Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. та ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 2
Подождите немного. Документ загружается.
§4,
Криволінійні інтеграли. Поверхневі інтеграли. Теорія поля
371
Таблиця
4.3 -
Теорія поля
Поняття
або
співвідношення,
що визначаються
Формула
1
2
Скалярне поле
Скалярне поле
и(М)
и(М)
=
и(х,у,г)
Поверхня рівня
и(х,
у,г) =
С
Лінія рівня и(х,у)
= С
Похідна
за
напрямом
/
=
(СО50С,
С05р\
С05у)
ди
ди ди „ ди
= С03СХ +
—С05|І+
—СОЗу
3/
дх ду дг
Градієнт
ди-
ди - ди
т
§гас!и(х,>>,2)
=—
і
+ —7 + -г-*
дх
ау дг
Векторне поле
Векторне поле
а(М)
а(М)=Р(х,
у, г)і +
с9(х, У,
г)] + В(х, у, г)к
Дивергенція
..
- дР д(2 дя
й\\а =— +
-=-
+
—
Зх
ду дг
Ротор
тої а
=
і
і к
3
3 3
Зх
ду дг
Р
<2 Р
(дР
д
+
дг
с
[ду
дг)
х
) удх ду )
Потік
П
= Л(о,й)да =
о
= Д(/>со5а+ £>созР +
Рсо5у)сіс!
=||а
я
ао
а
а
Лінійний інтеграл
\(а,а7)=
\[Рах + 0.ау +
Каг= \[а
х
сіІ
і
і і
Циркуляція
Формула
Остроградського-Гаусса
П
=
\\(а,И)сіа
=
\\\&\\асіУ
а
0
372
Глава 6. Довідковий матеріал
Продовження таблиці 4.3
Формула Стокса
С = $(а,сІг) = || (гої а, її) сіа
Потенціальне
векторне поле
а(М) =
%гас\и(х,у,2)
Соленоїдальне векторне
поле
СІІУ
а(М) = 0
Оператор Гамільтона V
а) градієнт
б) дивергенція
в) ротор
„ Зг д -. д г
§гааи = Ум
СІІУ
а = V
•
а
гоіа = Ухя
§5.
Деякі важливі криві
373
§5.
Деякі важливі криві
Назва, рівняння
Графік
Алгебраїчні криві другого порядку
Еліпс
а о
\х = асозг,
[у = Й8ІП/.
Гіпербола
2 2
а
2
б
2
'
х = асЬі,
у =
Ь$\ЛІ
правої гілки)
(для
ь
Парабола
у
1
= 2/>Х
Алгебраїчні криві третього порядку
Де картів лист
Заху
••
Заі
X
і
+ у
3
-3аху = 0;
У
:
1
+
1
Заі
2
\ + і'
з '
+у+а = 0
374
Глава 6. Довідковий матеріал
Локон Аньєзі
(верзієра)
Кубічна парабола
у = х\
Напівкубічна
парабола
з_
у = X
2
.
Цисоїда Диоклеса
а-х
аі
2
І
+ І
2
'
аг
1
+
1
2 '
а зіп ф
СОЗф
§5.
Деякі важливі криві
375
1 2 З
Алгебраїчні криві четвертого і вищих порядків
10
Кардіоїда
(х
2
+
у
2
-2ах)
2
=4а(х
2
+у
2
);
р = а(1 + со5ф).
У>
10
Кардіоїда
(х
2
+
у
2
-2ах)
2
=4а(х
2
+у
2
);
р = а(1 + со5ф).
У" •
11
Лемніската Бернуллі
(х
2
+у
2
)
2
=а
2
(х
2
-у
2
);
р
2
= а
2
соз2ф.
V
У
/ я
4
11
Лемніската Бернуллі
(х
2
+у
2
)
2
=а
2
(х
2
-у
2
);
р
2
= а
2
соз2ф.
12
Завиток Паскаля
(х
2
+у
2
-2Ях)
2
=а
2
(х
2
+у
2
);
р =
2/?созф+
а .
^^^^^^^^
*х
13
Гіпоциклоїда (астроїда)
2
2 2
х
3
+ у
3
= а
3
;
\х = а
соз
3
1,
[у =
азіп
3
1.
Ц
а
/
у
\
13
Гіпоциклоїда (астроїда)
2
2 2
х
3
+ у
3
= а
3
;
\х = а
соз
3
1,
[у =
азіп
3
1.
376
Глава 6. Довідковий матеріал
1 2
3
14
Трипелюсткова троянда
р = азіпЗф (р >0).
і
а
/ І
14
Трипелюсткова троянда
р = азіпЗф (р >0).
/о
а \
15
Чотирипелюсткова троянда
р = а| 5Іп2ф |.
Трансцендентні криві
16
Циклоїда
їх = а(1-$т 1),
[у = а(1 - соз /).
У,
1
\!
\\
\
/ а ^/
16
Циклоїда
їх = а(1-$т 1),
[у = а(1 - соз /).
