Ташлыкова-Бушкевич И.И. Физика. Часть 1: Механика. Молекулярная физика и термодинамика. Электричество и магнетизм

Подождите немного. Документ загружается.

Из формулы (12.2) следует принцип суперпозиции электрических

полей:

напряженность электрического поля системы точечных зарядов равна век-

торной сумме напряженностей полей каждого из этих зарядов в отдельности:

∑∑

πε

, (12.6)

где

– радиус-вектор, проведенный от точечного заряда

q к точке, где изме-

ряется поле. Таким образом, результирующее поле можно рассматривать как

наложение (суперпозицию) полей каждого из зарядов системы в отдельности.

Если заряд непрерывно распределен, например, по объему V, то

формула (12.5) будет представлена в другой форме. Надо заменить

на

и вместо суммирования провести интегрирование по области про-

странства, где

отлично от нуля:

∫

dVr

πε

. (12.7)

Аналогично, когда заряды распределены в заряженном теле непрерывно

вдоль некоторой линии l или на поверхности S, тогда напряженность поля, ис-

пользуя соотношения (12.3), определяется соответственно по формулам:

∫

dlr

πε

∫

dSr

πε

. (12.7а)

В однородной изотропной среде, относительно плохо проводящей элек-

трический ток (диэлектрике, см. подтему 13.1), которая безгранична или запол-

няет объем, ограниченный эквипотенциальными поверхностями поля зарядов

(см. подтему 12.4), сила

(12.1) и напряженность

поля (12.5) определяются

как

επε

= , модуль

επε

, (12.8)

επε

= , модуль

επε

, (12.8а)

где

– диэлектрическая проницаемость среды (см. подтему 13.2) – безраз-

мерная величина, показывающая, во сколько раз уменьшается взаимодействие

точечных зарядов в данной среде по сравнению с вакуумом. Диэлектрическая

проницаемость вакуума 1

вак

Зная распределение зарядов, мы можем рассчитать напряженность

электрического поля по формуле (12.6), если поле дискретно, или по форму-

лам (12.7), (12.7а), если распределение зарядов непрерывно. При этом для на-

хождения вектора

надо вычислить сначала его проекции. Например, в декар-

товых координатах:

∫

dEE ,

∫

dEE ,

∫

dEE ,

222

zyx

EEEE ++= ,

где проекции вектора

–

zyx

EEE ,, – три интеграла типа (12.7) или (12.7а).

Только тогда, когда система зарядов обладает той или иной симметрией, задача,

как правило, значительно облегчается.

12.2. Поток вектора

Теорема Гаусса и ее применение к расчету поля

Рассмотрим элементарную площадку

, которую пронизывают линии

напряженности, рис. 12.3. Пусть

– единичный вектор, перпендикулярный

площадке

∆

и направленный под углом α к вектору

. Тогда число линий на-

пряженности, пронизывающих элементарную площадку

∆

, равно

SESE

∆

cos , где

E – проекция вектора

на нормаль

к площадке

Величина SESESEФ

∆∆∆∆ === αcos называется потоком вектора

напряженности электростатического поля через площадку

∆

. Здесь

nSS

∆∆ = – вектор, модуль которого равен

∆

, его направление совпадает с

направлением

к площадке. Отметим, что выбор направления вектора

усло-

вен, его можно было направить в противоположную сторону на рис. 12.4.

Если поле неоднородно и поверхность S не плоская (см. рис. 12.4), то,

разбивая поверхность на участки

∆

( ni ,1= ) так, чтобы каждый элемент

∆

был плоским и электрическое поле в пределах элемента было однородным, по-

лучаем для потока напряженности через всю поверхность

∑

⋅≈

iiE

SEФ

∆ ,

где

– напряженность поля, отвечающая элементу

∆ . При 0

→

∆

S сумма переходит в интеграл по

всей поверхности, и равенство становится точным:

∫

⋅= SdEФ

. (12.9)

Поток вектора

через произвольную замкну-

тую поверхность S, т.е. через поверхность, ограничи-

вающую некоторую область пространства равен

∫∫

=⋅=

dSESdEФ

, (12.10)

где знак

∫

показывает, что интеграл берется по замк-

нутой поверхности.

