Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 1
Подождите немного. Документ загружается.
§ 1. Індивідуальне завдання 1.
371
23.
5 = (5,-1,-2), £ = (6,0,7), с, =(3а-26), с"
2
=(46-65).
24.
а =(-9,5,3), £ = (7,1,-2), ?,=(25-£),
5
2
=(35
+ 5£).
25.
5 = (4,2,9), £=(0,-1,3), с, =(46-35), с
2
=(45-з£).
26.
5 = (2,-1,6), £ = (-1,3,8), с, =(55-26), с"
2
=(25-5£).
27.
5 = (5,0,8), £=(-3,1,7), ^=(35-46), с
2
=(126-95).
28.
5 =(-1,3,4), £ = (2,-1,0), с, =(65-26), с
2
=(6-35).
29.
5 = (4,2,-7), £ = (5,0,-3),
С[=(5-з£),
с
2
=(б£-25).
30.
5 = (-9,5,3), £ = (7,1,-2),
г,=(25-£),
с
2
=(35 + 56).
31.
5 = (-1,2,8), £ = (3,7,-1), с,=(45-з£), с
2
=(9Ь~Ш).
Задача 4. [ гл. 1, §2, приклад 4 ].
Обчислити площу паралелограма, побудованого на векторах 5 та £.
Варіанти завдань
1.
5 = р + 25 ,
6 = Зр - 5;
\Р
= ».
= 2,
Л
(Р,Я)
2.
5 = Зр + 5,
£
= ^-25 ;
\Р
= 4,
I
і
?
= 1, (рія)
3.
« = Р ~ 35 ,
£
= 5 + 25;
\Р
1
~5'
\я
= 1,
л
(р.
<п
4.
5 = 3/3-25,
£
= р + 55;
\Р
= 4,
\я
1
'2'
л
(р,я)
5.
5 = р~2д ,
£
= 2р + 5;
\р
= 2,
\я
= 3,
6.
5 = р + 35, £
= р-2д;
\р = 2,
\я
= 3,
(Р*Я)
7.
5 = 2р,
£
= Р
+
35;
\р = 3,
\я
= 2,
(Р*Я)
8.
5 = 4р + 5,
£
= р-я\
\Р
= 7,
\я
= 2,
ІР*Я)
9. 5 = р - 45 ,
£
= Зр + 5 ;
\р
= 1,
\я
= 2,
л
(£> <?)
10.
5 = ^ + 45 ,
£ = 2р-д;
\Р
= 7,
\я
= 2,
(/С«)
6
-
к
' 4 '
Я
" І"
5л
6
Ззт
4
я
" 3 '
.
71
" 2 '
я
" 4'"
я
" 6 '
я
" 3 '
372
Глава 9. Типові розрахункові завдання
п. а
= 3р + 2д,
Ь
= р-д;
\Р
= ю,
\я
= 1,
Я
~ 2 '
12.
а
= 4р-д , ь = р + 2д;
\Р = 5,
\я
= 4,
Л
(р,я)
я
~~
4 '
13.
а
= 2р + 3д,
ь
= р-2<?;
\Р
= 6,
\я
= 7,
л
(р,д)
я
~ 3 '
14.
а
= 3р-д,
ь = р + 2д;
\Р
= 3,
\я
= 4,
(Р*я)
я
~ 3 '
15.
а = 2р + 3д,
ь = р-2д; \Р
= 2,
\я
= 3,
л
(р,я)
я
~ 4 '
16.
а = 2р-3д,
ь
= 3р + д;
\Р = 4,
\я
= 1,
(р?я)
я
~ 6 '
17.
а
= 5р + д,
ь = р-3д;
\Р
= 1,
\я
= 2,
л
(р,я)
я
~ 3 '
18.
а = 1р-2д , ь = р + 3д;
\Р
1
~2'
\я
= 2,
л
я
~~2 '
19.
а
ь
= р + д;
ІР
= 3,
\ч
= 4,
я
~ 4 '
20.
а
= \0р + д , ь = 3р-2д;
\Р
= 4,
\я
= 1,
л
О- я)
я
~~6 '
21.
