Сергеев В.Л. Интегрированные системы идентификации

Подождите немного. Документ загружается.

где

– векторы столбцы дополнительных априорных данных, получен-

ных с

объектов-аналогов с ошибками

;

– векторы столбцы допол-

нительных априорных данных с

s объектов-аналогов, заданных с ошиб-

ками

; F – конечно-разностный оператор;

(), ( )

ti t j

yyti tj

−−

−=−xx

–

начальные условия;

– индикаторные диагональные матрицы

вида (1.4.8).

3. Линейные непараметрические интегрированные системы моде-

лей

. Линейные непараметрические интегрированные системы моделей

основаны на линейных статических либо динамических моделях объек-

та и на непараметрических статических либо динамических моделях

объектов-аналогов.

В качестве примера линейной непараметрической статической ин-

тегрированной системы моделей, в которой дополнительная априорная

информации о параметрах модели и выходе объекта представлена клас-

сами непараметрических моделей, приведем

уравнения:

;

() ;

() ,

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

yFαξ

ααη

(1.4.13)

где

–неизвестные, однозначные, ограниченные функции.

Данная интегрированная система моделей является естественным

представлением моделей дополнительных априорных данных, посколь-

ку часто не удается найти подходящее конечномерное параметрическое

описание связи исследуемых объектов и объектов-аналогов.

4. Нелинейные непараметрические интегрированные системы мо-

делей

. Нелинейные непараметрические интегрированные системы мо-

делей основаны на нелинейных статических либо динамических моде-

лях объекта и на непараметрических статических либо динамических

моделях объектов-аналогов.

В качестве примера нелинейной непараметрической статической

интегрированной системы моделей,

по аналогии с (28), рассмотрим

уравнения:

(, ) ;

() ;

() ,

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

yxα

ααη

(1.4.14)

где

),( αxf

– известная нелинейная функция регрессии.

5. Непараметрические интегрированные системы моделей. Непа-

раметрические интегрированные системы моделей основаны на непара-

метрических статических либо динамических моделях объекта и на не-

параметрических статических либо динамических моделях априорной

информации. Непараметрическую статическую стохастическую систему

с одним объектом-аналогом (модель двух черных ящиков) можно пред-

ставить в виде:

() ;

() ,

⎧

⎨

⎩

yxξ

Гyxη

(1.4.15)

где

– неизвестные однозначные функции; Г – известная индика-

торная матрица.

Данная интегрированная система моделей часто используется в

случаях, когда объект слабо изучен либо достаточно сложный для его

параметрического описания. С другой стороны и дополнительную ап-

риорную информацию о выходе объекта не удается представить в виде

конечномерного параметрического описания. Классические методы не-

параметрического оценивания функций приведены в

приложении 3.

1.5. Структура интегрированной системы идентификации

Под интегрированной системой идентификации понимается систе-

ма разработки (проектирования) оптимальной, в смысле заданных кри-

териев качества, интегрированной системы моделей. Структура интег-

рированной системы идентификации представлена на рис. 1.4.

Рис. 1.4

Интегрированные системы моделей достаточно подробно изложе-

ны в предыдущем разделе, поэтому ниже рассматриваются только кри-

терии качества и оптимальности интегрированных систем моделей и ал-

горитмы адаптации.

Критерии качества и оптимальности. Комбинированные крите-

рии качества интегрированной системы моделей, состоящие из комби-

нации частных критериев, предназначены для объединения (слияния)

моделей объекта и моделей объектов-аналогов.

Интегрированная система

идентификации

Интегрированная

система моделей

Критерии качества

и оптимальности

Алгоритмы адаптации (решение

оптимизационных задач)

Частные критерии качества представляют меры близости измерен-

ных значений выходных переменных исследуемого объекта и объектов-

аналогов к их соответствующим значениям, полученным на основе мо-

делей.

В случае одной выходной переменной для оценки близости объекта

и его модели, оценки близости дополнительных априорных данных их

моделям вводится функция (функционал) потерь

(,)rUV

, обладающая

свойствами расстояния:

. ;0),( VUVUr ≠∀>

. ;0),( VUVUr =∀=

.,, );,(),(),( ZVUVZrZUrVUr

∀

+≤

Например, средние потери от отклонения модели объекта

)(ty

от

соответствующих отклонений выхода объекта

)(

на интервале

[0, ]T

будут равны

() ( (),())d,

ry t yt t

∫

Q α

(1.5.1)

где

)),(()( αtxfty =

; r – функция потерь.

В данном случае задача оптимизации заключается в определении

вектора параметров

модели объекта, который бы минимизировал

средние потери

arg min ( ),

R∈

α Q α

(1.5.2)

где

arg min ( )

R∈α

Q α

означает точку минимума функционала средних потерь

)

(αQ

Сформулированный критерий оптимальности переводит процедуру

определения параметров функции в задачу оптимизации. Функционал

средних потерь часто называют критерием качества модели объекта ли-

бо просто критерием качества.

Предполагая аддитивный характер ошибок измерения выхода

объекта

(,) , 1,

iii

yfx i n=+ξ=α

функционал качества часто выбирают в виде

() ( ( ,)) (ξ ).

ii i

ry f r

=− =

∑∑

Q α x α

(1.5.3)

Выбор функции потерь

r определяется вероятностно-статистическими

характеристиками случайных ошибок (помех)

, 1,

inξ=

Например,

при независимости и нормальности ошибок

ξ , 1, ,

in=

имеющими ог-

раниченную дисперсию

, 1,

inσ=σ<∞ =

, оптимальной является

функция потерь

(ξ ) ξ , 1,

rin== [15, 22], и критерий качества (1.5.3) пе-

реходит в широко используемый квадратичный критерий

() ( )

=ξ= − =

∑

Q α yxαξξ

, (1.5.4)

где

– вектор измеренных значений выхода объекта;

),( αxf

– вектор-

столбец значений выхода объекта, полученный на основе модели объек-

та в точках;

– норма вектора x.

Часто используется взвешенный с весами

njiw

,1, , =

квадратич-

ный функционал качества

** *

() (,) ( (,)) ( (,))

fff=− =− −Q α yxα yxα Wy xα

, (1.5.5)

где матрица

),1,,( njiw

ijy

==W

определяется статистическими харак-

теристиками вектора случайных величин

Если распределение плотности вероятности величины

, 1,

inξ=

равно распределению Лапласа

( ) exp( / 2 )fx x

−

σ−σ

, то оптималь-

ным является критерий качества [21]

∑

−=

xfy

),()( ααQ

. (1.5.6)

Частные критерии качества объектов-аналогов формируем по ана-

логии с рассмотренными функционалами качества. Например, для ли-

нейной интегрированной системы моделей с учетом априорной инфор-

мации о выходе объекта и параметрах модели объекта

;

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

yFαξ

α Rαη

yHyη

(1.5.7)

частные квадратичные критерии качества объектов-аналогов равны

()=−J ααRα

() .=−J α yHy

(1.5.8)

При использовании данных критериев качества предполагается,

что векторы ошибок задания дополнительных априорных данных

распределены по нормальному закону.

При наличии априорной информации о статистических характери-

стиках ошибок

, η

следует использовать взвешенные критерии вида

()=−

J ααRα

()=−

J α yHy

, (1.5.9)

где

– матрицы, связанные со статистическими характеристи-

ками случайных величин

В качестве критерия качества интегрированной системы моделей

будем использовать взвешенные частные критерии качества вида:

)(β)()(

αJαQαΦ

∑

, (1.5.10)

где

)(αQ

– частный критерий качества модели исследуемого объекта;

()

J α

– частные критерии качества моделей объектов-аналогов; β

–

управляющие переменные, определяющие вес дополнительных априор-

ных данных.

Следует отметить, что решение разнообразных задач обработки экс-

периментальных данных, идентификации, оптимизации и управления

связано с использованием взвешенных критериев качества вида (1.5.10).

Например, при решении задач оптимизации функций при наличии огра-

ничений функционал типа

)(αΦ

называют функцией Лагранжа, а управ-

ляющие переменные β

имеют смысл множителей Лагранжа [19–20].

При решении обратных некорректно поставленных задач [19]

функционал

)(αΦ

имеет смысл регуляризирующего (сглаживающего)

критерия, а частные функционалы

,1 , =J

имеют смысл стабилизи-

рующих функционалов, связанных с «гладкостью» искомого решения.

Так, например, при определении ИПФ

)(tk

интегрального уравне-

ния (1.2.8) в качестве стабилизирующего функционала используют [19]

d()

⎡

⎤

⎢

⎥

⎣

⎦

∫

Новым в приведенной структуре взвешенного функционала (1.5.10)

является наличие механизма, позволяющего учитывать разнородную

дополнительную априорную информацию.

Оптимальная структура интегрированной системы моделей опре-

деляется критерием вида

** * *

,,,

(), , arg min (,,,)

RfFfF R

fff

∈∈∈∈

αβ

αβ Φα β

, (1.5.11)

где

представляют оптимальные функции из множества функ-

ций

, используемых, соответственно, в качестве моделей иссле-

дуемого объекта и моделей объектов-аналогов;

)(

βα

– оптимальные

параметры модели объекта;

– оптимальные значения управляющих

параметров.

