Щелкачев В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Часть 1
Подождите немного. Документ загружается.
В совместных статьях Г. П. Гусейнова, А. И. Гусейно
ва, М. Н. Велиева и Ю. Г. Керимова [223], [227], [237], [238]
решены многие различные задачи о работе батареи скважин,
например расположенной вдоль дуги окружности, скважин, гидро
динамически не только совершенных, но и несовершенных, наклон
ных; в одной из задач учтена проницаемость кровли и подошвы
пласта при работе окружной батареи скважин.
§ 8. Окружная батарея мгновенных стоков
Рассмотрим процесс перераспределения давления после пуска
окружной батареи мгновенных стоков. Полностью сохраняются все
условия, оговоренные в начале предыдущего параграфа, но только
принимается, что в момент t - 0 начали работать не непрерывно
действующие стоки, а подействовали мгновенные стоки, распо
ложенные окружной батареей; сохраняется картина, изобра
женная на рис. 7.3.
На плоскости стоки считаются точечными. В условиях про
странственной задачи стоки надо принимать линейными, неог
раниченной длины и расположенными на одинаковых расстояниях
друг от друга вдоль образующих на боковой поверхности
цилиндра.
Применительно к задачам фильтрации в горизонтальном
пласте толщины «Ь», перекрытом и подстеленном непроница
емыми кровлей и подошвой, будем считать прямолинейные
стоки, расположенными перпендикулярно к кровле и подошве
(т.е. вертикально) и имеющими в пласте длину «Ь». Рис. 7.3
можно рассматривать как одно из горизонтальных сечений
пласта.
Предполагается, что каждый сток мгновенно отобрал из
пласта в начальный момент количество жидкости объемом У ж.
Понижение давления Ар в какой-либо точке М с полярными
координатами (г,0) в любой момент t после пуска в на
чальный момент мгновенных стоков можно в условиях данной
задачи определить по формуле (3.29)', используя метод супер
позиции:
Л - й (7-35)
Ар=щ ( ^ е •
V = 1
Учтем известное разложение в ряд экспоненциальной функции:
~*5 . 1 rl 1
e =1-T T T S-2T
r
4kt
a !
- • = 1
o = 0
Подставим (7.36) в (7.35):
у (-1V
4 n b k ta ! "
o = 0 v = 1
4tf
(7.37)
По поводу формул (7.35) и (7.37) можно сделать замечания, ана
логичные тем, какие были сделаны в предыдущем параграфе по
поводу формулы (7.17). Именно формулой (7.35) пользоваться столь
же неудобно, как и формулой (7.17). Чтобы избежать этих неудобств,
п
можно для определения суммы использовать либо равенство
V = 1
(7.22), справедливое в наиболее общем случае, либо равенство (7.24),
справедливое лишь при a < п . Как уже упоминалось, равенство (7.22)
более громоздкое и поэтому воспользуемся для подстановки в фор
мулу (7.37) равенством (7.24):
n-F [I
(r2 + Rl)
2\а-2Х 2\
а = 0Х = О
Х\2(с-2Х) ! (4к*)° *
(7.38)
Формулу (7.38) приходится считать приближенной, так как в ней
суммирование по а ведется лишь до (п - 1), тогда как в формулах
(7.36) и (7.37) это же суммирование проводится доо = ~.
Обращает на себя внимание тот факт, что в правую часть
равенства (7.38) полярный угол 0 не входит, а входит лишь
радиус-вектор г точки М. По поводу аналогичного факта в
предыдущем параграфе уже давалось пояснение при анализе вывода
приближенной формулы (7.29) (в правой части этой формулы
полярный угол 0 не входил в выражения членов ряда, но входил
в аргумент первого логарифмического члена). Конечно, понижение
давления Ар в какой-либо точке должно, строго говоря, зависеть
от обеих полярных координат г, 0 этой точки. Но ведь формула
(7.38) приближенная, справедливая при достаточно малых значениях
г 2 R2
величин и , т.е. при достаточно больших значениях времени
t. Этим и объясняется факт отсутствия полярного угла в правой
части приближенной формулы (7.38).
