Пинчук С.И. Организация эксперимента при моделировании и оптимизации технических систем

Подождите немного. Документ загружается.

141

Большое распространение получили математические модели в

виде алгебраических полиномов. Используют разложение неизвес-

тной функции отклика в ряд Тейлора в окрестности любой точки из

области ее определения в факторном пространстве.

По результатам экспериментов определяют выборочные оценки

коэффициентов b

, b

, … полиноминальной модели.

7.2 планирование и критерии оптимальности планов

эксперимента

Под планированием эксперимента понимают процедуру выбора

числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных

для решения поставленной задачи с требуемой точностью.

План эксперимента устанавливает численные значения факто-

ров и условия проведения опытов.

Фиксированное значение фактора называется уровнем фактора.

Множество точек, которые отражают численные значения факто-

ров, можно представить следующим образом:

... x

... ... ... ... ...

... x

X =

Количество строк соответствует числу опытов n (u = 1, 2, …, n).

Далее, в плане-матрице экспериментов, число строк будем обозна-

чать буквой

Количество столбцов соответствует количеству факторов

k, воз-

действующих на выходной параметр или параметр оптимизации

(i = 1, 2,…, k).

План эксперимента должен быть оптимальным. Существуют раз-

личные критерии оптимальности планов эксперимента.

Критерии оптимальности планов и способы организации актив-

ного эксперимента можно разделить на три группы.

К I-й группе относят критерии, связанные с точностью оценок ко-

эффициентов регрессии.

Ортогональность позволяет оценивать все коэффициенты рег-

рессии независимо друг от друга и упрощать или усложнять моде-

ли, исключая или добавляя новые коэффициенты без пересчета уже

найденных. Ортогональность плана эксперимента обеспечивает

минимальное число вычислений.

142

Д-оптимальность обеспечивает минимум обобщенной диспер-

сии всех оценок коэффициентов. При составлении планов, обеспе-

чивающих минимум обобщенной дисперсии только части оценок

коэффициентов, план называется усеченным

Д-оптимальным.

А-оптимальность обеспечивает минимум средней дисперсии

оценок коэффициентов.

Е-оптимальность не дает возможности некоторым оценкам ко-

эффициентов иметь слишком большие дисперсии.

Ко II-ой группе относят критерии, которые определяют точность

предсказания отклика с помощью построенной модели.

Ротатабельность планов обеспечивает одинаковую точность

предсказания для точек, равно удаленных от центра плана по любо-

му направлению.

G-оптимальные планы гарантируют отсутствие в области экспе-

римента точек, имеющих слишком низкую точность оценки отклика.

Q-оптимальные планы минимизируют среднюю дисперсию

предсказания.

К III-ей группе относят критерии, связанные со стратегией экспе-

римента.

Насыщенность плана обеспечивает минимум числа опытов. Ми-

нимум задается числом коэффициентов модели. Приближение к

нему служит мерой насыщенности плана.

Шаговый принцип планирования или композиционность пла-

нов предусматривает реализацию эксперимента по частям, шаг за

шагом. Решение о продолжении эксперимента и выбор метода на

каждом последующем шаге принимают только по результатам пре-

дыдущего. Композиционные планы предполагают постепенное ус-

ложнение синтезируемой модели.

7.3 Факторный эксперимент. планы первого порядка

7.3.1 планирование полного факторного эксперимента (пФэ)

Полным факторным называется такой эксперимент, при кото-

ром определяется значение выходного параметра (параметра оп-

тимизации) при всех возможных сочетаниях уровней варьирова-

ния факторов.

В эксперимент включают

, х

, …, х

, т.е. k – факторов, для каж-

дого из которых следует установить q уровней.

143

Для осуществления ПФЭ нужно поставить q

опытов. Наиболее рас-

пространены эксперименты, у которых факторы варьируют на двух

уровнях – верхнем и нижнем, т.е.

q = 2. Это эксперименты типа 2

Планирование, проведение и обработка результатов ПФЭ вклю-

чают следующие этапы:

• кодирование факторов;

• составление плана или плана-матрицы эксперимента;

• рандомизацию опытов;

• реализацию плана эксперимента;

• проверку воспроизводимости опытов;

• вычисление и проверку значимости коэффициентов уравне-

ния регрессии;

• проверку адекватности регрессионной модели.

