Ташлыкова-Бушкевич И.И. Физика. Часть 1: Механика. Молекулярная физика и термодинамика. Электричество и магнетизм

Подождите немного. Документ загружается.

Из формулы (11.5) dTCdU

. Поэтому для произвольной массы идеального

газа получим

dTC

dUQ

==δ . (11.14)

2. Изобарный процесс (

const

, см. рис. 10.2, б). Согласно формуле

(11.3) работа при увеличении объема от

V до

V равна

)(

VVppdVA

−==

∫

. (11.15)

Воспользуемся уравнением Менделеева–Клапейрона (10.10):

pV = ,

pV = .

Откуда

)(

1212

VV −=−

Тогда уравнение (11.15) для работы изобарного расширения примет вид

)(

TTR

A −= . (11.16)

Физический смысл

молярной газовой постоянной R:

R численно равна работе 1 моля идеального газа при изобарном расширении

при нагреве его на 1К.

В изобарном процессе при сообщении газу массой т количества теплоты

dTC

=δ

его внутренняя энергия возрастает на величину согласно уравнению (11.5):

dTC

= .

3. Изотермический процесс (

const

, см. рис. 10.1). Исходя из выраже-

ния (11.3) и уравнения Менделеева–Клапейрона (10.10) найдем работу изотер-

мического расширения газа

lnln

pdVA

====

∫∫

Внутренняя энергия идеального газа при изотермическом процессе не изменя-

ется, так как

0== dTC

В изотермическом процессе теплоемкость газа не определена. Из первого нача-

ла термодинамики (11.2б) получаем

Все количество теплоты, сообщаемое газу, расходуется на совершение им рабо-

ты против внешних сил

lnln

AQ === . (11.17)

Следовательно, в течение изотермического расширения газа, чтобы его

температура не понижалась, к газу надо подводить количество теплоты, равное

работе газа при расширении.

4. Адиабатический процесс. Адиабатическим называется процесс,

при котором отсутствует теплообмен (

) между системой и окружающей

средой. При этом процессе теплоемкость равна нулю

, см. формулу (10.24).

Адиабатические процессы используют в холодильных установках и т.д.

Из первого начала термодинамики (11.2б) следует, что

−

, (11.18)

внешняя работа совершается за счет изменения внутренней энергии системы.

Можно доказать справедливость уравнения адиабатического процесса,

называемого также уравнением Пуассона:

constpV =

. (11.19)

Уравнение (11.19) объясняет причину названия γ показателем адиабаты.

Эквивалентные уравнения адиабатического процесса имеют вид

const

−

, (11.19а)

constpT =

−

. (11.19б)

Отметим, что γ называется также коэффициентом Пуассона.

Диаграмма адиабатического процесса в координатах (р, V) изображается

кривой, называемой адиабатой, рис. 11.2. Как видно из рис. 11.2, адиабата

идет круче изотермы, так как

11 >+==

Работа адиабатического расширения (при этом темпе-

ратура газа уменьшается от Т

до Т

) идеального газа

)(

TTC

dTC

−=−=













−=

∫∫

. (11.20)

5. Политропный процесс. Политропным на-

зывается процесс, в котором теплоемкость остается

постоянной. Исходя из первого начала термодинамики

(11.2б) для политропного процесса можно вывести

уравнение политропы

constpV

= , (11.21)

где

)()(

CCCCn

−

– показатель политропы. В частности, при

и из формулы (11.21) получается уравнение адиабаты.

11.2. Вероятность и флуктуации.

Смысл статистического описания: малость относительной флуктуации

Статистическая физика – это раздел физики, в котором изучаются

свойства макросистем исходя из индивидуальных свойств составляющих мак-

Рис. 11.2. К сравнению

графиков адиабаты

и изотермы

const

росистему частиц (число частиц порядка 10

– 10

) и взаимодействий между

ними.

Основу статистической физики составляет теория вероятностей. Веро-

ятность интересующего нас события характеризуется кратностью его повторе-

ния. Если из N случаев i-е событие происходит N

раз, то вероятностью P

этого

события называют величину

∞→

= lim .

