Рубин А.Б. Современные методы биофизических исследований (Практикум по биофизике)

Подождите немного. Документ загружается.

Основные отличия характеристик при

двух

способах описания

заключаются в следующем.

1. «В

растворе»

после включения света кинетика окисления ком-

понентов Р и С при малых значениях константы

входа

монотон-

на

независимо от значения световой константы k

. Концентрация

акцептора А в процессе восстановления в модели проходит через

максимум независимо от способа описания. При больших значени-

ях k

вых

)

окисление С и Р немонотонно. «В комплексе»

при

больших k

окисление компонентов С и Р может носить немоно-

тонный

характер и при небольших k

вых

2. Световые кривые (зависимости стационарной окисленности

от значения световой константы /г

) компонента Р в

«растворе»

носят

S-образный характер в том случае, когда константа скорости прито-

ка

электронов в систему

(/г

вх

)

меньше константы скорости оттока

электронов из системы (&

яых

). В «комплексе» S-образность световой

кривой

компонента Р не наблюдается.

3. «В

растворе»

при наличии циклического потока (k

Ф 0) вре-

мя

восстановления компонента С

(тс°

сст

)

после выключения света

убывает

с ростом его первоначальной окисленности С, стационар-

ной

для светового процесса и определяемой интенсивностью пред-

шествующего освещения. «В комплексе»

тс°

сст

в большей или мень-

шей степени возрастает с увеличением С

при

любых

значениях па-

раметров цепи.

Совокупность этих зависимостей в сравнении с эксперименталь-

ными

данными может служить критерием справедливости той или

иной

модели взаимодействия переносчиков на изучаемом

участке

цепи.

Например, при решении вопроса о том, каким образом замы-

кается циклический поток электронов, «в комплексе» или через под-

вижные переносчики, наиболее удобным критерием является рас-

смотрение экспериментальной зависимости

хс°

сст

(С

), которая об-

наруживает «в комплексе» и «в

растворе»

противоположный

характер.

Примерное

построение

учебной

задачи

1. Построить размеченный граф состояний

для

комплекса

из

трех

пере-

носчиков

[см.

(VIII.3.6)].

2. Записать систему дифференциальных уравнений

для

вероятностей

со-

стояний

комплекса.

3. Написать программу

для

решения системы уравнений

на ЭВМ.

4. Получить

на

модели кинетику переменных

С, Р в

окисленной

и А

восстановленной форме

при

включении

света

Ф 0) и

выключении

света

= 0) для

разных значений интенсивности освещения (разных

Началь-

ные условия

для

светового процесса:

С и Р

полностью восстановлены,

А пол-

ностью окислены. Возможны

другие

варианты,

соответствующие

различным

окислительно-восстановительным условиям

системе. Построить

для

моде-

ли

[см.

(VIII.3.6)]

световые кривые

зависимости времени восстановления

компонентов

Яи Сот

интенсивности

времени

предшествующего

освещения.

301

во

6octrC

6 10 I,DM/M-C

SO 100

]/LC

Рис.

132.

Экспериментальные световые кривые

(А) и

кривая зависимости

вре-

мени

восстановления цитохрома

от его

первоначальной окисленности

(Б)

5. Записать систему дифференциальных уравнений

для

окислительно-

восстановительных реакций, протекающих согласно (VIII.

3.6) в том

случае,

если

все

комоненты находятся

растворе,

т. е. в

соответствии

законом

дейст-

вующих

масс. Выполнить

для

этой системы задания пунктов

3,4.

Сравнить

полученные кинетические характеристики

для

двух

типов описания. Резуль-

таты

представить

виде

графиков.

На

рис. 132 представлены экспериментальные световые кривые

(А) и кривые зависимости времени восстановления цитохрома с от его

первоначальной окисленности (Б) для хроматофоров фотосинтези-

рующих бактерий

Chromatium

minutissimum.

Задача может быть

предложена при выполнении практики по математическому моде-

лированию и ЭВМ.

Упрощенный

вариант задачи предполагает выполнение тех же

заданий

для системы из

двух

переносчиков (VIII.3.1); (VII.3.1а);

(VIII.3.2); (VIII.3.4); (VIII.3.5).

4. Идентификация математических моделей биологических

процессов

Идентификация

в широком смысле слова означает определение па-

раметров и структуры математической модели, обеспечивающих на-

илучшее совпадение выходных координат модели и процесса при

одинаковых входных воздействиях. Таким образом, идентифика-

ция

состоит из

трех

этапов.

