Щелкачев В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Часть 1
Подождите немного. Документ загружается.
При выводе формул (10.96) и (10.100) были использованы
разложения функций /0 и в ряды по степеням малых значений
параметра s. Поэтому формулами (10.96) и (10.100) удобно
пользоваться лишь при достаточно больших значениях времени t
R2
(точнее сказать, при достаточно малых значениях величин
4к t
4 к t
). В этих формулах произведение Q*ntn равно дебиту Qc
окружной галереи — см. соотношение (10.33).
Формулы (10.96) и (10.100) определяют расходы жидкости через
концентричные галерее окружные сечения радиуса г снаружи и
внутри пласта.
Рассмотрим частный случай п = 0. В этом случае формулы
(10.96) и (10.100) примут вид:
QE(r,t) = Q*o'£
v=0
1
Г R2 >
Г г 2 ]
. (v!)2
[4кч V " v
4 Kt
\
(10.101)
<2/(/-,n = G oZ
v = 0
\
Г г 2 ]
V + 1
f R 2 ]
v ! (v + 1 )! 4 Kt
\ J
ф-(у+1)
4 Kt
\ /
(10.102)
Учитывая значения функций \j/_v(0) и ф_(у + 1)(0), определя
емые соотношениями (П. 384) и (П. 385), можно утверждать, что
при t —> оо будут стремиться к нулю величины всех членов ряда в
формуле (10.102) и будут стремиться к нулю величины всех членов
ряда, кроме первого (соответствующего значению v = 0), в формуле
(10.101).
Итак, получается, что
[fl/(r,Oh-> ос^О, (10.103)
(10.104)
Следовательно, как и надо было ожидать, с течением времени
движение жидкости в области «/» внутри окружной галереи — см.
рис. 10.1 — постепенно прекращается и приток жидкости к галерее
изнутри неограниченно уменьшается, стремясь к нулю. Это
согласуется с рассмотренным выше процессом перераспределения
давления во внутренней области «/». Во внешней области
«Е*
расходы жидкости через все круговые сечения, концентричные
галерее, с течением времени постепенно выравниваются, стремясь
к постоянной величине дебита галереи.
Для определения величины суммарного притока жидкости к
окружной галерее в любой момент надо сложить равенства (10.101)
и (10.102), полагая в них г - R:
Qi(R,t) + QE (R,t) = Q*o'£
v = 0
1 ( R2
1
Г r2 )
V + 1
R2 )
v! (v + 1 )!
4 Kt
к ;
ф -(V+1 )
4 к t
(v ! )21 4к*
\
V
R2 )
V-v
У
4к t
\ /
(10.105)
Подставив в формулу (10.105) значения СКИП-функций <р и
V из соотношений (П. 364)-(П. 371), получим:
Qi(R,t) + QE(R,t) = Qo
1
3!
R2
4 к t
R
"4 Kt
2 1 (
, R2 1
4 Kf + 2!
4 Kt
т.е.
Qi(R,t) + QE(R
:,0 = Qo[e^
-Qo = const.
(10.106)
Как и следовало ожидать, суммарный приток жидкости к
окружной галерее изнутри и снаружи в любой момент равен дебиту
галереи.
Попутно отметим, что из физических соображений, основываясь
на формуле (10.105), можем утверждать справедливость такого
R2
соотношения между СКИП-функциями <р и полагая
4 Kt
= w:
I
v = 0
v!(v + l)!wV + I<l>-(v+1)(Vt,) + 7^T2M'Vv-v(w)
= 1.
(10.107)
В общем случае при любом значении п = 0, 1, 2, 3... из формул
(10.96) и (10.100), полагая в них г = R, определим суммарный
приток жидкости к окружной галерее изнутри и снаружи в любой
момент:
Q№) + QARjt)=n\<ZfY,
1 ( R2
(v!)2 4к* Vn"v
v=0
/ ,
i
v! (v + 1)! I 4 k t
V + 1
4>n-(v + l)
4k t
R 2
4 k t
(10.108)
Из физических соображений очевидно, что и в рассматриваемом
общем случае должно быть справедливо равенство
Qi(R,t) + QB(R,t) = Qe = QZt*, (10.109)
т.к. в рассматриваемой задаче было обусловлено, что окружная га
лерея пущена с дебитом, удовлетворяющим соотношению (10.33).