Поскольку факторы зачастую неоднородны и могут иметь раз-

личные единицы измерения, а числа, выражающие величины фак-

торов, могут иметь различные порядки, их следует привести к

единой системе счисления путем перехода от действительных зна-

чений факторов к кодированным по формулам:

+ xx

minmax

осн.

, (7.1)

Δx

x–x

осн.

, (7.2)

=Δx

minmax

, (7.3)

где

i – номер фактора;

– значение i-го фактора в натуральных единицах;

– кодированное значение i-го фактора;

осн.

– основной уровень i-го фактора;

max

– верхний уровень i-го фактора;

min

– нижний уровень i-го фактора;

∆х

– интервал варьирования i-го фактора.

144

Вводят условное обозначение верхнего, нижнего и основного

уровней факторов, соответственно

+1, −1, 0. При построении пла-

нов-матриц эксперимента цифры (единицы) можно опускать и пи-

сать только их знаки

«+» или «−».

Построение плана-матрицы эксперимента сводится к стандарт-

ной форме записи условий проведения опытов в виде таблицы, в

строках которой записывают данные опытов, в столбцах – факторы

(в кодах «+» и «−») с реализацией всех возможных сочетаний комби-

наций уровней факторов.

В первом столбце таблицы следует менять знаки поочередно, во

втором – чередовать их через два, в третьем – через четыре, в чет-

вертом – через восемь и т.д., т.е. по степеням двойки. Общее коли-

чество строк в матрице плана для реализации всех возможных со-

четаний уровней факторов определяют по формуле

N = 2

Например, имеются два фактора

, Х

Придавая каждому фак-

тору два значения (верхний «+» и нижний «−» уровни), получим че-

тыре возможные сочетания уровней для двух факторов, т.е. для пла-

на-матрицы 2

(табл. 7.1). В этом случае больше четырех комбинаций

сделать невозможно.

Таблица 7.1

План-матрица ПФЭ

Номер строки

плана

Факторы

1 − −

2 + −

3 − +

4 + +

Для составления плана-матрицы для трех факторов матрицу пла-

нирования в таблице 7.1 повторяют дважды: один раз при значени-

ях Х

, находящихся на нижнем уровне, второй раз – при значениях Х

находящихся на верхнем уровне.

145

Таблица 7.2

План-матрица ПФЭ

Номер строки плана

Факторы

1 − − −

2 + − −

3 − + −

4 + + −

5 − − +

6 + − +

7 − + +

8 + + +

Если будет рассмотрен четвертый фактор Х

, то аналогичным об-

разом будет повторено планирование для трех переменных (табл. 7.2):

один раз – для фактора

, находящегося на нижнем уровне, вто-

рой – для фактора Х

, находящегося на верхнем уровне.

Аналогично получают планы-матрицы ПФЭ для любого числа

факторов.

Пользуясь результатами факторного эксперимента, можно полу-

чить описание изучаемой системы (процесса) в виде полиномиаль-

ного уравнения линейной регрессии

Y = b

+ b

+ … + b

где выборочные коэффициенты b

, b

и т.д. являются статис-

тическими оценками теоретических коэффициентов β

, β

и т.д., а Y – оценка математического ожидания выходного парамет-

ра (параметра оптимизации). Можно также получить описание изу-

чаемого процесса в виде полиномиальных уравнений, содержащих

эффекты взаимодействия факторов, а также квадратичные члены:

+XXb+Xb

∑∑∑

Y = b

В таблицах 7.1 и 7.2 представлены планы-матрицы эксперимен-

тов, реализовав которые, можно подсчитать оценки коэффициентов

, b

. Однако этих коэффициентов недостаточно, чтобы получить,

например, для плана 2

линейные уравнения регрессии вида:

Y = b

+ b

либо нелинейное уравнение регрессии, например, вида:

146

Y = b

+ b

123

Чтобы получить полный план ПФЭ 2

необходимо добавить в

план-матрицу еще один столбец – фиктивную переменную Х

для

оценки свободного члена

. Значение Х

всегда одинаково во всех

строках плана и равно «+1».

