Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. т а ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 3

Подождите немного. Документ загружается.

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ

НАУКИ УКРАЇНИ

НАУКОВО-МЕТОДИЧНИЙ ЦЕНТР ВИЩОЇ ОСВІТИ

ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

РАДІОЕЛЕКТРОНІКИ

А.Д. Тевяшев,

О.Г.

Литвин,

Г.М. Кривошеєва,

Л.В.

Обухова,

О.Г.

Середа,

Н.О.

Головко

ВИЩА МАТЕМАТИКА

У ПРИКЛАДАХ ТА ЗАДАЧАХ

Частина

Диференціальні рівняння. Ряди.

Функції комплексної змінної.

Операційне числення

Рекомендовано

Міністерством освіти

науки України

як навчальний посібник

для

студентів

технічних університетів

.ХАЙСІВ'^ООІЧА

УДК 517 91 + 517.52 + 517 53 + 517 44

Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. та ін.

Вища маїемагика у прикладах та задачах 4 3 Диференціальні рівняння

Ряди Функції комплексної змінної Операційне числення - Харків. ХІ1УРЕ,

2002.

- 596с.

Гриф надано Міністерством освіги і науки України Лист№ 14/18.2-1268 від

10 09 2001 р.

1§1^

5-7763-1516-6

Навчальний посібник входить до сери "Математика в технічному універси-

теті"

і є третьою частиною збірника "Вища математика у прикладах та задачах",

який складається з трьох частин

Посібник відповідає програмі курсу "Вища математика" з розділів "Дифе-

ренціальні рівняння", "Ряди". "Функції комплексної змінної" та "Операційне чис-

лення" Структура посібника така, що сприяє розвитку і активізації самостійної ро-

боти студентів У кожному параграфі містяться короткі теоретичні відомості, пи-

тання для самоперевірки, велика кількість задач з розв'язаннями та задач для само-

стійного розв'язання, призначених для практичних занять, як аудиторних, так і до-

машніх Наведено також індивідуальні розрахункові завдання із зразками їх вико-

нання Довідковий матеріал 5 вказаних розділів, а також з розділів, присвячених

диференціальному та інтегральному численню функцій однієї змінної, та з елемен-

тарної математики складає окрему главу

Посібник може бути використаний як довідник, розв'язник та як задачник

Для студентів та викладачів технічних університетів

Іл 46 Бібл • 18 назв

Рецензенти ЛВ Курпа, д-р техн наук, проф (НТУ ХПІ);

О А Молчанов, д-р іехн. наук, проф (НТУ КШ).

ІЗВТчІ 5-7763-1516-6 © А Д. Тевяшев, О Г Литвин, Г М Кривошеєва,

Л.В Обухова, О Г Середа, Н.О Головко, 2002

зтсг

Зміст З

Передмова 6

Основні позначення 9

Гіава 1 Диференціальні рівняння... 10

§1 Диференціальні рівняння першого порядку 10

Короткі теоретичні відомості 10

Контрольні питання та завдання 24

Приклади розв 'язання задач №1 - 26 25

Задачі для практичних занять №1.1

—

1.199 55

§2 Диференціальні рівняння вищих порядків 71

Короткі теоретичні відомості 71

Контрольні питання та завдання 83

Приклади розв 'язання задач № 1

—

28 84

Задачі для практичних занять № 1.200

—

1.330 112

§3 Системи диференціальних рівнянь 120

Короткі теоретичні відомості 120

Контрольні питання та завдання . 127

Приклади розв 'язання задач № 1 - 18 129

Задачі для практичних занять № 1.331 - 1.373 158

Глава 2 Ряди .. 164

Числові ряди 164

Короткі теоретичні відомості 164

Контрольні питання та завдання 171

Приклади розв 'язання задач № 1 - 12 172

Задачі для практичних занять № 2.1 - 2.80 183

§2 Функціональні ряди. Степеневі ряди 188

Короткі теоретичні відомості 188

Контрольні питання та завдання 196

Приклади розв'язання задач №1

—

14 197

Задачі дія практичних занять № 2.81 - 2.210 222

§3.

