Щелкачев В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

При п - 1 величина А р (0, t ) представляет собой, как это

следует из условия (6.53), постоянное понижение давления на

стенке галереи, т.е. на границе прямолинейно-параллельного

потока.

Формула (6.57) совпадает, как и следовало ожидать, с форму

лами (6.13) и (6.29).

2 случай. Применительно к плоско-радиальному потоку пола

гаем в формуле (6.48) а = 1 :

: 2 ( - 2

Ар (£,t ) = Cts е 4k'v ,v + 1,1;/

! 4 к /

(6.58)

При переходе к более частному случаю, когда .v = л, где п

есть любое положительное целое число или нуль, оказывается

ложным ВГФ И рода выразить через введенную автором в статье

! 7C5j новую трансцендентную функцию — СКИП-функцию I ро-

I.: см. формулу (П. 392):

" I ' 1 - ' (6.59;

\ читывая равенство (6.59), переписываем формулу (6.58);

Ар (t„t) = Ctr фп — - j, « = 0,1,2, Л. (6 6()^

Сопоставление формул (6.52) и (6.60) особенно наглядно

.; о каз !.;вает необходимость введения новых трансцендентных фун

кций — СКИП-функций фл, которые для плоско-радиальных

<к;: оков играют такую же роль, как введенные Хартри функции

I'vrfc для прямолинейно-параллельных потоков.

Пользуясь законом Дарси, величину расхода жидкости

Q t ) через боковую цилиндрическую поверхность £, = const в

условиях плоско-радиального потока можно подсчитать по формуле

(6.61)

где Ъ — высота выделенного цилиндра, равная толщине потока.

Подставляем значение Ар из (6.60), учитывая (6.45):

Q ^ t ) = - v 2 n \ b C t 3 w

Используя формулу (П. 380), выражающую производную от

СКИП-функции I рода <рл через СКИП-функцию II рода \\г п, из

равенства (6.62), получаем:

Q(^t) = Ctn

4nbk

М-

( Ь2 \

4 к t

(6.63)

Задаемся таким граничным условием для плоско-радиального

потока, считая дебит стока Q выражающимся одночленной степен

ной функцией времени:

Q(0,t) = Q*tn, п = 0,1,2,3...

(6.64)

где Qn — заданная постоянная величина, размерность которой за

висит от п.

Полагая | = 0 в формуле (6.63) и учитывая граничное условие

(6.64) и первое равенство (П. 385), получаем:

Q*tn = Ctn

ЛпЬк

цл! ’

откуда

С =

QnHnl

4nbk

(6.65)

Подставляем значение С из равенства (6.65) в формулы (6.60)

и (6.63), учитывая еще (6.64):

ЛжЬк Чп

4 к t

(2(0, Пип!

АкЬк

4 Kt

(6.66)

Q(Z,t) = QZt'ln!y,

4 к t

= Q(0,t)n !\|/„

4 к t

(6.67)

При /г = 0 из формул (6,66) и (6.67) получим, принимая во

внимание равенства (П. 361) и (П. 366):

ГДе Q о — постоянный дебит стока, расположенного в начале коор

динат.

Как и следовало ожидать, формулы (6.66) и (6.67) совпадают

соответственно с формулами (4.154) и (4.155), а формулы (6.68) и

(6.69) совпадают соответственно с формулами (4.14) и (4.20),

выведенными иными способами.

3 случай. Применительно к радиально-сферическому потоку

полагаем в формуле (6.48) а = 2 :

Перейдем к более частному случаю, когда s равно любому

положительному целому или полуцелому числу, включая нуль, т.е.

примем, что

Тогда входящую в формулу (6.71) ВГФ II рода оказывается

возможным заменить более простой трансцендентной функцией —

см. равенство (П. 336); поэтому вместо формулы (6.70) получим:

V / л

(6.68)

(?(£.0 = С?ое_4к<,

(6.69)

Ap(%,t) = Ctse

п = 0, 1, 2, 3...

Если п = 0, то из формулы (6.72) следует:

^ Е ' V4Kf

Расход жидкости <2 ( ^» О через поверхность сферы радиуса £

с центром в точечном стоке определяется для условий радиаль

но-сферического потока на основании закона Дарси так:

* 4-fc2i M (6.74)

Основываясь на формулах (6.72) и (6.74) и учитывая равенство

(П. 39), получаем:

На основании формулы (П. 33) последнее равенство можно

переписать в более упрощенной форме:

<6-75)

<2(!,П = 8Ся-7к7е ***.

Полагая в последней формуле \ = 0 и обозначая дебит точечного

стока через Qc, определяем величину С:

с = _О сМ _ (6.76)

8 7Г Л: vKt

Величина С должна быть постоянной. Поэтому дебит Qc

точечного стока приходится считать в условиях данного частного

случая (когда п = 0) прямо пропорциональным VF. В полном

согласии с обозначениями формулы (4.110) примем:

dQe = Qbt*. (6.77)

С учетом равенств (6.76) и (6.77) формулы (6.73) и /6.75)

принимают вид: '

G(S,n=e <6'79>

Две последние формулы совпадают, как и следовало ожидать,

с ранее выведенными формулами (4.193) и (4.194).

