Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. та ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 2
Подождите немного. Документ загружается.
§
1.
Функції багатьох змінних та їх диференціювання
131
Знаходимо
Зх
Отже,
= Зх - 3уг ; ^- = 6у
2
-Зхг-2:
ду
— = 3г -Зху.
дг
дг_
дх
ду
Зх -Зуг х -уг
Зг
2
- Зху
•XV
6у -Зхг-2 6у —3x2-2
Зг
1
-Зху Зіг'-ху)
Приклад
17.
Функції
и = и(х,у),
V
=
у(х,у) задані
неяв-
но
системою рівнянь
І
и + V - х,
и - уу = 0.
и +
V
- х = 0,
Знайти
сій, сіу , сі и , сі
V
.
• Задану систему представляємо у вигляді
[и-уу = 0.
Отже,
Р(х,у,и,у)
= м + У-Х ,
С(х,у,и,у)
= и-уу.
ТО
ДІ 3£=, 3£
=1
ас
= 1
зо
Зм ЗУ ЗМ ЗУ
Якобіан системи
0(М,У)
1 1
1 -у
-у-
\
* 0 при уФ-\.
Диференціюванням знаходимо два рівняння, що зв'язують диферен-
ціали всіх чотирьох змінних
\-ах +
сіи
+ а\ = 0,
\— усіу -V
ди- уа\ = 0
або
\аи +
ОУ
= ах,
[сій
-
усіу
=
усіу.
Розв'язуючи цю систему відносно сій і ау при у±-\, маємо
уах + гау , сЬс-уау
сій = —; а\ = —.
\ + у ї + у
132
Глава 2, Диференціальне числення функцій багатьох змінних
Диференціюємо повторно
^
2ц
_
(сіуаЬс
+
сіусіу)(\
+ у) - (усіх + уду)ау _
(1
+ У)
2
\сіусіх+——— о> \\ + у)-(усіх + усіу)с1у
Л
1
+ У Г
=
(1 + у)сіхсіу + сіхсіу - усіу
2
- усіхсіу— усіу
2
2 (сіхсіу-усіу
2
)
(1 + УУ
-сіусіу(] + у)-(сіх-усіу)сіу
сіх-усіу
1
+ У~~
(І + УУ
сіу (\ + у) - сіхсіу +
У
сіу
2
(] +
у
у
(\
+
у
)
-сіхсіу + усіу
2
-сіхсіу + усіу
2
_ 2(усіу
2
-сіхсіу)
(\ + у)
2
(1
+ УГ
сі'и.М
Приклад 18.Знайти
та
якщо
х =
ИСОЗУ,
_у
=
мзіпу,
дх
ду
2
= СУ.
•
Знаходимо:
дх
= СОЗУ,
=
-И81ПУ,
ди
ду
ду
. ду
—
=
ЗІПУ,
— =
КСОЗУ.
ди
ду
Якобіан
о(х,у)
СОЗУ
-ИЗІПУ
ЗІП V
ИСОЗУ
= и
Ф
0 при и
Ф
0.
£>(и,у)
Диференціюванням знаходимо три рівняння, які зв'язують диферен-
ціали всіх п'ятьох змінних
сіх =
СОВУ
сій-М5ІПУ
СІУ,
•
сіу = зіп у сій + и сов УСІУ,
сіг = СЙУ.
З перших двох рівнянь знаходимо «V :
, СОЗУДУ-ЗІПУЙХ
ОУ
= .
§
1,
Функції багатьох змінних та їх диференціювання
133
Підставимо знайдене значення
ал>
у третє рівняння системи і отримаємо:
СОЗУДУ-ЗІПУОХ СЗІПУ
, ссозу ,
аг = с ахл ау .
и чи
Звідки
дг _ СЗІПУ дг _ ССОЗУ
дх и ду и
Приклад
19. Знайти частинні похідні другого порядку
функції
г = у
1п
х .
Перевірити,
що д
2
= ^
2
.