И в этом случае полезно сделать следующее замечание: учитывая
равенство (10.109), на основании формулы (10.108) можем утверж
дать, что должно быть справедливо такое соотношение между
R 2
СКИП-функциями ф и \|/, полагая опять - —- = w:
4 К f
>(w)
1 . (10.110)
Установление справедливости формул (10.107) и (10.110) под
тверждает высказанное Рэлеем [944] утверждение: из формул
гидродинамики часто можно получать такие новые математические
соотношения, доказать которые прямым путем труднее.
Выше уже подчеркивалось, что подсчитывать расходы жидкости
по формулам (10.96) и (10.100) удобно лишь при достаточно
больших значениях времени t. Чтобы получить формулы, удобные
для подсчетов при малых значениях времени t, воспользуемся
асимптотическими представлениями модифицированных функций
Бесселя К 0 Г7!"д)и// V 7 ' 1 при больших значениях параметра
s (правильнее сказать —шри больших значениях аргументов этих
функций). Именно на основании формул (П. 146) и (П. 147),
сохраняя в них только первые члены в асимптотических разложениях
функций, получим:
Ко [ Vi>e ]/, ( Vir j ~ [е e V5|7)>
т.е.
Учитывая соотношение (10.111), из равенства (10.83) получаем
следующую формулу для изображения Q Е расхода жидкости в
области «/» внутри окружной галереи:
(10.112)
Аналогично на основании формул (П. 145) и (П. 148), сохраняя
в них только первые члены в асимптотических разложениях
функций, получаем:
* . ( V T ' ] / . ( V T * ) - i V 3 T <10113>
Учитывая соотношение (10.113), из равенства (10.83) получаем
такую формулу для изображения Q Е расхода жидкости в области
«Е» снаружи окружной галереи:
(10.114)
Сравнивая формулы (10.112) и (10.114), видим, что в них
величины г и R обмениваются местами в показателе степени
экспоненциальной функции.
Заменим в формуле (9.26) величину п на (п-^) и величину х
на (г - R), получим:
L
-1
е
<Ш15>
Пользуясь формулой (10.115), совершаем обратное преобразо
вание Лапласа в равенствах (10.112) и (10.114):
При г учитывая (П. 5), (П. 36) и (10.33), из формул (10.116)
и (10.117) получаем:
Qi(R,t) = QE(R,t)~2*‘-ln\Q ci:ineifc(0)~
т.е. при малых значениях времени притоки к окружной галерее из
нутри и снаружи одинаковы и равны половине дебита галереи.
При r ^ R из формул (10.116) и (10.117) следует, что при t = 0
величины расходов Q / (г, 0 ) и Q я (/*, 0 ) равны нулю; именно это
и соответствует начальному условию задачи.
Формулами (10.116) и (10.117) можно пользоваться при доста
точно малых значениях времени t. Границы применимости этих
формул будут оценены далее.
В частном случае п = 0, что соответствует постоянству дебита
окружной галереи, из формулы (10.116) получаем, памятуя, что
0! = 1 — см. (П. 12):
Аналогичный вид будет иметь и формула для определения
дебита Qе(г>*\ но только с заменой величины (R - г) на (г - R).
Заметим, что для определения понижения давления и расходов
жидкости снаружи и внутри окружной галереи допустимо пользо
ваться как формулами (10.49), (10.50), (10.96), (10.100), выведенными
в данном параграфе, так и формулами (7.46)-(7.53бис), (7.66)-(7.68),
выведенными в главе 7. Формулы, выведенные в данном параграфе,
имеют, во-первых, совершенно другой, причем более простой, вид
(за счет использования СКИП-функций). Во-вторых, эти формулы
справедливы не только при постоянном, но и при переменном
дебите галереи, тогда как выведенные в главе 7 формулы
справедливы только для окружной галереи с постоянным дебитом.
