Сергеев В.Л. Интегрированные системы идентификации

Подождите немного. Документ загружается.

Статистические свойства случайной составляющей

в общем слу-

чае зависят от контролируемого входа X.

Модель объекта и в этом случае строится в общем случае в виде

нелинейной многомерной функции регрессии вида

)(xFY

, (1.2.6)

которая не зависит от неконтролируемой случайной составляющей ξ.

8. Непараметрические стохастические модели. Непараметриче-

ские статические стохастические модели описываются функцией, отно-

сительно которой известны лишь достаточно общие сведения, такие как

непрерывность, ограниченность, существование производных и т. д.

При данных априорных предположениях в качестве модели объекта

часто используют функцию регрессии (условное математическое ожи

дание)

() ( / )d

yf yPy y==

∫

, (1.2.7)

где

)/( xyP

– условная плотность вероятности выхода объекта.

Задача идентификации в данном случае заключается в оценке ус-

ловной плотности вероятности и функции регрессии на основе наблю-

дений входа и выходов объекта.

Динамические модели

В качестве математического описания динамических объектов наи-

более часто используют интегральные уравнения, обыкновенные диф-

ференциальные уравнения, дифференциальные уравнения в частных

производных, конечно-разностные, дискретные аналоги интегральных и

дифференциальных уравнений.

1. Динамические системы на основе интегральных уравнений. Мо-

дель линейного динамического объекта, на вход которого поступает

сигнал

)(tx , вызывающий реакцию )(ty , часто представляют в виде ин-

тегрального уравнения:

() (, ) ( )d

yt ht x

−

∞

τττ

∫

, (1.2.8)

где

()

τ,th

– импульсная переходная функция (ИПФ) системы,

()

0τ,

при

τ<

В стационарном случае

(, ) ( )ht ht

=−τ

уравнение (8) переходит в

интегральное уравнение свертки

()

( )()d ()( )d.

yt ht x h xt

∞

−∞

=−τττ=τ−ττ

∫∫

(1.2.9)

Задача идентификации заключается в определении импульсной пе-

реходной функции (ИПФ) объекта

(

)

τ,th

либо

(

)

Наряду с описанием линейного объекта с помощью ИПФ можно

использовать его описание с помощью передаточной функции

()

,tpϕ

связанной с ИПФ соотношениями

(, ) (, ) d,

tp ht e

∞

−τ

−∞

ϕ= ττ

∫

(, ) (, ) d .

ht t pe p

σ+ ∞

σ− ∞

τ= ϕ

∫

(1.2.10)

В стационарном случае

(

)

(

)

,tp t p

−

Модель нелинейного динамического инерционного объекта стро-

ится в предположении, что нелинейность и инерционность объекта

можно разделить и представить объект в виде последовательной комби-

нации двух звеньев: нелинейного безынерционного и динамического

линейного. В одномерном случае, предполагая, что инерционное звено

стационарно, выход объекта

)(ty

связан с его входом

)(tx

одним из

двух соотношений:

()

() [ ( )]dyt h f xt

∞

=τ −ττ

∫

либо

() [ ()( )d].yt f h xt

∞

τ−ττ

∫

(1.2.11)

Задача идентификации будет состоять в определении пары функ-

ций

)(th

)(tf

2. Динамические системы, описываемые обыкновенными диффе-

ренциальными уравнениями. Модель линейного динамического объекта,

на вход которого поступает сигнал

)(tx

, вызывающий сигнал

)(ty

, час-

то представляют в виде обыкновенного дифференциального уравнения

10 10

dd dd

... ...

dd dd

yy x x

aaaybbbx

tt tt

++ + = ++ +

, (1.2.12)

где

d(0)/d

iii

yty=

0,1,..., 1in=−

– начальные состояние системы; n и

m – параметры структуры (порядок) уравнения.

