Презентация - Андреев В.К. Механика жидкости и газа

Подождите немного. Документ загружается.

Система (26.8) может быть преобразована. Для упрощения рассуждени

й пренебрежем массовыми

силами и подставим закон Дарси в уравнение неразрывности. В результате получим

()0

kkk

divgradpdivgradpp

µµµ

−=−=−∆=

, или

∆=

где

∆

- оператор Лапласа.

Следовательно, систему (26.8) можно переписать в виде

gradp

∆=

=−w

(26.9)

Замкнутые системы уравнений (26.8) и (26.9) определяют и зада

ют математическую модель

теории фильтрации вязкой несжимаемой жидкости в недеформируемой изотропной пористой среде.

Схемы одномерных фильтрационных потоков. Как уже отмечалось, ре

альные коллекторы

углеводородного сырья об

ладают сложной геометрией, строением, условиями залегания и т.д. Поэтому

для моделирования фильт

рационных течений часто используют упрощенные постановки краевых задач,

которые часто называют модельными. В наиболее простых модельных задачах рас

считываются

одномерные установившиеся фильтрационные течения в однородном недеформируемом изотропном

пласте (коллекторе).

В прямолинейно-параллельном потоке траектории частиц (линии тока) п

редставляют собой

прямые линии, которые параллельны друг другу. В качестве примеров прямолинейно-

параллельных

фильтрационных течений можно привести следующие: течение жидкости в экспериментальной ус-

тановке Дарси, течение жидкости или газа в лабораторных установках по оп

ределению проницаемости

и т.д.

В случае плоскорадиального течения ли

нии тока представляют собой лучи, лежащие на плоскости

и исходящие из общего центра (полюса). Примером подобной схемы фильт

рационного течения является

приток флюида к центральной скважине в круговом пласте.

При радиалъно-

сферической фильтрации траектории частиц направлены к центру (от центра)

полусферы. Подобное фильтрацион

ное течение можно представить в случае, когда вскрыта кровля

пласта и приток флюида направлен к полусфере.

Прямолинейно-параллельная фильтрация несжимаемой жидкости.

Рассмотрим решение задач по определению основных характеристик одномерных

фильтрационных течений несжимаемой однородной ньютонов

ской жидкости в изотропном однородном

недеформируемом пласте. Математическая модель в данном случае задается системой уравнений

∆=

=−

wgrad

(26.10)

Проектируя уравнения (26.10) на декартову систему координат получим

222

ppp

xyz

∂∂∂

++=

∂∂∂

∂

=−

∂

=−

∂

=−

∂

. (26.11)

Рис. 26.1. Прямолинейно-параллельный фильтрационный поток.

Пусть пласт представляет собой прямоугольный параллелепипед шириной В и толщиной h

ограниченный сверху и снизу непроницаемыми плоскостями, слева контуром питания, справа -

галереей. Выберем систему ко

ординат так, как это показано на рис. 26.1, то есть начало координат

поместим на плоскость контура питания. Название - контур питания -

обусловлено тем, что согласно

постановке задачи через плоскость х = 0 проис

ходит приток в пласт жидкости, которая далее

фильтруется к галерее x=L. Ось Оx направим параллельно вектору ско

рости фильтрации. Тогда можно

положить, что искомые функции - давление и скорость фильтрации - зависят только от координаты x

уравнения (26.11) запишутся в виде

kdp

=− ,

. (26.12)

Проинтегрировав первое уравнение (26.12) получим

, откуда

pCxC

Для нахождения констант интегрирования С

, и С

необходимо задать граничные условия, то есть

значения давления в двух точках на линии тока. Обычно известны значения давления на контуре

питания р

и галерее р

). Поэтому для нахождения С

и С

имеем следующие граничные условия

при

= при

где р

- значение давления на контуре питания, р

- значение давления на галерее.

Подставив граничные условия в выражение для давления, получим

pCLC

откуда найдем, что

−

=− и

Далее, подставив найденные значения постоянных и

нтегрирования в выражения для давления и

скорости фильтрации, получим решение задачи при прямолинейно-параллельной фильтрации

()

k Г

pxpx

−

=− ,

kdpkk

dxLµµµ

−

=−=−=

. (26.13)

Данный результат можно представить и в несколько ином виде. Умножив скорость фильтрации на площадь галереи

S =

ВН

(см. рис. 26.1), получим значение расхода Q

k Г

wSQS

Lµ

−

== . (26.14)

Выразив из равенства (26.14) перепад давления

k Г

LkS

−

и подставив результат в формулу для распределения давления в пласте, будем иметь

()

pxpx

=−

. (26.15)

Как следует из соотношений (26.13), давление в пласте при прямолинейно-

параллельной

фильтрации распределено по линейному закону, а скорость фильтрации во всем пласте постоянна.