1. Выбор структуры модели на основании априорной информа-

ции

об исследуемом процессе и качественных характеристик про-

цесса и модели.

2. Выбор критерия близости объекта и модели, основанный на

специфике

задачи.

3. Определение параметров модели, оптимальных с точки зре-

ния

выбранного критерия близости (идентификация параметров мо-

дели).

302

В § § 2,3 гл. VIII приведен пример

выбора

структуры

модели

по

ее качественным свойствам. Следующим этапом работы является

выбор

критерия

близости

объекта

модгли.

При

проведении эксперимента на

обтехт

оказывают некоторое

воздействие, например освещают его светом определенной интенсив-

ности.

Критерием близости объекта и модели естественно взять ка-

кую-либо функцию от рассогласования выходных сигналов объекта

модели при одинаковых

входных

воздействиях.

Обозначим выходные сигналы модели через у (t), выходные сиг-

налы объекта — через х (/), а их рассогласование — через е (t):

г (t) - у (t) — х (t). Пусть Q —

критерий

близости

модели

объекта:

Q = /

(£(?))•

Часто значение е (t) в разные моменты времени имеет разную зна-

чимость для исследователя. Чтобы

учесть

это, введем

весовую

функ-

цию со (/). Тогда Q = / le (t), со (t)\.

Наиболее распространенным критерием близости модели и объ-

екта является

критерий

минимума

среднеквадратичного

отклоне-

ния: Q (t) = e

(t) со (t). Этот критерий привлекателен тем, что

представляет собой выпуклую одноэкстремальную функцию отно-

сительно е. Его применение приводит к наиболее удобным алгорит-

мам поиска параметров модели.

«Выходные

сигналы» модели зависят от значений ее параметров

у — у (0

..., 9

) и t, поэтому Q является функцией параметров мо-

дели:

Таким

образом, идентификация параметров модели сводится к поис-

ку минимума критерия Q в пространстве параметров 8. При поиске

минимума произвольной функции возникает проблема однозначно-

сти найденного набора значений параметров. Для обоснования един-

ственности полученного решения осуществляют поиск минимума

из

различных начальных точек. Если процесс поиска заканчивается

одной и той же точке, найденный минимум можно считать единст-

венным.

Задача минимизации функции ставит еще одну проблему — точ-

ности нахождения минимума. Эта проблема тесно связана с пробле-

мой выбора стратегии поиска.

Рассмотрим простейший метод поиска минимума произвольной

функции

—

метод

фитирования,

или

метод

сетки,

который часто

используют при идентификации параметров моделей биологических

процессов. Для случая

двух

неизвестных параметров

схема

метода

изображена на рис. 133. Здесь замкнутые линии — линии уровня

исследуемой функции. В

узлах

«сетки»

производят вычисление зна-

чений

функции и из полученных значений выбирают наименьшее.

Из

рис. 133 видно, что найденный таким способом минимум может

весьма далеко отстоять от истинного минимума. Для более точного

определения необходимо сделать сетку более частой, а это сильно

зоз

увеличивает объем вычислений.

Метод фитирования часто при-

меняют для

грубых

оценок па-

раметров, однако для более точ-

ных оценок необходимы более

тонкие методы, позволяющие

теми или иными способами от-

слеживать изменения функции.

Эти методы используют по-

следовательную стратегию поис-

ка

— при выборе каждой сле-

дующей

точки, где

будет

вычис-

ляться функция, используется

информация,

полученная при

предыдущих вычислениях, что

позволяет существенно ускорить

поиск

и повысить точность на-

хождения минимума.

Как

работают подобные методы, можно показать на примере од-

ного из наиболее эффективных методов для поиска минимума нели-

нейных функций, особенно функций типа среднеквадратичного от-

клонения,

—

метода

конфигураций.

В основе метода лежит гипо-

теза о локальной неизменности направления поиска. На первом эта-

(

\\rJ

)

Рис.

133.

Схема метода поиска экст-

ремума методом сеток (фитирова-

ние)

1 Т'чв

Рис.

134.

Схема метода поиска экстремума целевой функции методом конфи-

гураций (Хука

Дживса)

304

пе,

районе начальной точки, поиск ведется медленно,

помощью

небольших шагов.

По

мере успешного продвижения вперед длина

их возрастает,

это

длится

до тех

пор,

пока выбранное направление

правильно. Затем поиск замедляется,

вся

процедура повторяется

вновь

начинается движение

новом направлении. Поиск заканчи-

вается, когда длина пробного шага станет меньше заранее заданной

величины.