дх
ду ду дх
•
Знайдемо частинні похідні першого порядку:
дг _ у дг _
дх х' ду
Продиференціювавши повторно, отримаємо:
д
2
г д (у) у д
2
г д ч .
дх
2
дх
2
' 2 .2
ду
2
ду
д
2
г д (у} І д
2
г д
Л
ч 1
дхду ду\х ) х дудх дх х
д
2
г
Отже,
дхду дудх
Приклад
20. Задано функцію г = зіп (х - ау). Показати,
2
д
2
2
д
2
2
що
ця функція задовольняє рівнянню а
—-т
= —-; перевіри-
дх
ду
.
д
2
2 д
2
2
ти
справедливість
рівності = .
дх
ду ду дх
•
Знаходимо частинні похідні функції г = зіп
2
(х-осу) першого та
другого порядків:
дг
—
= 2 5Іп(х - ау) сов(х - ау) = зіп 2(х - ау);
дх
дг
—
= 2 зіп(х - ау) соз(х -ау)- (-а) = -а
•
зіп 2(х - оу);
ду
134
Глава 2. Диференціальне числення функцій багатьох змінних
д
2
г
—г-
- 2соз2(;с-ау);
д
2
2 „ 2 .
—- = 2а соз2(х - ау).
ду
Підставивши отримані частинні похідні другого порядку в дифе-
ренціальне рівняння, приходимо до тотожності:
а
2
-2соз2(;с-ау) = 2а
2
соз2(;с-ау).
Отже, функція г задовольняє заданому рівнянню.
Знаходимо мішані частинні похідні другого порядку заданої функції:
д г _ д ф
п
_
а
уу) _ -2асоз2(д:-ау);
дх ду ду
^ * = ^- (-а зіп 2(х - ау)) = -2а соз 2(х - ау).
ду дх дх
д
2
2 д
2
2 .
Відтак маємо —— = - . *Ч
дхду дудх
Приклад 21. Знайти диференціал другого порядку сі г
функції 2 = зіп х
•
зіп у.
• Скористаємось формулою:
,-> д
2
2 , 2 „ д
2
2 , , д
2
2 , 2
сі
1
-2=—-ддг
+2
сіх сіу
+ —-Лу
1
.
дх дхду ду
Знаходимо:
дг дг
— = соз;с-5іпу;
——
= зіпдгсозу;
дх ду
д
2
г д . ....
—- = —(созх-8іпу) = -зіпх-зту ;
дх
г
дх
д
2
г д . . .
—— = —— (соз х
•
зіп у) = соз х
•
соз
у;
дхду ду
д
2
2 _ д
ду
2
~ ду'
Отже,
сі
2
2
= -зіпх-зіп уа^
2
+ 2 соз* соз у сіхсіу- зіп х
-
зіп у сіу
2
. 4
= —(зіпхсоз у) = -зіпх-зіпу.
§
1.
Функції багатьох змінних та їх диференціювання
135
IV. Задачі для практичних занять
У задачах 2.1 - 2.9 знайти та зобразити область О визна-
чення функцій.
І
2 2
2.1.2
=
^1-^--^-.
2.2. 2 = 1п(/-4х + 8)
2.3.
2 = — г • 2.4. 2 = агсзіп(х + у).
г -х -у
1«
•
1 1 1
2.5.
2 =
1п
ху. 2.6. и =
—==
+
—г=
+
•
У[х
Л[у 4г
2.7. и = ^х + у + г . 2.8. и= ^
\п(\-х
2
-у
2
-2
2
)
2.9.
и =
лІК
2
-х
2
-у
2
-2
2
+ .
1
= (Я>г)
/2222
,}Х* +у +2 -Г
1
У задачах 2.10 - 2.14 знайти лінії рівня функцій.
2.10г =
2х+г;.
2.11.2
= -.
У
2.12.
2
= ]пЖ.
2.13.2=1-.
х \у
х
2.14. г = е
у
.
У задачах 2.15-2.17 знайти поверхні рівня функцій.
2.15. и
—
х + у + Зг. 2.16.