Получение оптимальной структуры интегрированной системы мо-

делей (1.5.11) представляет достаточно сложную задачу проектирова-

ния, которую, как правило, решают последовательно:

1. При заданной структуре моделей исследуемого объекта и объек-

тов-аналогов получают оптимальные оценки неизвестных параметров

() argmin (, , ,)

∈

αβ Φα β

(1.5.12)

2. Определяют оптимальные значения управляющих параметров

arg min ( , , , )

∈

βΦαβ

. (1.5.13)

3. Определяют оптимальные модели объекта и оптимальные моде-

ли объектов-аналогов

***

,argmin(,,,)

fFfF

ff ff

∈∈

= Φα β

. (1.5.14)

Глава 2

ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ

2.1. Линейные интегрированные системы идентификации с учетом

априорной информации о параметрах модели объекта

Фундаментальной проблемой, лежащей в основе решения многих

практических задач, является создание интегрированной системы иден-

тификации на основе линейных статических либо динамических интег-

рированных систем моделей с учетом дополнительной априорной ин-

формации. Остановимся на рассмотрении линейной статической стохас-

тической интегрированной системы моделей с учетом дополнительной

априорной информации вида:

111 212 1

121 222 2

11 2 2

(), (), ,( )

,,,

mnm

fx fx f x

fx f x f x

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

== ==

yFαξ

α Rαη

y ααξ









⎡⎤

⎡

⎤

⎢⎥

⎢

⎥

⎢⎥

⎢

⎥

⎢⎥

⎢

⎥

⎢⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢⎥

⎣

⎦

⎣⎦

=η



(2.1.1)

где

F – матрица значений известных функций ))(),...,(),(()(

xxxxf

fff

вычисленных в точках

,1, =x

(предполагаем, что входные перемен-

ные объекта измеряются точно);

yyy ),,,(

…=y

– вектор измерен-

ных значений выхода объекта;

α – вектор неизвестных значений пара-

метров;

(α , α ,,α )

=α …

– вектор значений априорной дополнитель-

ной информации о параметрах модели объекта;

),1,,( mjir

==R

– из-

вестная квадратная матрица;

ξ, η – векторы случайных величин, пред-

ставляющие ошибки измерения выхода объекта и ошибки задания ап-

риорной информации;

Т – символ транспонирования.

Проектирование оптимальной структуры интегрированной систе-

мы моделей сводится к выбору критерия качества и синтезу алгоритмов

адаптации, которые в данном случае заключаются в решении оптимиза-

ционных задач по определению вектора неизвестных параметров

(α ,α ,,α )

=α … .

Рассмотрим решение оптимизационной задачи с использованием

частных квадратичных критериев качества, принимая в качестве оценки

параметров

α величину:

() argmin( β )

==+=−+−

αΦJQ y FααRα

, (2.1.2)

где

Ф – комбинированный взвешенный критерий качества интегриро-

ванной системы идентификации;

QJ,

– частные критерии качества мо-

дели исследуемого объекта и модели объекта-аналога;

– не-

которые неотрицательно определенные матрицы, β – управляющий па-

раметр. Отметим, что задачу определения параметров

α часто называют

обратной задачей.

Для решения задачи (2.1.2) необходимо взять производные по па-

раметрам

α, используя формулы для производных по векторному аргу-

менту, приведенные в приложении 1 и приравнять их к нулю:

2( )2 ( )0.

−

∂

∇=− − − − =

∂

αα

Φ FW y Fα RW α Rα

В результате получаем систему линейных алгебраических уравнений

)β()β(

T*TTT

αWRyWFαRWRFWF

αα

(2.1.3)

относительно вектора неизвестных параметров

α.

Решение системы уравнений (2.1.3) можно представит в виде

*T T1T*T

(β)( β )( β ).

αα

−

=+ +α FWF RWR FW

RWα

(2.1.4)

Следует отметить, что при использовании квадратичных критериев

качества, оптимизационная задача (2.1.2) имеет аналитическое решение.

Линейные интегрированные системы идентификации в зависимо-

сти от выбора матриц

, вектора

и управляющего парамет-

ра β, с учетом имеющейся априорной информации, порождают доста-

точно широкий спектр алгоритмов идентификации. Приведем соответ-

ствующие примеры:

1. Обобщенные оценки метода наименьших квадратов (МНК). При

β = 0 из (2.1.4) следуют обобщенные оценки наименьших квадратов [1–4]:

*T1T*

)( yWFFWFα

−

= , (2.1.5)

где под матрицей

1−

ξy

),1,),ξξ(cov(

−

= nji

понимается обратная

корреляционная матрица случайных величин

,1,ξ =

с нулевыми ма-

тематическими ожиданиями (

,1,0ξ ==M

При

(где I – единичная матрица) и β = 0 из (2.1.4) следуют

оценки метода наименьших квадратов

*T1T*

)( yFFFα

−

. (2.1.6)

2. Регуляризированные по Тихонову алгоритмы и Ridge-приближения.

Пусть в

===RW W

= 0. Тогда оценка (2.1.4) совпадает с регу-

ляризированной по Тихонову оценкой

*1T*

)β()β( yFIFFα

T−

(2.1.7)

для решения систем линейных уравнений

TT*

()( ),=FFα F

полученной

при решении оптимизационной задачи вида

=− +⋅Φ yFαα

(2.1.8)

где величина

β α⋅

играет роль стабилизирующего функционала, кото-

рый представляет уклонение решения от начала координат и позволяет

получить устойчивые решения задачи идентификации линейных сис-

тем при вырожденной матрице

. Следует также отметить, что

функционал (2.1.8) является частным случаем функционала для интег-

рированной системы моделей (2.1.1) в случае равенства нулю допол-

нительных данных о векторе оцениваемых параметров объекта. Оцен-

ка (2.1.7) получила название гребневой Ridge-оценки параметров ли-

нейной регрессии [15].

3. Байесовские оценки параметров линейных систем. При

−

=WV

αα

,,M,β 1,

−

====WVRΙα α

где

−

– обратная корреляционная мат-

рица априорного распределения случайного вектора параметров α оцен-

ка (2.1.4) примет вид

*T1 11T1*1

ξα ξ α

()( M)

−−−− −

=+ +α FV F V FV y V α

. (2.1.9)

Приближение (2.1.9) представляет Байесовскую оценку параметров

линейной регрессии, полученных методом максимума апостериорной

вероятности приведенного в приложении 3, где в качестве априорной

информации используются данные о среднем значении

M=αα случай-

ного параметра α, распределенного по нормальному закону с известной

корреляционной матрицей V

Следует отметить, что Байесовская оценка параметров регрессии

порождается интегрированной стохастической системой моделей вида

⎩

⎨

⎧

ηαα

ξFαy

(2.1.10)

и использованием частных квадратичных критериев качества.

4. Алгоритмы метода статистической регуляризации. При

,M:

−

==WVαα

*T1 1T1*

ξαξ α

(β)( β )( β M)

−−−

=+ +α FV F W FV

W α

. (2.1.11)

Приближение (2.1.4) представляет статистически регуляризированную

оценку в условиях неполной априорной информации о корреляционной

матрице априорного распределения

[20].

5. Алгоритмы идентификации при наличии ограничений на пара-

метры.

При W

= I и η = 0 (случайная составляющая в априорных дан-

ных отсутствует), оценка (2.1.11) соответствует решению задачи иден-

тификации при наличии ограничений типа равенств

α Rα

)β()β(),β(

T*1

T1T1

αRyVFRRFVFαα ++=

−−−

. (2.1.12)

Следует отметить, что при наличии линейных ограничений типа

неравенств

k≤−− )()(

ααRαα

оценка параметров α является мини-

максной и имеет вид

ααFyVFRFVFα +−+=

−−−

)()()(

T*1T11T*

ξξ

. (2.1.13)

Рассмотрим интегрированную систему моделей, где априорные сведе-

ния о параметрах модели объекта формируются с

d объекта-аналога:

, 1, .

kk k

⎧

⎪

⎨

=+ =

⎪

⎩

yFαξ

α R αη

(2.1.14)

Для данной системы в качестве оптимальной оценки вектора неизвест-

ных параметров α будем использовать величину:

(β)argmin( β )

kk k

==−+−

∑

αΦyFααR α

Вычисляя соответствующие производные и приравнивая их к нулю, по-

лучим систему линейных уравнений

)β()β(

∑∑

αα

+=+

kkkyk

αWRyWFαRWRFWF

(2.1.15)

для определения вектора параметров α.

Завершающим этапом адаптации линейной интегрированной систе-

мы моделей (2.1.1), (2.1.14) является задача определения оптимальных

управляющих параметров

****

arg min( ( *( )) ( ) β () )

∈

==−+−

∑

βΦαβyFαβ α R αβ

. (2.1.16)