Если система нестационарная, то коэффициенты уравнения

a и

должны быть функциями времени. Задача идентификации заключается

в определении порядка уравнения, коэффициентов

ba ,

и начальных

состояний (если они неизвестны).

Класс моделей на основе интегральных и обыкновенных диффе-

ренциальных уравнений имеет свои преимущества и недостатки. Моде-

ли на основе дифференциальных уравнений могут приводить к боль-

шим ошибкам идентификации, если порядок модели не соответствует

порядку объекта. Преимущество моделей на основе интегральных урав-

нений состоит в том, что они не требуют явного знания порядка объек-

та. Однако в этом случае описание объекта является непараметриче-

ским, бесконечномерным, поскольку определение функции эквивалент-

но определению (заданию) бесчисленного числа параметров.

3. Нелинейные динамические модели. В непрерывном случае одно-

мерный динамический объект (один вход и один выход) может быть

простейшем случае описан с помощью нелинейного дифференциально-

го уравнения

),...,,,...,()(

xxyyfty

mnn −

, (1.2.13)

где f – нелинейная функция

аргумента, которую и нужно

идентифицировать.

4. Динамические системы, описываемые дифференциальными

уравнениями в частных производных. Динамические объекты, представ-

ленные дифференциальными уравнениями в частных производных,

имеют чрезвычайно широкое научное и практическое применение при

решении разнообразных задач гидротермодинамики, переноса излуче-

ния, прогноза погоды, динамики атмосферы и океана и т. д. [23].

Дифференциальное уравнение с частными

производными порядка

r есть функциональное уравнение вида

12 1

( , , , , ..., , , ...) 0

ff f f

FX f

xx x x

∂∂ ∂∂

∂∂ ∂ ∂

, (1.2.14)

содержащее по меньшей мере одну частную производную порядка r от

неизвестной функции

)( Xf

, где

),...,,(

21 n

xxxX

В качестве примера рассмотрим дифференциальное уравнение па-

раболического типа однофазной фильтрации, которое описывает плос-

корадиальный приток сжимаемой жидкости к скважине нефтяного пла-

ста

rr rr t

∂∂ ∂

∂∂χ∂

, где P – давление в момент времени t на расстоянии

r от оси скважины; χ – коэффициент пъезопроводности пласта, который

характеризует скорость перераспределения давления в пласте.

Задача идентификации заключается в определении пъезопроводно-

сти пласта по результатам гидродинамических исследований скважины

и регистрации кривой изменения давления после остановки скважины.

5. Дискретные, конечно-разностные аналоги интегральных

и диф-

ференциальных уравнений. При решении задач идентификации широкое

применение получили дискретные, конечно разностные аналоги инте-

гральных и дифференциальных уравнений с использованием численных

методов [23].

Суть этих методов заключается в замене интегралов суммами, а

производных их конечными разностями. Это позволяет свести инте-

гральные и дифференциальные уравнения к соответствующим системам

сеточных алгебраических уравнений.

Решение уравнений определяется в узлах сетки, что часто требует

запоминания большого объема данных и проведения больших вычисле-

ний.

1.3. Математические модели объектов-аналогов и априорной информации

Сведения об объектах идентификации условно можно разделить на

следующие типы:

1. Исходные и дополнительные данные (наблюдения входов и вы-

ходов объекта; дополнительные апостериорные и априорные данные).

2. Априорная информация о структуре модели объекта.

3. Априорная информация о статистических характеристиках слу-

чайных неконтролируемых переменных.

1. Исходные и дополнительные данные. Основным источником ис-

ходных

данных для идентификации являются результаты прямых на-

блюдений входных и выходных переменных объекта.

В качестве дополнительных апостериорных (текущих) данных мо-

гут быть использованы измерения, полученные из косвенных наблюде-

ний переменных объекта.

К априорной информации могут быть отнесены данные, получен-

ные на основе экспертных оценок переменных объекта, а также на ос-

нове

различных методик их расчета и т. д.

Удобной моделью дополнительных апостериорных либо априор-

ных данных является понятие объекта-аналога, т. е. системы, подобной

исследуемому объекту.

Объект-аналог определим как реально существующий либо вооб-

ражаемый упрощенный объект, отражающий основные черты иссле-

дуемой системы, особенности его строения и функционирования, пред-

ставляющий и

формализующий в виде моделей дополнительные апо-

стериорные и априорные данные, накопленный опыт и знания.

Объект-аналог

, изображенный на рис. 1.2, является некоторым

отражением исследуемого объекта F.

Исследуемый объект и объект-аналог представляют некоторую ин-

тегрированную систему взаимодействующих моделей первого уровня:

(,);

(,),

YFX

ZFZ

⎧

⎨

⎩

(1.3.1)

где η – случайные возмущения, связанные, например, с ошибками зада-

ния дополнительных априорных данных.

Рис. 1.2

Переменная Z объекта-аналога может соответствовать входным X

либо выходным Y переменным, а также представлять параметры, функ-

ции (функционалы), определяющие структуру исследуемого объекта.

Переменная

представляет дополнительные апостериорные либо ап-

риорные данные.

Например, дополнительные априорные данные о параметрах моде-

ли нелинейного параметрического объекта (1.3.1) могут быть представ-

лены объектом-аналогом

+αα

, где η – случайные ошибки задания

дополнительных данных

Дополнительные априорные сведения о выходной переменной ис-

следуемого объекта могут быть также представлены объектом-аналогом

() ηygy=+, где g – некоторая неизвестная функция регрессии.

Как и для исследуемых объектов операторы и математические моде-

ли объектов-аналогов могут быть представлены математическими зависи-

мостями (1.2.2)–(1.2.14). Объекты-аналоги также могут быть статическими

либо динамическими, линейными либо нелинейными системами.

Исследуемой системе может соответствовать не один, а несколько

объектов-аналогов. В этом случае интегрированная система первого

уровня имеет вид

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

.,1),η,(

),ξ,(

mjZFZ

XFY

(1.3.2)

На основе интегрированной системы (1.3.2) могут быть представ-

лены, например, исходные и дополнительные данные о параметрах и

выходе нелинейного параметрического статического объекта в виде

Объект-аналог

Исследуемый

объект

единой интегрированной стохастической системы взаимодействующих

моделей:

(, ) ξ,

ααη,1,,

() , 1,.

jjj

iii

ygy i n

⎧

⎪

=+ =

⎨

⎪

=+=

⎪

⎩

yxα

(1.3.3)

Объекты-аналоги

в свою очередь могут быть использованы в ка-

честве исходных исследуемых систем и иметь свои аналоги –

. Тогда

имеем интегрированную стохастическую систему второго уровня

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

.,1),η,,(

,,1),η,(

),ξ,(

lkZZFZ

mjZFZ

XFY

jkj

jjkjk

(1.3.4)

В общем случае интегрированная система моделей может иметь

неограниченное число уровней и представляет некоторую иерархиче-

скую структуру.

2. Априорная информация о структуре объекта. Априорная ин-

формация о структуре объекта известна еще до наблюдений входов и

выходов объекта и носит в основном качественных характер и позволя-

ет выбрать модель объекта и определить

его структуру.

3. Априорная информация о статистических характеристиках слу-

чайных неконтролируемых переменных. Основная трудность идентифи-

кации систем состоит в том, что в большинстве реальных ситуаций на-

блюдения над исследуемыми объектами и объектами-аналогами искаже-

ны случайными возмущениями, которые определяются многими причи-

нами. Погрешности могут появляться за счет ошибок регистрации вход-

ных

и выходных переменных объекта, ошибок выбора структуры модели

объекта, ошибок задания дополнительной априорной информации и т. д.

Обычно эти ошибки описываются с помощью аддитивных помех.

Наличие помех, искажающих наблюдаемые входные и выходные

сигналы, приводит к тому, что для идентификации должны использо-

ваться статистические методы.