Для наглядного изображения электростатиче-

ского поля будем проводить через единичную пло-

щадку, перпендикулярную силовым линиям поля,

число силовых линий N, равное модулю потока Ф

вектора напряженности.

В случае замкнутой поверхности принято брать нормаль, направленную

наружу области, охватываемой этой поверхностью, т.е. внешнюю нормаль,

Рис. 12.3. Однородное

электрическое поле

изображено

параллельными силовыми

линиями, проходящими

через поверхность

площадки

∆

Штриховыми линиями

изображена проекция

площади

∆

на плоскость,

перпендикулярную

сил

вым линиям поля

ΔS

⊥

∆

рис. 12.5. Знак потока

Ф определяется следующим образом. Когда силовые

линии выходят из объема (рис. 12.5, угол

), то поток будет положите-

лен. А если силовые линии входят в объем (см. рис. 12.5, угол

, т.е.

cos

), то поток будет отрицателен.

Теорема Гаусса для вектора

(для электростатического поля в вакууме):

поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме через

произвольную замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме N заря-

дов q

, охватываемых этой поверхностью, деленной на электрическую посто-

янную

∑

∫

=⋅

qSdE

. (12.11)

Доказательство:

Известно, что напряженность поля точечного заряда q определяется как

πε

= , (12.11а)

а по величине модуль напряженности равен

πε

Рассмотрим воображаемую замкнутую сферическую

поверхность радиуса r, в центре которой помещен точеч-

ный положительный заряд q. Силовые линии заряда q цен-

трально симметричны, рис. 12.6. В соответствии с форму-

лой (12.10а) в каждой точке этой поверхности проекция

вектора

на внешнюю нормаль будет равна

πε

= .

Следовательно, поток вектора

через поверхность равен

πε

SEdSEФ

====

∫

. (12.11б)

Выражение (12.11б) не зависит от r. Так как силовые линии нигде не пересека-

ются, то их число будет таким же через любую замкнутую поверхность, охва-

тывающую заряд q.

Если заряд положителен, то на нем начинается число линий

нач

Для отрицательного заряда линии идут из бесконечности, заканчиваясь на нем:

−

зак

Количество линий при этом 0

зак

N , т.е. неотрицательно, так как

. Отме-

тим, что число линий отрицательным быть не может.

В соответствии с принципом суперпозиции (12.6) электрических полей

заключаем, что для зарядов одного знака справедливо уравнение (12.11). Если

внутри замкнутой поверхности S находится N

положительных точечных заря-

дов и N

отрицательных точечных зарядов, то количество силовых линий будет

следующим:

∑

iнач

∑

−=

kзак

Поэтому общий поток вектора

будет равен разности потоков полей по-

Рис. 12.6. К выводу

теоремы Гаусса

ложительных и отрицательных зарядов, т.е. соответственно разности числа ли-

ний, начинающихся и оканчивающихся внутри поверхности:

∑∑∑

=+=−=

== ki

iзакначE

qqqNNФ

111

εεε

где

∑

– алгебраическая сумма всех зарядов внутри поверхности S,

что и требовалось доказать.

Если заряды

q расположены вне замкнутой поверхности или суммарный

заряд внутри замкнутой поверхности равен нулю, то поток вектора

через нее

Ф равен нулю. Наглядно это можно объяснить тем, что количество линий, ко-

торые входят в объем, ограниченный поверхностью S, равно числу линий, вы-

ходящих из него.

Теорема Гаусса для вектора

в дифференциальной форме. При рас-

смотрении поля, создаваемого макроскопическим зарядом, заряд считают рас-

пределенным в пространстве непрерывно с конечной объемной плотностью ρ.