В процессе отработки метода

удалось

эмпирически установить,

что время поиска растет пропорционально первой степени числа

неизвестных параметров

(в

классических процедурах время растет

пропорционально

кубу

числа переменных). Процесс поиска

схема-

тически изображен

на

рис.

134.

Поиск

начинается

произвольной

базовой

точке

(х

1Ъ

...,х

П1

)

и ве-

дется шагами

6;, где 6j

есть вектор длиной

6;, все

составляющие которого,

кроме

t-й,

равны нулю. Пусть сначала ведется поиск

по

первому неизвест-

ному параметру

ftj.

Определяются значения функции

точках

bj и (b

61). Если точке

(bj + 6j)

соответствует

меньшее значение функции,

то ее

называют

временной

вершиной

дальнейший поиск ведется

уже из нее.

Двойной индекс

означает,

что

ведется первый этап поиска

и что

изменению

подвергался первый неизвестный параметр. Если точке

+ 6i)

соответст-

вует

большее значение функции,

то

проверяют точку

(b\ — bj).

Возможно,

что

обе

точки

(bj -j 6j) и (bi + бх)

окажутся непригодными.

этом

случае

временной вершиной служит сама точка

bj, т. е.

+ 6i.

если Q(b

)<Q(b

); (VIII.4.1>

bi-б^ если Q(b

-6

)<Q(b

); (VIII.4.2)

Ь,

если

QfbxXminlQOh

e!),

Q (bj —

б^]. (VIII.4.3)

,,;-!);

(V1H.4.4)

t, ,.,•-,-6

;

, если Q

(ttj^-bjXQ

ъН1

)<:<}

(t^j-i

+ bj).

(VIII.4.5)

e,).

QQiJ-i-bjl-

(VIII.4.6)

Рис.

134

соответствует

неравенству (VIII.4.2).

Из

вершины

аналогичным образом осуществляется поиск

по

следую-

щему неизвестному параметру

. В

общем

случае

для /-й

временной вершины

tjj, найденной продвижением

из tj,

J_J, можно записать:

*» =

На

рис. 134

изображен случай, соответствующий неравенству (VIII.4.4)

при

/ = 2.

результате

первого этапа поиска

по

всем переменным находится

вре-

менная

вершина

которой

дают

название второй базовой точки

обозна-

чают

Базовые точки

bi и Ь

определяют первую конфигурацию, представ-

ляющую собой

стрелу,

конец которой лежит

начальной точке поиска,

а ост-

рие

— в

конечной.

Дальнейшая процедура поиска основывается

на

гипотезе

о том, что на-

правление движения

из

новой базовой точки остается

тем

же.что

и на

преды-

дущем участке. Опираясь

на это

предположение, отказываются

от

пробных

движений вблизи точки

продвигаются

направлении

bjbj

сразу

на

двой-

ную длину вектора

Ь^. Это

движение определяет новую временную верши-

305

6 п.о

Рис.

135. Тактика «слежения ia

оврагом»

целевой функции методом конфигу-

раций

ну t

второй конфигурации, начинающейся в точке Ь

Точка t

определя-

ется следующим образом:

,.-Ь,-г2(Ь

-Ь,)-

-2Ь,--Ь,.

Двойной индекс 20 означает, что осуществляется второй этап поиска и

пробных движений не было. Далее вокруг точки t

совершаются пробные

шаги, цель которых — определить, не нуждается ли выбранное направление

коррекции. С помощью выражений, аналогичных (VIII.4.4)—(VIII.4.6),

находят новые переменные вершины t

, t

, ..., t

. Этот цикл пробных шагов

по

всем определяемым параметрам завершается нахождением вершины t

которая и

служит

третьей

базовой

точкой

(рис. 134), Следующая времен-

ная

вершина t

o = b

определяется в

результате

движения вдоль линии

: tso

2 b

— b

. На рис. 134 показано, что эта вершина лежит на од-

ной

прямой с точками Ь

и Ьц. Это означает, что в данном

случае

изменить на-

правление поиска не понадобилось. Интересно отметить, что благодаря пра-

вильно выбранному направлению увеличилась и длина шага. Действительно,

Аналогичным образом ведется поиск на третьей конфигурации. Предпо-

ложим далее, что в

результате

пробных шагов по в] и в

временной вершиной

оказалась точка t

i, которой

соответствует

меньшее, чем в Ь

, значение функ-

ции

Q. В этом

случае

= t

i, что приводит к изменению направле-

ния

поиска. Как видно из рис. 134, длина шага все еще возрастает.

