Щелкачев В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Часть 1
Подождите немного. Документ загружается.
Эту оговорку надо иметь в виду при сравнении с решениями
задач, в которых прямолинейная галерея рассматривается в беско
нечном пласте, когда жидкость к ней притекает с двух сторон.
Естественно, что дебит галереи при двухстороннем притоке к ней
жидкости получается (при прочих равных условиях) вдвое большим,
чем при одностороннем притоке.
На основании формулы (6.24) можно, например, утверждать,
что расход жидкости Q с (t) через стенку галереи должен быть
постоянным при п = 1, а при п = 3 выражается одночленной
функцией времени первой степени, а при п = 5 — одночленной
функцией времени второй степени.
Рассмотрим подробнее пока эти 3 частных случая.
I частный случай: п = 1.
В этом случае из формулы (6.24) была получена формула (6.27).
Для лучшего согласования с последующими случаями обозначим
через Qo постоянную величину дебита галереи Qc. Тогда из
формулы (6.24) или (6.27) получим:
Подставим найденное значение постоянного коэффициента D
из равенства (6.97) в формулы (6.19), (6.23), (6.20), (6.22), (6.25)
для определения в любой момент t соответственно понижения
давления Ар (i„t) в любой точке пласта на расстоянии ^ от
прямолинейной галереи, понижения давления Ар с (t) на ее стенке,
расхода жидкости Qi^t) через сечение пласта ^ = const, объема
жидкости V ( t\ перетекшего через это сечение за время t, объема
жидкости Vс ( t\ перетекшего за это же время через стенку галереи:
Qc = Qo=const1
(6.96)
ко
(6.97)
(6.98)
(6.99)
Qa,t) = Q*0e r fc ^ ,
V(l,t) = 4Q*0ti2erfcj=^,
(6.101)
Ve(t) = Q'0t.
(6.102)
При окончательной форме записи этих формул были учтены
соотношения (П. 9) и то, что
Итак, при постоянном дебите галереи понижение давления на
ее стенке пропорционально VF, а объем жидкости, притекшей к
ней за время t, пропорционален t (как при постоянном дебите и
следовало ожидать).
II частный случай: п = 3.
В этом случае, как это следует из формулы (6.24), дебит
Qc(t) галереи линейно зависит от времени t. Эту линейную
зависимость запишем так:
Сравнивая формулу (6.24) с равенством (6.104), определяем величи
ну постоянного коэффициента D:
Поступая, как и в предыдущем случае, т.е. подставляя найденное
выражение D из равенства (6.105) в перечисленные там формулы
(6.19)—(6.25), получаем, учитывая еще соотношения (П. 6), (П. 36)
и (6.103):
Qc(t) = QU,
(6.104)
где Q I — постоянная величина, размерность которой равна
(6.105)
к а
(6.107)
Q(Z,t) = 4QUi2e ifc^ j
(6.108)
V(l,t)=l6Qlt2i*erfc^ T,
(6.109)
Vc(t) = ±Q\t2.
(6.110)
Следует отметить, что статья О. Н. Харина [617] была спе
циально посвящена решению задачи о работе прямолинейной
галереи с дебитом, линейно зависящем от времени. О.Н. Харин
решил эту задачу, не зная о работе Хартри, совершенно другим
методом и, очевидно, поэтому не заметил, что понижение
давления Ар (%,t) весьма просто выражается с помощью табу
лированной функции i3erfc, как это представлено в выведенной
здесь формуле (6.106). В статье [617] получена гораздо более
громоздкая формула, которая может быть получена из (6.106),
если выразить функцию i3 erfc через i erfc и экспоненциальную
функцию.
В статье Ю. П. Борисова [81] также исследовалась работа
прямолинейной галереи с переменным дебитом. Автор, очевидно
не зная работы Хартри, получил лишь приближенное решение
задачи, тогда как с помощью решения Хартри можно получить
точное и простое решение, использовав лишь табулированные
функции, как это очевидно и на примерах трех случаев, исследуемых
в данном параграфе. В § 2 Приложения указаны многие справоч
ники, в которых входящая в решение Хартри функция iп erfc
подробно табулирована, причем в некоторых справочниках от п = 0
до л = 11.
III частный случай: п = 5.
При п = 5 из формулы (6.24) получаем, что дебит скважины
выражается одночленной функцией второй степени от времени.