Для простоты использования формулы (7.38) сохраним в ней
первые 3 члена ряда:
Др =
4vbkt
r2 + R2 1 (r2 + R2)2 + (rR)2
4 к* + 2 (4к/)2
(7.39)
Если в формуле (7.39) ограничиться только первыми тремя или
первыми двумя членами ряда, то погрешность подсчета понижения
давления не превзойдет соответственно
0,2%, если ^ < 0 ,0 5 , ^ < 0 ,0 5 ,
0,6%, если ^ < 0 ,0 5, ^ < 0 .0 5 .
(7.40)
И по поводу условий (7.40) следует считать справедливыми те
же замечания, какие были сделаны в предыдущем параграфе по
поводу условий (7.31); кроме того, сохраняют справедливость и
общие замечания, сделанные в самом конце предыдущего параграфа.
Чтобы определить понижение давления в центре О окружной
батареи (рис. 7.3), следует положить гх =г2 =... rn = R и тогда из
формулы (7.35) получим результат, который заранее можно было
предвидеть:
-та (7.41)
&р=п . е
Anbkt
Конечно, это же равенство получится и из формулы (7.38),
если в ней положить г = 0 и учесть еще равенство (7.36).
§ 9. Предельный переход от непрерывно действующей
окружной батареи к непрерывно действующей
окружной галерее — поверхностному
цилиндрическому стоку
В § 1 главы 3 были даны пояснения, на основании которых
можно утверждать, что решение задачи о притоке жидкости к
линейному окружному стоку на плоскости эквивалентно решению
задачи о притоке жидкости к поверхностному цилиндрическому
стоку в пространстве.
Применительно к задачам подземной гидродинамики повер
хностный цилиндрический сток рассматривается в горизонталь
ном пласте конечной толщины, перекрытом непроницаемыми
кровлей и подошвой; ось цилиндрического стока перпендику
лярна к кровле и подошве (т.е. вертикальна), так что приток
жидкости к такому стоку прямолинейно-осесимметричный. Поэ
тому применительно к задачам подземной гидродинамики ок
ружной галереей называют боковую поверхность цилиндра, вы
сота которого равна толщине (мощности) пласта. Тот же термин
«окружная галерея» применяют и к линейному окружному стоку
на плоскости при решении плоских задач подземной гидроди
намики.
Все формулы, выведенные в данном и в двух последующих
параграфах, 10 и 11, заимствованы из статей автора [733] и
[738].
В § 7 была выведена приближенная формула (7.29) для
определения понижения давления в окрестности окружной ба
тареи непрерывно действующих стоков с постоянными дебитами.
При ее выводе были использованы равенства (7.20), (7.21) и
(7.24). Там же было упомянуто, что если бы вместо равенства
(7.24) было использовано более громоздкое равенство (7.22), то
была бы получена более общая, хотя и более сложная точная
формула. Итак, учитывая равенства (7.20), (7.21) и (7.22), пре
образуем формулу (7.19) к такому виду:
Ар = ~р~!т 4 In
_______
(4к*)п
__________
4nbk Г “ г 2" + R7/1 - 2rnR п cos/i (0 - а)
-п С +
ь м
а- 1
^ tr2 + R2)°-2X(rR)2X
х = о 0 2 (о - 2 А.)!
(7.42)
т\ = 1Х = л
(- l)x(r2 + R2)a-x(rR)xcosm (6- г
(X - Tin >
1
(X + г\п '
2
V J
2
\ /
где величина В определяется равенствами (7.22 а).
Формула (7.42) определяет понижение давления в окрестности
окружной батареи п непрерывно действующих стоков постоянной
производительности. Именно эта формула является точной и более
общей по сравнению с формулой (7.29).
Обозначим через Qr суммарный постоянный дебит всех п стоков
окружной батареи; тогда
О-Ян <7 -4 3 >
п '
Подставим это значение Q в равенство (7.42) и перенесем
величину п в знаменатель каждого слагаемого, заключенного в
фигурные скобки. Тогда, переходя к пределу при п «>, т.е.
переходя от окружной батареи п стоков к окружной галерее
(к окружному линейному стоку на плоскости) с дебитом Qn
получим, заменяя в левой части величину Ар на Арс (так будем
обозначать понижение давления в любой точке пласта после
пуска окружной галереи) и учитывая, что величина двойной
суммы, заключенная в фигурных скобках, обратится в нуль при
п = оо:
In [ г ^ + .R2,1 - 2r "R n cos п (9 - а) ]
-С э +
(7.44)
(- 1)
а - Л !
r* + R2)
2\ а - 2 К
№
2Х
, = 1а (4кО \=0 (X !)2 (ст - 2 X)!
