Пинчук С.И. Организация эксперимента при моделировании и оптимизации технических систем

Подождите немного. Документ загружается.

151

7.3.4 проведение и обработка результатов факторного

эксперимента. рандомизация опытов

Перед реализацией плана эксперимента на объекте опыты, пре-

дусмотренные в матрице планирования, следует рандомизировать,

т.е. установить порядок их проведения в случайной последователь-

ности. Порядок проведения опытов в случайной последователь-

ности следует выбирать по таблице равномерно распределенных

случайных чисел или другим способом. Например, требуется прове-

сти 8 опытов. Номера строчек в плане матрицы:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. А ус-

тановленный случайный порядок реализации опытов может быть,

например: 1, 6, 5, 8, 2, 7, 4, 3. Случайный порядок реализации опы-

тов может содержать и кратное восьми число 8m при выполнении

m параллельных измерений в каждой строке плана. При этом объ-

ем выборки

m в каждой строке плана эксперимента, по возмож-

ности, должен быть одинаковым.

проверка однородности дисперсий и воспроизводимости

измерений. Определение ошибки опытов

По результатам реализации параллельных измерений опреде-

ляют средние значения показателя отклика (далее – параметра оп-

тимизации) по формуле

1j=

∑

, (7.7)

где

– среднее арифметическое из m параллельных измерений в

строке с номером u;

– j-е значение параметра Y при измерениях в строке плана с но-

мером u.

Вычисляют построчные дисперсии

по данным m параллель-

ных измерений в каждой строке плана-матрицы по формуле:

1–m

)Y–(Y

1j=

∑

(7.8)

Находят максимальную дисперсию

среди построчных диспер-

сий, а все построчные дисперсии суммируют, т.е. определяют

∑S

152

Для проверки гипотезы однородности дисперсий и воспроизво-

димости измерений при одинаковом числе

m измерений в каждой

строке плана следует пользоваться критерием Кохрена

G, который

вычисляют как отношение максимальной дисперсии к сумме всех

построчных дисперсий:

∑S

G =

max

(7.9)

Задав уровень значимости (например,

α = 5%), находят таблич-

ное значение критерия Кохрена G

табл. α, f1, f2

при числах степеней

свободы f

= m – 1 и f

= N. Если расчетное значение G окажется

меньше найденного в таблице, то гипотеза об однородности дис-

персий и воспроизводимости результатов измерений принимает-

ся. Если проверка дала отрицательный результат, то следует уве-

личить число параллельных опытов и, по возможности, повысить

точность измерений при их выполнении.

Иногда не удается обеспечить равное число параллельных изме-

рений в каждом опыте (т.е. в каждой строке) плана-матрицы.

При разном числе параллельных измерений может быть исполь-

зован критерий Фишера. Для этого определяют отношение макси-

мальной построчной дисперсии к минимальной:

расч.

min

max

. ( 7.10 )

Гипотеза об однородности дисперсий принимается при выпол-

нении условия

расч.

≤ F

табл. α, f

max

, f

min

, ( 7.11)

где F

табл.

определено при уровне значимости α и

max

= m

max

– 1, f

min

= m

min

– 1,

где m

max

и m

min

− числа параллельных измерений в строках плана-

матрицы, которым соответствуют .

Если построчные дисперсии однородны, т.е. измерения воспро-

изводимы, то их можно усреднить и найти ошибку опытов

и рав-

ную ей дисперсию воспроизводимости S

по формуле:

153

∑

(7.12)

В случаях, когда известно, что эксперимент воспроизводим, до-

пускается выполнение

параллельных измерений не во всех

строках плана-матрицы, а только в одной из них, чаще всего в цент-

ре плана. В таком случае дисперсия опытов может быть рассчитана

по формуле:

1–m

)Y–(Y

1g=

∑

(7.13)

где

– среднее арифметическое из результатов m

опытов в центре

плана;

– значение параметра Y с порядковым номером g.

Оценка коэффициентов регрессии, проверка их значимости

Коэффициенты линейной регрессии определяют одинаково при

проведении ПФЭ и ДФЭ умножением значений

на X

с последу-

ющим делением суммы полученных произведений на общее число

строк в плане-матрице, т.е. по формуле:

∑

(7.14)

где

− коэффициенты регрессии с индексами i = 0, 1, 2, …, k;

− построчные значения фактора в i-том столбце плана-матрицы;

– среднее арифметическое из результатов m параллельных опы-

тов в u–й строке плана-матрицы;

Коэффициенты

рассчитывают по формуле:

Y·X·X

∑

i ≠ j. (7.15)

По результатам факторного эксперимента могут быть рассчита-

ны также коэффициенты

по формуле:

154

Y·X

∑

(7.16)

Для проверки гипотезы о значимости коэффициентов регрессии

для каждого коэффициента вычисляют значения

t-критерия Стью-

дента по формулам:

(7.17)

где

|, |b

| − абсолютные величины рассчитанных коэффици-

ентов регрессии;

− среднеквадратичные отклонения коэффициентов регрессии.