о
2тш
х
17
Спіраль Архімеда
р = йф (р > 0).
' (
—)———
V V
0
У і 1
х
18
Гіперболічна спіраль
Р = - (Р>0).
Ф
а І
X
§5,
Деякі важливі криві
377
Логарифмічна спіраль
р =
е
а<р
.
Евольвента(розгортка)
кола
20 Гх = а(со8/ + г5Іп/),
[у = а(&'т{-{соз І).
21
Жезл
а
Р =
л/ф
22
Трактриса
х = аіп
а
2
-у
2
Л
-У
2
;
ІПІ§ —+ СОЗ
/ |,
у=авті.
У)
<
А(0;а)
о
Р
X
378
Глава 6. Довідковий матеріал
§6. Основні формули диференціального числення
Таблиця 6.1 - Основні правила та формули диференціювання
Основні правила диференціювання
1.
С' =
0 .
2.
(Си)' = Си.
3.
(и±
ч/
/ . /
V)
= и ±у .
4.
(и
•
у)' = и
•
V + и
•
\'.
=
-
2
, У*0.
V
6. (Дм))
х=/„-и
х
.
7.
х^, =
=
—, де х = х(у) - обернена функція для функції у = у(х).
Ух
Тут С
-
стала, и = и(х), V = у(х).
Правило диференціювання добутку п функцій
и = и(х), У = У{Х), н> =
н>(х),...,2
= г(х) :
(и•
V•
и\..г)'
= и
•
V•
м>...г
+ и• V
і
•
м>...г
+... + и• V• и'.-.г'.
Основні формули диференціювання
1.
(и
а
)' = аи
а-1
-и', ає К .
2.
(1о
8в
«)' = -!— и'.
иіпа
3.
(Іпм)' =
—
•«'.
и
4.
(а")' = а"1па-и'.
5.
(е")' = е"-и'.
6. (зіп и)' = соз и
•
и .
7.
(созм)' = -зіпг/м'.
8.
(ів»)'
=
——
соз м
9. (сі§и)' = Т~
и
'-
зіп и
§6.
Основні формули диференціального числення
379
Продовження таблиці
6.1
10.
(агсзіп
и)' =
•
и .
Ь-и
1
11.
(агссоз
и)' =
—г—!
и .
4\-и
2
12.
(агсї§и)'
=——т-и .
\ +
и
13.
(агссї§
и)' = и .
\ +
и
14.
(зН
и)' =
сЬ
и
•
и .
15.
(спи)'
=
8пи-и'.
16.
(Йі
и)'
= -^—и.
сЬ
и
17.
(сіЬм)'
= \—и .
зЬ
и
Тут
и = и(х).
Якщо и{х)
= х , то и\х) = х'
=
1
.
Таблиця
6.2 -
Основні поняття
та
формули
Поняття
або
співвідношення,
що визначаються
Формула
•
1
2
Похідна
у
= Ііт
Дг-»о
Ах
Диференціал
ау =
у'Ах або ау
=
у'ах
Похідна
п -го
порядку
СІ
"
У
=Ґ"Чх)
=
{/^(х))
ах
Формула Лейбніца
(и-у)<">
=
£с„* «<"-*¥*>.
к=0
Тут
м
(0)
= и , у
(0)
= у, С
к
-
число
,
^к п\
комбінацій
з п по к, С„ = .
(п-к)\к\
380
Глава 6. Довідковий матеріал
Продовження таблиці
6.2
1
2
Похідні
від
функції,
„'
- у*
заданої параметрично
Ух-
—
\х
=
х((),
X,
\у =
у«).
у'
=
ІУ
'*)'
X,
Диференціал
п
-го порядку
Таблиця
6.3 -
Застосування похідної
Поняття
або
співвідношення,
що визначаються
Формула
1 2
Рівняння дотичної
до кривої
у = Дх)
у точці
(х
0
,у
0
)
У-Уо
=/'(*<)
Х*-*о)
Рівняння нормалі
до кривої
у = Дх)
у точці
(х
0
,у
0
)
У
Уо - ,/, Л
х
х
о)
/(*о)
Кут між двома кривими
у
=
/,(х)
та у
=
/
2
(х)
у точці
їх
перетину (х
0
,>'
0
)
ЇВФ
=
/2^0)-/і'(*
0
)
1
+
/і'(хо)-/
2
'(*о)
При прямолінійному русі
точки
з
законом руху «
=
*(/):
ШВИДКІСТЬ
V
прискорення
а
у
= Д/)
а
=
Формула Коші
(відношення скінченних
приростів)
т-т
=
т
с&{аЬ)
г(Ь)
- в(а) £ (с)
Формула Лагранжа
(формула скінченних
приростів)
№-/{а)
=
/їс)(Ь-а),
сє(а,Ь)
Формула Тейлора
для функції
/(х) з
центром
розкладу
в
точці
х = а
П
х
)=1
1
~Г
1
(
х
-а)
к
+К„(х)