Щелкачев В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

А Р (х, s) =

Qc\x Ук <

2аА:

По таблицам найдем такое обратное преобразование Лапласа —

см., например, № 9 на стр. 483 [350], № 3.87 на стр. 153 [259],

№ 52 на стр. 585 [427]:

г-1

' 'Is

=2€1сгГсШ ‘ 2

-тег

(9.20)

где erfc и ierfc — символы дополнительной и интегральной допол

нительной функции ошибок — см. § 2 Приложения.

Учитывая формулу (9.20) и совершая в уравнении (9.19)

обратное преобразование Лапласа, получим:

. , .. . л

Д р (х, t) =

----

—— ierfc

Qc)i'lKt/'

V5Te ■

2VkT

(9.21)

Как и следовало ожидать, формула (9.21) совпала с формулой

(4.13), справедливой для случая непрерывно действующего с

постоянным дебитом прямолинейного стока на плоскости (для

прямолинейной галереи).

Рассмотрим новую задачу: допустим, что в начальный момент

прямолинейный сток был включен не с постоянным дебитом, а с

переменным, который выражается с помощью одночленной степен

ной функции времени:

(9.22)

где Q* — постоянная величина, размерность которой зависит от

значения числа п. Конечно, при п =0 имеем Q5 = const = Qc-

Тогда вместо равенства (9.16) получим:

2(5-

д Ар

дх

= -Qntn.

Подвергнем уравнение (9.23) преобразованию Лапласа:

2 а-

(dAP

п\&

Используя, как и в предыдущем случае, это условие для

определения коэффициента В, в итоге получим вместо (9.19) такое

равенство для определения изображения:

я!С2)1л/5Г -4*

(9.25)

Заметим, что существует такое известное обратное преобразо

вание Лапласа —см., например, № 11 на стр. 483 [350], № 54 на

стр. 585 [427]:

г-1

->lix

(9.26)

Это преобразование можно использовать, если п — любое

целое число (положительное, отрицательное или нуль).

Учитывая формулу (9.26) и совершая в уравнении (9.25) обратное

преобразование Лапласа, получим:

ДР(*,<> =

---------

‘ сгГс2 ^ ? =

= 2 » » ia ,.V ia „ 0.27)

2 Vic/‘

При п=0 равенство (9.27) сводится к (9.21).

Если дебит стока выражается с помощью такого многочлена:

(9.28)

Qc = Q'o + Q\t+Qlt2+-.. + Qntn = YJQUv,

v=0

то понижение давления будет определяться формулой

I— л

Д р (х, f) = Y, 22v V ! Q‘tv i2v*1 erfc

v=0

л:

2Vicif'

Чтобы определить понижение давления на стенке гале

реи, следует принять *=0. Тогда, например, из формулы (9.27)

получим:

Ар (0,0=-

п ! Qc V '{Kt

2Г

1 +

2п + 1

ак

(9.30)

Т.К.

i7/1 + 1 erfc 0 = -

I 2л + 1

1 +

2л+1

(9.31)

(см. равенство (П.36), где Г — символ гамма-функции; см. § 1 При

ложения).

Расход жидкости Q (х, f) в любой момент через сечение пласта,

параллельное стенке галереи, определится на основании формулы

(9.27) и с учетом равенства (П.40) так:

Q(x,t) = - ^ o ^ - = 22n-ln[Q*ntni7nc ric ^ . <9‘32>

Полагая в формуле (9.32) ;с=0, получим, как и следовало

ожидать, расход жидкости через каждую из двух стенок

галереи:

(9.33)

Формулы (9.27) и (9.32) совпадают с формулами (4.137) и

(4.138), выведенными другим способом.

Примечание. Формулы (9.21), (9.27) и (9.29) можно было бы

вывести и иным способом; покажем это на примере наиболее общей

формулы (9.29).