Индикаторная линия представляет собой график зависимости вида

QCp

=∆

где коэффициент пропорциональности С называется

коэффициентом продуктивности. Очевидно, он

равен

= .

Следовательно, при выполнении закона Дарси индикаторная линия представляется в виде прямой.

Еще одна промысловая задача связана с определением времени движе

ния в пласте «меченых

частиц». Вначале приведем вывод формулы, используя стандартный подход, со

гласно которому

пористость равна просветности, а далее, внесем коррективы, которые получаются в

результате

использования при определении связи ме

жду скоростью фильтрации и истинной средней скорости

вместо пористости просветности.

Пусть выражение для истинной средней скорости имеет вид

dxw

dtm

. (26.16)

Разделим переменные в равенстве (26.16)

dtdx

и подставим в последнее равенство найденное выше выражение для модуля вектора скорости

фильтрации (26.13). В результате получим

k Г

dtdx

kpp

−

Далее, соотношение можно проинтегрировать и найти время, за кото

рое «меченая частица»

переместиться от контура питания (x= 0 и t = 0) до произвольной точке в пласте (х = х

и t =t

kГ

dtdx

kpp

−

∫∫

Выполняя интегрирование, получим следующее соотношение

kpp

−

. (26.17)

Приняв, что х

=L,

получим время прохождения «меченой частицей» всего пласта, от контура

питания до галереи –

kpp

−

. (26.18)

Однако в исходном соотношении вместо пористости необходимо было использовать

просветность. В результате в качестве исходного соотношения будем иметь иное соотношение

dxw

dts

. (26.19)

Теперь для перехода от пористости к просветности вос

пользуемся структурным коэффициентом,

который был введен в первой главе при определении диаметра капилляра в идеальной пористой среде

преобразуем формулу (26.19) к виду

dtm

== .

Так как

в однородной пористой среде константа, все дальнейшие вы

кладки остаются

совершенно аналогичными и конечный результат, учиты

вающий то, что пористость не равна

просветности, приведет к следующим равенствам

kpp

−

(26.20)

kpp

−

. (26.21)

Аналогично рассматриваются плоскорадиальная и радиально-

сферическая фильтрации

несжимаемой жидкости.

Лекция 31

§27. Упругий режим фильтрации

Упругий режим пласта и его характерные особенности.

Математическая модель, которая будет сформулирована далее, учитывает проявление

упругих сил

в одно

фазном фильтрационном потоке, т.е. далее будет считаться, что давление в любой точке потока

выше давления насыщения жидкости газом.

При пуске скважины в эксплуатацию в условиях упругого режима дви

жение жидкости начинается

за счет исполь

зования потенциальной энергии упругой деформации пласта и жидкости сначала в

ближайших окрестностях забоя, затем во все более удаленных областях пласта.

В некоторых случаях

приток жидкости к забоям скважин поддерживается и напором воды, поступающей в плас

т из области

питания. Тогда режим пласта следует называть упруговодонапорным. Различают и вторую разно

видность упругого режима - замкнуто-

упругий режим. Встречаются залежи нефти в закрытых со всех

сторон пластовых «ловушках», когда на небольших расстояния

х от нефтяной залежи продуктивный

пласт либо выклинивается, либо экранирован сбросом. Характерная особен

ность проявления упругого

режима в процессе раз

работки нефтяных месторождений проявляется в длительности во времени

процесса перераспределения пластового давления после начала работы сква

жины или изменения темпа

отбора жидкости из скважины.

Неустановившиеся процессы протекают тем быстрее, чем больше коэффициент проницаемости

и тем медленнее, чем больше вязкость жидкости

и коэффициенты объемной упругости жидкости

и твердого скелета пласта

Подсчет упругого запаса жидкости в пласте

Под упругим запасом жидкости в пласте понимают количество жидкости, которое можно изв

лечь

из пласта при снижении давления в нем за счет объемной упругости твердого скелета пласта и

насыщающих его жидко

стей. При снижении давления в пласте упругий запас жидкости естественно

убывает, а при повышении давления происходит накопление упругого запаса жид

кости в нем. Упругий

запас жидкости в пласте можно подсчитать следующим образом.

Выделим мысленно элемент объема пласта V

. Пусть V

0ж

есть объем жидко

сти, насыщающей этот

элемент объема пласта V

при начальном давлении р

. Упругий запас жидкости

будем определять по ее

объему, замеряемому при начальном пластовом давлении. Обозначим через

∆

измене

ние упругого

запаса жидкости внутри объема пласта V

при изменении давления во всех его точках на величину

∆

В разностном виде получаем соотношения

ЖЖЖ

VpV

β−∆=∆

VpV

∆=∆

При определении формулы для коэффициента объемного сжатия жидкости

считалось, что на

жидкость действует только сжимающее гидростатическое давление, поэтому при увеличении дав

ления

(сжатия) объем жидкости уменьшается и, наоборот, при уменьшении давления объем возрастает. В

результате перед коэффициентом

стоит знак минус. В случае упругого режим

а при падении

давления в пласте объем жидкости уменьша

ется. Такое поведение жидкости обуславливается тем, что

рассматривается жидкость в порах и как следует из формулы для

при уменьшении давления объем

пор уменьшается и жидкость испытывает сжимающее воздей

ствие со стороны твердого скелета.

