Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. та ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 2
Подождите немного. Документ загружается.
§6.
Основні формули диференціального числення
381
Продовження таблиці
6.3
1
Залишковий член
у
формі
Лагранжа
К
п
(х)
= +
Щх-а)
п+
',
(л
+
1)!
Е,
= а +
0(х-а),
0< Є<
1
Залишковий член
у
формі
Пеано
К
„(х) =
о((х-а)"),
х -> а
Формула Маклорена
(Тейлора
при а = 0)
/(х)=£^>х
А
+7<
п
(х)
Основні розклади функцій
за
формулою Маклорена
п
к
е*
= У^
+0
(х
л
);
к = й
8Іпх
= У
(-1)*"'
—
+о(х
2л
);
со8х=У,(-1)*
-^+о(х
2я+1
)
£Г
(2А-1)!
£ (2к)\
п
к
к-і
х
2к-1
ч*:
х
..2к
Щ\
+
х)=^(-\)
к
-
]
^-
+
о(х");
к=\
(1+Х)"
=1+2
і = 1
^т(т-\)...(т-к
+ \)
к\
х
к
+
о(х").
Екстремуми функцій
Необхідна умова локального екстремуму функції
Дх) в
точці
х
0
Достатні умови локального екстремуму
в
точці
х
0
/ правило.
/
(х)
змінює знак
з "+" на "-" в
околі О(х
0
,8)
=> Дх
0
) =
у
тах
;
/
(х)
змінює знак
з "-" на "+" в
околі О(х
0
,5)
=> /(х
0
) = у
тт
;
/(х)
не
змінює знаку
в
околі О(х
0
,8)
=> /(х
0
) *
у
тж
,
Дх
0
) Ф у„
II правило.
/\х
0
)<0
=> Дх
0
) =
у
тах
;
/'(*о)>°
=»
/(*о)
=
.Упіиі
;
/*(х
0
)
= 0 =>
потрібне додаткове дослідження.
382 Глава 6. Довідковий матеріал
2
,
Л
-Ь±4ь
2
-4ас
де Х!,х
2
- корені рівняння ах +Ьх + с = и, х
12
=
—
2а
Для «є N
а"-6
й
= (а-Ь)(а"-
Х
+а"-
2
Ь + а"~
і
Ь
2
+... + аЬ"'
2
+Ь"~
І
).
§ 7. Основні формули елементарної математики
7.1 Алгебраїчні функції
7.1.1 Властивості степенів
Для будь-яких х,у та додатних а, Ь мають місце такі рівності:
а°=1;
{аЬ)
х
=а
х
Ь
х
;
а~
х
=—.
а*
{а
х
у=а
ху
;
7.1.2 Многочлени
Для будь-яких а, Ь, с мають місце такі рівності:
а
2
-Ь
2
=(а~Ь)(а + Ь);
(а + Ь)
2
=а
г
+2аЬ + Ь
2
;
(а-Ь)
2
=а
2
-2аЬ + Ь
2
\
(а + Ь)
г
= а
3
+За
2
Ь + ЗаЬ
2
+Ь
3
;
(а-Ь)
3
= а
3
-За
2
Ь + ЗаЬ
2
-Ь
г
;
а
3
+ £
3
=(а + Ь)(а
2
-аЬ + Ь
2
);
^-Ь
3
=(а-Ь)(а
2
+аЬ + Ь
2
);
ах
2
+Ьх + с = а(х-Х])(х-х
2
),
§
7.
Основні формули елементарної математики
383
Якщо
п -
парне,
а
—
о
=(а + о)(а
-а о + а + —о )•
Якщо
п -
непарне,
а"
+Ь
п
=(а +
Ь)(а"-
х
- а"'
2
Ь
+
а""
3
Ь
2
-...-аЬ
п
~
2
+
Ь"~
Х
).
7.1.3 Властивості арифметичних коренів
Для будь-яких натуральних
п, к ,
більших одиниці,
та
будь-яких
не-
від'ємних
а, Ь
мають місце такі рівності:
"4аЬ="4а~-
п
4Ь;
= а
(а>0);
"^='^(Ь*0);
"-Іс1<
п
4ь,
якщо 0<а<Ь;
^с7 = \а\ = \
«^
а>
~«>
4
у-а при а < 0;
\л/а
= \а ; \а =|а|;
"Г"
"*ГТ 2и+1/
2п+і/—
, ч
л/я
= \я ;
л/-а=-
л/<з
(а>0).
7.2
Тригонометричні функції
(У всіх формулах, наведених
у
цьому пункті, слід враховувати
область припустимих значень лівої
та
правої частини формул)
7.2.1 Співвідношення
між
тригонометричними функціями
одного
і
того
ж
аргументу
зіп
2
х +
соз
2
х = 1;
1§хсІ§х
= 1;
ЗІПХ
,
2
1
=
;
1
+ х =——;
СОЗХ
СОЗ X
СОЗХ
, . 2 1
сЩх
= ——;
1
+
сІ§
х =
ЗІПХ
5ІП
2
Х
7.2.2 Формули додавання
зіп
(х + у) =
зіп
х
соз
у +
созх зіп
у ;
зіп
(х - у) =
зіп
х
созу-созх зіпу;
384
Глава 6. Довідковий матеріал
соз(х
+ у) = созх созу-зіпх зіп у ;
соз(х-
у) = созх соз у + зіпх зіп у ;
12Х
+ ІЄУ , .
СІ2ХС12у-1
1&(*
+ У) = -г —сі§(х + у) = -^ ^
1-ЩХІ&У
СІ£Х+СГ§у
І2Х-І2У
, .
СІ£ХСІЄу
+ 1
Щ(х~у)
= ~ —; с1
8
(х-у) = -2 ^~
1
+ іе.хіе.у сі§у-сі§х
7.2.3 Формули подвійного аргументу
зіп
2х = 2 зіпх созх ;
соз
2х = соз
2
х-зіп
2
х = 2 соз
2
х-1 = 1-2 зіп
2
х ;
2 іех „ сів
2
х-1
1§2х=
5—;
СІ§2Х=-2
1-і§ х 2сІ§х
7.2.4 Формули половинного аргументу
.
т_Х 1-СОЗХ її
1
+
СОЗХ
5іп — = ; соз — =
-
2 2 2 2
тХ
1-созх
•>
X
1
+ созх
1§
—
= ; сі§
—
=
2 1
+ созх 2 1-созх
х
зіпх 1-созх х зіпх
1
+ созх
і
Є
-=- =—; ;
с
чЗ- = - = —:
2 1
+ созх зіпх 2 1-созх зіпх
7.2.5 Формули зниження степеня
.
2
1-соз2х
2
1
+ соз2х
зіп
х = : соз х =
7.2.6 Формули перетворення суми в добуток
п, • х + у х-у
зіп
х
+ зіп у = 2 зіп соз —;
2 2
х+у . х-у
зіпх-зіпу = 2 соз зіп —:
2
2
§ 7, Основні формули елементарної математики
385
х
+ у х-у
СОЗ
х + созу = 2 соз соз
2
2
„
. х+у . х-у
соз х - созу = -2 зіп з ні ;
2
2
СОЗ
Х
+
51ПХ
=
42со%{—
-х
= -І2
зіпГ—
+
х1;
соз х
—
ЗШ
X
= 4Ї. зіп Г— -х\= л/2созГ— + х
4 і и
1§ Х
+
Г§
У :
зіп (х + у)
созх созу '
зіп (х-у)
\%х-%у
= ;
созх созу
СІ§
X
+
СІ£
у :
СІ§
X -
СІ§
у :
зіп (х + у)
зіпх зіп у
5ІП(х
- у)
зіпх зіп у
7.2.7 Формули перетворення добутку в суму
зіп х зіп у = (соз(х - у) - соз(х + у));
соз х созу =
—
(соз(х - у) + соз(х + у));
зіп х соз у = — (зіп(х - у) + зіп(х + у)) .