При числе параллельных опытов

m во всех строках плана-матрицы

вычисляют дисперсию коэффициентов регрессии

по формуле:

(7.18)

а затем определяют среднеквадратичное отклонение

по формуле:

=S=S

. (7.19)

Для проверки гипотезы о значимости каждого коэффициента

следует задать уровень значимости

α, определить число степеней

свободы f = N (m − 1) и найти в таблице критическое значение ко-

эффициента Стьюдента t

табл. α, f

. Если расчетное значение крите-

рия t, определенное по формулам (7.17), окажется больше значе-

ния t

табл. α, f

, то гипотеза принимается и коэффициент признается

статистически значимым, в противном случае – незначимым.

Если какой-либо коэффициент окажется статистически незначимым,

то он может быть отброшен без пересчета остальных коэффициентов.

В полиномиальную математическую модель включают только

слагаемые со значимыми коэффициентами.

Статистическая незначимость коэффициентов регрессии b

мо-

жет быть обусловлена следующими причинами:

а) основной уровень фактора x

осн.

близок к точке частного экстре-

мума;

155

b) интервал варьирования фактора ∆х

выбран малым;

c) данная переменная (или произведение переменных) не имеет

статистической связи с параметром Y;

d) велика ошибка эксперимента вследствие наличия неуправля-

емых и неконтролируемых факторов.

Если имеет место причина, указанная в

а), то значение i-го факто-

ра следует стабилизировать на определенном уровне (не выходя за

пределы варьирования). Если имеет место причина, указанная в

b),

то следует увеличить интервал варьирования на величину, равную

0,05 ÷ 0,30 от интервала варьирования фактора. Если имеет место

причина, указанная в d), то следует принять меры к уменьшению

ошибки эксперимента.

проверка адекватности регрессионной модели

По уравнению регрессии рассчитывают величину

для каждой

строки плана-матрицы. Находят разности между средними значе-

ниями

, полученными экспериментально, и значениями Ŷ

, рас-

считанными по уравнению регрессии. Эти разности возводят в

квадрат. Полученные квадраты разностей (Y

– Ŷ

)

суммируют.

Оценку дисперсии адекватности модели

ад.

определяют по фор-

муле:

∑

ад.

)Y–Y

(

N – l

, (7.20)

где

l – число значимых коэффициентов регрессии, включая b

;

– среднее арифметическое по результатам m опытов в строке

плана-матрицы с номером u;

– рассчитанное по уравнению регрессии значение параметра Y

для условий опыта в u-й строке плана-матрицы;

(N – l) – число степеней свободы дисперсии адекватности.

Формула (7.20) справедлива лишь при равном числе параллель-

ных измерений во всех строках плана-матрицы.

При неравномерном дублировании опытов оценка дисперсии

адекватности может быть определена по формуле:

N – l

)

Y–

uuu

ад.

∑

(7.21)

где

– количество параллельных измерений в u-м опыте.

156

Если дублируется один опыт, например, в центре плана, то оцен-

ку дисперсии адекватности определяют по формуле:

1–l–N

)

Y–Y

(

)

Y–

(

1u=

000

ад.

∑

(7.22)

где

– количество параллельных измерений в центре плана;

– среднее арифметическое по результатам m

опытов в центре

плана;

(N – l – 1) – число степеней свободы дисперсии адекватности.

Адекватность модели проверяют по критерию Фишера

F, рас-

считываемому по формуле:

ад.

F =

. (7.23)

Для проверки гипотезы об адекватности модели следует опреде-

лить числа степеней свободы f

(для дисперсии адекватности

ад.

) и

(для дисперсии воспроизводимости S

), найти табличное значение

критерия Фишера F

табл. α, f

, f

при соответствующих степенях свободы

и выбранном уровне значимости α. Если расчетное значение крите-

рия F окажется меньше значения F

табл.

, т.е. F

расч.

≤ F

табл. α, f

, f

, то гипо-

теза об адекватности модели принимается.

Примечание 1: проверка адекватности модели возможна лишь

при f

> 0, т.е. число оцениваемых коэффициентов l должно быть

меньше числа строк N в плане-матрице.

Примечание 2: решая поставленную задачу, следует выбирать

одинаковый уровень значимости α при проверке гипотез по крите-

риям Кохрена, Стьюдента и Фишера.

7.3.5 пример планирования и обработки результатов

факторного эксперимента

Получают продукт в аппарате периодического действия. Требу-

ется: изучить зависимость выхода продукта (в

% от количества

загружаемого в аппарат сырья) от конечной температуры нагрева

кон

(Х

) и скорости нагрева сырья V(Х

157

Процесс изучили и установили следующие разумные пределы

варьирования факторов:

кон.

= 300 ÷ 400°C, V = 4 ÷ 8 °C/мин.

В таблице 7.6 указаны верхний, нижний и средний уровни фак-

торов.

