Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. та ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 2
Подождите немного. Документ загружается.
§1.
Основні формули інтегрального числення функцій однієї змінної 351
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
4
І±7
х ах
1п
х + 4х
2
+ а
2
+ С
х'+а"
ах
51П X
ах
\п
1п
х
2
±а
2
+ С.
+ С.
, х п
+ С.
СОЗХ
1£ х ах = -1п| С05А"] + С .
сі§ х ах = 1п| зіпх| + С .
5П х ах = сЬ х + С .
сЬ х сіх = $Ь х + С .
ах
с\\
2
х
сіх
ЛЬх + С.
§\\
2
х
= -сіп х + С.
Заміна змінної
\Дх)сіх =
х = ср(/)
сіх = ф'(ґ)
сії
= |/(ф(0)ф'(0Л-
Інтегрування частинами
0"У = иу -- ^V а"и.
Інтегрування найпростіших дробів
1) \-^—сіх = А т\х-а\ + С
1
х-а
•сіх=-
1
(х-а)
к
к-\
+ С
«І-
Ах + В
х
2
+ рх + д
1-к (х-а)
ах= — \п(х
2
+ рх + а) +
В-А*-
х +
-
агсі§ •
г+С.
я-
1
352
Глава
6.
Довідковий матеріал
4)Г
2
АХ
+ В
* =
(х
г
+рх
+
оТ
А
(,
2
+а
2
Г
к+1
—
н
2
-к +
1
х
= і-£-
2
сіх
=
сії
с]
_£^
= а
2
>0
4
1
2А-3
1
' а
2
2к-2
к
~
1
1
„
-
=
—
агсї§—
+ С
а
а
Г
* _
-
1
(х
1
+
/?х
+
<7)
/
1
2а
2
(к-1)
(1
2
+а
2
)
к
-
При
к = 1: /, = |"-г^
А
(,
2
+а
2
Г
к+1
—
н
2
-к +
1
х
= і-£-
2
сіх
=
сії
с]
_£^
= а
2
>0
4
1
2А-3
1
' а
2
2к-2
к
~
1
1
„
-
=
—
агсї§—
+ С
а
а
,
*>1.
Інтегрування ірраціональних функцій
Інтеграл Підстановка
(
а і з>Л
_[Л
х,х
м
,дг'
2
сіх
V
/
х
= Л
де
к -
загальний знаменник
дробів
— , ( = 1, п .
Гл
х/
ж+й
>/
ж+й
>,./
а
*
+6
>
л
•' \сх+сі) \СХ+СІ) \СХ+СІ)
\
)
ОХ
1-Й ь
7
= ' •
сх
+ а
де
А -
загальний знаменник
дробів
— , і = 1, п .
з,
|/?^х,л/ах
2
+Ьх + с ^аx
Підстановки Ейлера:
а) л/ах
2
+Ьх + с =1± х4а , а > 0 ;
6)4ах
2
+Ьх + с =х 1±4с ,с> 0 ;
в)4ах
2
+Ьх+с =
А
/а(х-х
]
)(х-х
2
)
=
= г(х-х,)
.
Диференціальний біном
\х
т
(а
+
Ьх")
р
сіх
а)
р -
ціле число
а)
/ = л/х , де І -
загальний
знаменник дробів
т і л
§ І
Основні формули інтегрального числення функцій однієї змінної
353
,.
т
+
\
б) ціле число
п
б)
а + Ьх" = /', де 5 -
загальний
знаменник дробу
р
.
т
+
\
в)
1-
р -
ціле число
п
в)
ах~
и
+ Ь = /
л
, де 5 -
загальний
знаменник дробу
р
Інтегрування тригонометричних функцій
|/?(зІП
X, СОЗ X)
СІХ
X
2і
\~1
2
зіпх =
—
;
созх
= —
\
+ (
2
\ + 1
2
|/?(5Іп"х, соз
т
х)сіх,
п
, т
— парні, хоча
б
одне
з
них від'ємне
/=1§х;
•2
І
2
2 1
зіп
х = ; соз х = -
\ +
(
2
І +
І
2
|/?(5іп"
х,
соз
ш
х)сіх,
п
= 2к , т = 2р
.2
1
-
СОЗ 2 X
2
1
+
СОЗ 2 X
зіп
х = ; соз х =
2
2
Гсоз
тх
СОЗ
пх
сіх
соз
тх соз пх =
-^[соз(/н
+ п)х
+ соз
(т - п)х\
Гзіп
тх
соз
пх
сіх
зіп тх соз
/ЇХ
=-^-[зіп(/и +
«)х
+ зіп
(/я-я)х]
Гзіп
тх
зіп
пх
сіх
зіп тх зіп пх =
-^-[соз(/и
- и)х
—
соз
(/я +
и)х]
Тригонометричні підстановки
\[к^х,4а
2
-х
2
сіх
х
= азіп/ або х =
асоз/
\я^х,4а
2
+х
2
^аx
х
= а
1§
і або х = а
сІ§
/
|/?|х,л/х
2
-я
2
^сіх
а
а
х
= або х =
соз/
зіп/
II.
Визначений інтефал
Формула Ньютона-Лейбніца
ь
\/(х)сіх
=
Р(х)\
Ь
а
=Р(Ь)-Па)
а
354
Глава
6,
Довідковий матеріал
Заміна змінної
]/(х)сіх
=
X
=
ф(ґ),
СІХ -
ф'(/)
СІІ
ф(ос)
=
а,
ф(Р)
=
Ь
=
}/[ф(0]ф'(0<*
Інтефування частинами
|г/ду
=
МУ
|*
-^сіи
І. Застосування визначеного інтеграла
Площа плоскої фігури
£>
Декартова система координат
О:>>
=
Дх),/(х)>0,
х
= а, х
= Ь,
у
=
0 .
5 = }/(*)
А
0-у
=
А(х),у =
/
2
0),
/,(х)</
2
(х),
х
= а, х = 6, а
< Ь
.
5
=
][/
2
(х)-Мх)]ах
Полярна система координат
£>:
р =
р(ф),
а < ф <
р
.
5 =
-|р
2
(
Ф
)йф
Параметричне задання
£>:
У = Дх), хє
[а,Ь],
\х
=
х(і),
[У
=
У(0,
а</<р.
8
=
\у(х)ах:
х
=
х(і),
У=У(І),
сіх =
х (1)Л,
х
=
а, І
=
ос,
х
=
Ь,
І =
р.
Довжина кривої
£
Декартова система координат
Ь:у
= /(х),
а<х<Ь.
1
= \у[і +
у
'
2
(
х
)
А
Полярна система координат
£ :
р =
р(ф),
а < ф <
Р.
/
=
|л/р
2
(ф)
+
р'
2
(ф)
<*Р
а
Параметричне задання
£сК
2
£
:
і
К
' а
<
І
<
Р
;
Р ,
/
=
/г/х'
2
(0
+ /
2
(0
сії
§1.
Основні формули інтегрального числення функцій однієї змінної
355
І: •
ісК
3
х
= х(і),
у
= у(і), а < і < р .
2
=
2(0,
/
=
!А/*'
2
(0
+ /
2
(/) +
2'
2
(/)
Л
а
Об'єм тіла
за
площами паралельних перерізів
5(х)
-
площа перерізу тіла
площиною, перпендикуляр-
ною
осі Ох,
а<х<Ь
Ь
V
=
$8(х)сіх
а
Об'єм тіла обертання
Декартова система координат
Б
:у =
/(х),у
= 0, х = а,х = Ь,
вісь обертання
- Ох
Ь
у
х
=
п\у
2
(х)сіх
а
О-Ух =/](х),
У
2
=/2<»>
0</,(х)</
2
(х),
х
= а, х
=
Ь,
вісь обертання
- Ох
Ь
У
х
=к\и
2
\х)-/
2
(х)]сіх
а
Д:
х =
Ц>(у),
х = 0, у = с, у = сі,
вісь обертання
- Оу
<і
У
у
=п\<р
2
(у)сіу
с
И:
х,
=ф,0>),
*2
=Фг(.У).