Плотности распределения вероятностей помех с формальной

точки

зрения могут быть любыми. Однако на практике часто возникают ти-

пичные ситуации, связанные с одинаковым механизмом их возникнове-

ния. Важную роль играют законы распределения вероятностей помех:

равномерный закон, нормальный закон, закон Лапласа.

1.4. Интегрированные системы моделей и их классификация

Под интегрированной системой моделей (рис. 1.3) будем понимать

совокупность модели исследуемого объекта и модели объектов-

аналогов.

Рис. 1.3

Введем следующую классификацию интегрированных систем мо-

делей (ИСМ):

1. Линейные ИСМ:

• линейные статические ИСМ;

• линейные динамические ИСМ.

2. Нелинейные ИСМ:

• нелинейные статические ИСМ;

• нелинейные динамические ИСМ.

3. Линейные непараметрические ИСМ:

• линейные непараметрические статические ИСМ;

• линейные непараметрические динамические ИСМ.

4. Нелинейные непараметрические ИСМ:

• нелинейные непараметрические статические ИСМ;

• нелинейные непараметрические динамические ИСМ.

5. Непараметрические ИСМ:

• статические непараметрические ИСМ;

• динамические непараметрические ИСМ.

Приведем примеры стохастических интегрированных систем моде-

лей, основанных на стохастических моделях исходных объектов и сто-

хастических моделях объектов-аналогов.

1. Линейные интегрированные системы моделей. Линейные интег-

рированные системы моделей основаны на линейных статических либо

динамических моделях исследуемых объектов и на линейных (статиче-

ских либо динамических) моделях объектов-аналогов.

В качестве при-

мера линейной статической интегрированной системы моделей первого

уровня рассмотрим регрессионную модель объекта и модель дополни-

тельной априорной информации вида:

Интегрированная система моделей

Модель объекта Модели аналогов

,1,;

,, 1,,

iijji

jjkkj

yx in

rjkm

⎧

=α+ξ=

⎪

⎨

⎪

α= α+η =

⎪

⎩

∑

(1.4.1)

где

– измеренные значения выхода объекта

;

– входные пере-

менные объекта;

– неизвестные параметры модели объекта;

– до-

полнительные априорные данные о параметрах объекта, являющиеся в

свою очередь выходными переменными объекта-аналога;

– некото-

рые известные параметры объекта-аналога;

– значения входных пе-

ременных;

– ошибки измерения выхода объекта,

– ошибки зада-

ния априорной информации.

Модель (1.4.1) удобно представить в матричной форме

;

⎧

⎨

⎩

yFα

α Rα

(1.4.5)

где

F – матрица, которую часто называют матрицей планирования

(, 1,, 1,);

injm===F

,,y αξ

имеют смысл векторов измерений вы-

хода объекта, параметров модели и ошибок измерений выходной пере-

менной объекта;

(,, 1,)

rjk m==R

– матрица коэффициентов объекта-

аналога;

,αη

– векторы дополнительных априорных данных и ошибок

их задания.

Линейной считается интегрированная система моделей, в которой в

качестве входных переменных (регрессоров) объекта используются их

функциональные преобразования вида

()

f x

. В данном случае, матрица

планирования имеет вид

((), 1,, 1,)

jij

xi nj m===F

В качестве примера линейной динамической интегрированной сис-

темы моделей первого уровня приведем уравнения:

()( ) ;

,1,,

iii

yhxtd

hh i n

⎧

=τ −ττ+ξ

⎪

⎨

⎪

=+η=

⎩

∫

(1.4.6)

где априорная информация об ИПФ

(τ)h

задана в моменты измерения

выхода объекта

(), 1,

yyti n==

Используя представление ИПФ в виде ряда известных функций

)(α)(

tfth

∑

, интегрированная система моделей (1.4.6) сводится к

линейной статистической системе вида

;