Эту зависимость дебита от времени запишем так:
Qc(t) = Qit2, (6.111)
где Q 2 — постоянная величина, имеющая размерность
L 3
Г 3
Сравнивая формулу (6.24) с равенством (6.111), определяем
величину постоянного коэффициента D:
6 4 0 ^ 7 к (6.112)
к а
Подставляя найденное значение D в формулы (6.19)-(6.25),
получаем, учитывая соотношения (П. 6) и (П. 36) и выражение
коэффициента пьезопроводности к из равенства (6.103):
, 64esjn / ir s (6.113)
Д/>(§,*) =
---------------
1 л 1 3 erfc -гг ,
^ к о V4 к t
(6.114)
1 5 ^ к о *
Q{%,t) = 32Q-2t2i * e r f c (6Л15)
V ( % , t ) = m Q * 2 t 3 i 6 e ' f C j ^ , ( 6 1 1 6 )
Vc(t) = ^Qlt3. (6Л17)
Сопоставляя родственные формулы, полученные в каждом из
трех рассмотренных частных случаев, легко подметить характери
зующие их обшие закономерности.
Рассмотрим более общий случай, когда дебит галереи выража
ется какой угодно одночленной целостепенной функцией времени;
для этого в формуле (6.24) надо принять, что п — любое нечетное
число, т.е.
л=2А.+ 1, Л = 0, 1,2... (6.118)
Тогда, учитывая еще соотношение (П. 5), будем иметь:
О m
_____
Pkjs
___
х (6.119)
Приняв новое обозначение
, Рка Рка (6.120)
22X+lT(X+l )jiVic _22Х + 1Х!ц7к’
получим:
Qc(t) = QUk, Я. = 0,1,2... (6.121)
22X + 1 М (К цт/к (6.122)
Р =
ко
гДе Qx — постоянная величина, имеющая размерность
Подставляя найденное выражение постоянного коэффициента
D из равенства (6.122) в формулы (6.19)-(6.25) и учитывая
соотношения (П. 6) и (П. 36) и выражение коэффициента пьезоп
роводности из равенства (6.103), получаем:
2гх+' Q{\l4k 1 х и , W 1 £
(2 ^ + 1)!! VtTko
(6.127)
где X = О, 1, 2 символ двойного факториала соответствует про
изведению всех нечетных чисел от 1 до того числа, около которого
стоит этот символ.
Перейдем к еще более общему случаю, когда дебит окружной
галерей выражается с помощью такого многочлена:
где Q о, Q1 , Qi ,••• Q х — постоянные размерные величины и X —
любое целое положительное число.
Учтем, что основные дифференциальные уравнения упругого
режима (уравнения пьезопроводности и расхода) линейные. Поэтому
справедлив принцип суперпозиции решений этих уравнений.
Выше были получены решения дифференциального уравнения
расхода, когда дебит окружной галереи выражался одночленными
степенными функциями. Поэтому, исследуя теперь более общий
случай, когда дебит галереи задан равенством (6.128), можем
утверждать, что в этом случае решение задачи получится как
сумма ранее найденных решений, т.е., например, формулы для
определения понижения давления А р (^ t) в любой точке пласта,
х
Qc(t) = Ql + Q\t + Q*2t2+... + Qit>- = Y,Qjti, (6.128)
на стенке галереи А р c(t) и расхода жидкости Q ( / ) через
сечение пласта % = const (параллельное галерее) примут такой вид:
j = 0
Если дебит галереи задан как функция времени с помощью
какой-либо эмпирической зависимости или графиком, то с любой
степенью точности можно поинтервально выразить эту зависимость
многочленом вида (6.128) и, следовательно, использовать для
практических расчетов формулы (6.129)—(6.131).
(6.129)
(6.130)
(6.131)
УЧЕТ НЕУСТ АН ОВИВШЕГОСЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПРОСТЕЙШИХ
СТОКОВ, ИСТОЧНИКОВ И ИЗМЕНЕНИЙ РЕЖИМОВ ИХ РАБОТЫ;
ОКРУЖНЫЕ И ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ БАТАРЕИ
И ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД К ГАЛЕРЕЯМ
§ 1. Замечания по поводу метода суперпозиции
Выведенное в § 5 главы 1 основное дифференциальное урав
нение движения упругой жидкости в упругой пористой среде —
уравнение пьезопроводности — является линейным дифференци
альным уравнением. Известно, что применительно к линейному
дифференциальному уравнению возможно использовать метод
суперпозиции его решений, т.е. метод наложения решений, каждое
из которых удовлетворяет не только этому уравнению, но и
начальным и граничным условиям.
Так, например, допустим, что известно решение дифференци
ального уравнения пьезопроводности применительно к плоской
задаче о включении в какой-то момент стока в какой-то точке
неограниченной плоскости, считая поле давлений невозмущенным
в начальный момент. Решение уравнения пьезопроводности опре
деляет понижение давления в любой момент и в любой точке
плоскости мосле включения (пуска) стока. Если был включен не
один, а несколько стоков, включавшихся при тех же условиях в
разные моменты и в разных точках плоскости, то понижение
давления в нсустановившсмся процессе взаимодействия стоков
может быть найдено как сумма понижений давления, вызванных
включением одиночных стоков. Если включаются и стоки и
источники, то алгебраически складываются понижения и повышения
давлений.