а = 6р-д, ь
= р + 2д;
\ґ>
= 8,
и
1
~ 2 '
(р?я)
я
~ 3 '
22.
а = 3р + 4д, ь
= Я~Р\
\Р
_ 5
~ 2 '
\я
= 2,
л
я
~ 2 "
23.
а
= 7Р + Я .
ь
= р-3д;
\Р
= 3,
\я
= 1,
л
(р,
я)
_ Зя
~ 4
24.
а
= р + 3д, ь
= 3р-д;
\Р
= 3,
\я
= 5,
л
(р,я)
_ 2я
3
25.
а
= Зр + о ,
ь = р-3д;
\Р
= 7,
\я
= 2,
л
(р> 4;
я
~ 4 '
26.
а
= $Р ~
Я »
ь
= р + я;
\Р
= 5,
\я
= 3,
л
(р> <?)
_
571
6
27.
а = 3р-4д, ь = р + 3д; \Р
\я
= 3,
л
(р,я)
я
~ 4
28.
а = 6р - д ,
ь
= 5д + р;
\ї>
1
~2'
\я
= 4,
л
(р,я)
_
571
~ 6
29.
а
= 2р +
Зі]
,
ь
= р~
2
я;
\Р
= 2,
\я
= 1,
л
(р,
я,
я
~ 3
§
1.
Індивідуальне завдання 1.
373
ЗО.
5 = 2/3-За, 6=5р + 5/,
|/3|
= 2, |д| = 3,
{р,я)-~-
ЇЇ ЇЇ _
л
Зя
31.0
=
3/7
+ 25,, Ь=2р-с}; |р| = 4, |о| = 3, (/>,$=) = —.
Задача 5. [ гл. 2, §1, приклад 4 ].
Задано прямі /( та /
2
і точка М.
Знайти:
1) кутовий коефіцієнт прямої 1\ і відрізок, який відтинає ця пряма на
осі ординат;
2) рівняння прямих /| та /
2
у відрізках;
3) точку N перетину прямих /і і /
2
;
4) рівняння прямої /
3
, що проходить через точку Мпаралельно прямій /
2
;
5) рівняння прямої /
4
, що проходить через точку М перпендикулярно
до прямої /
2
;
6) відстань від точки М до прямої /
2
: р(М, /
2
).
Усі результати ілюструвати графічно.
Варіанти завдань
1.
1\
•
5х + 3.у +
8
= 0,
н
••
х-4>> + 20 =
0;
А/(7,-2).
2.
/і
=
Зх +
2>>
+ 2 = 0,
к •
4х-3^
+ 31
= 0;
М(6, 0).
3.
1\
••
х-5>> + 9 = 0 ,
Н-
Зх + 2у + Ю = 0 ;
М(1,3).
4.
/і :
5х +
2>>
+
13
= 0,
'2 •
2х -5^ + 11 = 0;
М(6, 4).
5.
/і
=
4х + ^ + 10 = 0 ,
І2
••
Зх + 7_у-5
=
=
0;
М(5,-4).
6.
'і :
5х + 2.у + 17 = 0,
І2-
2х - Зу +
3 = =
0;
М(5,2).
7.
/, : 9х-5)> + 17 = 0,
>2 •
4х +
>>
+ 14
=
=
0;
М(8,
4).
8.
Ч •
Зх-2>--16 = 0,
'2 •
х + 7у + 10
:
=
0; Л/(-10,3).
9.
І\ •
2х + 3у-15 = 0,
Н :
Зх-7у-11 = 0; М(-5,-4)
10.
/, :
х - 1у +
8
= 0 ,
І2-
2х + 5^-22
= 0; А/(-4,-7)
11.
'і •
Зх-8>> + 6 = 0,
н •
х + 2>>-12
=
=
0;
М(-8,-3)
12.
ч ••
2х-3у + 17=0, 4х - у + 9 =
0;
М(6,-2).
13.
4 :
Зх->> + 10 = 0,
н •
5х +
2>'
+ 2
=
=
0; М(3,10).
374
Глава 9. Типові розрахункові завдання
14.