Рассмотрим сначала случай, когда r<Rt т.е. когда точка, в
которой определяется понижение давления, расположена внутри
области, ограниченной окружной галереей или на самой галерее;
тогда получим:
In [ г 2,1 + .R2,1 - 2г " cos п (6 - а) 1
п
1п [ 1 00511
П
In R
2п
(7.45)
= ln R:
Если взять точку, расположенную снаружи от круговой окруж
ной галереи или на самой галерее, то будем иметь, что
г > R , — < 1 и тогда величина, стоящая в левой части равенства
(7.45), окажется равной In г2. Поэтому формулу (7.44) можно
переписать так, как это было выполнено в статье [733]’":
4Рг =
<2гЦ<
Anbk
+ R2)
2\ а-2Х
т
2\
(X!)2 (о — 2 X)!
(7.46)
ф = R2 при r<R,
ф = г2 при r>R .
(7.47)
Формулу (7.46) для определения понижения давления в
окрестности окружной галереи можно преобразовать, если из
двойной суммы выделить часть слагаемых и если еще логариф
мический член представить в таком виде:
, 4кt , 4к*
In — = In —:——г-
Ф (г2+ R2)
+ In
r2 + R‘
ЛРг =
QcV
4пЬк
In
4itf
r2 + R 2
-С э+ Х
0=1
Ы 1 !
а ■ а !
r2 + R
4кг
2 V
+
(7.48)
r2 + R2 y (-D q' ‘
Ф а^ 2о(4к*)°
r2 + R2)a-2X(rR)2X
Х= 1
(М )2(а-2 Х .)!
В первой строке последней формулы легко усмотреть сходство
с равенством (7.18), используемым для разложения в ряд интег
ральной показательной функции. Поэтому формулу (7.48) можно
переписать так:
*
В последующих главах будут иными методами выведены значительно более
простые формулы для определения понижения давления внутри и снаружи окружной
галереи (см., например, главы 10, 15, 16).
Л - M l
Anbk {
(-D
о - 1
-Ei
* ч
г 2 + Д 2 Л
4к*
, г 2 + Л 2
+ In
----------
+
Ф
+o? 2a(40)o
у ;r2 + R2)a~2X(rR)2X
(X!)2(a -2 X )!
Последовательно выписывая несколько членов ряда, получим
такую, более простую, запись последней формулы:
А _ Qr Ц J
~~ 4лМ |
-J2
r2 + R2 4
4к?
, rz + R2 I г 2R 2
- In
---------
--
- — T +
Ф
2 (4kS) :
1 (r2 + R2)r2R2 1 [2 (г2 + Д 2) 2 + (гЯ)21г2Д 2
+ 3 (4к?)3 16 (4k?) 4 +
(7.50)
Итак, формулы (7.46)—(7.50) позволяют определить понижение
давления в любой точке в окрестности окружной галереи, пущенной
с постоянным дебитом.
В формулах (7.49) и (7.50) ряд начинается с члена порядка
( £ ’
S 1
, тогда как в формуле (7.46) ряд начинается с члена порядка
4к*
. Поэтому если величина
4к*
может считаться малой, то
пренебрегать всеми членами ряда есть больше оснований в
формулах (7.49) и (7.50), чем в формуле (7.46).
Во всяком случае, в степенных рядах всех трех формул члены
расположены по мере убывания по степеням величин ^
4к*
что
представляет собой значительные преимущества по сравнению с
аналогичными формулами, приведенными на стр. 103—104 в книге
[661], даже для случая постоянного дебита круговой галереи.
1* 2 \ R .2
Если считать, что г » R и —:
-----
малая величина, а тем более
4 Kt
Г2 R 2
малой величиной будет —— ~, то из формул (7.49) и (7.50) для
(4к/) *
этих условий во внешней области получается, что
V
4к7
/
Конечно, при условии r»R совершенно нелогично было бы
(как это иногда практикуется) сохранять в аргументе интегральной
Из формулы (7.51) следует, что на больших расстояниях от
центра во внешней области окружной галереи понижение давления
оказывается приблизительно таким же, как если бы вместо
окружной галереи в ее центре действовал бы точечный сток с тем
же дебитом.
Если положить R = 0, т.е. вместо галереи рассматривать
точечный сток в ее центре, то, согласно равенствам (7.47), надо
принять ф = г 2; тогда из формул (7.49) и (7.50) вновь получится
формула (7.51), но уже как точное равенство.
Прежде чем перейти к выводу более частных формул для
определения понижения давления только в центре галереи или
только на ее стенке, следует заметить, что в левых частях всех
формул (7.44)—(7.51) можно было бы запись Арг заменить более
подробной записью Арг (г, t), подчеркивая этим, что все перечис
ленные формулы дают возможность определять понижение дав
ления в любой точке пласта и в любой момент времени, т.е. при
любых значениях ги /. Воспользуемся указанной более подробной
записью.
Для определения понижения давления в центре галереи надо
положить в формулах (7.49) и (7.50) г = 0и<р=Л2; тогда
получим
Эта формула (7.52) совпадает с формулой (7.33), полученной
для определения понижения давления в центре окружной батареи.
Формула (7.52) также имеет такой же вид, как формула (4.14)
для точечного стока на плоскости (прямолинейного в пространстве).
Т. е. оказывается, что в любой момент понижение давления в
центре окружной галереи или батареи такое же, как если бы в
любой точке на той же окружности был расположен точечный
сток с дебитом, равным дебиту галереи или батареи.
показательной функции величину —
rL
вместо -— .
4кt
(7.52)
Для определения понижения давления рсг на стенке самой
галереи следует принять г = R] тогда из формулы (7.49) получим:
-Ei
R
0 = 2
f / г 2 4
2Kt
№
2к1
+ In 2 +
_ 22 х (Я,!) 2 (о - 2 А.)
Х=1
т}-
(7.53)
Если в последней формуле выписать последовательно члены
ряда, то она примет вид:
-Ei
Л-
2кt
+ 1п2-
R2 Л2
4кt
R2)
з 9
4 И
4к*
\ )
16 4к*
V J
+ 30 4кi
Ч У
(7.53 бис)
При достаточно больших значениях времени t ряды, входящие
во многие из формул (7.42)—(7.53) и (7.53 бис), сходятся быстро;
наоборот, при малых значениях времени t те же ряды сходятся
медленно и соответствующие формулы оказываются неудобными
для подсчетов. В последующих главах будут выведены другие
формулы, которыми удобно пользоваться как при больших, так и
при малых значениях времени t. Кроме того, далее будут выведены
формулы не только для постоянного, но и для переменного дебита
окружной галереи.
§ 10. Предельный переход от окружной батареи
мгновенных стоков к окружной галерее — мгновенному
поверхностному цилиндрическому стоку
Применительно к окружной батарее мгновенных стоков можно
повторить точно такие же рассуждения, какие были приведены в
начале предыдущего параграфа по поводу окружной батареи
непрерывно действующих стоков. Поэтому, учитывая равенства
(7.20)—(7.22), преобразуем к такому виду формулу (7.37) для
определения понижения давления при работе окружной батареи
мгновенных стоков:
V У V У
где величина В определяется равенствами (7.22 а).
Обозначим через V г суммарное количество жидкости, мгновенно
поглощенное всеми п мгновенными точечными стоками в начальный
момент t = 0; тогда
Подставляя это значение У г в формулу (7.54) и переходя к
пределу при п —> «> от окружной батареи мгновенных точечных
стоков к включенной на мгновение окружной галерее, получим,
заменяя в левой части формулы (7.55) Ар на Арг и учитывая, что
величина двойной суммы, заключенная в фигурных скобках,
обратится в нуль при п = « :
В этой формуле V г — объем жидкости, мгновенно поглощенной
галереей в начальный момент.
Выделим часть слагаемых из двойной суммы:
иУж = У г.
(7.55)
Угц у (-1)° -Ь |г2+ ^ у - п (г/г)п (7.56)
41*к \=о (X !)2 (СТ-2Х)! ‘
4nbkt „(4к?) ° а!
о = 0 '