Тогда можно считать, что каждый элементарный объем

∆

представляет собой

точечный заряд

∆

Разделим поток вектора

через замкнутую поверхность S на объем

∆

заключенный внутри данной поверхности:

=⋅

∫

SdE

∆

и будем стягивать эту поверхность в точку. Полученная скалярная величина на-

зывается дивергенцией вектора

SdE

Ediv

∆

∫

⋅

→

lim .

Можно показать, что в декартовой системе координат

EEdiv

∂

=⋅∇≡

Согласно теореме Остроградского из векторного анализа

∫∫

=⋅

dVEdivSdE

. (12.12)

Сопоставив уравнения (12.11) и (12.12), сформулируем теорему Гаусса (12.11)

в дифференциальной форме:

дивергенция вектора

в некоторой точке электростатического поля равна

объемной плотности электрического заряда ρ в этой точке, деленной на

=Ediv

. (12.13)

Те точки поля, где

div

положительна, называются источниками век-

торного поля (положительные заряды), а те точки, где она отрицательна, – сто-

ками (отрицательные заряды). Отметим, что поверхность интегрирования

выбирают так, чтобы модуль вектора

был или постоянен по всей поверхно-

сти, или на отдельных ее участках.

Пример. Определить напряженность

: а) вне

сферы и б) внутри сферы радиусом

r заряженной по-

ложительно, если заряд Q равномерно распределен по

тонкой сферической оболочке (рис. 12.7).

Решение. А. Выберем поверхность интегрирова-

ния S

в виде сферы радиуса

, центр которой сов-

падает с центром заряженной сферической оболочки.

Из-за равномерного распределения заряда по

сфере поле

сферически симметрично. Вектор

на-

правлен наружу, так как заряд положителен, и имеет

только радиальную составляющую

= , где

– радиус вектор из центра

сферы в рассматриваемую точку поля. Следовательно,

Поскольку вектор

перпендикулярен к поверхности S

, то справедливо

↑↑

, где

– вектор внешней нормали к поверхности S

. Поэтому

1),cos( =

∧

. Тогда согласно теореме Гаусса (12.11)

)4(

111

επ QrEdSEdSESdE

=⋅===⋅

∫∫∫

В результате получаем, что напряженность поля

E ⋅=

πε

т.е. является такой же, как если бы весь заряд находился бы в центре сферы.

Б. Выберем поверхность интегрирования S

в виде сферы радиуса

. Поле должно быть

также сферически симметрично. Используем

теорему Гаусса (12.11) и получим

0)4(

=⋅==⋅

∫∫

rEdSESdE

поскольку внутри сферы заряд равен нулю.

Внутри заряженной сферы

, рис. 12.8.

Необходимо отметить, что внутри любого

проводящего шара, весь заряд которого сосредо-

точен в тонком поверхностном слое, напряжен-

ность поля равна нулю.

Таким образом, применение теоремы Гаусса (12.11) для расчета полей

эффективно в том случае, когда поле обладает специальной симметрией (чаще

всего плоской, цилиндрической или сферической).

Рис. 12.7. К вычислению

поля равномерно

заряженной сферической

оболочки

Рис. 12.8. Зависимость

напряженности электрического

поля Е от расстояния r до

центра равномерно заряженной

сферической оболочки

радиуса r

1~ r

12.3. Теорема о циркуляции вектора

. Потенциал.