Для оценки коэффициентов взаимодействия факторов вводят

столбцы со всевозможными комбинациями произведений факто-

ров, в частности:

; Х

Поскольку переменные

, Х

принимают значения «+1»

и «−1», то произведения переменных примут те же значения

«+1» и «−1». Тогда таблица 7.2 примет вид, как показано в таблице 7.3.

Таблица 7.3

Полная план-матрица ПФЭ

Номер строки

Значения фак-

торов

Комбинации

произведений

факторов

Значения

выходной

переменной

(параметра

оптимизации)

1 + – – – + + + – Y

2 + + – – – – + + Y

3 + – + – – + – + Y

4 + + + – + – – – Y

5 + – – + + – – + Y

6 + + – + – + – – Y

7 + – + + – – + – Y

8 + + + + + + + + Y

В таблице 7.3 в рамке представлен собственно план эксперимен-

та ПФЭ 2

. Остальные данные необходимы для подсчета коэффици-

ентов уравнения регрессии. Пользуясь такой матрицей планирова-

ния, можно приступать к эксперименту. При экспериментировании

147

значениям «+» и «−» соответствуют верхний и нижний уровни фак-

торов в их натуральных значениях. Если в каждой строке плана осу-

ществляется

m параллельных опытов (m ≥ 2), то в матрице фикси-

руются средние значения их результатов Y

, которые и учитываются

при вычислении значений коэффициентов уравнения регрессии.

Планы ПФЭ являются симметричными, нормированными, орто-

гональными и ротатабельными.

7.3.2 планирование дробного факторного эксперимента (ДФэ)

Для получения достаточно точных оценок коэффициентов рег-

рессии иногда можно провести небольшое количество опытов,

вводя понятия ДФЭ. Если при анализе уравнения регрессии уста-

новлено, что какой-либо коэффициент незначим, то переменной

или переменными при нем можно пренебречь, при этом в матри-

це планирования остается свободный столбец. В него включают но-

вый фактор. Чаще всего незначимыми являются коэффициенты при

взаимодействиях факторов, т.е. сами взаимодействия факторов. Их

и заменяют новыми факторами.

Дробные факторные эксперименты условно следует обозначать

k-p

, где р – число факторов, приравненных к незначимым эффектам

взаимодействия. При р = 1 получают 1/2 ПФЭ, при р = 2 получают

1/4 ПФЭ, при р = 3 получают 1/8 ПФЭ и т.д. по степени двойки. При-

нято говорить, что получают дробные реплики от ПФЭ, т.е. соответс-

твенно, полуреплику, четверть-реплику и т.д.

Если в ПФЭ (табл. 7.3) один из эффектов взаимодействия (Х

, Х

или Х

) заменить четвертым фактором Х

, то получим

ДФЭ 2

4-1

, т.е. половину от ПФЭ 2

. Если два эффекта взаимодействия за-

менить факторами Х

и Х

, то получим ДФЭ 2

5-2

, т.е. 1/4 от ПФЭ 2

Можно получить 1/8 от ПФЭ 2

, заменив три эффекта взаимодейст-

вия факторами Х

, т.е. ДФЭ 2

6-3

. Если заменить четыре эффекта

взаимодействия факторами Х

и Х

, то получим ДФЭ 2

7-4

, т.е.

1/16 от ПФЭ 2

148

Таблица 7.4

План-матрица эксперимента

3-1

№

опыта

План

= Х

1 + + + + Y

2 + – + – Y

3 + + – – Y

4 + – – + Y

Можно реализовать другую реплику, где принято, что X

= –X

Тогда план-матрица эксперимента примет следующий вид:

Таблица 7.5

План-матрица эксперимента

3-1

№

опыта

План

= –Х

1 + + + – Y

2 + – + + Y

3 + + – + Y

4 + – – – Y

Дробный факторный эксперимент следует проводить при числе

факторов от двух и более при условиях, когда полный эксперимент по

экономическим или другим соображениям проводить невыгодно.

