Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. та ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 2

Подождите немного. Документ загружается.

§3.

Застосування визначеного інтеграла

111

1.341. Довести, що абсциса і ордината центра ваги секто-

ра, обмеженого двома полярними радіусами і лінією, рівняння

якої дано в полярних координатах р =

р(ф),

виражаються так:

1.342. Знайти координати центра ваги фігури, обмеженої:

1) піввитком архімедової спіралі р =

оф,

0 < ф < к і про-

менями ф = 0, ф =

тс

;

1.343. Обчислити роботу, яку треба затратити, щоб викача-

ти воду, яка заповнює циліндричний резервуар висотою Н = 5 м,

радіус кола основи якого К = 3м.

1.344. Обчислити роботу, яку необхідно затратити, щоб вика-

чати воду, яка наповняє півсферичний резервуар радіуса К = 0,6 м.

1.345. Обчислити роботу, яку треба затратити, щоб вика-

чати воду з цистерни, обмеженої поверхнями: у

= Ірг, х = ±а ,

Кінетична енергія К тіла, яке обертається навколо неру-

мент інерції відносно осі обертання.

1.346.

Прямокутна пластинка розмірами а = 50

см,

Ь = 40 см,

обертається з постійною кутовою швидкістю

м>

= Зтссек

-1

навко-

ло сторони а. Знайти кінетичну енергію пластинки. Товщина плас-

тинки сі = 0,3 см, густина матеріала, з якого виготовлена пластин-

ка, у =

г/см .

2) правою петлею лемніскати Бернуллі р = а соз 2ф;

3) кривою р = а зіп

2ф,

0 < ф < —.

Деякі задачі фізики

2 = Р (Р > 0) .

....1,2 г

хомої осі, дорівнює

—Ім>

, де н> - кутова ШВИДКІСТЬ, 1 - мо-

112

Глава І. Інтегральне числення функцій однієї змінної

1.347. Трикутна пластинка, основа якої а = 40 см, висота

к = 30 см, обертається навколо своєї основи з постійною куто-

вою швидкістю

м>

= 5тссек

. Знайти кінетичну енергію плас-

тинки, якщо її товщина сі = 0,2 см, густина матеріала, з якого

вона виготовлена, у = 2,2 г/см .

Ста тиску Р рідини на площадку обчислюється за фор-

мулою Р

—

р§И8, де р - густина рідини, § - прискорення сили

тяжіння, к - глибина занурення, & - площа площадки.

1.348. Знайти силу тиску бензину, який знаходиться у ци-

ліндричному баку висотою к =3,5 м і радіусом г = 1,5 м, на його

стінки, якщо р = 900 кг/м

1.349. Обчислити силу, з якою вода тисне на греблю, яка

має форму рівнобічної трапеції, верхня основа якої а = 6,4 м,

нижня Ь =4,2 м, висота Н =3 м.

Швидкість витікання рідини визначається за законом То-

ричеллі:

= \іл]2§к , де к - висота стовпця рідини над отвором,

£ - прискорення сили тяжіння.

У задачах 1.350 - 1.352 вважати |і = 1.

1350.

У дні циліндричної

посудини,

площа основи якої 100 см,

висота

ЗО

см, є отвір. Обчислити площу цього отвору, якщо відомо,

що вода, яка заповнює посудину, витікає з неї за 2 хвилини.

1.351. У дні котла, який має форму півкулі радіуса К =

см,

утворилася пробоїна площею 5

= 0,2 см

. За який час вода, що

наповнює котел, витече з нього?

1352.

У стінці прямокутного бака, який заповнений ріди-

ною,

є прямокутний отвір висотою к і шириною Ь. Верхня сто-

рона отвору паралельна рівню рідини і знаходиться від нього на

глибині Н. Знайти витрачання рідини через цей отвір. Рівень

рідини в баці підтримується сталим.

ГЛАВА

2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ

БАГАТЬОХ

ЗМІННИХ

§1.

Функції багатьох змінних та їх диференціювання

І. Короткі теоретичні відомості

Основні поняття. Всякий впорядкований набір з п дійсних чисел

,х

...,х„ називається точкою я-вимірного арифметичного простору

К" і позначається х = (х,, х

,х„) або Р(х

,х

Числа

Х|,

, х

називаються координатами точки Р . Відстань між точками

Р(х

, х

,х

) та Р\х\, х

,х'

) визначається за формулою

р(Р,Р') =

^{х

-х'

)

+(х

-х'

)

+... + {х„-х'

)

Нехай ОсК"- довільна множина точок п - вимірного арифметич-

ного простору. Якщо кожній точці Р(х

, х

,...,х„)є О ставиться у відповід-

ність за деяким законом дійсне число и = /(Р), то кажуть, що на множині

О задана функція / : К" —> К п змінних х

,х

Позначення: и = /(Р) = /(х

,х

,...,х

) = /(х).