Ряди Фур'є 23 1

Короткі теоретичні відомості 231

Контрольні питання та завдання 236

Приклади розв 'язання задач № 1 - 16 237

Задачі для практичних занять № 2.211 - 2.273 261

Гіава 3 Функції комплексної змінної 267

§ 1. Комплексні числа 267

Короткі теоретичні відомості . 267

Контрольні питання та завдання . 271

Прикчадирозв 'язання задач № 1 - 14 272

Задачі для практиушх занять № 3.1 - 3.37 291

Зміст

§2.

Функції комплексної змінної 296

Короткі теоретичні відомості 296

Контрольні питання та завдання 302

Приклади розв 'язання задач №1-11 303

Задачі для практичних занять ....№ 3.38 - 3.71 310

§3.

Диференціювання функцій комплексної змінної 313

Короткі теоретичні відомості 313

Контрольні питання та завдання 315

Приклади розв 'язання задач № 1 - 15 316

Задачі для практичних занять ....№ 3.72 - 3.89 332

§4.

Інтегрування функцій комплексної змінної 334

Короткі теоретичні відомості 334

Контрольні питання та завдання 338

Приклади розв'язання задач № 1 -11 339

Задачі для практичних занять ....№ 3.90 - 3.124 353

§5.

Комплексні ряди 356

Короткі теоретичні відомості 356

Контрольні питання та завдання 361

Приклади розв'язання задач № 1

—

15 362

Задачі для практичних занять ....№ 3.125 - 3.187 380

§6.

Лишки функцій та їх застосування 384

Короткі теоретичні відомості 384

Контрольні питання та завдання 387

Приклади розв 'язання задач № 1 - 10 388

Задачі для практичних занять ....№ 3.188 - 3.232 404

Глава 4. Операційне числення 408

§ 1. Перетворення Лапласа 408

Короткі теоретичні відомості 408

Контрольні питання та завдання 413

Приклади розв 'язання задач № 1 - 13 414

Задачі для практичних занять ....№ 4.1 - 4.30 434

§2.

Застосування операційного числення 436

Короткі теоретичні відомості 436

Контрольні питання та завдання 439

Приклади розв'язання задач № 1—5 439

Задачі для практичних занять ....№ 4.31

—

4.61 449

Глава 5. Типові розрахункові завдання 452

§1.

Індивідуальне завдання \. Диференціальні рівняння 452

§2.

Індивідуальне завдання 2. Ряди 465

§3.

Індивідуальне завдання 3. Функції комплексної змінної 478

§4.

Індивідуальне завдання 4. Операційне числення 483

Зміст 5

Глава 6. Довідковий матеріал 488

§1.

Диференціальні рівняння 488

§2.

Ряди 499

§3.

Функції комплексної змінної 508

§4.

Операційне числення 516

§5.

Основні формули диференціального числення 518

§6.

Основні формули інтегрального числення 522

§7.

Основні формули елементарної математики 530

Словник ключових слів 538

Предметний вказівник 560

Відповіді 562

Список використаної та рекомендованої літератури 593

ПЕРЕДМОВА

Навчальний посібник призначено для студентів технічних

університетів денної та заочної форм навчання і входить до збір-

ника під назвою "Вища математика у прикладах та задачах", що

складається з трьох частин, назви яких такі:

Частина І. Алгебра і геометрія. Диференціальне числення

функцій однієї змінної.

Частина II. Інтегральне числення функцій однієї змінної. Ди-

ференціальне та інтегральне числення функцій багатьох змінних.

Частина III. Диференціальні рівняння. Ряди. Функції комп-

лексної змінної. Операційне числення.

Вказаний збірник входить до серії "Математика в техніч-

ному університеті" і відповідає програмі курсу "Вища матема-

тика", а розподіл його за частинами - розподілу викладання кур-

су за семестрами згідно з учбовим планом.

Розглядуваний посібник є третьою частиною вказаного

збірника і його структура аналогічна структурі першої та другої

частин. Даний посібник складається з шести глав, кожна з яких

розбивається на параграфи. Глави 1 - 4 присвячені відповідно

вказаним розділам курсу "Вища математика": "Диференціальні

рівняння", "Ряди", "Функції комплексної змінної" та "Операцій-

не числення". Глава 5 містить типові розрахункові завдання із

зазначених розділів, а глава 6 - довідковий матеріал.