От действительных значений факторов к кодированным перехо-

дят так же, как при ПФЭ 2

Поскольку при построении планов-матриц ДФЭ произведения

комбинаций факторов, между которыми отсутствует эффект взаи-

модействия, приравнивают к новым факторам, то значения нового

фактора в условиях опытов определяют по знакам, указанным в со-

ответствующем столбце незначимого взаимодействия.

Сокращение числа опытов не проходит бесследно: появляется

корреляция между некоторыми столбцами матрицы планирования.

Это обстоятельство не позволяет раздельно оценивать эффекты

факторов и эффекты взаимодействия. Получаются так называемые

смешанные оценки (оценки коэффициентов регрессии смешаны с

оценками коэффициентов парных взаимодействий):

149

→ β

+ β

; b

→ β

+ β

; b

→ β

+ β

; b

→ β

+ β

123

где β

, β

… − коэффициенты регрессии генеральной совокупности

данных;

– их выборочные оценки.

Матрицы ПФЭ делятся не произвольно, а так, что свойства орто-

гональности и рототабельности планов сохраняются при ДФЭ. Для

построения дробных реплик используют специальные алгебраи-

ческие соотношения: генерирующие соотношения и определяющие

контрасты.

Генерирующие соотношения показывают, какое из взаимодейс-

твий принято незначимым, а потому заменено в матрице планиро-

вания новой независимой переменной. С генерирующим соотноше-

нием можно производить алгебраические операции, в частности,

умножать обе части равенства. Если фактор встречается в квадрате

или другой четной степени, его заменяют на

Например, для ДФЭ 2

3-1

можно записать: Х

= Х

либо Х

= − Х

где Х

и − Х

– генерирующие соотношения.

Тогда:

= X

; − Х

= X

Следовательно:

= 1; − Х

= 1.

Это и есть определяющие контрасты, т.е. соотношения, которые

задают элементы первого столбца матрицы, равные

Умножив определяющие контрасты на каждый фактор, находим

соотношения, задающие все смешанные оценки для данной дроб-

ной реплики.

Разрешающая способность матрицы максимальная, если линей-

ные эффекты смешаны с наибольшими эффектами взаимодействия

по числу входящих в них факторов.

Так, при выборе полуреплики

4-1

возможно 8 решений:

= Х

= –Х

= Х

= –Х

= Х

= –Х

= Х

= –Х

150

У последних двух реплик наибольшая разрешающая способ-

ность. Они называются главными.

Расчет коэффициентов регрессии и исследование уравнения рег-

рессии при использовании ДФЭ те же, что при ПФЭ. Но можно рас-

считывать только те коэффициенты при взаимодействиях факторов,

которые определяются столбцами взаимодействий, не совпадаю-

щими со столбцами отдельных факторов. Несоблюдение этого пра-

вила ведет к нарушению свойств ортогональности плана.

7.3.3 проверка свойств планов-матриц пФэ

и ДФэ 2

k-p

После построения плана-матрицы ПФЭ 2

либо ДФЭ 2

k-p

необхо-

димо проверить следующие её свойства.

• Симметричность относительно центра эксперимента. Алгеб-

раическая сумма элементов столбца каждого фактора, кроме

столбца, отвечающего свободному члену

, должна быть рав-

на нулю, т.е.

∑

1u=

0=X

. (7.4)

Далее вместо

∑

1u=

будем писать ∑.

• Нормировка.

Сумма квадратов элементов каждого столбца должна быть равна

числу строчек плана-матрицы, т.е.

N∑

. (7.5)

• Ортогональность.

Сумма построчных произведений любых двух столбцов плана-

матрицы должна быть равна нулю, т.е.

∑X

, (7.6)

где

– комбинация факторов в u-й строке, i ≠ j.

Если план-матрица отвечает вышеперечисленным свойствам, то

она обладает также свойством ротатабельности.