Таблица 7.6

Интервал варьирования и уровни факторов

Наименование фактора

Конечная

температура,

°C

Скорость

нагрева,

°C/мин

Кодированное обозначение

Нулевой уровень x

350 6

Интервал варьирования ∆х

50 2

Нижний уровень х

300 4

Верхний уровень х

400 8

Кодирование факторов:

= +1;

350–400

= –1;

350–300

= +1;

6–8

= –1.

6–4

Таблица 7.7

План-матрица и результаты эксперимента

№ опыта

План Отклик

Расчеты для проверки

адекватности модели

Y Ŷ

|Ŷ

– Y

| (Ŷ

– Y

)

1 + – – + 27,0 28,0 27,5 27,0 0,5 0,25

2 + + – – 15,9 17,1 16,5 17,0 0,5 0,25

3 + – + – 22,1 22,9 22,5 23,0 0,5 0,25

4 + + + + 13,4 13,6 13,5 13,0 0,5 0,25

∑(Ŷ

– Y

)

= 1

158

На схеме (рис. 7.2) изображено расположение опытов в нату-

ральной системе координат.

400

350

300

5678

кон.

,°C

V,°C/мин

рис. 7.2 Расположение опытов в натуральной системе координат

На схеме (рис. 7.3) изображено расположение опытов в системе

кодированных координат.

Опыт 2

Опыт 1 Опыт 3

Опыт 4

–1

рис. 7.3 Расположение опытов в системе кодированных координат

Рандомизация выполнена с учетом того, что в каждой строке

плана-матрицы проводятся два параллельных измерения; установ-

лен следующий случайный порядок выполнения измерений: 2, 3,

1, 2, 4, 1, 3, 4

Проверку воспроизводимости опытов делаем по критерию Кох-

рена. Поскольку выполняются по два параллельных измерения в

каждой строке плана-матрицы, то S

можно рассчитать так:

159

где ∆

– разность между результатами параллельных измерений в

u-й строке плана.

Определяем значение

для каждого из 4-х опытов.

.02,0=

)6,13–4,13(

=S32,0=

)9,22–1,22(

;72,0=

)1,17–9,15(

50,0=

)28–27(

.4615,0=

02,0+32,0+72,0+50,0

72,0

G =

1u=

max

∑

табл. 0,05; 4; 1

= 0,9065.

Эксперимент воспроизводим, т.к. выполняется неравенство

G < G

табл. 0,05; 4; 1

Рассчитываем дисперсию воспроизводимости и дисперсию опы-

тов:

39,0=

02,0+32,0+72,0+50,0

== SS

Поскольку эксперимент воспроизводим, то можно выполнить

расчёт коэффициентов уравнения регрессии:

.5,0=

5,13+5,22–5,16–

–

5,27

=; b2–=

5,13+5,22+5,16––5,27

;5–=

5,13+5,22–5,16+5,27

=; b20=

5,13+5,22+5,16+5,27

122

Оцениваем значимость коэффициентов регрессии с помощью

критерия Стьюдента.

8669,0=

39,0

7764,2=Δb

160

По таблице находим, что t

табл. 0,05;4

= 2,7764.

Все коэффициенты регрессии кроме

по абсолютной величи-

не превосходят 0,8669, следовательно, могут признаться статисти-

чески значимыми.

Получаем уравнение

Y = 20 – 5X

– 2X

Проверяем его адекватность.

Необходимые расчеты для проверки адекватности модели при-

ведены в таблице 7.7. При расчете

подставляем кодированные

значения факторов из плана-матрицы:

.13)=1(+2–)1(+5–20=Y

; 23)=1(+2–)1–(5–20=Y

;17)=1–(2–)1(+5–20=Y

; 27)=1–(2–)1–(5–20=Y

Рассчитываем дисперсию адекватности по формуле (7.20):

3–4

1·2

N – l

–(Y·m

ад.

∑

;

128,5=

39,0

По таблице находим, что F

табл. 0,05; 1; 4

= 7,7086.

Поскольку выполняется условие

расч.

< F

табл. α, f

, f

, то модель

признаётся адекватной экспериментальным данным.

С повышением конечной температуры и скорости нагрева сырья

выход продукта уменьшается. При этом ошибка предсказания выхо-

да продукта составляет

%6,0≈39,0=S=S

В связи с тем, что математическая модель изучаемого процесса адек-

ватна экспериментальным данным, ее можно использовать для расче-

тов выхода продукта в зависимости от конечной температуры нагрева

и скорости нагрева (но только в изученных пределах их варьирования

при эксперименте, а именно:

кон.

= 300 ÷ 400°C, V = 4 ÷ 8°C/мин).

Например, нужно рассчитать выход продукта при конечной тем-

пературе 380°C и скорости нагрева 5,4°C/мин.

Можно это сделать, применив кодированную форму или нату-

ральные значения переменных.

В первом случае значения факторов переводим в кодированную

форму: