Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. та ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 2

Подождите немного. Документ загружается.

§3.

Застосування визначеного інтеграла

101

2Л

г\

£>

0,24/

Ісоз

™/^

0,24/

Л-

|(1 + со82иОдг =

2Л

0,24/

( +

8ІП

2ит

2уо

0,24/,/Лл

Приклад

29.

Знайти

силу тиску води на

вертикальну

стінку

формі півкруга, радіус якого

К =

м і

який знаходиться

на

поверхні

води

(рис.

1.18).

•

За

законом Паскаля сила тиску рідини

на

площадку обчислюється

за формулою

Р&п5,

де

р -

густина рідини,

£ -

прискорення сили тяжіння,

Ь -

глибина зану-

рення,

5 -

площа площадки.

Рисі.18

Позначимо глибину занурення через

х.

Елементарну площадку будемо

вважати циліндром радіуса

у = АВ і

висотою

ах . Із

трикутника

АОВ

маємо

АО

-ОВ

УІ9-х

Тоді площа площадки дорівнює

5 = 2у йх =

сіх .

Знайдемо диференціал тиску

на

елементарну площадку:

Отже,

сіР

= р§х

-2усіх

2р^х^9 -х

сіх

2р§]х^І9-х

сіх =

-2р£• -]тІ9-х

сі(9-х

)

_2Р£

)

= 18р£Н.-4

102

Глава 1. Інтегральне числення функцій однієї змінної

Приклад ЗО. У стінці резервуара, який заповнений водою,

на глибині к є прямокутний

отвір,

з якого вода витікає з швид-

кістю

= (м/сек). Знайти об'єм води, що витікає за

сек.

• Врахуємо, що швидкість витікання рідини визначається за законом

Торичеллі за формулою

= \іуІІ£п , де И - висота стовпця рідини над отво-

ром, § - прискорення сили тяжіння. Покладемо р, = 1.

Елементарній смужці шириною сіх на глибині х відповідає швидкість

За тим, що площа смужки дорівнює Ьсіх, об'єм води, що витікає

через цю смужку, дорівнює

сіО = уІ2§х Ь сіх .

Тоді

IV. Задачі для практичних занять

Площа фігури

1.261. Обчислити площі фігур, що обмежені:

а) параболами у = х

та у = -Ух ;

б) параболами у -х

та У

~^~-

1.262. Обчислити площу фігури, обмеженої параболами

+8х = 16 і у

-24х = 48.

1.263. Круг, обмежений колом х

+ у

=8, поділений па-

раболою у = — на дві частини. Знайти площі обох частин.

1.264. Обчислити площі криволінійних фігур, утворених

перетином еліпса

і гіперболи у

= 1.

§3.

Застосування визначеного інтеграла

103

1.265. Обчислити площу фігури, обмеженої віссю абсцис і

лінією у = х(х -І)

1.266.

Знайти площу фігури, обмеженої віссю ординат і

лінією х = у

(у-\).

• 2 2

1.267.

Знайти площу петлі лінії у = х (х -1) .

1.268.

Обчислити площу фігури, обмеженої лініями у = е

у = е~

і прямою

1.269. Обчислити площу фігури, що обмежена:

... 2

а) віссю ординат і лініями у =

х та у = ~

8 х

'•>

б) віссю абсцис і лініями у = агсзіп х та у = агссоз х.

1.270. Знайти площу фігури, обмеженої однією аркою цик-

лоїди х = а(і - зіп

/),

у = а(1 - соз /) і віссю Ох .

1.271. Обчислити площу фігури, обмеженої астроїдою

х = а

соз

у = а зіп

І.

1.272. Знайти площу фігури, обмеженої кардіоїдою

х = 2а соз/-а соз 2/, у = 2а зіп/-а зіп 2і .

1.273. Знайти площу фігури, обмеженої лінією

х = 12соз/+ 5зіп/, у = 5соз/- 12зіп/.

1.274. Знайти площу петлі лінії:

а) х = З/

, у = Зі

-1

;

б) х = І

-1, у = і

-1.

1.275. Знайти площу фігури, обмеженої лінією р = а зіп2ф

(двопелюсткова роза).

1.276.