Множина £) називається областю визначення функції и = /(Р).

Множина Е = {иє К\и = /(Р), Рє О} - областю значень функції

и = /(Р).

При п = 2 маємо функцію двох змінних г = /(х,у) . Функція двох

змінних зображується графічно, взагалі кажучи, у вигляді деякої поверхні

в . Проекцією цієї поверхні на площину хОу є множина О .

Лінією рівня функції 2 = /(х,у) називається лінія на площині хОу,в

кожній точці якої функція приймає одне й те ж значення. Рівняння лінії рівня

/(х,у) = с, с - стала.

Поверхнею рівня функції и = /(х,у,г) називається поверхня, в кожній

точці якої функція приймає однакові значення. Рівняння поверхні рівня

/(х,у,г) = с, с - стала.

Повним приростом функції /(х) у точці х називається величина

Ам =/(х + Ах)-/(х) =

= /(х, +Ах,,х

+Ах

,...,х„ +Ах„)- /(х,,х

,...,х„) .

Тут х =

(Х|,х

,...,х

Ах = (Лх,,Дх

,...,Ах„).

114

Глава 2. Диференціальне числення функцій багатьох змінних

Частинним приростом функції Дх) у точці х позмінній х

нази-

вається величина

Хк

= /(х\,х

,..-,х

Ах

,...,х

/(х

]

,х

,...,х

Границя та неперервність функції. Число А називається границею

функції и = ДР) в точці Р

(я,,

,...,а

якщо для будь-якого є>0 існує

таке б > 0, що для всіх точок Р є £>, які задовольняють умові

0<р(7\Р

)<5,

виконується нерівність

\ЯР)-А\<г.

При цьому пишуть:

А= їіт /(Р)= Ііт Дх

,...,х

) = Ііт Дх).

дг

-»о

Функція и = /(Р) називається неперервною в точці Р

, якщо вико-

нуються умови:

1) функція /(Р) визначена в точці Р

;

2) 3 Ііт ДР);

/<->/>„

3) Ііт ДР) = ДР

Р->/'

Якщо в точці Р

хоча б одна з вказаних умов порушується, то Р

називається точкою розриву функції ДР). Точки розриву можуть бути ізо-

льованими, утворювати лінії розриву, поверхні розриву, тощо.

Функція називається неперервною в області, якщо вона неперервна в

кожній точці цієї області.

Частинні похідні. Частинною похідною функції и = ДР) позмінній

у точці Р

називається границя

Ііт —-—,

Д**->о

Ах

якщо вона існує.

Позначення: ; Д

(х); Д

; ^- .

Таким чином.

-—-= Ііт —-—. (2.1)

дх

ЛГІ->о

Ахі

§1.

Функції багатьох змінних

та їх

диференціювання

115

Для функції двох змінних

2 = /(х,у)

маємо:

£=1іт^; £«1іт

^. (2.2)

дх

АмО ЛЇ ду Ду^о Ду

З означення випливає,

що

частинна похідна

по

змінній

знаходиться

припущенні,

що

решта аргументів стала,

змінюється тільки аргумент

При

цьому зберігаються

всі

правила диференціювання функцій однієї змінної. Тоб-

то,

щоб

знайти частинну похідну

треба взяти звичайну похідну функції

дх

/(х

,х

,-..,х

)

позмінній

вважаючи решту змінних сталими.

Диференціал функції

та

його застосування. Функція

= /(Р) на-

зивається диференційовною

точці

Р ,

якщо

її

повний приріст може бути

представлено

вигляді

Ли

І^-Л*,+о(р),

Р^О,

(2.3)

,=і

ох,

де

р =

р^Ах

Повним диференціалом функції

= /(Р) в

точці

називається

го-

ловна частина повного приросту функції

/(Р),

лінійна відносно приростів

аргументів.

Повний диференціал визначається

за

формулою:

сіи

= У

—

Дх,

або

Тут враховано,

що Дх, = сіх,.

Для функції двох змінних

2 = /(х,у)

Лі

Х|^Л

(2.4)

аоо

а/

—Дх

—Ду

дх

ду

а/Лах

^ау. (2.5)

ах

ду

116

Глава 2. Диференціальне числення функцій багатьох змінних

Мають місце такі правила знаходження диференціалів:

сі(и±у) = сіи±сЬ>;

С/(МУ)

= усіи + исіу ; сі

ґ и\ усій - иа\

Тут и та V - функції багатьох змінних.

Повний диференціал використовується в наближених обчисленнях.

Враховуючи, що при малих значеннях р має місце наближена рівність

Аи ~ сій,

маємо

Дх, +Ах

,х

+ Ах

,...,х„ + Ах

)- /(х,,х

,...,х„)=

2~ІТ~

АХ

або

З/

Дх, +Ах,,х

+ Дх

,...,х„ +Дх„) ~ /(х

]

,х

,...,х„) + У^Г

^ • (

)

,=і

«і

Зокрема, для функції двох змінних г =

/{х,у),

маємо

Дх + Ах,у + Ау)~/(х,у)+¥-Ах + ^Ау. (2.7)

ох оу

Формули (2.6), (2.7) використовуються в наближених обчисленнях.

Диференціювання складних функцій

Якщо и = /(х|,х

,...,х„) - диференційовна функція змінних

х,,х

,...,х„, які самі є диференційовними функціями незалежної змінної І:

х, = Ч>,(0, х

=ф

(г), • • •, х

=Ф

(0,

то похідна складної функції и = /(ф, (/),ф

(/),..., ф„(/)) обчислюється за

формулою

сій _ А ди ах,

сії ~(дх, сії

Зокрема, для функції двох змінних м = Дх,у),де х = ф,(г), у = <р

(і),

маємо

^_ди_

сіх_

ди^ ау ^

сії дх сії ду сії

Якщо и = /(х

,х

,...,х

) - диференційовна функція змінних

,...,х„ , де х

= ф

(х,), х

=ф

(д:,), х„ = Ф„(х,) - диференці-

йовні функції змінної х,, то маємо так звану формулу повної похідної

сій ди -Д ди сіх. .

Функції багатьох змінних

та їх

диференціювання

117

Зокрема,

для

функції трьох змінних

м =

/(х,у,г),

де у = у(х),

= г(х),

маємо формулу повної похідної

сій

ди ди сіу ди сіг ,,

—

= — + - - + .

(2.11)

сіх

дх ду сіх дг сіх

З.Якщо

и =

/(х

,...,х

),де

х,

=ф,(г,,/

,...,(„),

/ = 1,

л,-дифе-

ренційовні функції змінних

/ , і = 1, т, то

мають місце формули:

ди

А ди дх, .

т— =

£-—Т"^

1 = ^

- (

2Л2

ду

=І

ах, ду

Зокрема,

для

функції двох змінних

г =

/(х,у),

де

Х(И,У),

= у(и,

У)

маємо:

дг

_дг дх дг ду

ди

дх ди ду ди ^

дг

_дг дх дг ду

9У

дх ЗУ ду ду

Похідна

за

напрямом. Похідною функції

и =

/(х,у,г)

за

даним

на-

прямом

І в

точці

називається границя

Ііт —, яка

позна-

м->м

ди

_ ди

чається

— або —

ді

.Тут

(х

,у

М(х

+Ах,

+Ау,

+Аг),

=^Ах

+Ау

+Аг

Отже,

за

означенням

ди

и(М)-и(М

)

—

= пт .

ді

м->м

Якщо функція

и-=

/(х,у,г) диференційовна,

то має

місце формула

ди

ди ди

ди

—

—созси созрн созу,

ді

дх ду дг

де соза, созр, созу

напрямні косинуси вектора

/ .

Аналогічно визначається похідна

за

напрямом

для

функцій

двох

змін-

них 2 =

/(Х,у)

дг

дг дг

—

—созсх

—созр,

ді

дх ду

де

соз а, созР -

напрямні косинуси вектора

/ .

Похідна

за

напрямом характеризує швидкість зміни функції

за

даним

напрямом.

118

Глава 2. Диференціальне числення функцій багатьох змінних

Градієнт функції. Градієнтам функції и = /(х, у, г) називається вектор,

проекціями якого на координатні осі є відповідні частинні похідні даної функції:

ди г ди - ди г

§гасіи = — і + — ] + —

дх ду дг

Для функції двох змінних 2 = /(х,у)

дг ~ дг -

§гасІ2 =— / + —у •

дх ду

Похідна за напрямом / зв'язана з градієнтом функції формулою:

^ = (§гасіи,0 = пр^гао" и .