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

yFα

hHαη

, (1.4.7)

где

(()( )d, 1,,1,)

xt jmin=τ−ττ= =

∫

; ((), 1,, 1,)

Ti nj m===H – мат-

рица известных функций, вычисленных в точках

;

– вектор-столбец

дополнительных априорных данных о значениях ИПФ в моменты вре-

мени

В качестве примера рассмотрим линейную интегрированную сис-

тему моделей первого уровня с двумя объектами-аналогами, которые

дают возможность учитывать дополнительную априорную информацию

о параметрах модели исследуемого объекта и априорную информацию о

выходе

;

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

yFαξ

Γα Rαη

Γ yHyν

(1.4.8)

где

– известные матрицы;

yyy ),...,,(

– вектор допол-

нительных априорных данных о выходе объекта в моменты времени

t ,

заданный с ошибками

),...,,(

ννν

=ν

;

– диагональные (инди-

каторные) матрицы нулей либо единиц (где, например,

×α

означает,

что априорная информация о

j компоненте вектора α отсутствует).

При

(1,0,0,...,0)=Г

(0,0,..., 0)

=RH

, интегрированная

система моделей (1.4.8) переходит в интегрированную систему с одним

объектом-аналогом, который представляет дополнительную информа-

цию только о первой компоненте вектора параметров

α:

111

⎧

⎨

=α +η

⎩

yFα

2. Нелинейные интегрированные системы моделей. Нелинейные

интегрированные системы моделей основаны на нелинейных статиче-

ских либо динамических моделях исследуемых объектов и линейных

либо нелинейных моделях объектов-аналогов.

В качестве примера рассмотрим нелинейную статическую интегри-

рованную систему моделей, в которой линейная модель объекта-аналога

представляет дополнительную априорную информацию о неизвестных

параметрах модели исследуемого объекта:

(,) , 1,,

α ,

iii i i

yy f

ξξ

⎧

=+= + =

⎪

⎨

=⋅+

⎪

⎩

x α

R α

(1.4.9)

где

niy

,1,

– измеренные с ошибками

,,1,ξ ni

значения выхода объ-

екта

),( αx

fy =

– значения выхода модели объекта, полученные при

соответствующих значениях входов

),...,(

21 miiii

xxx

; ,,ηα R – опреде-

ленные в (1.4.5) характеристики объекта-аналога.

Рассмотрим пример нелинейной динамической интегрированной

системы моделей, в которой модель исследуемого объекта представлена

конечно-разностным аналогом нелинейного дифференциального урав-

нения первого порядка

(,,,)

fyt

= α x

α)0(

, (1.4.10)

где

),,,(

tyf xα

– нелинейная, относительно параметров

, функция;

– начальное значение.

При известной априорной информации о параметрах модели и вы-

ходе объекта имеет место нелинейная динамическая интегрированная

система моделей:

'( , , , , ) , 1, , (0) (0);

;

ttt tt t t

yy fyyt t ny y

−

⎧

=+ξ= +ξ= =

⎪

⎨

⎪

⎩

α x

Гα Rαη

Г yHyν

(1.4.11)

где

– измеренное в моменты времени t значение выхода объекта y

;

),,,,('

1 ttt

tyyf xα

−

– конечно-разностная аппроксимация модели объекта,

),...,,(

21 mtttt

xxx=x

– заданные значения входных переменных объекта.

В общем случае для нелинейного дифференциального уравнения и

s объектов-аналогов, динамическая нелинейная интегрированная сис-

тема моделей примет вид:

212

(, ,,,, , 1,, 1,);

(), ( ),1,, 1,;

,1,;

,1,, ,

tttittj

ti t j

kk k

lll

yFyyt i rj r

y yti tjirjr

lssss

−−

⎧

===

⎪

=− =− = =

⎪

⎨

=+ =

⎪

=+= =+

⎩

α xx

Гα R αη

Г yHyν

(1.4.12)