0<ф,0>)<ф
2
О),
у
= с, у = сі,
вісь обертання
- Оу
(і
Уу
=л|[ф
2
2
(уО-
Фі
2
(у)]й>
с
Полярна система координат
О
•
Р =
Р(ф),
Ф,
= а, ф
2
= р (а <
(3)
2
Р
г з
К=—
ТСІр
(ф)-5ІПфі/ф
а
Площа поверхні обертання
Декартова система координат
/:
у =
Дх)>0, а<х<Ь.
ь
,
/>,
=2л|Дх)
Л
/і
+
/'
2
(х)ах
Полярна система координат
/:
р =
р(ф), ос
< ф < р.
Р
,
=2я|р5Іпф
Л
/р
2
(ф)
+
р'
2
(ф)аф
а
Параметричне задання
Гх
= х(А
А а</<В;
Р
х
=2п]у(1)уІх'
2
(і)
+
у'
2
(()Л
а
356
Глава 6. Довідковий матеріал
Статичні моменти плоскої кривої / відносно координатних осей
1:у = Дх), а<х<Ь;
відносно осі Ох
М
х
=\Дх)уІ\ + /'
2
(х) сіх
а
І'-У-І(х),
а<х<Ь;
відносно осі Оу
ь ,
М
у
=\хф + Ґ
2
(х) сіх
а
Статичні моменти плоскої фігури Б відносно координатних осей
й:у = Дх),у = 0, х = а,х = Ь ;
відносно осі Ох
1 *
Л/
х
=-_[/*(*) сіх
а
Б-У
= Дх),у = 0, х = а,х = Ь;
відносно осі Оу
Ь
М
у
= |х
•
/(*) сіх
а
Моменти інерції плоскої кривої / відносно координатних осей
І-У-Дх),
а<х<Ь;
відносно осі Ох
ь ,
І
Х
=\/ЧХ)УІ\
+
Ґ
2
(Х)СІХ
а
1:у = /(х), а<х<Ь;
відносно осі Оу
>>
і
і
у
=\х
2
-ф + /'
2
(х) сіх
а
Моменти інерції плоскої фігури О відносно координатних осей
Б:у
= /(х),у = 0, х = а,х = Ь;
відносно осі Ох
1
х
=^\ї\х)сіх
а
й:у = /(х),у = 0, х = а,х = Ь ;
відносно осі Оу
Ь
і
у
=\х
2
Дх)сіх
а
Координати центра ваги плоскої кривої /
1:у = Дх), а<х<Ь
Ь
.
\хл]\ + /'
2
(х) сіх
У
а
_[ л/і+/ (х) сіх
а
1:у = Дх), а<х<Ь
к
.
\Дх)^
+ Ґ
2
(х) ах
У
=
М
> = °
М * / 77—
\4\
+ /
2
{х) сіх
а
§1.
Основні формули інтегрального числення функцій однієї змінної
357
Координати центра ваги плоскої фігури Б
й:у = /(х), у = 0, х = а, х = Ь
ь
У а
Хс
~ м ~ *
}/(*)
ах
а
й:у = /(х), у = 0, х = а, х = Ь
Ь
і/
2
(х)ах
Ус
М *
2 _[ Дх) сіх
а
Робота змінної сили Р = Р(х)
а<х<Ь
Ь
А = \р(х) сіх
а
358
Глава 6. Довідковий матеріал
§2. Диференціальне числення функцій багатьох змінних
Поняття
або
співвідношення,
що визначаються
Формула
1 2
Функція п змінних
и = /(х, ,х
2
,..., х„) = Дх) = /(/>)
Функція двох змінних
2
= У(Х,У)
Повний приріст
Ам = Дх, + Дх,,...,х„ +Дх„)- Дх,,...,х„)
Частинний приріст
по змінній х
к
А
х*
м
=
Ях
и
...,х
к
+ Ах
к
,...,х„)-Дх,,...,х„)
Частинна
похідна
и = /(х,,х
2
,...,х
я
)
ди
= і™
А
*"
дх
к
Д**-*о
Дх^
Частинна
похідна
г = /(х,у)
32 ,. А
г
2 32 ,. А 2
— = Ііт —— , —= Ііт ——
Зх Ліг->0 Дх Зу Ду-»0 Ду
Повний
диференціал
И =
/(Хі,Х
2
,---,У,,)
,=1 ОУ,
Повний
диференціал
г = /(х,.у)
. Зг Зг
Й2 = — йх
н
йу
Зх ду
Формула
повної похідної
и = Дх,,х
2
,...,х„), х, =ф,(х,), / = 2, п
йи ди
+
^ Зг/ йх,
йх, Зх,
(=2
Зх, йх.
Формула
повної похідної
и = Дх,у,г), у = у(х), г = г(х)
сій ди ди сіу ди сіг
сіх дх ду сіх дг сіх
§2.
Диференціальне числення функцій багатьох змінних
359
1 2
Формула
для похідної
складної функції
и
=
/(х
и
х
2
,...,х
п
),
х,
=ф
(
(/,,...,*„)
ди
ди дх, .
=>
, ] = 1, т
ді
]
,
=1
дх, д^
Формула
для похідної
складної функції
2
=
/(х,У)>
х
-
х(и,у),
у =
у{и,у)
дг
дг дх дг ду
ди
дх ди ду ди
дг
дг дх дг ду
ЗУ
дх ЗУ ду ЗУ
Похідні функції,
заданої неявно
Р(х
1
,х
2
,...,х
п
,и)
= 0
дР
ди
дх, . -—
аГ"^
, = 1
'
я
Зи
Похідні функції,
заданої неявно
Р(х,у)
= 0
дР
<ІУ
_ дх
сіх
дР
ду
Диференціал
другого порядку
и
=
/(х
і
,х
2
,...,х„)
"
" 3
2
и
,=\
}
=\дх$х
]
Диференціал
другого порядку
,2
д
2
2 , т „ 3
2
2 , , 3
2
2 , •>
сі
г =
—-сіх
+2
сіх сіу
+—-сіу
дх дхду
ду
Рівняння
дотичної площини
К
до поверхні
Р
в точці М
0
(х
0
,у
0
,г
0
)
Р:Р(х,у,г)
= 0
К: Р
х
-(М
0
)(х-х
0
)+ Р;(М
0
)(у-у
0
)
+
+Р:(М
0
)(г-г
0
)
= 0
Рівняння
дотичної площини
К
до поверхні
Р
в точці М
0
(х
0
,у
0
,г
0
)
Р:
г =
/(х,у)
К-
/х(хо,Уо)(*-Хо)+
Ґ
у
(х
0
,Уо)(У-Уо)-
-(2-2
0
)
= 0
360
Глава 6. Довідковий матеріал
1 2
Рівняння
нормалі N
до площини Р
в точці М
0
(х
0
,у
0
,г
0
)
Р:Р(х,у,г) = 0
у.
х
~
х
о _ У-Уо _
2
~
2
о
Рівняння
нормалі N
до площини Р
в точці М
0
(х
0
,у
0
,г
0
)
Р-.2 = АХ,
У
)
У
. Х-Х
0
_ у-у
0
_2-2„
/!(х
0
,у
0
)
/у(х
0
,у
0
)
-1
Формула Тейлора
розкладу функції
в околі точки М
0
и = Дх
и
х
2
,...,х„) = и(М) (т + 1) раз
диференційовна в околі точки М
0
О(М
0
)
т і і
и(М) = и\,. +Т — сі
к
и\
и
+
</
т+1
и|л/>
тУє
О(М
0
)
Формула Тейлора
розкладу функції
в околі точки М
0
г = /(х,у)
/(х,у) = ДМ
0
) +
+
і(
3/(
^\,-,о)
+
3/(
а
Мо
\,-,о))
+
2!
Зх
2
V
+
2
а2
л
/(
л
М
°
)
(х-х
0
)(у-,
о) +
ЗхЗу-
Ьу )
+
-:\іг(
х
~
х
о) + Т-(У~Уо)\ ЯЛУ
0
) + о(р
и
),
/и!
1
Зх ф> 1
р
=
/(х-х
0
)
2
+СУ-У0)
2
Необхідні умови
екстремуму
в точці М
0
" =
У(Х|,х
2
,...,х„)
Зм . -—
— = 0, і = 1, п
' м
й
Ми
=0