к
=
11х +
6>>
+ 9 = 0,
/
2
:
Зх-7 +
16
= 0;
Л/(5,-4).
15.
к •
2х + Зу-5 = 0,
Зх + ^-4 = 0;
М(2,
3).
16.
к :
Зх-2у + 7 = 0,
к •
5х + у +
3
= 0;
М(1,4).
17.
к •
2х-3>> + 5 = 0 ,
к-
2х + 5у-12 = 0 ;
М(3,-4).
18.
к •
4х-3.у + 5 = 0,
к :
х + 4>>-13 = 0; М(-2,-3)
19.
к •
Зх + у - 7 = 0 ,
/
2
=
2х-3у-1 = 0; М(-5,-8)
20.
к-
2х
+
5у-\4 = 0,
/
2
:
х-Зу + 4 = 0;
Л/(-4,-4)
21.
к •
5х-2у + 12 = 0,
к :
4х + 3 у
+ 5
- 0;
М(-7,-8)
22.
к •
4х + у-13
=
0,
х-5у>-8
= 0;
А/(-4,
7).
23.
к •
Зх-2.у-13 = 0,
/
2
:
2х + 7^ +
8
= 0;
А/(-1,
9).
24.
к •
2х-3у + 3 = 0,
;
2 :
Зх + ^-12 = 0;
Щ-5,-6)
25.
к •
4х + у
+ 5
= 0 ,
/
2
:
5х-2^
+ 16 = 0 ;
М(4,-5).
26.
к •
5.
ї
+ >
;-7=0,
к •
Зх-2^-12 = 0;
М(-6,
8).
27.
к •
2х-Зу-5 = 0,
к
=
4х +у-17 = 0; Л/(-5,-2)
28.
к •
8х + 3^-4 = 0,
/
2
=
2х + 5у-І8 = 0;
Л/(8,3).
29.
к
••
2х-3у + 13 = 0,
/
2
:
2х + 7у-8 = 0 ;
Л/(7,
4).
30.
к •
5х + у
+
1 = 0 ,
/
2
:
7х-2^
+ 20 = 0;
М(5,-6).
31.
к •
х + 2у -
3
= 0 ,
к--
Зх-4у +
11
= 0; А/(2,9).
Задача 6. [ гл. 2, §1, приклади 9, 12, 13 ].
Задано рівняння площини , прямої Ь\ і точка М.
Знайти:
1) рівняння площини Рі , що проходить через точку М паралельно
площині Р\;
2) рівняння площини /з, що проходить через точку М перпендику-
лярно до прямої Ь\;
3) рівняння прямої Ь
2
, що проходить через точку Мперпендикулярно
до площини Р|;
4) рівняння прямої і
3
, що проходить через точку М паралельно прямій І];
5) точку N перетину прямої І[ і площини /};
6) відстань від точки М до площини Р\ : р (М,Р]);
§
1. Індивідуальне завдання 1.
375
7) відстань від точки М до прямої Ь
х
:
р(М,Ь
х
)
8) проекцію точки М на площину Р|;
9) проекцію точки М на пряму Ц .
Варіанти завдань
1. Р, : 5х-Зг + 2 = 0, І,: ^~=^=
2
-, ЩО, 2,3).
2.
Р, : х-3>> + 22 + 4 = 0, Ь
{
: Ї = У-± = Ї±1, Щ1.0.-3).
3.
Р, : 2х-3^ + 7г = 0, І! : | = ^І-
2
= ^ , М(-4, 5,0).
4.
Я, : Зх + у-22 = 0, Ь
х
: £і1 = 2 = £±* , Щ2,-1,0).
5.
Р, : 4х-2у + г = 0, Ц:
?—^=>-
= — , ЩЗ,0,-2).
і
1
12-3
6. Ру : 5х + 3>>-6 = 0, І,: = ~" = § . Щ-2,1,1).
7. Р, : х + З
у
-
2
= 0, І,: =-2-= ^± , ЩО,0,4).
8. Р, : 2х-5г +
3
= 0, і,:
х+
1 = ^і=
2
, Щ1,-1,0).