В главе 7 уже упоминалось, что выведенными в ней формулами
удобно пользоваться лишь при достаточно больших значениях
времени (т.е. при малых значениях соответствующих аргументов).
А в данном параграфе для определения и понижения давления и
расходов жидкости выведены еще формулы (10.71)—(10.76), (10.116)-
(10.118), которыми удобно пользоваться при малых значениях
времени (при больших значениях соответствующих аргументов).
Приведенные в данном параграфе итоговые формулы и их
вывод заимствованы в основном из статьи автора [754] и его
последующих работ, которые цитируются в следующем параграфе
в связи с историческим обзором.
§ 3. Историческая справка
Нестационарный приток жидкости к окружной галерее на
плоскости или (что совершенно аналогично) к поверхностному
цилиндрическому стоку в пространстве, рассматривается во многих
задачах подземной гидродинамики, теории фильтрации, а также в
аналогичных задачах теории теплопроводности и диффузии. Поэ
тому представляет интерес проследить за историей решения этих
задач.
Рэлей впервые в 1911 г. [944] ввел понятие о прямолинейном
стоке в неограниченном пространстве, что в условиях плоской
задачи соответствует точечному стоку на плоскости. Рэлей тогда
же впервые сформулировал и решил задачу о мгновенном
поверхностном цилиндрическом стоке и вывел формулу (10.29) для
соответствующего плоско-радиального потока.
Применяя развитый Томсоном метод интегрирования по времени
стокообразных решений, из формулы (10.29) можно получить такую
формулу для определения в любой момент понижений давлений
ApE(r>t) и Apj(r,t) во внешней и внутренней областях по
отношению к поверхности цилиндрического стока, пущенного с
дебитом Qc(t), зависящим от времени:
г exJ- г2**2] г п
A ftK T .o -v A T .o ^ J a fl) , у ч [ а ^ ] д - .
Способ перехода от формулы (10.29) к (10.120) такой же, какой
был использован и подробно пояснен в главе 4 при переходе от
формулы (4.1) к (4.4). И по поводу записи формулы (10.120) можно
повторить такое же замечание, какое было сделано по поводу
формулы (4.4).
Конечно, формула (10.120) применима к исследованию не только
притока к поверхностному цилиндрическому стоку, но и притока
к окружной галерее на плоскости.
Рэлей исследовал даже более общую формулу, чем (10.120),
также полученную методом интегрирования по времени стокооб
разного решения, но применительно к тому случаю, когда стоки
покрывают поверхность цилиндра неравномерно.
После Рэлея задачи о плоско-радиальных тепловых и диф
фузионных потоках к поверхностному цилиндрическому стоку
(к окружной галерее) рассматривались в 20-30-х годах во многих
работах, причем при различных начальном и граничных условиях,
и решались не только методом Фурье разделения переменных, но
и другими методами. Например, в 1932 г. Голдстейн [843] иссле
довал плоско-радиальный диффузионный поток, применяя опера
ционный метод.
В работе Карслоу и Егера [350] (первое издание которой
было в 1947 году) на стр. 258 по поводу решения задачи о
притоке к непрерывно действующему поверхностному цилиндри
ческому стоку сказано*: «Искомое решение ... нельзя выразить
через табличные функции». Это высказывание Карслоу и Егера
автор данной работы привел здесь для того, чтобы подтвердить
его правильность, но только по отношению к использованию
тех табулированных высших трансцендентных функций, которые
были в то время (в сороковые годы) известны. Однако содер
жание предыдущего параграфа доказывает, что с помощью
введенных автором СКИП-функций (также затем табулированных)
удалось получить простое и весьма наглядное решение именно
упоминаемой задачи о притоке к непрерывно действующему
поверхностному цилиндрическому стоку, т.е. и к окружной
галерее на плоскости.
