Щелкачев В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

с помощью операционного метода, с использованием введенных

автором [754] специальных кратных интегральных показательных

функций (СКИП-функции). Благодаря использованию СКИП-

функций результирующие формулы получились менее громоздкими

и более наглядными, чем те, которые были выведены в 7-й

и 8-й главах.

Мгновенный поверхностный сферический сток был исследован

в главе 8. Поэтому на основе выведенных там формул в данной

главе с использованием метода интегрирования по времени

стокообразных решений исследуется только непрерывно действу

ющий поверхностный сферический сток.

При решении всех задач данной главы необходимо учитывать,

что в их условия входит характерная избранная линейная размерная

величина — радиус R цилиндра, или окружности, или сферы.

Поэтому все эти задачи неавтомодельны — см. напоминание

условий автомодельности задач в § 1 главы 6.

§ 2. Мгновенный и непрерывно действующий поверхностные

цилиндрические стоки; окружная галерея

Исследуем сначала действие мгновенного стока Вместо повер

хностного цилиндрического стока неограниченной высоты будем

рассматривать его часть — окружную галерею, высота которой

равна толщине Ъ горизонтального продуктивного пласта, подсте

ленного и перекрытого непроницаемыми пластами и имеющего

неограниченную протяженность в горизонтальном направлении.

Пусть в начальный момент t = 0 окружная галерея мгновенно

отобрала из пласта (на всю его толщину Ь) объем жидкости V ж.

До включения в работу мгновенного стока поле давлений в пласте

было невозмущенным. Требуется исследовать процесс понижения

пластового давления после включения окружной галереи радиуса

R — см. рис. 10.1, т.е. надо определить понижение давления

А Р (ri t) в любой точке пласта на расстоянии г от оси окружной

галереи в любой момент t.

Математически задача ставится так: понижения давлений

&Р е(г>*) и &Pi(r>t) внешней и внутренней «/» областях

должны удовлетворять уравнениям пьезопроводности, начальному

и граничным условиям. Кроме того, отбор жидкости из пласта

ограничен только тем объемом V*, который был в начальный

момент мгновенно поглощен стоком (окружной галереей) снаружи

и изнутри. Все эти условия записываются так — см. еще § 3

главы 2:

д2АрЕ \дАрЕ 1Э АрЕ (Ю.1)

-----

----

------

—, г>R, t> 0,

дг2 г дг к dt

Ъ2 Ар j ^\д Ар j 1 ЭДpi

, 0 <r<R, t> 0,

дг2 г дг к dt

(Л/>£)<=о = 0, (Ар/)<=о = 0, г ,

[Л/>£Ь=~ = 0, t> 0,

[ДР/1г=о<со. ^ 0 ,

ApE(R,t) = APl(R,t), 0<t<co,

V л-2пЬ0 *

JrAp/rfr + JrAp£dr

(10.2)

(10.3)

(10.4)

(10.5)

(10.6)

(10.7)

f = о

Подвергая преобразованию Лапласа каждое из дифференци

альных уравнений пьезопроводности (10.1), (10.2), получаем, учи

тывая начальные условия (10.3), обыкновенные дифференциальные

уравнения типа (9.45), решения которых будут аналогичны (9.48):

(10.8)

(10.9)

АР E(r,S )-Л е! о^Гк Г^ + В eKq^Fk r j,

I(r,s)=AIi S V F ' W o f V H

АР

Так как по условиям (10.4) и (10.5) APE(r,s) и APr(r,s)

должны быть конечными величинами соответственно при г = « и

г-0, то по соображениям, аналогичным тем, какие были оговорены

при упрощении равенства (9.48), необходимо принять*:

А £ — 0, В j — Q.

Следует учитывать, что I о

/■-» 0 — см. формулы (П. 145) и\п. 153)^

1 £ г ) „ при г > ею

(10.10)

Поэтому равенства (10.8) и (10.9) примут вид:

^PB(r,s)=BEK0^ l i r>j,

AP,(r,s)=A,I0^ I^ r^.

(10.12)

Совершим преобразование Лапласа над равенством (10.7) и

вместо величин А РЕ и A Pj подставим их значения из формул

(10.11), (10.12):

— = 2тсЬр*

BE]rK0{ ^ r^dr+AI\rlj[^ i r^dr

(10.13)

Кроме того, по условию (10.6) понижения давлений, а следо

вательно, и их изображения должны быть равны на окружной

галерее, т.е. при г = R:

bek . № * U , i№ m\

(10.14)

откуда

В г—A j

( V I * ]

" 4 Щ

Положим в (10.13), что

ViTr =*, * = V f * .