Для каждого из рассмотренных трех простейших одномерных

потоков роль функции /, входящей в формулу (6.44) и в

сопряженное обыкновенное дифференциальное уравнение (6.46),

играют при 5 = 0 следующие функции:

( 62 V

erfc

V4 Kt 1

-E i

1 1

4 к t

s ' ^ T & r -

При t 0 величины всех трех перечисленных выше функций

стремятся к нулю, т.е. решения (6.57), (6.68) и (6.78) дифферен

циального уравнения (6.42) удовлетворяют начальному условию

(6.43).

При а = 1, т.е. при условиях плоско-радиального потока,

дифференциальное уравнение (6.46) совпадает с уравнением

(П. 372), которому удовлетворяют СКИП-функции <р 0, ф х, ф 2.

Использование СКИП-функций при исследовании плоско-радиаль

ных потоков было проведено в § 4 главы 4 — см. формулы

(4.154)-(4.156).

Примечание I. Может возникнуть совершенно естественный

вопрос: почему при отыскании решения уравнения пьезопроводно

сти (6.42) в равенстве (6.44) аргумент искомой функции / был

принят равным а не как это было в формулах (6.6),

(6.15), (6.35) Коши, Хартри, Рибо? Следует напомнить, что в § 4

главы 5 при решении дифференциального уравнения расхода

аргумент искомой функции F также был выбран равным а

к г

не

vA?

При принятом в равенствах (6.44) и (5.35) выборе аргумента

искомых функций, т.е. с учетом

w = , — ,

4 Kt

были получены сопряженные обыкновенные дифференциальные

уравнения (6.46) и (5.37), которые стандартной процедурой приво-

дились к вырожденным гипергеометрическим уравнениям и реша

лись с помощью ВГФ II рода для любого одномерного потока в мно

гомерном пространстве, т.е. при любом целом положительном зна

чении а, включая нуль.

Если в решении (6.44) уравнения пьезопроводности (6.42)

принять, что

* = - Д - (6-80>

V4 Kt *

то вместо (6.46) сопряженное обыкновенное дифференциальное

уравнение было бы таким:

w//' + ( <х + 2 w 2 )fs' (w ) - 45 wfs (w ) = 0. (6.81)

Уравнение (6.81) менее удобно, чем уравнение (6.46), для

использования стандартной процедуры его сведения к вырожден

ному гипергеометрическому уравнению в общем случае, когда а

может быть любым целым положительным числом. Однако в

некоторых частных случаях уравнением (6.81) пользоваться удобно.

Пусть, например, а = 0, что соответствует прямолинейно-парал-

лельному потоку, и пусть еще 5 = 0. Тогда уравнение (6.81)

принимает вид

//'(w) + 2w//(w) = 0. (6.82)

Уравнение (6.82) совпадает с уравнением (П. 43), которому при

п = 0 как раз удовлетворяет дополнительная функция ошибок

erfc w, входившая в соответствующую формулу (6.57).

Пусть а = 2, 5 = 0, что соответствует радиально-сферическому

потоку. Тогда уравнение (6.81) принимает вид

W//' ( W ) + 2 (1 + W 2 )/,' ( w) = 0 . (6.83)

Легко проверить, пользуясь формулами (П. 27), (П. 33), (П. 39),

что уравнению (6.83) удовлетворяет функция -^ierfcw, входившая

в формулу (6.78).

Только что приведенные выводы подтверждают, что для

одномерных потоков в пространствах нечетного числа измерений,

т.е. при а = 0, 2, 4,..., аргументами соответствующих трансценден

тных функций оказывается величина —. Для одномерных

потоков в пространстве четного числа измерений, т.е. при

а = 1, 3, 5,..., аргументами соответствующих трансцендентных

функций оказывается величина

4 к t

П римечание II. В главе 3 были подробно исследованы

фундаментальные решения дифференциального уравнения пьезоп

роводности. Но там эти решения были приведены без вывода.

Легко обнаружить, что фундаментальные решения могут быть

получены типовым методом решения соответствующих автомодель

ных задач.

Действительно, проверим, что выведенное в процессе решения

автомодельной задачи обыкновенное сопряженное дифференциаль

ное уравнение (6.46) имеет следующее частное решение:

/ ,(w ) = C e -w, (6.84)

где С — постоянная величина

Подставив (6.84) в уравнение (6.46), в итоге получим, что должно

быть:

s--

1+<* (6.85)

С учетом равенств (6.84) и (6.85) решение (6.44) дифференци

ального уравнения пьезопроводности (6.42) принимает вид

A (6‘86)

где В — новая константа.

Формула (6.86) совпадает с формулой (3.26), представляющей

собой фундаментальное решение дифференциального уравнения

пьезопроводности, что и надо было обнаружить.