Структура перших чотирьох глав та^ка: кожна глава розби-

вається на параграфи. Ця розбивка крупноблочна. Матеріал кож-

ного параграфа розбивається на чотири пункти.

У п. І - "Короткі теоретичні відомості" - наводяться основні

теоретичні відомості і формули, необхідні для розв'язання задач.

У п. II - "Контрольні питання та завдання" - містяться пи-

тання з теорії та прості завдання, що добре ілюструють як вуз-

лові моменти, так і тонкощі теоретичних положень. Враховую-

чи,

що основна робота над теорією ведеться студентами за під-

ручником та конспектами лекцій, цей пункт включає питання

для перевірки готовності студента до практичного заняття.

Передмова

У п. III - "Приклади розв'язання задач" - наводяться доклад-

ні розв'язання типових задач з теми, яка вивчається, що демонструє

використання на практиці результатів теорії. При цьому велика увага

приділяється не тільки розгляданню "технічних прийомів", але й

дослідженню умов застосовності тієї чи іншої теореми або форму-

ли.

Кількість розібраних прикладів змінюється в залежності від

обсягу та важливості теми. Початок і кінець розв'язання задач по-

значають відповідно знаками • і ^ .

У п. IV - "Задачі для практичних занять" - міститься до-

сить велика кількість різних за змістом задач, що призначені для

практичних занять як аудиторних, так і домашніх. У кінці посіб-

ника дано відповіді до задач і вправ цього пункту. Нумерація за-

дач проводиться у межах глави, тобто номер кожної задачі скла-

дається з номера глави та порядкового номера задачі у цій главі.

Зауважимо, що пункти І - IV кожного параграфа взаємо-

пов'язані однаковою послідовністю викладення навчального

матеріалу, тобто прослідковується лінія: теоретичний матеріал,

відповідні контрольні питання, відповідні приклади з розв'язан-

нями, відповідні задачі для практичних занять. Це підкреслю-

ється, по можливості, виділенням блоків у зазначених пунктах з

однією назвою.

Враховуючи, що кожний параграф містить досить великий

блок питань, така структуратюлегшує відшукання потрібної тео-

рії або прикладів з розв'язками при самостійному розв'язанні

практичних задач. При наявності великої кількості прикладів з

розв'язаннями у п.Ш наводиться розподіл цих прикладів за їх те-

матикою.

Глава 5 містить чотири параграфи, в яких наведено чоти-

ри індивідуальних розрахункових завдання, які відповідають

розділам програми, викладеної в главах 1-4. Кожне індивідуаль-

не завдання складається з певної кількості задач, представле-

них у 31 варіанті кожна. Номер варіанта відповідає порядково-

му номеру студента в журналі групи. Кожна з задач супроводжу-

ється посиланням на аналогічні приклади з розв'язаннями, які

наведені у відповідних главах у п. III кожного параграфа. Поси-

лання містить номер глави, номер параграфа та номери прикла-

Передмова

дів.

Зауважимо надзвичайну важливість цих посилань, бо вони є

путівником для відшукання зразка виконання даної

задачі,

а отже,

зразка виконання індивідуального розрахункового завдання.

Глава 6 складається з семи параграфів, які містять довід-

ковий матеріал з усіх наведених розділів вищої математики, пред-

ставлених у навчальному посібнику, а також основні формули

диференціального та інтегрального числення функцій однієї

змінної та основні формули елементарної математики.

Для зручності користування навчальним посібником у зміс-

ті до кожного параграфа у відповідних пунктах наведено номе-

ри прикладів задач з розв'язаннями та номери задач для практич-

них занять відповідно; введені також основні позначення та

предметний вказівник.

У даному посібнику наведено словник ключових слів, що

містить найбільш важливі терміни з вищої математики, які пред-

ставлені українською, російською та англійською мовами.

З огляду на характеристику змісту цього посібника можна

констатувати, що він може бути використаний як довідник, роз-

в'язник і в той же час як задачник, який містить задачі для прак-

тичних занять та індивідуальні розрахункові завдання із зразка-

ми їх виконання. Це дуже зручно для студентів і надає їм широ-

кі можливості для активної самостійної роботи як аудиторної,

так і домашньої. ^

При написанні навчального посібника автори використа-

ли багаторічний досвід викладання курсу "Вища математика"

для технічних спеціальностей університетів.

Автори сподіваються, що даний посібник допоможе сту-

дентам оволодіти методикою розв'язання практичних задач з

вищої математики, активізує їх самостійну роботу та сприятиме

підвищенню фундаментальної підготовки з розглянутих розді-

лів вищої математики.

ОСНОВНІ ПОЗНАЧЕННЯ

ІЧ,

2, <3, К, С - множини натуральних, цілих, раціональних,

дійсних, комплексних чисел відповідно.

К" - арифметичний дійсний п -вимірний простір.

= \,п - індекс к приймає всі натуральні значення від

до п .

- комплексне число.

г - комплексне число, спряжене комплексному числу 2 .

/' - уявна одиниця.

Ке 2 - дійсна частина комплексного числа 2.

Іт

- уявна частина комплексного числа г.

Аг§

- аргумент комплексного числа 2.

аг§2

- головне значення аргументу комплексного числа г.

121

- модуль комплексного числа 2 .

Ілі 2 - логарифмічна функція.

Іпг - головне значення Ьпг.

Ке /(г) - дійсна частина функції комплексної змінної.

Іт /(г) - уявна частина функції комплексної змінної.

- похідна функції /(г) .

| /(г)

сіг

- інтеграл від функції /(г) вздовж контура С .

2) (І2

- інтеграл від функції /(г) вздовж замкненого конту-

ра С.

гез/(2

гез[/(2);г

], гез /(г) - лишок функції/(г) в особ-

-0

ЛИВІЙ ТОЧЦІ 2

/(/)

Р(р) - функція Р(р) є зображенням функції /(/).

Т|(0 - одинична функція Хевісайда.

/і (0

її (0 - згортка функцій /, (/) та /

(0.

ГЛАВА

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ

§1.

Диференціальні рівняння першого порядку

І.

Короткі теоретичні відомості

Основні поняття. Диференціальним рівнянням першого порядку

на-

зивається рівняння виїляду

Р(х,у(х),у'(х))

= 0, (П)

де

Г ~

задана функція своїх

арі

ументів,

х -

незалежна змінна,

у(х), у'(х) -

невідома (шукана) функція

за її

похідна

Диференціальне рівняння

(11),

нерозв'язане відносно похідної

у\х) ,

називаюіь неявним диференцючьним рівнянням

Якщо рівняння

(1 І)

можна розв'язаіи відносно

У\Х)

, то

воно запи-

су єіься

виїляді

У=Ях,у)

(12)

і називає іься диференціальним рівнянням першого порядку, розв'язаним від-

носно похідної.

Розв'язком диференціальної

рівняння

на

деякому інтервалі

(а,Ь)

нази-

вається диференщйовна

на

цьому інтервалі функція

у =

(р(х),

яка при

підста-

новці

у це

рівняння замість невідомої функції перетворює

йоі о у

тотожність

Загачьнимрозв'язком диференціальною рівняння

(1 2) в

області

називається така функція

у -

ф(х,С),

що

а) вона

розв'язком рівняння

для

всіх значень сіалої

С з

деякої множини;

б) для будь-якої початкової умови

у(х

) =

V,,,

такої, що точка

(х

,_у

)є

О,

існує єдине значення

—

, при

якому розв язок

у =

<р(х,

)

задовольняє

цю початкову умову

Розв'язок

у =

ф(.ї,С

), оіримании

із

заіального _у

ф(х,С)

при

= С

називає

ься частинним розв язкоч диференціального рівняння

(1 2)

-Якщо загальний розв'язок диференціальною рівняння

(1 2)

знайдено

у неявному виїляді, юбто

вигляді рівняння

Ф(х,у\С)

= 0,

то такий розв'язок називаю!ь загачьним інтегралом цього рівняння

Рівнісіь

Ф(х,у>,С

)

= 0

називаюіь частинним інтегралом диференціальною рівняння.