(10.15)

(10.16)

Vx = 2nbР * к

JTR

оо V к Д

В е\хКй(х )dx+A/|дcl0(x)dx

(10.17)

Но из теории функций Бесселя известно — см., например,

формулы (5) на стр. 93 [117], что

xK0(x)dx = -d[xKi (дг)], (10.18)

x l0(x)dx = d[xll(x)]i

(10.19)

где I i(x),K\(x) — модифицированные функции Бесселя I и II ро

да первого порядка.

Учитывая соотношения (10.18), (10.19) и то, что

[/ 2 (*)]*=о = 0, [хК{(х )]х=00~ 0 — см. равенства (П. 135а),

(П. 148), вместо формул (10.13) и (10.17) получаем:

Vx = 2K b $*K ^ R BbK ^ ^ R

(10.20)

Подставим значение ВЕ из (10.15) в (10.20):

VM = 2nb$

(10.21)

Числитель дроби в правой части последнего равенства пред

ставляет собой вронскиан, для которого известно следующее

значение — см. стр. 19 и 53 [117] или стр. 35 [184]:

(1022)

V к R

Пользуясь равенствами (10.21), (10.22), можно определить

значение коэффициента Aj\

( I— ^1

v xK0[iiR \

7 2 л ft Р * к 2nbk V K

(10.23)

Подставим найденное значение Aj из (10.23) в (10.15):

На основании равенств (10.23) и (10.24) формулы для изобра

жений примут такой вид:

Из таблиц лапласовых изображений известно — см., например,

формулу (26), стр. 284 [349] и формулу (116), стр. 590 [427]:

Совершая над равенствами (10.25) и (10.26) обратное преобра

зование Лапласа и учитывая соотношения (10.27), (10.28), получаем:

Формула (10.29), совпадающая с (8.21) и (7.63), впервые была

в 1911 г. выведена иным способом Рэлеем [944], причем Рэлей

отметил, что формула справедлива для точек как внешней, так и

внутренней областей поверхностного цилиндрического мгновенного

стока, т.е. и при r>R и при r<R*. Кроме того, Рэлей обратил

внимание на тот частный случай, когда t настолько мало, что

аргумент функции /0 можно считать весьма большой вели-

Запись формулы (10.29) не следует понимать так, что понижения давлений

снаружи и внутри цилиндрического стока равны; просто для их подсчета оказывается

справедливой одна и та же формула.

(10.25)

(10.26)

V У

(10.29)

чиной. Тогда, учитывая асимптотическое представление функции

/0 — см. (П. 145), можно принять, что

I (х\ е* (10-30)

1о(х) Ш 7 -

Учитывая (10.30), для малых значений t из формулы (10.29)

получаем:

, ,ч -LL^ 1 (10.31)

PEj(r’ 4nbkJnrRt e

т.е., как замечает Рэлей, понижение давления при t —> 0 оказывается

малой величиной всюду, за исключением точек на стенке мгновен

ного цилиндрического стока, где г = R.

Рассмотрим процесс понижения давления на оси мгновенного

цилиндрического стока, т.е. при г - 0. Учитывая, что

1о(х)х = о-1 — см. равенство (П. 135), из формулы (10.29)

получаем:

v R2

[А/77(г,f)]r=0 = 4nbkte *Kt- (10.32)

Сопоставляя правую часть последнего равенства с правой частью

равенства (3.29), можно утверждать, что понижение давления на

оси поверхностного мгновенного цилиндрического стока (окружной

галереи) радиуса R происходит так же, как в любой точке на

расстоянии R от мгновенного прямолинейного стока в пространстве

(или от точечного стока на плоскости) при одинаковых объемах

Уж жидкости, мгновенно отобранных этими стоками.

Если считать, что радиус мгновенного цилиндрического стока

уменьшается и в пределе R = 0, то мгновенный поверхностный

цилиндрический сток вырождается в мгновенный прямолинейный

сток в пространстве (в точечный на плоскости). Конечно, при R = 0

формула (10.29) превращается в формулу (3.29).

Рассмотрим теперь вместо мгновенного непрерывно действую

щий поверхностный цилиндрический сток, дебит которого Qc будем

считать вообще переменным и выражающимся с помощью одно

членной степенной функции времени:

Qc = Qntn, /1 = 0, 1,2,3..., (10.33)

гДе Qn — постоянная величина, размерность которой зависит от п.

В математической постановке этой новой задачи сохраняются

все соотношения (ЮЛ)-(Ю.б), а вместо (10.7) должно быть:

2 nRb-

/ЭДр_/ч

Эг г = Я

ЭА р>

дг r = R

= Q< = Qltn, mM)

т.е. сумма притоков жидкости к поверхностному цилиндрическому

стоку изнутри и снаружи должна быть равна дебиту этого стока

(противоположные знаки перед слагаемыми внутри квадратной

скобки объясняются противоположными направлениями скоростей

потоков внутри и вне стока).

