача математической статистики?

43. Что понимают под генеральной совокупностью?

44. Что понимают под выборочной совокупностью (выборкой)?

45. Что понимают под объемом совокупности?

46. Что понимают под статистическим распределением выборки?

47. Что понимают под эмпирической функцией распределения

(функцией распределения выборки)?

48. Что понимают под теоретической функцией распределения?

49. Дайте определение понятию «полигон».

50. Дайте определение понятию «гистограмма».

51. Назовите важнейшие статистические оценки параметров

распределения.

52. Дайте определение понятию «несмещенность статистичес-

кой оценки».

53. Дайте определение понятию «эффективность статистичес-

кой оценки».

54. Какая статистическая оценка называется смещенной?

55. Какая статистическая оценка называется эффективной?

56. Какая статистическая оценка называется состоятельной?

57. Что называют генеральной средней?

58. Что называют выборочной средней?

59. Что называют групповой средней?

60. Что называют общей средней?

61. Что называют выборочной дисперсией?

62. Что называют выборочным средним квадратичным отклоне-

нием (стандартом)?

63. Дайте определения «исправленная дисперсия» и «исправленное

среднее квадратичное отклонение».

64. Дайте определение понятиям «точечная оценка» и «интер-

вальная оценка».

114

65. Что понимают под надежностью (доверительной вероятно-

стью) оценки?

66. Что понимают под доверительным интервалом?

67. Что понимают под числом степеней свободы?

68. Что понимают под модой вариационного ряда?

69. Что понимают под медианой вариационного ряда?

70. Что понимают под размахом варьирования?

71. Как определяют среднее абсолютное отклонение?

72. Как определяют исправленное среднее абсолютное отклонение?

73. Что называют коэффициентом вариации?

74. Дайте определение понятиям: «обычный эмпирический мо-

мент», «начальный эмпирический момент», «центральный эм-

пирический момент».

75. Как вычисляют коэффициенты асимметрии и эксцесса, их сред-

неквадратичные отклонения?

76. В чем состоит метод обнаружения промахов измерений по мак-

симальному относительному отклонению?

77. В чем заключаются статистические гипотезы – нулевая и аль-

тернативная?

78. Что понимают под уровнем значимости?

79. В чем заключается смысл ошибок первого и второго рода при

проверке статистических гипотез?

80. Как проверяется гипотеза о нормальности распределения слу-

чайных ошибок измерений?

115

ГЛАВА 6. ОснОВные принципы пОстрОения

реГрессиОнных мОдеЛей

6.1 парная корреляция и регрессия

Во многих задачах требуется установить и описать математиче-

ски зависимость изучаемого параметра

Y от одного (k = 1) или не-

скольких

(k ≥ 2) факторов по данным наблюдений либо пассивного

эксперимента. В таких случаях говорят о необходимости постро-

ения регрессионной математической модели вида Y = F(X) или

Y = F(X

… X

), соответственно.

Рассмотрим зависимость изучаемого параметра

Y от одного фак-

тора

Х и принципы построения регрессионной модели Y = F(X).

Две случайные величины могут быть связаны функциональной

либо статистической зависимостью, либо быть независимыми.

Если каждому значению переменной Х (из области её изменения)

соответствует одно и только одно значение переменной Y, то зави-

симость между переменными

Х и Y называется функциональной.

Если изменение одной переменной Х влечёт за собой изменение

распределения другой, т.е. каждому значению переменной Х соот-

ветствует не одно определённое значение переменной Y, а некото-

рое распределение этих значений, то зависимость называется ста-

тистической.

Одним из видов статистической зависимости между переменны-

ми является зависимость корреляционная, при которой на измене-

ние одной из переменных другая реагирует изменением своего ма-

тематического ожидания.

Для уточнения определения корреляционной зависимости

введём понятие условной средней.

Предположим, что изучается связь между случайной величиной Y

и случайной величиной Х. Пусть каждому значению Х соответствует

несколько значений

Y. Например, пусть при х = 2 величина Y приня-

ла значения 5, 6, 10. Найдём среднее арифметическое этих чисел:

10+6+5

Число

называют условным средним; чёрточка над буквой y

служит обозначением среднего арифметического, а число

2 указы-

вает, что рассматриваются те значения переменной

Y, которые со-

ответствуют х = 2.