Так как на практике N всегда конечно, то для вычисления вероятности

стараются, чтобы N и N

были достаточно большими. Поэтому можно рассчи-

тывать вероятность как

≈ . (11.22)

Сумма вероятностей всех возможных результатов измерений равна единице:

∑

P . (11.23)

Пусть некоторая величина х описывает, например, молекулу и принимает

дискретные значения

x с разной вероятностью

P . Тогда среднее (среднее

арифметическое) значение величины

вычисляется так:

∑∑

=>=<

xPxN

. (11.24)

Экспериментально наблюдаемая доля результатов

, когда событие осуще-

ствляется, испытывает флуктуации

−

∆

. Флуктуации – это случай-

ные отклонения физической величины от ее среднего значения. Отметим, что

флуктуации испытывают любые величины, зависящие от случайных факторов.

В статистической физике флуктуации вызываются хаотическим тепловым дви-

жением частиц, образующих систему. Даже в состоянии статистического рав-

новесия наблюдаемые физические величины испытывают флуктуации около

средних значений. Согласно теории вероятности, с увеличением числа N испы-

таний относительная флуктуация любой величины х уменьшается по закону

N1 . Поэтому макроскопические законы, полученные для очень большого

числа молекул, являются точными.

В дальнейшем обычно будем рассматривать малый объем

макросис-

темы ничтожно малого размера по сравнению с размерами самой макросисте-

мы, содержащий число частиц

настолько большое, что относительной флук-

туацией их можно пренебречь.

Функция распределения. Рассмотрим случай, когда случайная

величина х, например скорость молекулы, имеет непрерывный характер. Разо-

бьем всю область изменения х на отдельные достаточно небольшие интервалы

)

(

∆

, такие чтобы избежать заметных флуктуаций величины х. Пусть ΔP

– это вероятность попадания случайной величины в данный интервал.

Определим функцию распределения

)

(

как вероятность того, что ин-

тересующая нас величина окажется в единичном интервале вблизи значения х:

→

∆

∆ 0

lim)( . (11.25)

Вероятность того, что значение величины х попадет в интервал (а, b), равна

∫

dxxfP )( . (11.26)

Условие нормировки вероятностей: вероятность того, что величина х

может принять хотя бы какое-нибудь значение, равна 1, т.е.

∫

dx)x(f , (11.27)

где интегрирование проводится по всему интервалу (А, В) возможных значений

величины х. Таким образом, вся площадь под кривой

)

(

равна единице

(см. подтему 11.3). Уравнение (11.27) является аналогом формулы (11.23).

Если известна нормированная на единицу функция распределения вели-

чины х, то справедливы следующие формулы для среднего и среднеквадратич-

ного значений величины х:

∫

>=<

dx)x(xfx , (11.28)

∫

>=<

dx)x(fxx

. (11.29)

11.3. Распределение Максвелла. Средняя, средняя квадратичная и

наиболее вероятная скорости молекул

Рассмотрим газ, находящийся в состоянии равновесия при данной темпе-

ратуре. Все положения и направления движения молекул равновероятны. Пусть

N – общее число молекул газа в данном объеме. В газе устанавливается некото-

рое стационарное распределение молекул по скоростям, не зависящее от вре-

мени. Это распределение описывается функцией распределения Максвелла по

абсолютным значениям скоростей

)

(

, которая также не зависит от време-

ни. Величина

)

(

определяет относительное число молекул NdN , абсолют-

ные значения скоростей которых лежат в интервале от

до

. Очевидно,

что NdN пропорционально интервалу

υυ

)(

= . (11.30)

Тогда

)

(

)

(

– это число молекул, которые имеют скорости в ин-

тервале от

до

. В 1859 г. Дж. К. Максвелл получил формулу для

)

(

– распределение Максвелла по абсолютным значениям скоростей:













−













exp

4)(

πυ , (11.31)

где т – масса молекулы; k – постоянная Больцмана; Т – абсолютная температу-

ра. Эта функция

)

(

, показанная на рис. 11.3, удовлетворяет условию норми-

ровки (11.27):

1)(

∫

∞

υυ df

Отметим, что распределение Максвелла (11.31) является равновесным

стационарным

, т.е. доля молекул со скоростями от

до

остается посто-

янной, независимо от изменения скорости отдельных молекул при столкнове-

ниях.