і 4 2 З
9. Р, :
Зх-4>>-42
= 0, ^ : * = ^ = -у- , ЩО,5,5).
10.
Р, : х + 2^ + 2г-5 = 0, і,: ~І = -^~- = |, ЩО,0,4).
11.
Р,: 4х-3^ + 1=0, І,:
*-*-=^-
=
у, Щ1,-2,1).
12.
Р, : х + 2>>-32 + 4 = 0, Ц :
Х
-7-=
У
^=-
+
~,
Щ-1,0,3).
13.
Р, : 2х->> + 22-3 = 0, Ь
х
:
Х
=^І
2
- =
-у
1
,
ЩО,2,-1).
14.
Р, : 4х->- +
2
+
1
= 0, Ц: = Л/
(1,-1,
2).
Глава
9.
Типові розрахункові завдання
5*
+ 2
2
-3 = 0, І,: -р^у, М(2,3,0).
6х-5у + 2 = 0, Ц:
*-=*•—=
, Л/(2,5,1).
3 12
3^
+ 5г-4 = 0, Ь\ :
'Іу=^
4
=7>
А/(0,-2,3).
Зх-4у + 5 = 0, І,: ^? = ^ = ^, М(1,0,-4).
х-Зу +
22-1=0,
І,: ™ = ^ = ~'
^(Ь2,3).
2^+^-32
= 0, І,:
р^у^іу'
^(0,3,4).
Зх + 22-5 = 0, -у = ^ = ™ , Щ-1,2,-1)
Зх + 2у-2 = 0, Ь\ : ^ = "р = 2-' А/(1,0,2).
х-2
У
+
3
2 , . _ _
ч
х-3у + 2г-1 = 0, Ц: ~
0
—=
_]"
=
4' ^С
1
-
3
^).
Х
+
1
V
+ 2 2 ,.,/<« іч
4х-г--22
+ 3 = 0, Ь\ :
--у=^-у-
= -, Л/(1,0,-1).
5х + 3
2
-7 = 0, І,: | = ^
1
=-^
1
, М(2,-3,0).
Зх + 2>'-6 = 0, І,:
*=^-=-у,
ЩЗ,0,-2).
5х-^ + 2
2
= 0, Ц:
іу
5
=^,
М(1,2,-1).
2х-3>>
+ 2 +
1
= 0, і,:
І
у^ = ! = ТТ>
М
(°'
!
'-
2
)-
х +
2у-32
= 0, ^ =
-у-=§'
^(2,0.1).
Зх-4
2
+
11
= 0, І!= | = -^
= І
у-. ^(2'
9
.°)-
§
1.
Індивідуальне завдання 1.
377
31.
Р, : 4х + 3>>-9 = 0, І,: = | = ™ , М(1,-2,1).
Задача 7. [ гл. 2, §1, приклад 11 ].
Задано координати вершин піраміди А
\
А
2
А -^А
4
. Знайти:
1) рівняння прямої Ь , яка проходить через точки А\, А
2
, та довжину
ребра
А
У
А
2
;
2) рівняння площини Р , яка проходить через точки А\ ,А
2
,Ат,,
та
пло-
щу 5 грані
А
х
А
2
Ат,;
3) рівняння висоти Я, опущеної з вершини А
4
на грань
А
1
А
2
А2
,таїї
довжину Н;
4) об'єм V піраміди
А\А
2
А^А
4
\
5) кут а між ребрами А\А
2
та А\А
4
;
6) кут р між ребром
А
Х
А
4
та гранню
А]А
2
А^.
Зробити рисунок.
Варіанти завдань
1.
А
\
(1,3,6),
А
2
(2,2,і),
А
з
(-1,0,1),
А
4
(-4,6,-3).
2.
А
\
(-4,2,6),
А
2
(2,-3,0),
А
з
(-10,5,8),
А
4
(-5,2,-4).
3.
А
\
(7,2,4),
А
2
(7,-1,-2),
А
з
(з,з,і),
А
4
(-4,2,1).
4.