Совершим преобразование Лапласа в равенстве (10.34):

dhPA

dAPE)

\ J

—i

ь.

n'.Q'n

, п + 1

(10.35)

Решения преобразованных по Лапласу дифференциальных

уравнений пьезопроводности (10.1) и (10.2) будут опять опреде

ляться уравнениями (10.11) и (10.12). Поэтому получаем, учитывая

правила дифференцирования модифицированных бесселевых фун

кций — см. равенства (П. 165), (П. 166):

^ = в Л к 0< ^ г ) Вв^ к ( ^ г )

dr ~c‘dr"n^ ’ 14 Г - в • у (Ю.36)

i g i - A r f i M r U d F/.fVFA

(10.37)

Подставим найденные значения производных из (10.36) и (10.37)

в (10.35):

n'.Q* (Ю.38)

Учитывая соотношение (10.15), из (10.38) получаем:

InRb

kJE AbfVlVlr, n\{%

.. ” K 1 ( Is "> сЛ + 1 '

V k *

Числитель дроби в левой части равенства (10.39) представляет

собой тот же вронскиан, значение которого определяется формулой

(10.22). Поэтому равенство (10.39) можно переписать так:

2 nb

о { VI"*

n\Q*n

(10.40)

Следовательно,

Ат-

n'QnV 1

2 nbk s n + 1

(10.41)

Подставив найденное значение Aj в соотношение (10.15),

определим ВЕ:

(10.42)

2nbk s’

Поэтому равенства (10.11) и (10.12) примут вид:

(10.43)

(10.44)

Сопоставление равенств (10.43) и (10.44) указывает на то, что

значения Д РЕ и АР; отличаются друг от друга только переста

новкой величин Л и л

Пользуясь равенством (П. 135), можно так записать разложение

в ряд функции 10:

' . f V T / i k E - i r* 2 v

4к

АР к —

2nbk

Г — —

£0(vI)2{4k

* o f V F A

(10.46)

Как уже упоминалось в главе 9, из операционного исчисления

известно, что делению изображения на оператор соответствует

интегрирование оригинала; умножению изображения на оператор

соответствует дифференцирование оригинала Поэтому, учитывая

формулу (9.63) для обратного преобразования Лапласа, а также

учитывая первое соотношение (П. 59), получаем:

*.fVTr

.п + 1-V

2 dV

-Ei

"Ч

к>

п - V

4к t

\ J

1 4кг 1

dt-

(10.47)

( г2 Х\

-Ei

Й к'1

= 2 /лГ"У

где символ Int пояснен в Приложении — см. (П. 401). В формуле

(10.47) и основанной на ней следующей формуле надо пользоваться

операцией дифференцирования при v > п и операцией интегрирова

ния при v<n. Основываясь на формуле (10.47), совершим над ра

венством (10.46) обратное преобразование Лапласа:

4кЬк

v = Q

-Ei

Г у \

гг

(V! ) 2|

4к

V /

dtv~n

4 к t

nlQn\i'

► 2 >

(10.48)

Int'

- Ei

/ 2 \

Г '

4 Kt

Для упрощения последней формулы воспользуемся СКИП-фун-

кциями I рода, описанными в § 11 Приложения, и соотношением

(П. 405); тогда формула (10.48) примет вид

v = 0

f R Z1

----------

ы\

4 Kt

v /

Л \

v| 4 к t

r>R.

Меняя местами величины г и Л в правой части равенства,

получаем следующее равенство для определения понижения

давления во внутренней области окружной галереи:

4 Р , 2nbk- S

v - 0

r<R .

/ О ^

Г2 >

4>n-V

( Я 2.Л

( V ! ) 2

4 Kt

V J

4 к t

ч J

(10.50)

В формулах (10.49) и (10.50) произведение Q* tп можно заменить

величиной Qc переменного дебита галереи, учитывая равенство

(10.33). Этими формулами удобно пользоваться при больших значе-

г 2

ниях времени t (точнее говоря, при малых значениях величин и

о 2

), когда ряды сходятся быстро и для вычисления можно ограни-

4к t

читься лишь первым или несколькими первыми членами каждого ряда.

Полагая в формулах (10,49) и (10,50) г = R, можно получить

понижение давления на стенке галереи в любой момент.

Если принять, что R - 0, то от цилиндрического стока или

окружной галереи перейдем к прямолинейному стоку — скважине

«нулевого радиуса» (т.е. в условиях плоской задачи перейдем к

точечному стоку на плоскости). В этом случае в правой части

равенства (10.49) сохранится только первый член ряда, соответст

вующий значению v * 0, т.е. получим:

lbpE(r,t))R=0 =

n'.Qntn\i

4 nbk

Ф«

2 >

n\Qc\L (

Anbk Фп

4 Kt

(10.51)

Естественно, что формула (10.51) совпала с ранее выведенной

для того же случая формулой (4.154).

Для определения понижения давления на оси окружной галереи

следует положить г = 0 в формуле (10.50), причем в правой части