Пусть в

результате

пробных шагов на четвертой конфигурации было най-

дено, что t

осталась временной вершиной, но Q (t

) > Q (b

). В этом

случае

bj = t

= t

, так что направление дальнейшего движения и

длина шага остаются неизменными.

306

Предположим,

что

дальнейшее продвижение

из

точки

приводит

к то-

му,

что

конфигурация разрушается,

т. е. Q (t

) > Q (b

) (рис. 135).

В этом

случае

= b

, а это

означает,

что

либо найден минимум функции,

либо поиск привел

«оврагу».

Для

выяснения ситуации приходится предпри-

нимать следующие шаги.

Как

ранее, поиск начинается

пробных шагов около временной верши-

ны

= Ь

Может оказаться,

что

длина пробных шагов слишком велика,

что-

бы обнаружить овраг,

тогда

ее

надо уменьшить.

На рис. 135

изображена

си-

туация, когда уменьшение длины пробного шага вдвое позволило добиться

положительного

результата

продвинуться, хотя

ненамного,

по

направле-

нию

минимуму функции. Последующие конфигурации

до

восьмой включи-

тельно характеризуются некоторым изменением направления поиска

увели-

чением шагов.

На

9-, 10- и 11-й

конфигурациях направление оврага совпадает

направ-

лением поиска,

величина шагов остается неизменной.

точке

Ь]

начинается

искривление оврага,

соответствии

этим меняется направление поиска,

длина шага сокращается.

Это

продолжается

до

точки

, где

овраг вновь

ста-

новится

прямолинейным. Шестнадцатая конфигурация характеризуется

рез-

ким

ростом результирующего шага,

но уже на 17-й

процедуре поиска вновь

об-

рывается.

На

рис. 135

изображен случай, когда

19-ю

конфигурацию можно найти

путем дальнейшего сокращения длины пробных шагов.

ситуации, показан-

ной

на рис. 135, это не

приводит

успеху

поиск считается законченным

после того,

как

длина пробного шага станет меньше заранее заданной вели-

чины.

данном

случае

эта

величина достигается после второго сокращения

длины шага

и Ь

самом

деле

является точкой минимума функции

с точ-

ностью

до

разрешающей способности.

Из

разобранного примера видно, насколько точно метод конфигураций

позволяет двигаться

по «оврагу» до его

«дна».

Характеристики этого метода

инвариантны

относительно масштаба измерений,

но,

конечно, зависят

от ве-

личины

пробного шага

скорости,

которой уменьшается

его

длина

при по-

иске

оврага.

Описанный

метод может быть применен для идентификации пара-

метров широкого класса моделей биологических систем, представ-

ляющих собой системы дифференциальных уравнений, в частности

нелинейных (см. Приложение).

Глава

Автоматизация биофизических исследований

1. Общие вопросы

Автоматизация эксперимента

применением средств вычислитель-

ной

техники

—

одно

из

важнейших условий эффективности

и ка-

чества

труда

научного работника. Возникновение проблемы авто-

матизации научных исследований

широком смысле является

ло-

гическим развитием науки

на

современном этапе. Исследователю

приходится вторгаться

во все

более сложные взаимосвязи

природе,

изучение которых ставит задачи повышения чувствительности

точности анализа (находящихся

за

пределами собственных возмож-

ностей метода); обеспечения

все

более высокой скорости регистра-

ции

параметров изучаемых процессов; резкого увеличения комплекс-

ности анализа

расширением числа

регулируемых,

контролируемых

измеряемых параметров; расширения диапазона

их

измерений.

Соответственно этому возрастает сложность обработки, адекватного

отображения

интерпретации данных эксперимента.

Биологические методы

как

источник первичной информации

их аппаратурная реализация постоянно совершенствуются. Однако

принципиальным

путем

решении вопросов дальнейшего развития

уровня биофизических исследований является развитие

примене-

ние

автоматизированных диалоговых систем

на

основе

ЭВМ с при-

влечением современных математических методов «восстановления»

экспериментального сигнала, расчета числовых параметров, харак-

теризующих изучаемый объект, оперативного сравнения получен-

ных данных

характеристиками математической модели.