7.2.8 Вираження тригонометричних функцій через тангенс
половинного кута
зіпх =
0±.
2ї
8
і§ х =
-
2
.
созх
,
2 X
^
2.
1-18
2
X
2
2
*
СІ§
X =
-
2
18:
386
Глава
6.
Довідковий матеріал
7.2.9
Формули зведення
Назва функції
не
змінюється Назва
с
)ункції змінюється
на
подібну
и -а л-а л +
а
л
—
а
2
л
—+ а
2
Зл
а
2
Зл
— +
а
2
зіп
-5ІПГХ зіп а -зіп
а
соз а
соз а
-соз а
-соз а
соз
соз а
-соз а -соз а
зіп
а
-зіп
а
-зіп а зіп
а
18 -18 а -18 ос
сі§а
-сІ§а сі§а
-сг§а
сіє.
-сг§а -сі§а сіє. а
18
а
-іеа
і8 а -18 а
7.2.10
Значення тригонометричних функцій
Значення кута
а
Функції
град
рад
зіп а
соз а
18 а
сі§а
0°
0 0
1
0
не існує
30°
л
6
1
2
2
А
3
Тз"
45°
л
&
1
і
7
2 2
і
60°
л
7
2
1
2
41
VI
3
90°
л
2"
1 0 не існує 0
180°
л
0
-1
0
не існує
270°
Зл
2
-1 0 не існує 0
360° 2л 0
1
0
не існує
7.2.11
Властивості обернених тригонометричних функцій
агсзіп
(-а) =
-агсзіп
а,
|а|<1;
агссоз
(-а) = л -
агссоз
а, | а | < І;
агсіе.
(-а) = -
агсі§
<я,
а є К ;
агссі§(-а)
=
л-агссі§
а, аєК;
агсзіп
а +
агссоз
а =—, \а <1;
2
агсІ§
а +
агссіе,
а=—, ае К.
§ 7. Основні формули елементарної математики
387
7.2.12
Розв 'язки найпростіших тригонометричних рівнянь
Рівняння Розв'язки рівняння
зіпх = а, |
/яг
| < І
х = (-І)" агсзіпа + ля, я є 2
созх = а, \а\<\
х = ±агссоза + 2ля, яє2
1§х = а , ає К х = агсІ§ а + лп, я є 2
сІ§х
= а, аєК
х = агссІ§ а + кп , п є 2
Окремі розв'язки тригонометричних рівнянь
зіпх = 0
<=>
X
= ля,
/?
є 2 ,
зіпх
= +1
<=>
X
л
= +—і- 2ли, «є 2 ,
2
созх = 0
ч=>
X =
—І-
ля, я є 2 ,
2
созх = 1
<=>
X
= 2ля, я є 2 ,
созх
= -1
<=>
X = Л
+ 2ля, я є 2 .
7.3 Властивості логарифмів
1°.
Основна логарифмічна тотожність :
х =
а
І08аД;
,
х>0, а>0, а*1.
2° . Логарифм основи дорівнює одиниці:
1о§
а
а = 1.
3° . Логарифм одиниці дорівнює нулю :
1о§
а
1
= 0.
4°.
Формула для логарифма добутку :
1о§
а
(хіХ
2
)
= 1о§
а
х, +1о§
0
х
2
, хі >0, х
2
>0.
5° . Формула для логарифма частки :
1°8
а
—= 1о§
0
*ї-1о§
а
х
2
,
х,>0,х
2
>0.
х
2
6°.
Формула для логарифма степеня :
1о§
а
х
р
= р 1о§
а
х, х > 0, р є К .