Теперь перейдем к исторической справке относительно работ
только в области подземной гидродинамики, посвященных иссле
дованию притока жидкости к окружной галерее на плоскости.
Формула (10.120) была использована для решения задач теории
фильтрации Маскетом в его монографии, опубликованной в 1937 г.
и переведенной на русский язык в 1949 г. [434].
Высказывание относится к формуле, совпадающей с (10.120).
В первом издании учебника И. А. Чарного [611] в 1948 г.
исследовалась работа окружной галереи, пущенной с переменным
дебитом. В качестве исходной И. А. Чарный принял формулу
(10.120), посчитав, что она впервые была получена Маскетом, а не
Рэлеем в 1911 г. Желая упростить решение, И. А. Чарный из
формулы (10.120) строго вывел и подробно исследовал прибли
женные формулы, получившиеся все же громоздкими. В более
позднем существенно переработанном и дополненном издании
весьма ценного учебника И. А. Чарного [665] выведенные им
упомянутые приближенные формулы уже не были воспроизведены,
вероятно, именно из-за их громоздкости.
Окружную («кольцевую») галерею И. А. Чарный рассматривал
[661] как укрупненную скважину. Однако это допустимо только в
условиях установившейся фильтрации при жестко водонапорном
режиме.
С помощью предельного перехода от окружной батареи стоков
к окружной галерее формулы для определения понижения давления
в ее окрестности были строго выведены и в 1951 г. опубликованы
в статье автора [733], причем галерея рассматривалась и как
мгновенный и как непрерывно действующий сток. Полученные в
этой статье точные формулы были громоздки, поэтому последу
ющая статья автора [738], опубликованная в 1955 г., была посвящена
их упрощению. Все эти формулы, отличные от тех, которые
получаются на основании формулы (10.120), были воспроизведены
в § 9-11 главы 7 данной книги.
Основанное на операционном исчислении строгое исследование
неустановившегося притока жидкости в пласте к галерее, пущенной
с постоянным дебитом, было опубликовано в 1953 г. В. П. Пила-
товским [504], дополнившим затем это исследование другой статьей
[505]. Им были выведены точные формулы для определения
понижения давления в любой момент внутри и снаружи галереи,
а также формулы расходов жидкости через окружные сечения,
концентричные галерее; кроме того, были выведены и приближен
ные формулы с оценками их погрешностей.
В. П. Пилатовский в статье [505] доказал, что формула
В. Н. Щелкачева, которая была им выведена [733] предельным
переходом от батареи к галерее, может быть получена иным
путем — методом интегрирования по окружности стокообразных
решений.
В. П. Пилатовский справедливо указал на ошибку Маскета,
связанную с тем, что для оценки понижения давления вокруг
укрупненной скважины Маскет использовал формулу, которая была
выведена для галереи, а не для скважины.
Следует еще указать, что в 1956 г. в статье Ю. П. Борисова
[84] были выведены только приближенные формулы, характеризу
ющие неустановившийся приток жидкости к окружной галерее,
дебит которой зависит от времени. Ю. П. Борисов исходил из
формулы (10.120), приписав ее Маскету, причем для вывода
приближенных формул использовал простой способ — разложение
в ряды подынтегральных функций. Ограничиваясь первыми членами
рядов, Ю. П. Борисов оценивал вносимые этим погрешности в
приближенные формулы в различных диапазонах изменения дебита
Как будет указано далее, такой подход к выводу приближенных
формул и сами такие формулы, связанные с работой окружной
галереи с переменным дебитом, потеряли теперь смысл, так как
с помощью табулированных СКИП-функций задача решается точнее
и проще.
Судя по ссылкам на первоисточники в статьях В. П. Пилатов-
ского и Ю. П. Борисова, можно предположить, что их авторы не
были знакомы с исследованием Рэлея поверхностного цилиндри
ческого стока. А ведь, как уже упоминалось, решенные Рэлеем в
этом исследовании задачи математически тождественны плоским
задачам о притоке жидкости к окружной галерее.