116

Таким образом, условным средним y

называют среднее арифме-

тическое значений переменной

Y соответствующих значению Х = х.

Если каждому значению

х соответствует одно значение условной

средней

, то, очевидно, условная средняя является функцией от

X; в этом случае говорят, что случайная величина Y зависит от Х

корреляционно.

Таким образом, корреляционной зависимостью

Y от Х называют

функциональную зависимость условной средней

от x:

= F(x). (6.1)

Уравнение (6.1) называют уравнением регрессии

Y на Х; функ-

цию F(X) называют регрессией Y на Х, а её график – линией рег-

рессии Y на Х.

Для исследования и математического описания такой зависимос-

ти применяют корреляционно-регрессионный анализ.

В основу корреляционно-регрессионного анализа положены

следующие допущения:

•

при каждом значении аргумента

Х ординаты функции Y рас-

пределены нормально;

• ординаты функции

Y для данных значений аргумента Х ста-

тистически независимы;

• случайные ошибки при измерении аргумента

Х значительно

меньше, чем при измерении ординат функции Y;

• схема расчёта зависит от типа дисперсий (в частности, прове-

ряется их однородность с применением критерия Кохрена).

Первая задача теории корреляции – установить форму корреля-

ционной связи, т.е. вид функции регрессии (линейная, квадратич-

ная, показательная и т.д.). Часто функции регрессии оказываются

линейными.

Вторая задача теории корреляции – оценить тесноту (силу) кор-

реляционной связи. Теснота корреляционной зависимости

Y от Х

оценивается по величине рассеяния значений Y вокруг условного

среднего y

(далее будем писать без чёрточки – y

). Большое рассе-

яние свидетельствует о слабой зависимости

Y от Х либо отсутствии

зависимости. Малое рассеяние указывает на наличие достаточно

сильной зависимости. Возможно даже, что Y и Х связаны функцио-

нально, но под воздействием второстепенных случайных факторов

эта связь оказалась размытой, в результате чего при одном и том же

значении Х величина Y принимает различные значения.

117

6.2 Определение параметров выборочного уравнения

прямой линии

Предположим, что проведено n независимых опытов, в резуль-

тате которых получены n пар чисел:

, y

), (x

, y

), ... ..., (x

, y

где у

, у

, …, у

– математические ожидания ординат функции.

Можно рассчитать средние арифметические наблюдаемых зна-

чений переменных

Х и Y по уравнениям:

∑

; (6.2)

∑

. (6.3)

и их стандартные отклонения по уравнениям:

∑

)x–(x

1–n

; (6.4)

∑

)y–(y

1–n

. (6.5)

Здесь

i – порядковый номер аргумента x

и соответствующего

ему математического ожидания ординаты функции у

;

∑

– знак, обозначающий сумму всех n значений x

и y

Поскольку наблюдаемые пары чисел можно рассматривать как

случайную выборку из генеральной совокупности всех возможных

значений случайных величин Х и Y, то величины и уравнения, най-

денные по этим данным, называют выборочными.

Будем искать выборочное уравнение прямой линии регрессии Y

на Х:

y = b

+ b

x . (6.6)

Угловой коэффициент прямой линии регрессии

Y на X — b

при-

нято называть выборочным коэффициентом регрессии Y на Х. Час-

то применяют обозначение коэффициента регрессии b

118

Способ определения параметров уравнения регрессии – метод

наименьших квадратов. При этом методе принимается, что сумма

квадратов отклонений значений у

от вычисленных по уравнению

регрессии значений ŷ

для соответствующих значений х

, т.е. от ис-

комой линии регрессии должна быть минимальной:

∑(y

– ŷ

)

→ min. (6.7)

Значения параметров уравнения регрессии могут быть найдены

по формулам:

∑

∑∑∑

iiii

)(∑x–xn

yx–yxn

; (6.8)

∑

∑∑ ∑∑

iiii

)(∑x–xn

yxx–yx

. (6.9)

Необходимо проверить гипотезу о статистической значимости

коэффициентов регрессии, иными словами, проверить, существен-

но ли их величина отличается от

Оценку статистической значимости коэффициентов регрессии

устанавливают на основе t-критерия Стьюдента. Расчётное значе-

ние t-критерия определяют для каждого коэффициента регрессии

из соотношения:

расч.

