Как можно реализовать требования, предъявляемые с учетом сказанного и
сформулированные ранее? Для этого нужно проанализировать тот опыт, который
накоплен в мировой геодезической практике, и современные научные разработки в
этой области. Наиболее распространенными в мире до настоящего времени
являются конформнве геодезические проекции: коническая Ламберта,
цилиндрическая Гаусса – Крюгера, азимутальная ( квазистереографическая )
Руссиля. При этом нам известно, что коническая проекция наиболее приемлема
для изображения территорий, вытянутых вдоль какой-либо параллели, если она
принимается за стандартную параллель проекции. Цилиндрическая – для
территории, вытянутой вдоль осевого меридиана. Азимутальная – для территорий
округлой формы, центр которых совпадает с центром проекции. Во всех этих
проекциях картинная плоскость касается поверхности эллипсоида по стандартной
параллели, осевому меридиану или в центральной точке соответственно.
Также известны самые различные варианты этих трех проекций на секущей
плоскости. Наиболее известна из таких проекций и широко распространена на
практике цилиндрическая проекция UTM. Ранее мы рассмотрели принцип
формирования такого рода проекций, достаточно простой алгоритм вычислений в
них.
Вместе с тем, ни одна из отдельно взятых проекций не может отвечать
требованиям, указанным ранее, так как не может наилучшим образом подходить к
изображению на плоскости различных по форме территорий. В этом случае нужно
искать иные пути формирования проекций. Главным условием, как отмечалось
ранее, должно быть условие обеспечения минимально возможных искажений
отображаемых элементов. В картографии известен критерий, обеспечивающий
такие условия. Этот критерий впервые сформулирован без доказательства в виде
теоремы выдающимся российским механиком, математиком и картографом
академиком Чебышевым П. Л. в 1856 году. Строгое доказательство теоремы
Чебышева в 1894 году дал известный российский картограф академик Граве Д. А.
В картографии этот критерий известен как критерий Чебышева – Граве о
наилучших проекциях. Согласно этому критерию наименьшие искажения в
пределах всей изображаемой территории будут иметь место в том случае, когда
значение масштаба изображения постоянно на ее контуре. Другими словами,
проекция будет наилучшей, если одна из ее изокол будет совпадать с контуром
изображаемой территории. Таким образом, мы пришли к выводу о том, что в
современной геодезической проекции должна быть заложена алгоритмическая
возможность управления формой изокол.
Форма контуров изображаемых территорий может быть в общем случае
произвольна. Здесь возникает вопрос, насколько близки по своей форме должны
быть изокола и изображаемый контур. Известный российский геодезист и
картограф Урмаев Н. А. показал, что возможны два пути этой решения задачи.
Первый путь – стремление к наилучшему совпадению контура и изоколы, при этом
теряется конформность изображения. Второй путь – обобщенная аппроксимация
контура изоколой в виде некоторой математической кривой при сохранении
конформности изображения. При этом показано, что отличие максимальных
искажений в проекциях, полученных двумя путями, несущественно и остается
одного порядка. Для геодезических проекций, которые, как известно, конформны,
возможен для реализации только второй путь.
Рассмотрим один из вариантов решения поставленной задачи. Как уже
отмечалось нами ранее, основными уравнениями, определяющими конформность
проекции, являются уравнения Коши – Римана в частных производных ( 7. 11 ) в их