Поэтому знак минус перед

опускается. Полагая, что изменение упругого запаса скла

дывается из

∆

, получим:

00ЗЖЖ C

VVpVp

ββ

∆=∆+∆

. (27.1)

Учтем, что начальный объем жидкости, насыщающей элемент объема пласта V

равен полному

объему пор в этом элементе:

VmV

= , (27.2)

где т - пористость пласта.

Тогда формулу (27.1) с учетом равенства (27.2) можно переписать в следующем виде:

()

ЗЖC

VmVp

ββ

∆=+∆

. (27.3)

или

0З

VVp

∆=∆

, (27.4)

где

Ж C

βββ

. (27.5)

Коэффициент

•

называется коэффициентом упругоемкости пласта. Из формулы (27.

4) следует,

что коэффициент упругоемкости пласта

•

численно равен изменению упругого запаса жидкости в

единице объема пласта при изменении пластового давления в нем на единицу:

∆

Если формулы (27.3) или (27.4) относить к разрабатываемому в условиях замкнуто-

упругого

режима нефтяному месторождению, то под V

следует понимать объем пласта, в котором к данному

моменту времени произошло изменение давления на величину

∆

, при этом, по

определению,

полагается что

ppp

∆=−

, (27.6)

где р

— начальное пластовое давление;

- средневзвешенное по объему

возмущенной части пласта V

давление.

Вычислить средневзвешенное пластовое давление

можно, если из

вестна геометрия

возмущенной части пласта и конкретное распределение давления в ней. Дифференцируя равенство

(27.4), получим:

()[()]

dVdVtp

∆=∆

С другой стороны, изменение упругого запаса жидкости в пласте за время dt

равное объему

отобранной из пласта нефти:

()()

dVQtdt

∆= ,

где Q(t) - дебит всех скважин, эксплуатирующих данную нефтяную залежь.

Приняв правые части двух последних равенств, получим дифференци

альное уравнение истощения

нефтяной залежи в условиях замкнуто-упругою режима

[()]()

dVtpQtdt

β ∆= . (27.7)

Полученное соотношение далее будет использоваться при построении приближенных решений

теории упругого режима,

Математическая модель неустановившейся фильтрации упругой жидкости в упру

гой пористой

среде.

Для вывода основных дифференциальных уравнений фильтрации упру

гой жидкости в упругой

пористой среде необходимо воспользоваться урав

нением неразрывности потока, уравнениями движения

(законом Дарси) и уравнениями состояния пористой сред

ы и насыщающей ее жидкости. При этом

воспользуемся математической моделью изотермической фильтрации:

(),

div

∂

=−+

wgradf

(27.8)

()

ρρ

()

mmp

()

kkp

()

µµ

которая после пренебрежения массовыми силами и введения обобщенной функции Лейбензона,

преобразуется к виду

∂

−∆=

∂

=−

wgrad

(27.9)

()

ρρ

()

mmp

()

kkp

()

µµ

()

Ppdp

∫

В качестве уравнений состояния среды и жидкости воспользуемся урав

нениями состояния

упругой жидкости и упругой пористой среды

[1()]

ρρβ=+−, (27.10)

()

mmpp

β=+−. (27.11)

Для проницаемости и вязкости примем k=const и

const , однако заме

тим, что, как показывают

результаты лабораторных эксперимен

тов, а также опыт разработки месторождений, в ряде случаев

наряду с изменением пористости, вследствие п

роисходящих деформаций, происходят и изменения

проницаемости пластов. Однако введение еще одного уравнения состояния

(()

kkmp

приведет к

существенному усложнению модели.

Вывод дифференциального уравнения фильтрации упругой жидкости в уп

ругой пористой среде

по закону Дарси.

Обратимся теперь к математической модели неустановившегося движения уп

ругого флюида по

закону Дарси в деформируемой пористой среде (27.9) с уравнениями состояния (27.10) и (27

.11) и при

k=const,

const . Полная система уравнений имеет следующий вид

∂

−∆=

∂

=−

wgrad

[1()]

ρρβ=+−,

()

mmpp

β=+−,

()

kkp

()

µµ

Pdp

∫

Рассмотрим первое уравнение системы

∂

=∆

∂

. (27.12)

Подставив в уравнение функцию Лейбензона, получим

()

∂

=∆

∂

∫

Теперь преобразуем выражение в левой части уравнения (27.12), для че

го используем уравнения

состояния упругой жидкости и упругой пористой среды (27. 10) и (27. 11):