В следующих параграфах будет показано применение метода
суперпозиции к исследованию не только взаимодействия (интер
ференции) стоков и источников, но применение этого же метода
и к тем случаям, когда одиночный сток или источник, проработав
некоторое время на одном режиме (например, при постоянном
дебите), затем переходит на другой режим работы — с иным
дебитом.
Пользуясь выведенными в предыдущих главах формулами,
можно рассматривать взаимодействие мгновенных или непрерывно
действующих стоков и источников, причем как с постоянными, так
и непрерывно меняющимися дсбитами. Стоки и источники можно
рассматривать и как плоские и пространстве (линейные на
плоскости), и как линейные в пространстве (точечные на плоскости),
и как точечные в пространстве.
Для иллюстрации и понимания использования метода суперпо
зиции в данной главе ограничимся исследованием взаимодействия
лишь точечных стоков и источников на плоскости (т.е. линейных
стоков и источников в пространстве).
В последующих главах будет выяснено, при каких ограничениях
и оговорках выведенные здесь формулы могут быть использованы
при работе не только точечных стоков и источников на плоскости,
но и при работе добывающих и нагнетательных скважин конечного
радиуса, причем не только считая пласт бесконечным, но и в
пластах конечных размеров с заданными условиями на внешних
границах (т.е. в пластах открытых и закрытых).
§ 2. Учет влияния остановки стока или источника
Допустим, что в некоторый момент, принимаемый за начальный
(t - 0), точечный сток на плоскости мгновенно был включен в
работу сразу с постоянным дебитом Qj. Затем в момент tj работа
стока была прекращена, т.е. в этот момент дебит стока мгновенно
стал равным нулю.
Предполагается, что в начальный момент поле давлений было
невозмущенным на всей плоскости, т.е. во всех точках плоскости
было одно и то же начальное давление р0. Требуется определить
понижение давления Ар = (р0-р) в любой точке плоскости в любой
момент t > t[ .
Обозначим через Ар ' понижение давления, которое получилось
бы, если бы включенный в начальный момент сток все время
работал, причем без остановки, с постоянным дебитом Qh
Мысленно далее допустим, что в той же точке плоскости, в
которой расположен сток, с момента tj начал работать еще
источник с таким же дебитом Qy. Повышение давления в
какой-либо точке плоскости в момент t (считая вызванное
только пуском источника, будем обозначать через Ар". Предпо
лагается, конечно, что величина Ар" определяется совершенно
независимо от работы стока, т.е. как будто бы в момент tj давление
на всей плоскости было невозмущенным, и с этого момента работает
только один источник.
Итак, мысленно следует представить, что с момента tt в одной
и той же точке плоскости работают сток и источник с одинаковыми
дебатами Qj. Так как в одной и той же точке поглощается столько
же жидкости (за счет работы источника), сколько се извлекается
(за счет работы стока), то фактический отбор жидкости в этой
точке с момента tj прекращается (дебит обращается в нуль), как
и должно быть по условию задачи.
Фактическое понижение давления Ар в какой-либо точке
плоскости в момент t>t{ определяется по методу суперпо
зиции так:
Используя для подсчетов величин Ар' и Ар" формулу (4.14)
или такую же формулу (6.68); получим, сохраняя обозначения,
поясненные в главах 4 и 6:
Следует отметить, что используемые здесь формулы (4.14) и
(6.68) были выведены применительно к плоско-радиальному при
току жидкости к стоку в пласте толщиной «Ъ». Поэтому величину
Qi в формуле (7.2) следует, строго говоря, считать не как дебит
точечного стока па плоскости, а как дебит лилейного стока длины
«Ь». Так же точно величину А/; следует считать как понижение
давления, приведенного к кровле пласта.
§ 3. Учет влияния изменения дебита стока или источника
Сохраним те же условия, какие были сформулированы в начале
предыдущего параграфа, но только будем считать, что в момент
tj сток (включенный в начальный момент t = 0 с постоянным
дебитом Qj) не останавливается, а его дебит мгновенно уменьшается
с величины Qj до Q2.
Требуется определить понижение давления в любой момент в
любой точке плоскости.
Сформулированную задачу также легко решить по методу
суперпозиции. Для этого будем предполагать, что дебит Qt стока,
включенного в начальный момент t = О, будет сохраняться и после
момента th Кроме того, мысленно допустим, что на месте стока
с момента tj начинает работать еще источник с дебитом
(Qi - Q2) . Итак, оказывается, что с момента tj в одной и той же
точке плоскости жидкость отбирается с дебитом QJt а поглощается
Ар = Ар ' - Ар " .
(7.1)
4к (t-t i)
(7.2)