Рис. 11.3. График функции распределения )(

f Максвелла в зависимости

от скорости молекул

Функция распределения Максвелла по проекциям скоростей молекул

определяется так:













−













zyx

)(

exp

),,(

222

υυυ

υυυ . (11.31а)

Тогда число молекул со скоростями от

до

в газе можно найти по формуле

zyxzyx

dddfNN

υυυυυυ

∫∫∫

=∆

),,( .

Запишем ранее полученное для средней кинетической энергии поступа-

тельного движения одной молекулы

идеального газа уравнение (10.15)

=>=<

пост

где согласно формуле (11.29)

кв

υυ =><

– средняя квадратичная скорость

молекул идеального газа. Следовательно, средняя квадратичная скорость равна

кв

33 ==υ . (11.32)

Скорость, при которой функция распределения молекул идеального газа

по скоростям

)

(

достигает максимума, называется наиболее вероятной

скоростью

вер

. Эта скорость определяется из условия 0

ddf и равна

вер

22 ==υ . (11.33)

<Т

)(

)

(

вер

<υ>

кв

dυ

Бóльшая часть молекул газа имеет скорости выше, чем

вер

(см. рис. 11.3).

Средняя (средняя арифметическая) скорость молекул газа согласно

определению (11.28) определяется как

ππ

υυυυ

)(

===

∫

∞

. (11.34)

Эти три скорости отличаются друг от друга числовыми множителями,

близкими к единице, причем

вкв

υυυ >> .

Распределение Максвелла для данного газа зависит только от температу-

ры: чем сильнее нагрет газ, тем быстрее движутся его молекулы. Поскольку с

повышением температуры газа значения

υ ,

кв

вер

увеличиваются, то мак-

симум функции

)

(

смещается в сторону бóльших скоростей, рис. 11.3, а его

абсолютная величина уменьшается. Площадь под кривой

)

(

сохраняется.

Кривые на рис. 11.3 можно также рассматривать и иначе – как соответст-

вующие газам при одной и той же температуре с разными массами молекул:

321

mmm

Эксперименты по определению функции распределения по скоростям в

реальных газах (1920) с высокой точностью подтвердили распределение Мак-

свелла для газов при не слишком высоком давлении.

11.4. Распределение молекул во внешнем поле.

Распределение Больцмана. Распределение Максвелла–Больцмана

Рассмотрим идеальный газ в однородном поле тяже-

сти. Атмосферное давление на какой-либо высоте

обу-

словлено весом вышележащих слоев газа. Будем считать,

что газ находится в состоянии термодинамического равно-

весия и его температура

всюду одинакова. Выделим на

высоте

столб газа высотой

и площадью основания S,

равной единице, рис. 11.4. Разность давлений

численно равна весу газа в выделенном цилиндре:

gdh

−

)

(

gdh

−

где Vm

– плотность газа на высоте

;

⋅

– элемент массы газа.

Знак минус в формуле показывает, что давление с высотой убывает.

Из уравнения Менделеева–Клапейрона (10.10) следует, что

(

)

RTMpmV )(

и )(RTMp

Тогда находим

gdh

dp −= или

−=

где в общем случае Т зависит только от h. Интегрируя последнее выражение по

высоте от 0 до h и по давлению от p

до р, получаем

)(

RThgM

epp

−

= , (11.35)

Рис. 11.4. К выводу

барометрической

формулы

p+dp

S=1 м

где

p – давление газа на высоте

. Следовательно, измерив с помощью ба-

рометра давление p

и р, можно по изменению давления определить высоту

ln= . (11.36)

Поэтому выражение (11.35) называется барометрической формулой и

определяет зависимость давления атмосферы от высоты над поверхностью

Земли. Из нее следует, что давление убывает с высотой тем быстрее, чем тяже-

лее газ (больше М) и чем ниже его температура, рис. 11.5, а.