Потенциал поля точечного заряда

Рассмотрим неподвижный точечный заряд Q,

который создает в вакууме электростатическое по-

ле

πε

= . Пусть в этом поле перемещается

другой точечный заряд q из начального положения

1 в конечное положение 2 вдоль произвольной кри-

вой 1–2 (рис. 12.9). Тогда сила, приложенная со

стороны поля к заряду, совершает работу, выра-

жающуюся линейным интегралом, который берется

по некоторой линии (пути):

∫∫

⋅

=⋅=

)(

rdrqQ

rdEqA

πε

. (12.14)

Но

rdr

⋅

, в чем легко убедиться, дифференцируя тождество

. По-

этому интеграл (12.14) сводится к определенному интегралу













−==

∫

210

drqQ

πεπε

. (12.14а)

Работа

A не зависит от траектории перемещения, а определяется только по-

ложением точек 1 и 2. Следовательно, электростатическое поле точечного заря-

да является стационарным и потенциальным

, а электростатические силы – кон-

сервативными (см. подтемы 4.5, 4.6). Доказанное утверждение справедливо для

любого электростатического поля.

Допустим, что в электростатическом поле заряд

переносится из точки 1 в точку 2 сначала по пути 1–3–2,

а затем по пути 1–4–2, рис. 12.10. В обоих случаях рабо-

ты сил одинаковы:

142132

. Если заряд переносится

по замкнутому пути 1–3–2–4–1, то на участке 2–4–1 ра-

бота изменит знак:

142241

−

. Поэтому имеем, что

13241241132

AAA .

Значит, при перемещении заряда по любому замкнуто-

му пути работа в электростатическом поле равна нулю.

Если перемещаемый заряд единичный (

Кл), то работа по замкнуто-

му пути сводится к интегралу

∫∫∫

==⋅

dlE)ld,Ecos(EdlldE

, (12.15)

где

E – проекция вектора

на направление бесконечно малого перемещения

вдоль контура L в данной точке поля; τ

dlld = (

– единичный вектор каса-

тельной к контуру). Такой интеграл называется циркуляцией вектора напря-

Рис. 12.9. К определению

работы перемещения заряда в

электростатическом поле

( 0,

qQ )

Рис. 12.10. Работа при

перемещении заряда в

электростатическом

поле не зависит от

формы пути

женности

электростатического поля по замкнутому контуру L.

Теорема о циркуляции вектора

циркуляция вектора напряженности электростатического

поля вдоль любого

замкнутого контура равна нулю:

0=⋅

∫

ldE

. (12.16)

Равенство (12.16) можно рассматривать как определение потенциальности

поля. Таким образом, любое электростатическое поле потенциально.

Для потенциальных полей можно ввести понятие потенциала – энергети-

ческой характеристики поля.

Потенциал

)

(

– это скалярная физическая величина, численно равная

потенциальной энергии

)

(

единичного положительного заряда в данной

точке пространства:

)(

=ϕ

. (12.17)

Потенциал определен с точностью до аддитивной постоянной. За нулевой по-

тенциал часто удобно принимать потенциал бесконечно удаленной точки про-

странства. На практике за нулевой потенциал обычно принимают потенциал на

поверхности Земли.

Единица потенциала в СИ – вольт (В).

1 В есть потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает по-

тенциальной энергией 1 Дж (1 В = 1 Дж/ 1 Кл).

В потенциальном поле тела обладают потенциальной энергией и работа

консервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии

211212

WW)WW(WA

−

∆

−

. (12.18)

Тогда в соответствии с выражением (12.14) для точечного заряда можно

записать

πε

ϕ , (12.19)

где постоянная С не играет роли, так как электростатические поля связаны с

разностью потенциалов. Потенциал – это неоднозначная характеристика поля, а

напряженность – однозначная. Считая, что при удалении заряда на бесконеч-

ность потенциальная энергия обращается в нуль

)

(

∞

, получаем

записываем формулу (12.19) без константы.

Разностью потенциалов

−

между точками 1 и 2 называется работа,

совершаемая силами поля при перемещении единичного положительного заря-

да по произвольному пути из точки 1 и в точку 2:

=−ϕϕ

, (12.20)

где (

−

) – убыль потенциала. Согласно формулам (12.13), (12.15) и (12.19):

∫∫

==−

dlEldE

ϕϕ , (12.21)

где

– бесконечно малое перемещение, а интеграл берется вдоль произволь-

ной кривой между начальной и конечной точками.