388
Глава 6. Довідковий матеріал
7 . Формула переходу до нової основи логарифма :
\о%
а
х=^^
К
-,
х>0, Ьє К, Ь>0, Ь*\.
Зокрема,
І0
8
а
6=-—!—; 1о§
д
й
•
1о§
6
а = 1.
7.4 Прогресії
Арифметична прогресія
Геометрична професія
а
п =
а
п-\ + > " -
2
де сі - різниця професії
К = К-\ Я, п>2
де д - знаменник професії
Формула «-го члена
а„ =а, +(л-1)5
и = ],2,...
6
Я
« =
1,2,...
Формула суми перших п членів
2
5„=Ь,І-А
«*1
1-0
Формула для різниці Формула для знаменника
<і
= а
п
-а
п
_
ь
п>2
Я
= -^, п>2
Ь
п-\
Сума натуральних чисел
від
1
до п
Сума нескінченної
геометричної професії
с
_л(и + 1)
2
5= *•
І-о
7.5 Основні формули комбінаторики. Біном Ньютона
Число перестановок з п елементів знаходяться за формулою
Р„ =1-2-...(«-1)и = я!, 0!=1.
Число розміщень з п елементів по т елементів знаходяться за формулою
А
т
„
=
п
(п-\)...(п-(т-\)) = —^—.
(п-
ту.
§ 7. Основні формули елементарної математики
389
або
Число комбінацій з я елементів по т елементів знаходяться за формулою
А
т
п
=
я(л-1)...(/і-(/я-1))
С
т
_
/я!
(л-/и)!
Властивості комбінацій:
С" = С° = 1
Формула бінома Ньютона має вигляд
п
(а + о) = 2_У*
п
а Ь =С„а + С„а о+ ... + С„ ао + С„0 ,
м=0
де С™ =
—^-р-
1
-—77
-число комбінацій з п елементів по т елементів; я є N.
т\
(п-т)І
п
Сума біноміальних коефіцієнтів = 2".
т=0
7.6 Числові значення деяких величин
Позначення
величини
Числове
значення
Позначення
величини
Числове
значення
л
3,14159
е
2,71828
2л 6,28318
1/е
0,36788
я/2
1,57080
е
2
7,38906
я/З
1,04720
Ге
1,64872
я/4
0,78540
1§е
0,43429
я/6
0,52360 1п10 2,30258
1/л
0,31831
1 радіан
57°17'45'
я
2
9,86960
Г(град)
0,0174 (рад)
7л"
1,77245
1,41421
1,46459
1,73205
СЛОВНИК КЛЮЧОВИХ СЛІВ
Українською
Російською Англійською
мовою мовою мовою
абсолютний абсолютний
аЬзоІиІе
абсциса абсцисса
аЬзсізза,
х-соогсііпаїе
адитивність аддитивность асіаЧіІУІгу
аксіома аксиома
ахіот
алгебраїчний
алгебраический
а1§еЬгаіс
аналіз;
математичний
аналіз;
гармонічний аналіз
анализ;
математический
анализ;
гармонический анализ
апаїузіз;
саісиїиз;
Ьагтопіс апаїузіз
аналізувати анализировать
апаїузе
апліката
аппликата
2-соогсііпаІе
аргумент
аргумент
агеитепі,
іпа'ерепа'епі уагіаЬІе
арксинус
арксинус
агсзіпе
арктангенс
арктангенс агсіапєепі
асимптота асимптота азутрїоіе
астроїда
астроида азггоіа
бета-функція бета-функция
Ьеіа-гипсііоп
біном бином Ьіпотіаі
біном Ньютона
бином Ньютона
Ьіпотіаі тгтиіа
будь-який,
усякий любой
апу,
агЬіїгагу
варіація
вариация уагіаііоп
вгнутий
вогнутьій сопсауіґу
вгнутість
вогнутость
сопсауе
Вейєрштрас Вейерштрасс
ХУеіегзігазз
величина
величина
Яиапіігу,
зІ2е