П римечание III. Дифференциальное уравнение (6.46) вто

рого порядка и его общее решение должно складываться из двух

линейно независимых частных решений. Однако в § 4 главы 5 по

поводу аналогичного дифференциального уравнения второго по

рядка (5.37) было доказано, что одно из линейно независимых

частных решений не имеет физического смысла — см. примечание

к формуле (5.47), так как величина входящей в него функции

неограниченно возрастает при w —> <». Совершенно аналогичное

заключение можно сделать и по поводу автомодельной задачи,

рассматриваемой в данном параграфе. Именно при f —>0, т.е. при

w оо, величины А/?(£»/) и f s(w) должны быть конечными.

Этому условию удовлетворяют найденные решения (6.47) и (6.48),

и этому условию противоречило бы второе линейно независимое

частное решение, которое поэтому и не рассматривается*.

Высказанные в данном примечании соображения объясняют те

факты, что во многих предшествующих параграфах в аналогичных

условиях не учитывались не имеющие физического смысла частные

решения дифференциальных уравнений.

Примечание IV. Многие свойства решений дифференци

альных уравнений пьезопроводности и расхода становятся особенно

понятными после проведения исследования особых точек сопря

женных дифференциальных уравнений.

Проведем, например, исследование особых точек уравнения

(6.46), сопряженного дифференциальному уравнению пьезопровод

ности (6.42). Перепишем уравнение (6.46) в таком виде:

Как известно —- см. [560], [389] — для регулярности особой

точки уравнения необходимо и достаточно, чтобы эта точка была

или же

fs"(w)+p(w)f/(w) + q(w)fs(w) = 0

(6.88)

где

(6.89)

См. еще подстрочное примечание при анализе формулы (6.17).

полюсом не выше первого порядка для коэффициента р (z) и

полюсом не выше второго порядка для коэффициента q (z).

Если судить по формулам (6.89), точка w = 0 является полюсом

первого порядка для каждого из коэффициентов p(z) и q(z).

Следовательно, точка w = 0 является регулярной особой точкой

для уравнения (6.88).

Для исследования бесконечно удаленной особой точки w = °о

необходимо преобразовать уравнение (6.88). Именно вводим новую

независимую переменную величину t, полагая

w=7 ’

(6.90)

Тогда будем иметь:

dt 1

d w

= -t\

^ = Л = 2 .з,

d w

(6.91)

df s df s dt 2 s

dw dt dw dt ’

d2f s d2f ,

dw2 dt1

dfs d2t i d2f s ,dfs

dt dw2 dt2 dt

(6.92)

С учетом соотношений (6.90) и (6.92) уравнение (6.87) можно

переписать так:

d2f s(t)

dt2

3 - а 1

2 1 t2

dfsm _s_

dt ( 3 / s l)

(6.93)

или же

dt‘

+P\(t)

(6.94)

где

P l (*) =

3 - a 1

2 1 t

2 ’

9 i ( 0 = - r3

(6.95)

На основании равенств (6.95) можно утверждать, что точка t = О

является полюсом второго порядка для коэффициента р \(t) и

полюсом третьего порядка для коэффициента qx ( t). Следователь

но, точка t = 0 не является регулярной точкой для уравнения

(6.93). Поэтому бесконечно удаленную точку w = <*> следует считать

иррегулярной точкой для уравнения (6.87). Итак, исследуемое

сопряженное уравнение (6.87) имеет две особые точки — одну

регулярную (w = 0) и одну иррегулярную (w = °о).

Известно — см. [560], [389], что обыкновенное линейное

дифференциальное уравнение второго порядка с переменными

коэффициентами принадлежит к уравнениям класса Фукса, если

все его особые точки суть регулярные точки. Следовательно,

сопряженное уравнение (6.87) не принадлежит к уравнениям класса

Фукса.

Точно таким же способом можно убедиться, что и уравне

ние (5.37), сопряженное дифференциальному уравнению расхо

да (5.35), также имеет две особые точки — одну регулярную

(w = 0) и одну иррегулярную ( w = °о ) (бесконечно удаленную

точку). Следовательно, и уравнение (5.35) не принадлежит к

уравнениям класса Фукса*.

§ 5. Вывод формул, характеризующих неустановившиеся

потоки жидкости к прямолинейной галерее

при простейших зависимостях ее дебита от времени

Описанное в § 2 данной главы решение Хартри позволяет очень

просто вывести формулы, характеризующие неустановившиеся

прямолинейно-параллельные потоки жидкости к галерее, когда ее

дебит выражается одночленной степенной функцией времени.

Используя решение Хартри, надо сначала сделать такую

оговорку: под дебитом галереи следует понимать величину расхода

жидкости только через одну ее стенку, так как используемое

решение относится к полубесконечному, а не к бесконечному

пласту, т.е. считается, что прямолинейная галерея ограничивает

пласт с одной стороны и потому жидкость притекает к галерее

только через одну стенку.

Заметим, что таким же свойством (наличием одной регулярной точки и одной

иррегулярной бесконечно удаленной точки) обладает рассмотренное в Приложении

вырожденное гипергеометрическое дифференциальное уравнение Куммера (П. 287).

Наоборот, гипергеометрическое уравнение Гаусса (П. 284) имеет три особые точки,

причем все они регулярные, т.е. оно принадлежит к уравнениям класса Фукса.