Презентация - Андреев В.К. Механика жидкости и газа
Подождите немного. Документ загружается.
Проблема осреднения
Определение. Осредненной (сглаженной) назовем функцию
()
fx
,
определенную выражением
()()(),
fxwfxd
(17.8
)
где
()
w
- весовая функция. Из (17.8
) видно, что осредненная функция может
быть записана в виде
()()()
fxfwxd
. (17.9
)
Обычно
()
w
выбирается нечетной отрицательной функцией. Часто
применяется пространственное и/или временное осреднение. Весовая
функция задается при этом в виде
1/, ||/2
()
0, ||/2
LL
w
L
, где множество
(/2,/2)
LL
- интервал осреднения.
Лекция 23
§18. Метод малых возмущений. Линеаризованная задача
*
*
div0,
1
ii
ji
ji
u
uu p
uu
xx
r
V
,
(18.1)
*
- плотность,
***
/
- кинематический коэффициент вязкости,
*
-
коэффициент вязкости,
V
- оператор Лапласа.
Граничные условия
ii
uS
.
(18.2)
Чтобы изучить малые возмущения установившегося движения
, решение
ура
внений (18.1) ищется в виде
(1)2(2)
(1)2(2)
...
...
iiii
uuuu
pppp
, (18.3
)
где
- постоянный параметр,
(1)(2)(1)(2)
,,...; ,,...
ii
uupp
-
функции координат и
времени
Уравнения первого приближения
(1)
(1)(1)
(1)
(1)(1)
*
*
div0,
1
iii
jji
jji
u
uuu
p
uuu
xxx
r
V
с граничными условиями на твердых границах
(1)
0.
i
u
В случае несжимаемой жидкости безразмерная форма основных
дифференци
альных уравнений может быть получена из уравнений
Навье-Стокса в (18.1), если формально положить
1
**
1, Re
, где
Re
- число Рейнольдса,
***
Re/
VL
.
Точные решения уравнений Навье-Стокса
Пример1. Течение между двумя параллельными пластинами. Основное течение
2
22
1
23
*
1
3
11,
2
0,
2
const,
s
c
c
U xx
uU
bb
uu
U
px
b
Характерные величины
*
V
и
*
L
и безразмерные переменные:
**
1
,
2
sc
VUULb
**1*
1*
2
1**111
/, /, (,,)
/, , (,,),
/, .
tVLxxLxxyz
uuVuuuuuvw
ppVppp
r
r
rrr
Будем искать решение в идее гармоник (нормальных мод)
()
1
ˆˆ
(,)((),()),
ixzict
upuypye
r
r
по
дразумевая, что физическую величину представляет действительная часть
решения. Эти моды представляют собой бегущую в направлении
(,,0)
волну с
фазовой скоростью
221/2
/()
r
c
, которая затухает или растет со временем как
exp()
i
ct
,
ri
ccic
- ком
плексный декремент, определяющий временной ход
возмущения.
Безразмерные амплитуды
ˆˆˆˆ
(),(),(),()
uyvywypy
удовлетворяют уравнениям
222
222
222
ˆˆˆ
(()Re())Re()Re,
ˆˆ
(()Re())Re,
ˆˆ
(()Re())Re,
ˆˆˆ
()0.
DiucuDuvip
DiucvDp
Diucwip
iuwDv
Граничные условия (18.9) принимают вид
ˆˆˆ
0 (1).
uvwy
Система приводится к виду
DzAz
rr
, (
D
- оператор дифференцирования,
A
-
матрица системы) заменой переменных
123456
ˆˆˆˆˆˆ
(,,,,,)(,,,,Re,).
zzzzzzuvwDupDw
Пример 2. Течение между двумя вращающимися цилиндрами (движение Куэтта).
Рассматривается
движение несжимаемой жидкости между двумя концентрическими цилиндрами. В цилиндрической сис
теме
координат с осью
z
вдоль общей оси цилиндров, при любом выборе масштабов
*
V
и
*
L
, устано
вившееся
течение описывается формулами
2
1
******
2222
22112121
**
2222
2121
0, /, (/),
/, /,
()
=, ,
uwvArBrpvrdr
AALVBBVL
RRRR
AB
RRRR
где
1
R
и
2
R
- радиусы внутреннего и внешнего цилиндров соответственно,
1
и
2
- их угловые скорости.
Уравнения первого приближения для малых возмущений в безразмерной форме допускают решение,
периодическое относительно
и
z
***
ˆ
(), =/, ,.
tiniz
qqreLVnR
С учетом вращательной симметрии может быть введена функция тока
, такая, что
11
(), ().
urwr
rzrr
Тогда возмущение представляется в виде
ˆ
ˆ
(), ().
tiztiz
irevvre
С учетом последнего представления уравнения первого приближения сводятся к двум обыкновенным
дифференциальным уравнениями. Из условия совместности системы получим характеристическое уравне
ние
вида
2121
(,,Re,/,/)0.
FRR
Пример 3. Течение по круглой трубе (движение Пуазейля).
Если радиус трубы и
скорость в центре взяты за едини
цы измерения, то установившееся течение в круглой
трубе представляется следующим решением (в цилиндрической системе координат)
2
1
0, 1, 4/const.
uvwrpzR
Для возмущений с осевой симметрией характеристическое уравнение имеет вид
(,,Re)0
F
.
Общие этапы изучения устойчивости
1. Идентификация физического механиз
ма неустойчивости данного течения и
моделирование неустойчивости вы
бором соответствующей системы уравнений и
граничных условий;
2. Выбор решения, удовлетворяющего системе уравнений, для описа
ния
основного течения;
3. Линеаризация системы методом малых возмущений на фоне основ
ного
течения;
4. Использование метода нормальных мод.
Лекция 24
§19. Неустойчивость Кельвина-Гельмгольца
Основное течение
Рассмотрим основное течение в двух горизонтальных параллельных
бесконечных и расположенных один над дру
гим слоях несжимаемых
идеальных жидкостей, имеющих различные скорости и плотности.
Основное
течение задается распределениями скорости, плотности и давления
022
2
011
1
, 0,
,
,
() () ()
, 0,
,
,
pgzz
Ui
Uzzpz
pgzz
Ui
r
r
r
(19.1)
где
12
,
UU
- скорости течений в слоях,
12
,
- плотности,
0
p
-
постоянное
давление,
z
- вертикальная координата,
g
- ускорение свободного падения.
Физическое описание неустойчивости
Положим
1221
, 0,
UVUV
.
Далее, рассмотрим начальное возмущение,
которое слегка смещает
слой, так что его отклонение становится синусоидальным (рис.19.1)
Рис. 19.1. Рост возмущений
Линеаризованная задача
Пусть возмущенное течение является безвихревым с каждой стороны вихревого
слоя. Таким образом, предполагается существование потенциала скорости
с
каждой стороны поверхности раздела между двумя потоками с
grad
U
r
, где
2
1
,
,
z
z
.
Для возмущенного течения поверхность раздела задается формулой
(,,)
zxyt
,
Пусть
222111
: , : .
zUxzUx
Тогда линеаризованная задача имеет вид
21
1122
1122
0: 0, 0: 0,
0: (1,2),
.
k
k
zz
zUk
ztx
UgUg
xtxt
VV