На

ЭВМ

также

могут

быть возложены такие функции,

как

конт-

роль параметров

управление установкой; непрерывный контроль

308

состояния

регулирование воздействий

на

изучаемый объект

как по

заранее заданной схеме,

так и в

зависимости

от

получаемых

ходе

эксперимента результатов; проведение измерений; сбор, накопле-

ние

хранение данных;

их

обработка, обобщение

оперативное

ото-

бражение; документирование полученных данных

и их

архивиза-

ция.

Таким

образом, создание

применение систем автоматизации

приводит

не

просто

дальнейшему совершенствованию биофизи-

ческих методов,

является принципиально новым шагом

в их

развитии, обеспечивающим проведение экспериментов

получение

информации,

недоступной

при

постановке экспериментов

на

осно-

ве традиционных подходов.

Качественно новое следствие автоматизации научных исследова-

ний

заключается

в том, что

включение

эксперимент

ЭВМ

дает

воз-

можность использовать

процессе исследования высокоэффектив-

ные методы численного анализа.

Это, в

свою очередь, позволяет

изу-

чать гораздо более сложные явления

и, что

наиболее важно, ставить

такие эксперименты

развивать методы исследования, которые

без

ЭВМ принципиально невозможны.

Интенсивное

развитие работ

по

внедрению

ЭВМ в

научные

ис-

следования

последние годы обусловлено

не

только необходимо-

стью

обеспечения качественно нового уровня экспериментальной

работы,

но и

возможностями, открывающимися

связи

увеличе-

нием

промышленного выпуска, снижением стоимости

габаритных

размеров

ЭВМ.

Развитие вычислительной техники привело

к зна-

чительному увеличению быстродействия, памяти, надежности

ЭВМ.

Электронные вычислительные машины стали более гибкими,

при-

спосабливаемыми

различным задачам

«коммуникабельными»

человеком. Разработаны перспективные методические основы созда-

ния

систем

ЭВМ —

экспериментальное оборудование, основанные

на

унифицированных модульных

структурах

аппаратного

програм-

много обеспечения, гарантирующих преемственность, развитие

интеграцию отдельных подсистем

крупные единые комплексы.

2. Алгоритмические модели биофизического исследования

Целью любого научного исследования является отнесение объекта

исследования

известной модели, совершенствование

ее или

постро-

ение новых моделей, отражающих свойства реального объекта

путем

сопоставления данных теории

эксперимента.

В процессе исследования принимают

участие

исследователь,

объ-

ект исследования

средства исследования

(рис. 136). Все эти сос-

тавляющие

процессе исследования находятся

состоянии взаи-

модействия

информационного обмена.

В наиболее общем виде процесс биофизического исследования

можно представить

виде алгоритма, приведенного

на рис. 137.

Степень подробности алгоритма

процессе развития модели иссле-

309

дования

увеличивается. Так, на рис. 138 и 139 приведены обобщен-

ные

алгоритмы теоретической и экспериментальной стадии исследо-

вания.

Конечной целью развития алгоритма исследовательского

процесса является уточнение и увеличение степени подробности со-

вершаемых действий до описания неделимых элементарных опера-

ций.

Представление процесса исследования в виде алгоритма после-

довательных действий имеет принципиальное значение для решения

вопроса о возможности его автоматизации. Рассмотрение алгорит-

мизированного

процесса научного исследования позволяет выде-

лить ряд этапов, связанных

между

собой, причем выходная

инфор-

мация

одного этапа служит входной информацией другого. К осо-

бенностям

исследования, с точки зрения автоматизации,

следует

от-

нести

цикличность

отдельных стадий процесса и его

разветвленность.

Ветвление алгоритма, как правило, проводится в блоках принятия

решений

(ромбы на рис.

137—139),

относящихся к неформализуемым

этапам,

в проведении которых принимает активное участие исследо-

ватель. Выполнение этих этапов в значительной мере зависит от быс-

трого и удобного для восприятия представления данных.

Общей характерной особенностью научных исследований (к при-

меру, в отличие от технологических процессов) является

итерацион-

ный

характер

уточнения

модели

в процессе все более глубокого

йсследобатель-

биофизик

Информация

Средстда

исследования

(теоретические

или

экспериментальные)

Информация

Объект

исследований

(биофизический

процесс

или

ядление)

Рис.

136. Основные составляющие

биофизического исследования

Рис.

137. Обобщенный алго-

ритм биофизического исследо-

вания

Постановка

проблемы

Теоретически

стадия

нет

Зксперименталь

ноя

стадия

нет

Конец,

310