ді

Градієнт вказує напрямок найшвидшого зростання функції в даній точці.

Похіднау напрямі градієнта має найбільше значення, тобто у напрямі / = §гагіи:

(!1„

Н8га<

Градієнт функції в кожній точці напрямлений по нормалі до відповід-

ної поверхні рівня (лінії рівня).

Диференціювання неявних функцій

Неявні функції однієї та багатьох змінних

Нехай функція и = /(х

]

,х

,...,х

) задана неявно рівнянням

Р(х

,х

,...,х

,и) = 0,

де Р - диференційовна функція змінних х

,х

,...,х

,и. Тоді частинні

похідні функції и позмінних х

,х

,...,х

обчислюються за формулами

ди дх. дР . . -— ,„ , „.

т~^"дк-

І=1

(2Л4)

дх, о£_ ди

~ди~

Зокрема, якщо функція у = у(х) задана неявно рівнянням

Р(х,у) = 0,

де Р - диференційовна функція змінних х,у ,ТО

др_

сіх дР ду

ду

Функції багатьох змінних та їх диференціювання

119

Аналогічно, частинні похідні функції г = <$(х,у), заданої неявно

рівнянням

Р(х,у,г) = 0,

де Р(х,у,г) - диференційовна функція змінних х, у,г , обчислюються за

формулами:

дх

дР_

дх

дг

дР_

ду

дР

*0.

дР ' ду ^Р_' дг

дг дг

Системи неявних функцій

Обмежимось рзгляданням функцій двох незалежних змінних.

Нехай система двох рівнянь

\Р(х,у,и,у) = 0

[С(х,у,и,у) = 0

визначає и і V як диференційовні функції змінних х і у і якобіан

(2.16)

дР_ дР_

ди ду

дО де

ди ду

*0.

Тоді диференціали сій і сім цих функцій (а отже, і частинні похідні)

можна знайти з системи рівнянь

дР , дР , дР , дР ,

— ах + — сіу-і аи + —«V = 0,

дх ду ди ЗУ

дО , дС ^ дС

дС ^

— ск + —сіу + —сіи + — сіу = 0.

дх ду ди ду

Диференціювання параметрично заданих функцій

Нехай функція г незалежних змінних х і у задана параметричними

рівняннями

х = х(и,у), у = у(и,у), г = г(и,у)

і якобіан

дх дх

Р(х,у) _ ди ду ^

£)(м,у) ду ду

ди ду

120

Глава 2. Диференціальне числення функцій багатьох змінних

Тоді диференціал сіг цієї функції (а отже, і частинні похідні) можна

знайти з системи рівнянь

. дх , дх ,

сіх = —

сій

+ — а\,

ди ЗУ

ау=^—сіи +

^-сІУ,

ди дг

, дг , дг

аг = —

сіи

+ —

сп>.

ди ЗУ

Знаючи диференціал сіг = рсіх + дсіу, знаходимо частинні похідні

дг . дг

дх ду

Частинні похідні та диференціали вищих порядків

Частинними похідними другого порядку функції и = /(х

,х

,...,х

)

називаються частинні похідні від її частинних похідних першого порядку.

Наприклад,

дх,

Похідна

ди_

дх,

дх}

_3_

аг,

дх,

и „

дхдх,

,Х

дх, дх,

називається мішаною частинною похідною другого

порядку по змінних х, ,х!.

Для функції двох змінних 2 = /(х,у) маємо похідні другого порядку

г д

дх

ду

дхду дудх

Аналогічно визначаються та позначаються частинні похідні порядку

вище другого.

Мішані похідні, що відрізняються одна від одної лише послідовністю

диференціювання,рівні між собою за умови їх неперервності. У цьому ви-

падку кажуть, що результат диференціювання не залежить від порядку ди-

2 3

ференціювання, наприклад, — = ——.

Зх ду ду дх

Диференціалом другого порядку від функції и = /(х

)

,х

,..-,х

) на-

зивається диференціал від її повного диференціала, тобто сі

и = сі(сіи).

Аналогічно визначаються диференціали порядку вище другого:

сі\ = сі(сі

и); взагалі сі

и = сі(сі

~\).