Если перемещать заряд из произвольной точки на бесконечность, где по-

тенциальная энергия, а значит, и потенциал принимаются равными нулю, то

работа сил электростатического поля

∞

, откуда

∞

=ϕ

. (12.22)

Поэтому можно сформулировать следующее определение потенциала:

потенциал – это физическая величина, определяемая работой сил поля по

перемещению единичного положительного заряда при его удалении из дан-

ной точки пространства в бесконечность.

12.4. Связь потенциала и напряженности поля.

Потенциал поля системы зарядов

Пусть в пространстве имеется электростатическое поле

. В произволь-

ном направлении перемещается точечный заряд q на отрезок

. При этом си-

лы поля совершают работу

dlqE)ldE(qdA

, (12.23)

где

E – проекция вектора

на направление бесконечно малого перемещения

. Эту работу можно определить через убыль потенциала

)

(

−

qqddA













∂

−=−=

ϕ . (12.23а)

Приравняв (12.23) и (12.23а), имеем

qdlqE













∂

−=

∂

−=

. (12.24)

Таким образом, проекция вектора

на направление

равна скорости

убывания потенциала вдоль этого направления.

Взяв в качестве этого направления l координатные оси X, Y и Z, получим

для компонентов вектора

∂

−=

∂

−=

∂

−=

Соответственно выражение для

имеет вид

ϕϕ

ϕϕϕ

∇−≡−=













∂

−=

gradk

, (12.25)

т.е. напряженность электростатического поля равна градиенту потенциала, взя-

тому с обратным знаком. Следовательно, зная функцию

)

(

, можно опреде-

лить напряженность поля

. Знак минус в формуле (12.25) показывает, что

вектор

направлен в сторону убывания потенциала.

Для графического изображения распределения потенциала используют

эквипотенциальные поверхности – поверхности, во всех точках которых по-

тенциал имеет одно и то же значение.

Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении

электрического заряда по одной и той же эквипотенциальной поверхности, рав-

на нулю. Поэтому силовые линии пересекают эквипотенциальные поверхности

под прямым углом, вектор

будет перпендикулярен эквипотенциальным

поверхностям.

Эквипотенциальные поверхности обыч-

но проводят так

, чтобы разности потенциалов

между двумя соседними эквипотенциальными

поверхностями были одинаковы. Тогда густо-

та эквипотенциальных поверхностей наглядно

характеризует напряженность поля в разных

точках. Там, где эти поверхности расположены

гуще, напряженность больше. На рис. 12.11

пунктиром изображены силовые линии элек-

тростатического поля точечного положитель-

ного заряда, сплошными линиями – сечения

эквипотенциальных поверхностей.

Потенциал поля системы зарядов. Пусть система состоит из неподвиж-

ных точечных зарядов

q (

n,i 1= ). Используем принцип суперпозиции электри-

ческих полей (12.6). В любой точке поля напряженность

∑

, где

– на-

пряженность поля заряда

q . Поскольку ϕ∇−=

E , а

E ϕ∇−=

, то мы можем

вынести оператор дифференцирования

∇

за знак суммы. Получим принцип су-

перпозиции для потенциала системы неподвижных точечных зарядов:

∑

)()(

ϕϕ ,

где

– радиус-вектор i-го точечного заряда, проведенный из интересующей

нас точки.

Потенциал системы неподвижных точечных зарядов определяется как

∑

πε

ϕ , (12.26)

где

r – расстояние от точечного заряда

q до интересующей нас точки поля. В

выражении (12.26) произвольная константа опущена. Всякая реальная система

зарядов ограничена в пространстве, поэтому ее потенциал на бесконечности

можно принять равным нулю.

Если заряды, образующие систему, распределены в пространстве непре-

рывно, то

∫

πε

, (12.27)

Рис. 12.11. Эквипотенциальные

поверхности (пунктирные линии) и

силовые линии (сплошные линии)

поля точечного

положительного з

ряда