А
\
(2,1,4),
А
2
(-1,5,-2),
А
з
(-7,-3,2),
А
4
(-6,-3,6).
5.
А
\
(-1,-5,2),
А
2
(-6,0,-3),
А
з
(3,6,-3),
А
4
(-10,6,7).
6.
А
\
(0,-1,-1),
А
2
(-2,3,5),
А
з
(1,-5,-9),
А
4
(-1,-6,3).
7.
А
\
(5,2,0),
А
2
(2,5,0),
А
з
(1,2,4),
А
4
(-М,1).
8.
А
\
(2,-1,-2),
А
2
(1,2,1),
А
з
(5,0,-6),
А
4
(-10,9,-7)
9.
А
\
(-2,0,-4),
А
2
(-1,7,1),
А
з
(4,-8,-4),
А
4
(і,-4,б).
10.
А
х
(14,4,5),
А
2
(-5,-3,2),
А
з
(-2,-6,3),
А
4
(-2,2,-1).
11.
А
\
(1,2,0),
А
2
(3,0,-3),
А
з
(5,2,6),
А
4
(8,4,-9).
12.
А
\
(2,-1,2),
А
2
(1,2,-1),
А
з
(3,2,1),
А
4
(-4,2,5).
13.
А
\
(1,1,2),
А
2
(-1,1,3),
А
з
(2,-2,4),
А
4
(-1,0,-2).
14.
А
\
(2,3,1),
А
2
(4,1,-2),
А
з
(6,3,7),
А
4
(7,5,-3).
378
Глава
9.
Типові розрахункові завдання
15.
А
(і,і,-і),
А
2
(2,3,1),
А
(3,2,і),
16.
А
(1,5,-7),
А
2
(-3,6,3),
А
(-2,7,3),
17.
А
(-3,4,-7),
А
2
(1,5,-4),
Аз
(-5,-2,0),
18.
А
(-1,2,-3),
А
2
(4,-1,0),
Аз
(2,1,-2),
19.
А
(4,-1,3),
А
2
(-2,1,0),
Аз
(0,-5,1),
20.
А
(1,-1,1),
А
2
(-2,0,3),
Аз
(2,1,-1),
21.
А
(1,2,0),
А
2
(і,-1,2),
Аз
(о,1,-1),
22.
А
(1,0,2),
А
(1,2,-1),
Аз
(2,-2,і),
23.
А
0,2,-3),
А
(1,0,1),
Аз
(-2,-1,6),
24.
А
(3,10,-1),
А
2
(-2,3,-5),
Аз
(-6,0,-3),
25.
А
(-1,2,4),
А
2
(-1,-2,-4)
,
А
3
(з,о,-і),
26.
А
(о,-3,1),
А
2
(-4,1,2),
Аз
(2,-1,5),
27.
А
(1,3,0),
А
2
(4,-1,2),
Аз
(3,0,1),
28.
А
(-2,-1,-1),
А
2
(0,3,2),
Аз
(3,1,-4),
29.
А
(-3,-5,6),
А
2
(2,1,-4),
Аз
(о,-з,-і),
30.
А
(2,-4,-3),
А
2
(5,-6,0),
Аз
(-1,3,-3),
31.
А
(1,-1,2),
А
2
(2,1,2),
Аз
(і,1,4),
Задача
8. [
гл.
2, §1,
приклад
8 ].
Написати канонічні рівняння прямої
Ь .
Варіанти завдань
\2х
+
у+
2-2 = 0;
(х-Зу
+
2
А
4
(5,9,-8).
А
4
(-4,8,-12)
А
4
(2,5,4).
А
4
(3,4,5).
А
4
(3,2,-6).
А
4
(2,-2,-4).
А
4
(-3,0,1).
А
4
(2,1,0).
А
4
(0,-5,-4).
А
4
0,-1,2).
А
4
(7,-3,1).
А
4
(3,1,-4).
А
4
(-4,3,5).
А
4
(-4,7,3).
А
4
(-5,2,-8).
А
4
(-10,-8,7)
А
4
(6,-3,8).
§1.
Індивідуальне
завдання
1.
379
х + 5у + 27 +
11
= 0;
х- у- 7- 1=0.