Так, например, исходная формула в статье В. П. Пилатовского
[505] принадлежит Рэлею, а не автору цитируемой статьи, как он
предполагал.
В пятидесятых годах автором данной книги и его учениками —
аспирантами и сотрудниками кафедры теоретической механики
Московского нефтяного института — были начаты систематически
углублявшиеся и обобщавшиеся исследования притоков жидкости
к окружной галерее при различных условиях. Итоги этих иссле
дований будут разобраны в последующих главах, особенно в 14-й
и 16-й. В излагаемой здесь исторической справке приводятся лишь
краткие сведения об этих исследованиях.
Именно выше уже приводились ссылки на первые в этой серии
статьи [733], [738], в которых галерея изучалась на основании
предельного перехода от окружной батареи стоков.
В статьях В. Н. Щелкачева и В. Е. Влюшина, опубликованных
в 1963 и 1964 гг. [746], [748], было доказано, что выведенными в
цитированной выше работе [738] формулами можно пользоваться
с высокой степенью точности в любой точке пласта (как во
внутренней, так и во внешней областях по отношению к окружной
галерее) и во всем диапазоне изменения времени, но все эти
формулы, во-первых, относились к работе окружной галереи с
постоянным дебитом и, во-вторых, как уже указывалось выше, были
отличны от тех, которые основывались на формуле Рэлея (10.120).
В 1964 г. была опубликована статья В. Е. Влюшина [136], в
которой за основу была взята формула Рэлея (10.120), причем
автор принял, что зависимость от времени переменного дебита
окружной галереи может быть выражена с помощью функции,
представляемой рядом Тэйлора. Как частный случай был рассмотрен
тот, когда дебит галереи выражается линейной функцией времени.
В опубликованной в 1964 г. статье В. Н. Щелкачева, В. Е. Влюши
на и О. Н. Харина [749] авторы также исходили из формулы Рэлея
(10.120), решая задачу о притоке жидкости к окружной галерее, дебит
которой линейно зависит от времени. Было обнаружено, что прибли
женные формулы,выведенные из точных в двух последних цитиро
ванных статьях, дают меньшие погрешности, чем приближенные
формулы, выведенные в статье Ю. П. Борисова [84].
В еще более общей постановке, когда дебит окружной галереи
выражается одночленной степенной функцией времени, задача
строго была решена с помощью операционного исчисления и
использования СКИП-функций в работе автора, опубликованной в
1967 г. [754]. В этой же статье было подчеркнуто, что, используя
метод суперпозиции, можно применить полученные решения и для
того случая, когда дебит галереи задан не одночленной, а
многочленной функцией времени.
Как уже упоминалось, содержание предшествующего параграфа
данной главы основано именно на этой работе автора.
Из выведенных в цитируемой статье (и в предшествующем
параграфе) формул получаются все формулы статьи [749], отно
сящиеся к галерее с линейно-изменяющимся дебитом, и, тем более,
все формулы из статей В. П. Пилатовского [504], [505], относящиеся
к галерее с постоянным дебитом. Так, например, если в формуле
(10.57) ограничиться только первым членом степенного ряда
(заключенного в квадратные скобки), то из нее получается расчетная
формула В. П. Пилатовского.
Интеграл такого типа, какой входит в формулу (10.120), часто
встречается на только при исследовании поверхностного цилиндри
ческого стока (или окружной галереи на плоскости), но и при решении
других задач теории нестационарного поля. Сложность вычисления
такого интеграла связана с тем, что в подынтегральное выражение
входит, кроме других множителей, еще и модифицированная функция
Бесселя. О сложности вычисления таких интегралов выше уже гово
рилось в связи со ссылкой на соответствующее высказывание Ватсона
в его капитальной работе [117].
Поэтому были указаны косвенные методы подсчета таких интег
ралов В. Н. Щелкачевым [759], аШ . А. Гаджиевым [154], [155] был
исследован и табулирован интеграл, входящий в формулу (10.120).