Знайти площу фігури, обмеженої лінією р = а соз5ф.

1.277.

Знайти площу загальної частини фігур, обмежених

лініями р =

+ соз4ф і р = 2 - соз4ф.

1.278.

Обчислити площу фігури, замкненої між лінією

у = г- та п асимптотою.

+ х

104

Глава

Інтегральне числення функцій однієї змінної

1.279. Знайти площу фігури, замкненоїміж лінією

у - хе

та

її

асимптотою.

У задачах

1.280 - 1.282

попередньо перейти

до

полярних

координат.

1.280.

а)

Знайти площу частини фігури,

що

обмежена лем-

ніскатою Бернуллі

(х

)

(х

-у

);

б) знайти площу частини фігури,

що

обмежена лемніска-

2 2 2 2 2

тою Бернуллі

(х +у )

а (х —у )

та лежить всередині кола

2 <2

х +

—.

1.281. Знайти площу фігури, обмеженої лінією

+ у

= х

+ у

1.282. Знайти площу фігури, обмеженої лінією

(х

+ у

)

=2а

ху.

Довжина лінії

1.283.

а)

Знайти довжину дуги ланцюгової лінії

у = а

сії —,

0<х<Ь;

б) знайти довжину дуги параболи

=2рх

від її

вершини

до точки

М(х, у). (За

незалежну змінну взяти

у).

1.284. а) Знайти довжину дуги лінії

_у

1пх,-Уз<х<-/8;

б) знайти довжину дуги лінії

у =

1п(1

- х ), 0 < х <

—.

1.285. Обчислити довжину дуги півкубічної параболи

9 9 9

5у

= х ,

замкненої всередині кола

у =6.

1.286. Знайти довжину дуги петлі лінії 9ау

= х(х - За)

1.287. Знайти довжину дуги лінії

х = а

соз

зіп

1.288. Знайти довжину дуги евольвенти кола

= Я(СОЗ/-И5ІПО, У =

ІС(5ІПҐ-/С05/),

0 < І < %,

§3.

Застосування визначеного інтеграла

105

1.289. Обчислити довжину дуги лінії

Х = ((

-2)8ІП7+

2/С08Г,

у = (2-/

)со8/ +

2/8Іп/,

0<Ґ<

ТІ.

2 і'

1.290. Знайти довжину петлі лінії х = ( , у = І - —.

1.291.

Обчислити довжину дуги кривої р =

8ІП

—, 0 < ф < —.

З 2

1.292. Обчислити довжину першого витка архімедової спі-

ралі р = аф.

1.293. Знайти довжину першого витка логарифмічної спі-

ралі р =

1294.

Обчислити довжину дуга кривої ф =

—

[

р +

—

21 р

< р < 3.

Об'єм

тіла за площами паралельних перерізів

1.295. Знайти об'єм прямого еліптичного конуса, основою

якого є еліпс з півосями а і

, а висота дорівнює к .

1.296.

Обчислити об'єм тіла, обмеженого еліптичним па-

2 2

г X у .

раболоідом І = 1 1 ПЛОЩИНОЮ 7 = 1.

4 2

1.297.

Обчислити об'єм тіла, обмеженого однопорожнин-

2 2

X У 2

ним гіперболоїдом 1 2 =

і площинами 2 = -1 І 2 = 2.

4 9

1.298.

Обчислити об'єми тіл, обмежених параболоїдом

2 2 2 2 2

г = х +2у і еліпсоїдом х +2у +2 =6.

1.299. Знайти

об'

єми

тіл,

утворених перетином двопорожнин-

2 2 2 2 2 2

.. X у 2

. . .. X у 2 .

ного гіперболоїда =

і еліпсоїда —

н = 1.

3 4 9 6 4 9

1.300. Обчислити об'єм тіла, обмеженого конічною поверх-

2 2

нею (г-2) =

— І ПЛОЩИНОЮ 2 = 0.

3 2

106

Глава 1. Інтегральне числення функцій однієї змінної

1.301. Обчислити об'єм тіла, обмеженого параболоїдом

2 2 2 2

^ X у . X у

2.7. = 1 1 КОНУСОМ

-— = 2 .