5х+ у - Зг
+
4 = 0;
х-у + 2г+2 =0.
4х+у-Зг + 2 = 0;
2х-у + 2-8 = 0.
6х-7.у-42-2 = 0;
х+1
у-
2-5 = 0.
6х-5;'-4г + 8 = 0;
6х +5/ + 32 + 4 = 0.
2х-3у + 2 + 6 = 0;
х-3у-2г+3
= 0.
4х + у + 2+2 = 0;
2х-у-Зг-8 = 0.
х+
V-2г-2
= 0;
х- у+ 2+2 = 0.
х- у +
2-2=0;
х-2>>-2
+ 4 = 0.
х + 5у+ 22-5 = 0:
2х-5у-
2 + 5=0
2х + 3у -
22
+ 6 = 0
х - Зу + 2+3 = 0
Зх+3у+ 2-1=0
2х - Зу - 22 + 6 = 0
2х - Зу - 2г + 6 = 0
х-3у+
2+3=0
і. Ь:
10.
Ь:
12.
І:
14.
І:
16.
І:
18.
І:
20.
і:
22.
І:
24.
Ь
:
26.
І:
28.
І:
30.
і:
|Зх +
4у-22+
1
= 0;
[2х-4у+
32 + 4 = 0.
|х-
у-2-2 = 0;
|х-2у + 2 + 4 = 0.
[Зх+Зу-22-
1=0;
[2х-3у+ 2 + 6 = 0.
Г8х-у-32-1
=0;
}х+у+ 2+1=0.
Гх + 5у- 2-5 = 0;
|2х-5у + 22 + 5=0.
|5х+у + 2г + 4 = 0;
{ х-у-32+2=0.
|2х +у-32-2 = 0;
[2х-у+ 2-6 = 0.
|х+5у- 2+11=0;
[х- у+ 2г- 1=0.
[бх-7у- 2-2=0;
[ х + 7у-4г-5=0.
Гх-3у+ 7+ 2 = 0;
|х + Зу +
22+14
= 0.
|3х + 4у+ 32+ 1=0;
[2х-4у-22
+ 4 = 0.
|бх-5у+
37+
8 = 0;
І6х + 5у-42 + 4 = 0.
380
Глава 9. Типові розрахункові завдання
Задача 9. [ гл. 2, §1, приклад 12 ].
Знайти точку М', симетричну точці М відносно прямої Ь .
Варіанти завдань
х-1 _ у + \,5 _г
____ _ _____ _ _ .
1.
М
2.
М
3.
М
4.
М
5. М
6. М
7.
М
8. М
9. М
10.
М
11.
М
12.
М
13.
М
14.
М
.0,-3,-2),
А:
.2,-1,1),
і:
1,1,1),
І:
1,2,3),
І:
1,0,-1),
І:
2,1,0), _:
х-4,5 _ у +
З
_ г-2
Г " 0,5 1
х - 2 _
_у
+1,5 _ 2 -1
~4~
~~2~~~Г'
х-0,5 _ у + 1,5 _ 2-1,5
(Г~~~-1
' 1
х-3,5 >>-1,5 _ х
2 ~ -1 ~ 0 '
х - 2 _ у +1,5 _ 2 + 0,5
0
1
.2,-3,0),
_: ^
=
^^
5
=^.
' 1-11
-1,0,-1),
І:
0,2,1), _:
3,-3,-1), і:
3,3,3), І:
х _ у - 0,5 _ г - 2
-Т
~ ~ 0 1
х-1,5 _ у _2-2
_____ _ _ _____ .
х - 6 _ у -
3,5
_ 2 + 0,5
5 ~" 4 ~ ~~о~~
х-1
у-\,5_г-3
-1 0
1
.1,2,0) _• і±°!
5
-___^_;_ _=_.
1 -0,2 2 '
2,-2,-3), _:
1,0,1),
І:
х-1 _ у+ 0,5 _ _+1,5
'^Г ~ "о
7
~ ~~<Г~
_±°__ _____ _ _Г_І
~ "о" ~ ~2~ '