, (6.10)

где

– стандартная ошибка коэффициента b

, величина которой в

общем случае может быть определена по формуле:

x)2–(n

–(y

∑

(6.11)

Если выполняется соотношение:

расч.

≥ t

табл . α, n – 2

, (6.12)

то коэффициент регрессии

признаётся статистически значимым

при выбранном уровне значимости α. Если же это соотношение не

выполняется, то коэффициент b

признаётся незначимым. Следова-

тельно, можно соответствующее слагаемое исключить из уравне-

ния регрессии.

119

Если при каждом из n значений аргумента x

было выполнено

одинаковое количество

m параллельных измерений ординат функ-

ции

Y, то с помощью критерия Кохрена проверяют воспроизводи-

мость эксперимента. Расчётное значение критерия Кохрена опре-

деляют по формуле:

∑

max

расч.

, i = 1 … n. (6.13)

где

max

– максимальная из n дисперсий S

ординат y

при всех зна-

чениях x

, а S

− дисперсия ординат y

, соответствующих значени-

ям аргументов

, величину которой вычисляют по формуле:

1–m

)y–(y

1j=

∑

; j = 1 … m. (6.14)

Если выполняется соотношение:

расч.

≤ G

табл. α, n(m – 1)

, (6.15)

то эксперимент признают воспроизводимым. При этом ошибку

опытов

оценивают как среднеквадратичную ошибку при опре-

делении средних значений y

из измерений, выполненных при зна-

чениях x

, по формуле:

=S=S

∑

. (6.16)

6.3 Оценка тесноты линейной корреляционной

связи переменных Х и Y

Критерием тесноты линейной корреляционной связи перемен-

ных Х и Y служит коэффициент корреляции r

Коэффициент парной корреляции r

может быть определён по

одной из следующих формул:

∑∑

)y–(y)x–(x

)y–)(yx–∑(x

; (6.17)

120

])(∑y–][n∑y)(∑x–[n∑x

yx–yxn

iiii

∑∑∑

. (6.18)

В специальной литературе приводятся также другие формулы

для определения величины коэффициентов парной корреляции

по результатам экспериментального определения значений пе-

ременных Х и Y.

Ниже рассматриваются важнейшие свойства выборочного коэф-

фициента корреляции.

• Знак выборочного коэффициента корреляции

совпадает со

знаком выборочного коэффициента регрессии b

• Корреляция называется положительной, если переменные

и Y изменяются в одном направлении, и отрицательной − если

переменные Х и Y изменяются в разных направлениях.

• Абсолютная величина выборочного коэффициента корреля-

ции

не больше единицы:

| ≤ 1.

• Если выборочный коэффициент корреляции равен

0, то пере-

менные Х и Y не связаны линейной корреляционной зависи-

мостью, т.е. при r

= 0 условные средние y

сохраняют посто-

янное значение при всех значениях х

• Если выборочный коэффициент корреляции равен

0, то пере-

менные Х и Y могут быть связаны нелинейной корреляцион-

ной или даже функциональной зависимостью.

• Если абсолютная величина выборочного коэффициента кор-

реляции равна

1, то наблюдаемые значения переменных Х

и Y связаны линейной функциональной зависимостью.

• С возрастанием абсолютной величины выборочного коэффи-

циента корреляции линейная корреляционная зависимость

переменных

Х и Y становится более тесной и при |r

| = 1 пе-

реходит в функциональную зависимость.

Таким образом, выборочный коэффициент корреляции характе-

ризует тесноту линейной связи между количественными признака-

ми в выборке: чем ближе

| к 1, тем связь сильнее, чем ближе |r

к 0, тем связь слабее.

При ограниченном объёме выборки n необходимо проверить

гипотезу о статистической значимости выборочного коэффициента