4 9 4 9

1.302. Знайти об'єм сегмента, відрізаного від еліптичного

2 2

параболоїда ^—

— < х площиною х = а .

2р 2ц

Об'єм тіла обертання

1.303. Обчислити об'єм тіла, обмеженого поверхнею, утво-

-у

реною обертанням параболи у = 4х навколо своєї осі (парабо-

лоїд обертання), і площиною, перпендикулярною до її осі і відда-

леної від вершини параболи на відстань, яка дорівнює одиниці.

1.304. Ланцюгова лінія у = спх обертається навколо осі

абсцис. Отримана при цьому поверхня називається катеноїдом.

Знайти об'єм тіла, обмеженого катеноїдом та двома площина-

ми,

що відстоять від початку координат на а та І) одиниць та

перпендикулярні до осі абсцис.

1.305. Криволінійна трапеція, обмежена лінією у = хе

прямими х =

та у = 0 , обертається навколо осі Ох . Знайти

об'єм тіла, яке при цьому утворюється.

1.306. Фігура, обмежена дугами парабол у = х

і у

= х,

обертається навколо осі абсцис. Обчислити об'єм тіла, яке при

цьому утворюється.

1.307. Знайти об'єми тіл, які утворюються обертанням фі-

гури, обмеженої лініями у = е

, х = 0, у = 0 , навколо:

а) осі Ох ; б) осі Оу .

1.308. Знайти об'єм тіла, отриманого обертанням навколо

осі Ох трапеції, яка розташована над віссю Ох і обмежена ліні-

єю (х - 4)^

= х (х - 3).

1.309. Знайти об'єм тіла, утвореного обертанням кривої

р = а соз

ф навколо полярної осі.

§3.

Застосування визначеного інтеграла

107

2 2 2 2 2 2

1.310.ЛемніскатаБернуллі (х + у) = а (х -у ) обер-

тається навколо осі абсцис. Знайти об'єм тіла, обмеженого по-

верхнею, що при цьому утворюється.

1.311. Знайти об'єми тіл, утворених обертанням фігури,

обмеженої кривою х = аі

, у = а

1п

( (а > 0) і осями координат,

навколо: а) осі Ох , б) осі Оу .

1.312. Знайти об'єм тіла, утвореного обертанням навколо

осі Ох фігури, обмеженої кривою х = а соз і, у = а зіп

і віс-

сю Ох (0 < х < а).

1.313. Одна арка циклоїди х = а{1 - зіп і), у = а(ї - соз І)

обертається навколо своєї

осі.

Обчислити об'єм тіла, обмежено-

го отриманою поверхнею.

Площа поверхні обертання

1.314. а) Знайти площу поверхні, утвореної обертанням

параболи у

= 4ох навколо осі абсцис, від вершини до точки з

абсцисою х = За ;

б) обчислити площу поверхні, утвореної обертанням кубіч-

ної параболи Зу

—

=0 навколо осі абсцис (0 < х < а

1.315. Обчислити площу катеноїда - поверхні, утвореної

обер-

танням ланцюгової лінії у = а

сЬ —

навколо осі абсцис

( 0

< х < а

1.316.

Обчислити площу веретеноподібної поверхні, утво-

реної обертанням одної арки синусоїди у = зіп х навколо осі Ох .

1.317.

Знайти площу поверхні, утвореної обертанням навко-

ло осі Ох петлі лінії 9ау

= х (За - х)

1.318.

Знайти площу поверхні, утвореної обертанням навко-

ло осі Ох дуги кривої у =

— у[х

(х -12) між точками її перетину

з віссю Ох.

1.319. Знайти площу поверхні, утвореної обертанням дуги

кривої у = е

, 0<х< +°°, навколо осі Ох .

108

Глава 1. Інтегральне числення функцій однієї змінної

1.320. Знайти площу поверхні, утвореної обертанням нав-

коло осі Ох дуги лінії х = е

аіпГ,

у = е соз /, 0 < і

—.

1.321. Знайти площу поверхні, утвореної обертанням дуги

тс

кривої х = а(Зсоз/-созЗ/), у = а(3 зіп / - зіп ЗО, 0</<— нав-

коло:

а) осі Ох , б) осі Оу .