Рис. 11.5. Схемы, иллюстрирующие барометрическую формулу и

закон Больцмана:

а – изменение давления газа р в зависимости от высоты h;

б – изменение концентрации газа п в зависимости от высоты h

Барометрическая формула позволяет получить соотношение между кон-

центрациями газа на различной высоте. Используем уравнение состояния иде-

ального газа в форме (10.11):

nkT

, где п – концентрация молекул. При

const

имеем

nnpp

, где п

– концентрация молекул газа при

давлении

p . Поэтому из выражения (11.35) получим

)(

kTmgh

enn

−

= , (11.37)

где MRmk

. Из уравнения (11.37) следует, что при повышении температу-

ры, т.е. при

∞

→

, молекулы оказываются распределенными по высоте почти

равномерно:

→

. При

→

К молекулы под действием силы тяжести бу-

дут опускаться на дно сосуда:

→

, рис. 11.5, б.

Учтем, что

Emgh

– потенциальная энергия молекулы в однородном

поле тяготения вблизи поверхности Земли. Примем, что на уровне

потен-

циальная энергия равна нулю. Тогда формулу (11.37) можно переписать в виде

)(

kTE

enn

−

= , (11.38)

где

n – плотность частиц, соответствующая точке, в которой 0

E . Выраже-

ние (11.38) – распределение Больцмана молекул газа по положениям – харак-

теризует распределение частиц во внешнем потенциальном поле и справедливо

при действии любых консервативных сил для совокупности любых одинаковых

частиц, которые находятся в состоянии хаотического теплового движения. Из

него следует, что при постоянной температуре плотность газа больше там, где

меньше потенциальная энергия его молекул, т.е. ближе к поверхности Земли.

>Т

>М

, Т

В поле внешних сил

молекулы газа подчиняются одновременно и распре-

делению Максвелла (по скоростям) (11.31а), и распределению Больцмана (по

положениям). В обеих формулах распределений присутствует экспоненциаль-

ный множитель, в показателе которого имеет место соответственно отношение

кинетической и потенциальной энергии одной молекулы к величине

, кото-

рая определяет среднюю энергию теплового движения молекулы. Оба распре-

деления можно объединить в один закон Максвелла–Больцмана (распреде-

ление Максвелла–Больцмана).

Рассмотрим элементарный объем идеального газа

, располо-

женный в точке с координатами x, y и z. Обязательным является то, что во всех

точках объема

концентрация п молекул должна быть одинакова. Число мо-

лекул

, компоненты скоростей которых изменяются в интервалах от

до

, а координаты – от x, y, z до x+dx, y+dy, z+dz,

в элементе объема

вычисляется так:

dxdydzdddfendVdddfndN

zyxzyx

kTE

zyxzyx

υυυυυυυυυυυυ ),,(),,(

)(

−

== .

По закону Максвелла–Больцмана число молекул определяется выражением

dxdydzddd

ndN

zyx

υυυ













−













exp

, (11.39)

где

n – плотность частиц, соответствующая точке (началу координат), в кото-

рой

E равна 0; потенциальная энергия ),,( zyxEE

; кинетическая энер-

гия – функция компонент скорости (

2222

zyx

υυυυ ++= ); EEm

=+2

υ – пол-

ная энергия молекулы.

11.5. Второе начало термодинамики. Обратимые и необратимые процессы

Первое начало термодинамики не позволяет установить направление про-

текания процессов. Оно не исключает возможности такого процесса, единст-

венным результатом которого было бы полное превращение теплоты, получен-

ной от некоторого тела, в работу, например существование вечного двигателя

второго рода. Вечным двигателем второго рода называется периодически

действующий двигатель, совершающий работу за счет охлаждения только ис-

точника теплоты. Обобщение огромного экспериментального материала приве-

ло к выводу о невозможности реализации данного двигателя и получило назва-

ние второго закона термодинамики.

Существует несколько эквивалентных формулировок второго начала

термодинамики. Приведем следующие формулировки.

Формулировка Клаузиуса: невозможен процесс, единственным резуль-

татом которого является передача теплоты от менее нагретого тела к телу более

нагретому.

Формулировка Кельвина: невозможны процессы, единственным конеч-

ным результатом которых было бы превращение всего полученного системой

тепла целиком в работу.

Второе начало термодинамики определяет направление протекания тер-

модинамических процессов, указывая какие процессы в природе возможны, а

какие – нет.

Тепловой двигатель – это периодически действующий двигатель, совер-

шающий работу за счет получения извне теплоты.