м
= х +у +г .
2.17. и =
х
2
-у
2
-2
2
.
У задачах 2.18 - 2.26 знайти границі.
2.18. Ііт 2.19. Ііт
Ху
х^О
X '
з
_
.Іху + 9
у-+0
у->0 * '
136
Глава 2.
Диференціальне
числення функцій багатьох змінних
Л/*У+1-1 „л, ,
:
„>п(*
3
-г/)
2.20. Ііт-^ -—. 2.21. Ііт
у->0
7
у-^0
2
2
*
і: *
2.22.
Ііт . 2.23. Ііт
у->0
у-»0
.3
..З
2.24. 1іт£-Д-. 2.25. 1іт(1 + хУ) ^
х->0
х + V •
с_>0
;у-»0
' у->0
2.26. Нт^-Ц^.
*-»о х
1
+ 2
у
2
У задачах 2.27 - 2.33 знайти точки розриву функцій.
2.27.2
= г-ї =-.
2.28.2
= .
(х-1) +(у +
1)
зіпх-зіпг;
2
2
2.29. 2 = 1п(1-х
2
-у
2
).
2.30.2
=
-
У
(х
+
у)(у
г
-х)
2.31.
и = —; т- =; . 2.32. и =
2
2 2' —" 2 2 2 *
X у 2
і
, X +У -2
1 1
а
2
V с
2
2.33.
и =
Х
2
+/-2
2
-1
2.34. Дослідити на неперервність функції при х = 0, у = 0:
1)/(*,>0 = -^7, /(0,0) = 0;
х +>>
2) /(х,^) = ^
т
, /(0,0) = 0;
х +у
з з
3) Дх,^) = -^
т
,
/(0,0)
= 0;
х + .у
§
1.
Функції багатьох змінних
та їх
диференціювання
137
4)
Дх,у)
5)
/(X,
У
):
6)
Ах, У)
-2-Ц-»
Я0,0) = 0;
X
і
+ У
1
/(0,0)
= 0;
-4*^7* /(0,0)
= 0.
х
4
+/
У задачах 2.35-2.47 знайти частинні похідні
від
заданих
функцій.
2.35.
г
=
х
5
+у
5
-5х
3
у
3
.
2.36. г
=
ху
+
—.
X
2.37.
2 =
ху
2.38.
2
=
хе
-ху
2.39.
2 =
СО$у
2.40.
г
=
у
х
.
2.41.
2 = 1п(х
2
+у
2
).
2.42.
2 =
1
агсІ§
—
х
2.43.
и =
1п
(х + у
+
2). 2.44. и =
1
^Х
2
+
У
2
+2
2
2.45. г/
=
У_
х
2.46.
ц =
(зіп
х)
у
*.
2.47.
и = ху
2
г
3
(
4
+
Зх - Ау
+
2г - і +1.
2.48. Знайти
— і — при х = у = 0,
якщо
Зх
ду
2 =
х соз
у - у
соз
X
1
+5ІПХ
+
5ІПУ
138
Глава 2. Диференціальне числення функцій багатьох змінних
2.49. Знайти — при х = 0, у = 0, г = — , якщо
дг 4
и = л]5ІП
2
х + зіп
2
у + зіп
2
2 .
2.50. м =
1п(1
+ х + у
2
+2
2
).
Знайти и
х
+и
у
+и'
г
при
X = у = 2 = \ .
У задачах 2.51 - 2.56 знайти повні диференціали заданих
функцій.
2.51.
2 = х
2
/ - XV
3
+ *У • 2.52. 2 = ^Ь(х
2
+ у
2
).
2.53.
2 = . 2.54. 2 = агсзіп
—
.
х-у
У
2.55. 2 = агсІ§ ху. 2.56. и = х
у
*.
У задачах 2.57-2.61 обчислити наближено число а за до-
помогою повного диференціала.
2.57. а =
1,02
4
'
05
.
2.58. а =
1п
(0,09
3
+ 0,99
3
).