Понижение давления Ар (х, t) в любой момент после пуска

непрерывно действующего прямолинейного стока на плоскости с

дебитом Qc можно определить по формуле (4.4), полагая в ней

а = 0:

Li Vk" Г £ 4к (f f О

(9.34)

«'=о

Лlt-t'

Совершим над этим равенством преобразование Лапласа:

t'=t

1 <2 с(П-

r'=o

T-dt'

(9.35)

Чтобы выполнить преобразование Лапласа в правой части

равенства (9.35), воспользуемся известной из операционного

исчисления теоремой умножения изображений (т.е. теоремой Бореля

о свертке оригиналов). Тогда равенство (9.35) примет такой вид:

£ 1

-та

~1Г

(9.36)

Если учтем, что дебит стока определяется равенством (9.28),

то получим:

L[Qc(t)]=L

v=0

v!QC

(9.37)

. V+1

v=0

На основании равенства (9.14) имеем:

х2

'тг

(9.38)

Я •

Учитывая равенства (9.37) и (9.38), перепишем равенство (9.36):

* е

____

v ‘

Совершим в равенстве (9.39) обратное преобразование Лапласа,

т.е. перейдем от изображений к оригиналам:

Если в правой части равенства (9.40) осуществить обратное

преобразование Лапласа, используя формулу (9.26), то получим

формулу (9.29), что и требовалось доказать.

Применительно к плоской задаче подземной гидродинамики

будем рассматривать плоско-радиальный поток жидкости в

неограниченном пласте конечной толщины к гидродинамически

совершенной скважине «нулевого радиуса», т.е. к отрезку

прямолинейного стока, длина которого равна толщине

пласта (см. рис. 3.1). В плане будем иметь плоско-радиальное

движение жидкости к точечному стоку 0, как это было

изображено на рис.- 2.2а.

Рассмотрим сначала работу мгновенного стока, т.е. предполо

жим, что в начальный момент прямолинейный сток на участке

длины «Ь» мгновенно поглотил объем жидкости V ж. Поле давлений

в начальный момент было невозмущенным. Определим процесс

перераспределения давления после включения мгновенного стока.

Начало полярных координат поместим в точечном стоке на

плоскости.

Математическая постановка задачи будет такой: требуется

определить понижение давления Ар (г, t) в любой точке пласта,

положение которой определяется полярной координатой г в любой

момент t. Понижение давления должно удовлетворять дифферен

циальному уравнению пьезопроводности и условиям, аналогичным

тем, какие были отражены соотношениями (9.2)—(9.4). Именно:

п ~

L-l[AP(x,s)] = Ap(x,t) = ^ ^ v [Q * vL~l

-VT*i

(9.40)

v=0

§ 3. Точечный сток на плоскости

(прямолинейный в пространстве)

Эг2

, r>0,t>0,

Д р = 0 при t = О, О < г < оо,

(9.42)

Уж = 2лЬР*|гД р dr,t = 0,

(9.43)

Др = 0 при Г=<*>, 0<?<°о.

(9.44)

Подвергнем уравнения (9.41)—(9.44) преобразованию Лапласа,

обозначая через ДP(r,s) изображение функции Дp(r,t):

d2AP 1 dAP 1 . „

- . , +

----

— - — s АР,

dr2 r dr к

(9.45)

V , г

-^ = 2nb$'\rAP(r,s)dr,

s J

(9.46)

АР = О При /* = со .

(9.47)

Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения

(9.45), совпадающего с модифицированным дифференциальным

уравнением Бесселя (11.124), известно — см. П.125:

ДР (г, s)=AI0 (VFr]+в Ко (VI '•j,

(9.48)

где Iq и Kq —символы модифицированных функций Бесселя нуле-

вого порядка I й II рода (см. § 6 Приложения и примечание в конце

данного параграфа); Ли В — коэффициенты, которые могут зави

сеть только от параметра s.

Г л /Г \

Учитывая, что /0 \ к г —>00 при г— условие на беско

нечности (9.47) будет4 удовлетворено только в том случае, если

А=0.

Подставим величину АР из (9.48) в (9.46):

Уж

— = 2пЬ&В

S г

dr.