КПД теплового двигателя определяется так:

где Q

– сообщенное двигателю тепло; А – произведенная им работа. Величина

А представляет собой «полезный» «выход» двигателя (то, что мы получаем от

него), а Q

– то, что «вкладываем» в него. Поскольку полная энергия сохраняет-

ся, то подводимая теплота Q

должна быть равна сумме работы и количества

теплоты, отводимой при низкой температуре:

QAQ

Отсюда можно записать для КПД двигателя

−=

−

=η . (11.40)

Согласно соотношению (11.40) КПД двигателя тем выше, чем меньше будет

теплота Q

. Опыт показывает, что уменьшить Q

до нуля невозможно.

Формулировку Кельвина можно перефразировать:

невозможно создать тепловой двигатель с КПД

Термодинамический процесс называется обратимым, если он допускает

возвращение тела (системы) в первоначальное состояние без того, чтобы в ок-

ружающей среде остались какие-нибудь изменения. Необходимое и достаточ-

ное условие обратимости – равновесность термодинамического процесса, ко-

гда равновесие в каждой точке системы устанавливается быстрее длительности

самого процесса.

Квазистатический процесс – это бесконечно медленный переход термо-

динамической системы из одного равновесного состояния в другое, при кото-

ром термодинамическое состояние в любой момент времени бесконечно мало

отличается от равновесного и его можно рассматривать как состояние термо-

динамического равновесия.

Всякий термодинамический процесс, не удовлетворяющий условиям об-

ратимости, называется необратимым термодинамическим процессом. Все

реальные процессы являются необратимыми.

11.6. Энтропия. Закон возрастания энтропии. Макро- и микросостояния.

Статистический смысл энтропии. Энтропия и необратимость

Немецкий ученый Р. Клаузис (1865) показал, что процесс превращения

теплоты в работу подчиняется второму началу термодинамики, которое можно

сформулировать строго математически, если ввести особую функцию состоя-

ния – энтропию.

Круговым процессом (циклом) называется термодинамический процесс,

при котором все термодинамические параметры (и термодинамические функ-

ции) возвращаются к своим начальным значениям.

Запишем неравенство Клаузиуса для кругового процесса

0≤

∫

, (11.41)

где

– количество теплоты, сообщаемое системе (или отводимое от нее) на

бесконечно малом участке цикла; Т – абсолютная температура соответствую-

щего элемента среды. В термодинамике доказывается, что циклу, состоящему

только из обратимых процессов

, соответствует знак равенства (равенство

Клаузиуса). Иначе, если цикл сопровождается некоторыми необратимыми из-

менениями, то выполняется неравенство (знак «<» в выражении (11.41)).

Элементарное приведенное количество теплоты – это отношение элемен-

тарного количества тепла

, полученного телом при квазистатическом про-

цессе, к температуре T теплоотдающего тела (например окружающей среды).

Для обратимого процесса согласно равенству Клаузиуса

= (11.42)

есть полный дифференциал функции состояния S, называемый энтропией. Раз-

ность энтропий системы в двух произвольных состояниях 1 и 2 равна

∫∫

==−=

→

1221

AdU

SSS

δδ

∆ , (11.43)

где

21→

∆

– изменение энтропии в ходе некоторого процесса. Интегрирование

в выражении (11.43) ведется вдоль пути любого квазистатического обратимого

процесса, связывающего состояния 1 и 2. Отметим, что формула (11.42) опре-

деляет энтропию с точностью до аддитивной постоянной. Физический смысл

имеет не сама энтропия, а разности энтропий.

Таким образом, из второго начала термодинамики следует, что существу-

ет однозначная функция состояния S, которая при обратимых адиабатических

процессах (

) остается постоянной.

Согласно неравенству Клаузиуса (11.41) при необратимых процессах

∫

→

∆ . (11.43а)

Из соотношений (11.43) и (11.43а) следует утверждение, что энтропия

замкнутой (адиабатно изолированной) макросистемы не уменьшается:

≥

→

∆

, (11.44)

т.е. энтропия может или возрастать в случае необратимых (неравновесных) про-

цессов, или оставаться постоянной в случае обратимых процессов. Если же

макросистема незамкнута, т.е. обменивается теплотой с внешней средой, то ее

энтропия может изменяться любым образом.