2.59. а = ^1,02
2
+0,05
2
. 2.60. а = ^е
0
'
02
+
2,03
2
.
2.61.
а = -
>
/і,04
,
-
99
+ 1п1,02.
СІ2
2.62.
Знайти —, якщо г =
е
х
~
2у
,
де х = зіп/, у = /
3
.
сії
СІ2
2.63.
Знайти —, якщо 2 = х
2
+ у
2
+ ху, де х = зіп /, у = е
1
.
сії
СІ2 -І
2.64. Знайти —, якщо 2 = агсзіп(х - у), де х = 3/, у = 4/ .
сії
„ „ с/к уг ,
2
2.65.Знайти —, якщо и = —, де х = е ,у = 1п/,2 = / -1.
<// х
^2
2.66. Знайти —, якщо г = агсі§ (ху), де у - е
х
.
ах
§
1.
Функції багатьох змінних та їх диференціювання
139
2.67.
Знайти —, якщо 2 = агсзіп—, де у = л/х
2
+1.
сіх у
2.68.Знайти — ,якщо г = і§,(3(
+
2х
2
- у),де х = у = ~Л.
сії І
сій е (у - 2)
—,
якщо и = г
сіх а+1
2.69.3найти — ,якщом = ^——,де у = а зіп х, 2 = созх.
2.70. 2 - х
2
у - ху
1
, де х =
исоз
V,
у = и зіп
V.Знайти
ди ду
2.71.
2 = х
2
1пу , де х = —, у =
Зи-2У
.
Знайти
V
ди ЗУ
--,-.2
2 _ „ Зг Зг
2.72.
2 = х +_у ,дех = и + у,г; = и- у. Знайти —, —.
ди ЗУ
_
,
2
2ч м ,_, „ Зг Зг
2.73.
2 =
1п
(х + у ), де х =
МУ
, у = —. Знайти —, —.
у ди ЗУ
2.74. Знайти похідну функції 2 = /(х,
_у)
в точці М за да-
ним напрямом:
а) і = х
2
-ху + у
2
, М(1,1), за напрямом вектора / =
=бГ+87;
б) 2 = х
3
- Зх
2
у + Зху
2
+1, М(3,1), за напрямом вектора
МУ, де #(6,5);
в) 2 = агсіо, ху, М(1,1), за напрямом бісектриси першого
координатного кута.
2.75.
Знайти похідну функції и = /(х, у,
2)
в точці М за
даним напрямом:
а) и = 1п(х
2
+ у
2
+2
2
),
М(1,2,1), за напрямом вектора
7 = 2Ї + 4] + 4к;
140
Глава 2. Диференціальне числення функцій багатьох змінних
б) и = х
2
у
2
г
2
, М(1,-1,3), за напрямом вектора МИ,
де #(9,4,14);
в) и = ху +2. - хуг, М(\, 1,2), за напрямом, що утворює
з осями координат кути відповідно в 60°, 45°, 60°.
2.76. Знайти градієнт функції г = /(х, у) в точці М :
а) г = х
2
+у
2
, М(3,2);
б) г = л/4 + х
2
+ у
2
, М(2,1);
в) 2 =
агсї§-,
М(х
0
,у
0
).
х
2.77. Знайти градієнт функції и = /(х,у,г) в точці М:
а) и =
X
і
у
2
г,
М(1,1,1);
б) и = хуг, М(2,1,1).
2.78.
Який напрямок / найбільшої зміни функції и(х,у,г) =
= х зіп
2
- у соз
2
у початку координат?
У задачах 2.79-2.83 знайти похідну — від функцій, за-
даних неявно вказаними рівняннями.
2.79. х
3
у- ху
г
=а
4
. 2.80,
2.80. хе
у
+ уе
х
-є** =0.
2
2 2
2.81.
х
3
+у
3
=а
3
.
2.82.
ху - 1п у = а.
-^- = 0.
с/2 дг
У задачах 2.84 - 2.87 знайти частинні похідні —, —
ох ду
функцій, заданих неявно вказаними рівняннями.