Из теории Бесселевых функций известно (см. формулу (И) на

стр. 87 [184]), что

2 1 1 2

Л/Г

Положим в этой формуле m = 2, л = О, а = ч к *х = г \

]гКоЫ^г)с1г = ^Г(1)Г(1) = ±.

(9.50)

тогда

(9.51)

Учитывая (9.51), из (9.49) найдем:

В =

Уж[1

2л Ь р* к 2п Ь к '

Подставим (9.52) в (9.48):

2л b к

(9.52)

(9.53)

Из операционного исчисления известно — см. формулу 111 на

стр. 589 [427], формулу (9.115) на стр. 224 [259] или формулу 23

на стр. 484 [350]:

VT'

Ко V*

1 -те

= 2/ 6

(9.54)

Поэтому, переходя в равенстве (9.53) от изображения к

оригиналу, получим:

4пЬ к t

что совпадает с фундаментальным решением (3.29) для плоско-ра-

диального потока к мгновенному прямолинейному стоку в простран

стве (а в условиях плоской задачи —к мгновенному точечному сто

ку на плоскости).

Допустим, что в начальный момент при тех же прочих

условиях включен не мгновенный, а непрерывно действующий

точечный сток на плоскости (прямолинейный в пространстве) с

постоянным дебитом Qc. Тогда в математической постановке

задачи сохранятся равенства (9.41), (9.42) и (9.44), а вместо

(9.43) должно быть справедливо следующее соотношение:

— 2 nrb

д Ар

Эг

= -G c

(9.56)

Совершим преобразование Лапласа в равенстве (9.56), памятуя,

что Qc постоянная величина:

-2пЬ

dAP)

г—.—

V J

(9.57)

Учтем при дифференцировании равенства (9.48), что А =О

(как было прежде установлено на основании условия на беско

нечности) и

dKo

<958)

в =

2л Ь ks Vk rK j

s/H

. г->0

V /-

Но

(9.60)

Поэтому

В =

бей

2кЬ ks

(9.61)

и, следовательно,

AP(r,s) =

Qcii Xq[VF'

2л b k s

(9.62)

Из операционного исчисления известно такое обратное

преобразование Лапласа — см., например, формулу 26 на

стр. 485 [350]:

Ко Vk

- И .

1 Г е j 1

V rf“ =2

4кГ

(9.63)

где Ei — символ упрощенной интегральной показательной функ

ции — см. § 4 Приложения. Поэтому, переходя в равенстве (9.62) от

изображения к оригиналу, получим:

Ар (г, f) =

4nb к

что совпадает с формулой (4.14).

' ziT

-£/

4й

V Р

(9.64)

Рассмотрим более сложные случаи пуска стока не с постоянным,

а с переменным дебитом.

Допустим сначала, что дебит стока Qc пропорционален времени:

Qc = Q\t,

(9.65)

где Q \ = const Подставив это значение дебита в правую часть ра

венства (9.56) и совершая преобразование Лапласа, в правой части

равенства (9.57) вместо величины получим

Ял

„2

. Поэтому

для изображения понижения давления вместо (9.62; получим следу

ющую формулу:

A P(rts) =

Q 1 й

2кЬ к

(9.65а)

Это изображение получается делением на параметр s изобра

жения, входящего в правую часть равенства (9.62). А из операци

онного исчисления известно, что делению изображения на параметр

s соответствует интегрирование оригинала. Поэтому, учитывая

формулу (9.63), получим:

-1

3 «]Ц

"Ч

-Ei

4k#

V )Л

dt.

(9.66)

Используя способ интегрирования по частям, можно обнаружить,

что

-Ei

Г 2 V

dt =

( 2\

[* + “ -]

- f i *

( 2 VI

Г±)

4к*

ч /-

4к

V /

4 Kt

ч / J

-tQ 4*.

(9.67)

Переходя в равенстве (9.65а) от изображения к оригиналу и

используя равенства (9.66) и (9.67), получим следующую искомую

формулу для понижения давления в любой точке пласта в любой

момент после пуска источника с дебитом, пропорциональным

времени: