Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. т а ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 3
Подождите немного. Документ загружается.
§2.
Диференціальні рівняння вищих порядків
71
§2.
Диференціальні рівняння вищих порядків
І.
Короткі теоретичні відомості
Основні поняття. Диференціальним рівнянням п- го порядку нази-
вається рівняння вигляду
Г(х,у,у',...у
п
) = 0 (1.63)
або
У"
)
=Л.г,у,/,...У"-
,)
).
(1.64)
Задачею Коші для диференціального рівняння (1.64) називається за-
дача відшукання його розв'язку у = у(х), що задовольняє задані початкові
умови
У(х
0
) =
Уо>
уЬО) =
УО,---,
/""'
)
и
0
)
=
^
п
-
|)
.
(1.65)
Загальним розв 'язком диференціального рівняння
(1.63)
або
(1.64)
на-
зивається така функція у = ф(х,С,,...С„), яка при будь-яких припустимих
значеннях параметрів
С\,...С„
є розв'язком цього диференціального рів-
няння і для будь-якої задачі Коші з умовами
(1.65)
знайдуться сталі
С| -С\С
п
= С° , які визначаються з системи рівнянь
у
0
= ф(х
0
,С,,...,С
п
),
Уо =ф'(х
0
,С
1
,...,С
п
)
)
>
>Г
,
>=ф<"-
,
Ч*О,С„...,С
Я
),
такі,
що функція у = ф(х,С]°,...,С°) задовольняє ці початкові умови.
Загальним інтегралом диференціального рівняння називається рівняння
Ф(х,у,С
]
,...,С„) = 0, (1.66)
яке визначає загальний розв'язок як неявну функцію.
Частинний розв 'язок або частинний інтеграл отримується із загаль-
ного при заданих числових значеннях сталих
С\,...,С„.
Теорема існування і сдиності розв 'язку задачі Коші. Якщо диферен-
ціальне рівняння (1.64) таке, що функція /{х, у,
у',...)
в деякій області
О зміни своїх аргументів неперервна і має неперервні частинні похідні
л '
~Т~!<-
•
•' ТТ^ГГ'
то тя
будь-якої точки (х
0
,у
0
,у'
0
,...,
>>{,""''
)є О існує єди-
ду ду ду
к
" '>
ний розв'язок цього диференціального рівняння, який задовольняє початко-
ві умови (1.65).
72
Глава 1. Диференціальні рівняння
Диференціальні рівняння вищих порядків, які допускають зни-
ження порядку
1.
Рівняння вигляду
У
и)
=/(х), (1.67)
де /(х) - задана неперервна функція.
Загальний розв'язок цього рівняння отримується п - кратним послі-
довним інтегруванням.
=_[/(*)
л + с,,
/я-2)
=1 Цд
х
)
ах
)
ах + С]
х
+
С
2
,
у
і»-з)
=
Щ
Цд
х
)ах)сіх)ах
+ ^-х
2
+ С
2
х + С
3
,
у
=
\Ц (|
(ІАх)ф)сіх...)<А-
+
^х"->
+ +
...
+
С
и
.
2.
Рівняння вигляду
Г(х,/
п)
) = 0. (1.68)
Якщо це рівняння можна розв'язати відносно у
(п)
, то маємо вже роз-
глянутий випадок рівняння (1.67).
Припустимо, що рівняння (1.68) можна розв'язати відносно х :
х =
/(/">).
(1.69)
Тоді підстановка
/"=/
знову зводить його до рівняння (1.67).
Дійсно,
рівняння (1.69) набуде вигляду
звідки
сіх
= /'(і) сії .
Підставимо У"' і сіх у тотожність
лсу-
1
») =
/"><&,
тоді маємо
сі(у
і
"-
і)
)
=
ІҐ(1)сіі,
/"-'^///'(ОЛ + С,. (1.70)
Інтегруючи послідовно рівняння (1.70) і враховуючи щоразу, що
сіх - /'(і) сії, дістанемо розв'язок рівняння (1.69) у параметричній формі.
§2.
Диференціальні рівняння вищих порядків
73
3.
Рівняння вигляду
Пх,/
к)
У
м
\...У
и)
)
= 0,
(1.71)
тобто рівняння
не містить шуканої функції та її похідних до (к -1) - го
порядку включно.
У цьому випадку порядок рівняння знижується
до (п - к)
заміною
змінних
у
(к)
=р(х).
(1.72)
Після заміни рівняння (1.71) набуде вигляду
Г(х,р,р',...,р
(п
-
к)
)
= 1).
Із цього рівняння визначається функція
р =
/(х,С
х
,С
2
,...,С
п
„
к
),
а
функцію
у(х)
знаходимо
із
рівняння
у
(к)
=Г(х,С
х
,С
2
,...,С„_
к
)
к -
кратним інтегруванням.
4.
Рівняння вигляду
Г(у,у\у\...,у
(п)
)
= 0,
(1.73)
тобто рівняння
не містить явно незалежної змінної х .
Підстановкою
у'=р(у)
(1.74)
порядок рівняння знижується
на
одиницю.
Дійсно, врахуємо,
що
±
=
ах
сі у _сІр сір ау _ ф
ах
2
сіх йу ах ау
(1.75)
сі
3
у _ сі
сіх
3
~ сіх
(сір
Л
_
сі
(сір
\
—'—
п
~
сіу
СІу
СІ
2
р 2
—
= %-р +
сіх ау
'ф
і
так
далі.
Підставивши
ці
вирази замість
у',у",...,у
(п
^
у
задане рівняння, отри-
маємо диференціальне рівняння
(п -1) - го
порядку.
5.
Рівняння вигляду
Р{хУУ,...У
И)
)
= 0,
(1.76)
ліва
частина якого є повною похідною по х від деякої функції
Ф(х,у,у',...,/"~
1)
).
74
Глава 1. Диференціальні рівняння
Тоді рівняння (1.76) можна записати у вигляді
^-Ф(х,у,/,...,у
{
"-
])
) = 0. (1.77)
сіх
Інтегруючи по х, отримуємо рівняння
Ф(х,у,/,...,/"~
1)
) = с;
порядок якого на одиницю нижче порядку вихідного рівняння (1.76).
6. Рівняння вигляду
Р(х,у,у',...,у
{п)
) = 0, (1.78)
де ліва частина є однорідною функцією п- го виміру відносно
у,у,..
,
тобто
Р(х, (у, //,...,
ІУ
{И)
)*І"ПХ,У,У,...,У
{П)
),
1*0.
Кажуть, що рівняння (1.78) однорідне відносно функції у(х) та її
похідних.
Порядок рівняння можна знизити, застосувавши заміну
у = е^ (1.79)
або
/ = *У>
де г(х) - нова шукана функція.
Дійсно, диференціюючи, отримуємо
У = Є
1
•
2 ,
У =Є
І
(2
2
+2),
т 2
сіх
з / #
у —е (і + Зи + і ) ,
/">=Л(^',..,г
И
).
Підставляючи ці вирази у рівняння (1.78) і враховуючи, що в силу
однорідності множник можна винести за знак функції /Дотримуємо
Є"^/(Х,2,2',...,^'
])
)
= 0.
п\ісіх
Скоротивши на є , маємо
Дх,2,2',...,2
(
"-") = 0,
тобто отримали диференціальне рівняння (п -1) - го порядку.
§2.
Диференціальні рівняння вищих порядків
75
Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків. Загальна теорія
Лінійні однорідні диференціальні рівняння. Рівняння вигляду
у
(и)
+ а,
(х)у
(
"'
Х)
+ ...+ а
п
_
х
(х)у' +
а„
(х)у = 0
(1.80)
називається лінійним однорідним диференціальним рівнянням
п-го
порядку.
Більш загальний вигляд цього рівняння
а
0
{х)у
(п)
+ а,
(х)у
(
"~
[)
+... + (х)у' + а
п
(х)у = 0,
де
а
0
(х)
Ф
0,
зводиться
до
вигляду (1.80) діленням обох частин рівняння
на
а
0
(х)*0.
Якщо відомий який-небудь частинний розв'язок
У\(х)
рівняння (1.80),
то підстановка
у(х) =
у
х
(х)г(х) призводить
це
рівняння
до
лінійного рів-
няння відносно функції
г(х), яке не
містить явно
цю
функцію. Тому, покла-
даючи
г\х)
= и(х),
оіримаємо лінійне однорідне рівняння
(п -1)- го
порядку відносно функції
и(х).
Визначником Вронського (вронскіаном) системи функцій
у
х
(х),
у
2
(х),...,у
п
(х)
називається визначник
У\(х)
У
2
(х) ... у„(х)
Щх)=
у'^ У*™ - у»м
У
1
ҐЧх)у?-
і
\х)...уї-
1
\х)
Якщо система функцій у
1
(х),у
2
(х),...,у
п
(х) лінійно залежна
на ін-
тервалі
(а,Ь) , то IV(х) = 0 для
всіх
х є (а, Ь).
Якщо
ж
хоча
б в
одній точці
х
0
є(а,Ь)
маємо УУ(х
0
) Ф
0 , то
система функцій у
{
(х),у
2
(х),...,у
п
(х)
лі-
нійно незалежна
на
(а,Ь).
Фундаментальною системою розв 'язків лінійного однорідного
ди-
ференціального рівняння (1.80) називається будь-яка система
з п
лінійно
незалежних розв'язків у
]
(х),у
2
(х),у„(х) цього рівняння.
Загальний розв 'язок лінійного однорідного диференціального рівняння
(1.80) представляється
у
вигляді
У
=
^С,у,, (1.81)
де У](х),у
2
(х),...,у„(х)
-
фундаментальна система розв'язків цього рів-
няння,
С,,і=\,п
-
довільні сталі.
76
Глава 1. Диференціальні рівняння
Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння. Рівняння вигляду
У» +
в,
(х)У
4
>+...+
а
п
_
х
(х)/
+
а
п
(х)у = Дх),
(1.82)
в якому /(х) Ф 0, називається лінійним неоднорідним диференціальним рів-
нянням п - го порядку.
Більш загальний вигляд цього рівняння
а
0
(х)У
>
+ а, «У"
1
» +... + о
и
_, (х)/+ а
п
(х)у = Дх),
де а
0
(х) ^ 0, Дх) Ф 0 , зводиться до вигляду (1.82) діленням обох частин
рівняння на а
0
(х)
Ф
0 .
Загальний розв'язок лінійного неоднорідного диференціального рів-
няння (1.82) визначається формулою
у(х) = у
0
(х) + у(х), (1.83)
де Уо(х)
—
загальний розв'язок відповідного лінійного однорідного дифе-
ренціального рівняння (1.80), а у(х) - деякий частинний розв'язок неодно-
рідного рівняння (1.82).
Для знаходження частинного розв'язку у(х) рівняння (1.82) може
бути використано метод варіації довільних сталих.
Метод варіації довільних сталих (метод Лагранжа)
Нехай функція
у = С
іУі
+С
2
у
2
+... + С„у„ (1.84)
є загальним розв'язком відповідного неоднорідному рівнянню (1.82) одно-
рідного рівняння (1.80).
Згідно з методом варіації довільних сталих частинний розв'язок у(х)
неоднорідного рівняння (1.82) знаходимо у такому ж вигляді (1.84), вважаю-
чи,
що С,,
С
2
,...,
С„ - функції від х, тобто покладемо
у = С,(х)
Уі
+
С
2
(х)у
2
+... + С„(х)у
п
, (1.85)
де С
1
(х),С
2
(х),...,С
п
(х) - невідомі функції.
Складемо систему рівнянь
С[(х)
У]
+
С'
2
(х)у
2
+ ...+
С'
п
(х)у
п
= 0,
С[{х)у\ +
С
2
(х)у
2
+ ...+
С'
п
(х)у'
п
= 0,
• (1.86)
с,'(х)у-
2)
+
с;(х)у-
2)
+ ...+
С'„(х)у
{
Г
2)
= о,
с[(^
1
(п
-
,)
+ с
2
(х)у^ + ...+
с
п
{х)у\г
ц
= т-
§2,
Диференціальні рівняння вищих порядків
77
Розв'язуючи цю систему, знаходимо похідні С,'(х), / = \,п , а потім ін-
тегруванням - і самі функції С, (х), і = \,п .
Якщо взяти всі сталі інтегрування рівними нулю і підставити функції
С, (х) у рівність (1.85), то матимемо частинний розв'язок неоднорідного рів-
няння (1.82). Якщо у рівність (1.85) підставити функції С
І
(х) + С
І
, де С, -
довільні сталі, то відразу дістанемо загальний розв'язок.
Зауважимо, що коли порядок диференціального рівняння п = 2 , сис-
тема (1.86) для визначення С[(х),С'
2
(х) набуває вигляду:
С[(х)у
]
+С
2
(х)у
2
=0,
С'
1
(х)уі
+ С'
2
(х)у'
2
= Дх).
Принцип суперпозиції розв'язків. Якщо функції у,(х) - частинні
розв'язки рівнянь
У
п)
+ я, (х)у
{
"-
]
>+... + а„_
{
(х)у' + а
п
(х)у = /, (х), / = ЇД ,
то функція
к
є частинним розв'язком рівняння
у
{п)
+ а, (х)у
{п
-
х)
+... + а
п
_
х
(х)/ + а
п
(х)у = £ /, (х).
/=і
Лінійні однорідні диференціальні рівняння п - го порядку зі ста-
лими коефіцієнтами. Лінійне однорідне диференціальне рівняння п- го
порядку зі сталими коефіцієнтами має вигляд
у
іп)
+а
]
у
(
"-
])
+...
+
а„_У+а„у=0,
(1.88)
де а,,і = \,п - дійсні числа.
Метод побудови фундаментальної системи розв'язків цього рівняння
(метод Ейлера) полягає в тому, що частинні розв'язки рівняння (1.88) шука-
ють у вигляді
у = е
Іа
, (1.89)
де к - стала, дійсна чи комплексна, що підлягає визначенню.
Підстановка функції (1.89) та її похідних у диференціальне рівняння
(1.88) призводить до рівняння
к"
+а
1
к"~
1
+ ... +
а
п
_
х
к
+ а„ = 0, (1.90)
яке називається характеристичним для рівняння (1.88).
78
Глава
1,
Диференціальні рівняння
Рівняння (1.90) отримується
з
(1.88) формально заміною похідних
степенями
к', і = 0,п (у
(0)
= у).
Кожному дійсному кореню
к
рівняння (1.90) кратності
г
відповідає
г лінійно незалежних розв'язків рівняння (1.88)
е
Ьг
,«
Ь;
,...,х'-
1
е^.
(1.91)
Кожній парі комплексно-спряжених коренів
а ± ф
кратності
І
від-
повідає
* пар
лінійно незалежних розв'язків
Є
Ш
С05рХ,
ХЄ
Т
С05(ІХ,...,Х
,
-
|
Є
ЮГ
СОЗрХ,
Р
_
(1.92)
е^зіп^х,
хе
ш
кіпрх,...,
х*
'е^кіпрх.
Нехай характеристичне рівняння (1.90)
має р
дійсних коренів
к
1
,к
2
,...,к
р
кратностей
г
и
г
2
,...,г
р
і ц пар
комплексно-спряжених коренів
а,
±/р,,а
2
±/'Р
2
,...,а
9
1/р^
кратностей $
]
,$
2
,...,з
ц
( г
х
+г
2
+... + г
р
+
+2а
1
+ 2Б
2
+... + 2$
ч
= п). їм
відповідає
п
лінійно незалежних розв'язків,
що
утворюють фундаментальну систему розв'язків.
Загальний розв'язок рівняння (1.88) запишеться
у
вигляді
У(Х)
= Р
х
(х)в
кіХ
+ ... + Р
р
(х)в
крХ
+ (0,
(*) С05Р
і X
+
Я,
(X)
8ІП
Р,
(х))
Є°'
*
+
+...
+ (О
ч
(х)
сов р,
х + Л,
(х) 5Іп
(х)) е
а
"\
(1.93)
де
Р
ч
(х) -
довільний многочлен степеня
г
у
-1,
V = \,р, а ^(х) і
Кріх)
-
довільні многочлени степеня
.5^
-1,
п. =
1,д>
.
Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку
зі
сталими коефіцієнтами.
При п = 2
маємо лінійне однорідне диференціа-
льне рівняння другого порядку
зі
сталими коефіцієнтами
у"+р/+с]у
= 0,
(1.94)
де
р, д -
задані числа.
Характеристичне рівняння
для
нього
£
2
+
= 0.
(1.95)
Корені характеристичного рівняння можуть бути такі:
1) дійсні
та
різні:
к
х
Фк
2
,
2) дійсні
та
рівні, тобто кратні:
к
х
= к
2
= к ,
3) комплексно-спряжені:
к
]2
=
а±/р.
§2.
Диференціальні рівняння вищих порядків
79
Згідно з загальною теорією їм відповідають такі фундаментальні сис-
теми розв'язків У\,Уі та загальні розв'язки рівняння (1.94):
1)
У]
=е
к
^,у
2
=
е
к
*
х
;
у = С^
х
+С
2
е^
х
;
2) у
1
=е
кх
,у
2
=хе
кх
; у = {С,+С
2
х)е
кх
;
3) у
х
=е
ах
созрх, у
2
= е
ш
вігі р\х; у = (С, софх + С
2
&'т
р\г) е
т
.
Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння /7-го порядку зі
сталими коефіцієнтами. Лінійне неоднорідне диференціальне рівняння п- го
порядку зі сталими коефіцієнтами має вигляд
у
{п)
+ я,>+...+ а„_
х
у' + а
п
у = Дх), (1.96)
де а,, і =
1,
п - задані дійсні числа, Дх) * 0 - задана функція.
Відповідне йому лінійне однорідне диференціальне рівняння
у
(п)
+ а
х
у
(п
'
Х)
+... + а
п
_У + а
п
у = 0. (1.97)
Загальний розв'язок рівняння (1.96) визначається формулою
у(х) = у
0
(х) + у(х), (1.98)
де Уо(х) - загальний розв'язок однорідного диференціального рівняння
(1.97),
а у(х) - деякий частинний розв'язок неоднорідного диференціаль-
ного рівняння (1.96).
Загальний розв'язок диференціального рівняння (1.97) визначається
формулою
Уо(х)
=
£с,У,,
(1-99)
де у,, і = \,п - фундаментальна система розв'язків, С,, / = \,п - довільні
сталі.
Для відшукання у(х) - частинного розв'язку неоднорідного рівнян-
ня (1.96) в загальному випадку можна скористатись методом Лагранжа
варіації довільних сталих.
У деяких випадках, коли функція /(х) має спеціальний вигляд, вико-
ристовують метод підбору вигляду частинного розв 'язку за виглядом цієї
функції - правої частини рівняння (1.96). При цьому для визначення самого
частинного розв'язку використовують метод невизначених коефіцієнтів.
Розглянемо ці випадки спеціальних виглядів функції /(х) - правої
частини рівняння (1.96).
1.
Права частина диференціального рівняння (1.96) така:
Ях) =
ОЛх)е
ах
=(А
0
х' +А
х
х'~
х
+...+
А,)е
ах
. (1.100)
80
Глава 1. Диференціальні рівняння
Якщо а не є коренем характеристичного рівняння відповідного од-
норідного рівняння, то частинний розв'язок у шукаємо у вигляді:
у = Р,(х)е
ах
=(В
0
х
к
+ В
1
х"~
і
+ ... + В,)е
ах
. (1.101)
Тут />, (х) - многочлен степеня 5 з невизначеними коефіцієнтами
В
0
,В
и
...,В^.
Якщо а є коренем характеристичного рівняння кратності г, то час-
тинний розв'язок у шукаємо у вигляді:
у = х
г
Р,(х)е
ах
=х
г
{В
0
х" + £,х^' +... + В,)е
ш
. (1.102)
Невідомі числа В
0
,
В
]
,...,
В^ відшукують методом невизначених кое-
фіцієнтів, тобто підставивши у та
у',...,~у^
у диференціальне рівняння
(1.96),
прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях х. Розв'язки отри-
маної системи рівнянь - числа В
0
,
В
]
,...,
В,.
2.
Права частина диференціального рівняння (1.96) така:
Дх) - е
т
(х)со
5
рх
+ Р,
2
(х)8іп
Рх], (1.103)
де 6іД
Х
ХЛ
2
(*) - многочлени степенів х,,5
2
відповідно з заданими коефі-
цієнтами,
тах(5
|
,я
2
)
= 5 •
Якщо а ± /р не співпадає ні з одним з коренів характеристичного рів-
няння, то у шукаємо у вигляді:
у =
е°"[г/
4
(х)со5рх
+ у
1
(х)зіпрх], (1.104)
де иДх),у,(х) - многочлени степеня 5 з невизначеними коефіцієнтами.
Якщо а±/'Р співпадає з деяким коренем характеристичного рівнян-
ня кратності г, то у шукаємо у вигляді:
у =
Х
Г
Є
Ш
[и, (х)С05рХ +
V,
(х)5ІПрх] ,
(1.105)
де
ИДХ),УДХ)
- многочлени степеня .? з невизначеними коефіцієнтами.
Зауважимо, що вигляд розв'язку (1.104) або (1.105) зберігається і у
випадку, коли у формулі (1.103) відсутній доданок, що містить созрх або
зіп рх .
Якщо функція /(х) не підпадає під вигляд наведених функцій, то,
якщо це можливо, перетворюють /(х) таким чином, щоб вона представля-
лась у вигляді суми доданків, кожний з яких представляє один з вказаних
виглядів. Далі використовується принцип суперпозиції розв 'язків.
У більш складних випадках використовують метод варіації довіль-
них сталих.