1.322. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням

2 Сії 2

петлі кривої х = а(( +1), у = —

- і ) навколо осі Ох .

( і

1323.

Трактриса х = а соз І

+ 1п

і§

—

, у - а зіп

обертаєть-

)

ся навколо осі

абсцис.

Знайти площу отриманої нескінченної поверхні.

1.324. Коло р = 2К зіп ф обертається навколо полярної осі.

Знайти площу отриманої поверхні.

1.325. Знайти площу поверхні, отриманої обертанням дуги

а к ...

кривої р = , 0 < ф <

—

навколо полярної осі.

соз

—

1.326.

Знайти площу поверхні, утвореної обертанням нав-

коло полярної осі кардіоїди р = а(1 + созф).

Моменти і центр ваги

1.327.

Обчислити статичний момент прямокутника з ос-

новою а і висотою И відносно його основи.

1.328.

Знайти для заданої кривої статичні моменти М

відносно координатних осей Ох і Оу :

1)-

+ ^ = 1, х>0, у>0;

а Ь

2) х

+у

=а

, у>0;

3) у

= 2х, 0 < х < 2 ;

4) у

-р

= 2рх, х<0;

§3.

Застосування визначеного інтеграла

109

)

ТГ

= 1

' У>°>

а>ь

а Ь

6)х = азіп/, у = Ьса$1, 0</< —, а>Ь;

7)х = дзіп

/, ^ = йсо8

/, 0</<^;

8) х = а(/ - зіп/),

ту

= а(1 - соз/), 0 < і < 2л;

9)р

= 2асозф, 0<ф< —;

10) р = а(1 + созф), -л<ф<л;

11) р =а<?

, 0<ф<2л.

1.329. Знайти статичні моменти М

і М

фігур, обмеже-

них заданими кривими, відносно координатних осей Ох і Оу:

1) у = соз х,

< —, у = 0;

2) .у = х

, у = 4х;

2 ,

3)у = .у = х , х = 0, х>0;

+ х

4)х = азіп/, у = 6 соз/,

|/|<-^-,

у = 0;

5) х = а(/-8Іп/), у = а(\-соз/), 0</<2я, .у = 0;

6) р = аф, 0 < ф < я ;

7) р = а(1 + созф), | ф | < л .

1.330. Знайти момент інерції дуги лінії у = е

, 0 < х <

відносно осі абсцис.

1.331. Обчислити моменти інерції відносно обох осей ко-

ординат однієї арки циклоїди х = а(і - зіп/), у = а(1 - соз/).

110

Глава 1. Інтегральне числення функцій однієї змінної

1.332. Знайти момент інерції півкола радіуса К відносно

його діаметра.

1.333. Знайти моменти інерції еліпса з півосями а і Ь від-

носно обох його осей.

1.334. Знайти момент інерції конуса, радіус основи якого

К , висота Ь, відносно його осі.

1335.

Знайти момент інерції 1

кривої х = К соз

ф,

у = К зіп

ф,

0<ф<2тс.

1.336.

Знайти центр ваги симетричного параболічного сег-

мента з основою, яка дорівнює а, і висотою И.

1337.

а)

Знайти координати центра ваги півкола у - у/г

- х

;

б) знайти координати центра ваги півкруга, обмеженого віс-

сю абсцис та півколом у =

1.338.

Користуючись теоремами Гульдіна, знайти:

а) координати центра ваги астроїди х

—

соз

у = зіп

що лежить в першій чверті;

б) координати центра ваги чверті круга х

+ у

< г

;

2 2 2

в) координати центра ваги півкруга х + у < г ;

г) координати центра ваги плоскої фігури, обмеженої кри-

те тс

вою у = созх, < х <

—

та віссю абсцис.

2 2

1.339. Знайти координати центра ваги кривої:

2 2 2

1) х

+у

=а\ х>0, .у >0;

2) х = а(/-зіп/), у = а{\-соз/), 0</<2тс;

3) р = а(1+ созф), 0<ф<л;

4) р = ае

, 0<ф<тс.

1.340. Знайти координати центра ваги фігури, обмеженої

дугою синусоїди у = зіп х і відрізком осі абсцис, 0 < х < %.