Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 1

Подождите немного. Документ загружается.

§2.

Застосування диференціального числення

361

У задачах

8.222

8.227

знайти границі, використовуючи

правило Лопіталя (невизначеність типу

{оо

оо}).

8.222. Ііт

8.224. Ііт;

ДГ->і+(\1пл;

Іпх

^-и^х-1 Іпх,

8.223. Ііт

ДГ->0

сЩх

)

8.225. Ііт

.Ї->0

агсі§ х х

(

8.226. Ііт

'2\

сі§ х 2 сов х

.8.227. Ііт

х->0

( 1 2

—-СІ§

Чх

У задачах

8.228

8.239

знайти границі, використовуючи

правило Лопіталя (невизначеності типу

{і

{ж

}, {о

}).

8.228. 1іт(со8

2х)*

х-*0

лх

8.230. Ііт

х—*а

8.232.

Ііт

*-»<\

)

8.234. 1ітх

8ш

х->0

8.229. 1іт(е* + х)

х-*0

8.231.

Ііт

1+ —

V X' У

8.233. Іітх

ЛГ->1

8.235.

1іт(1§х)

2х-к

8.236. Іітх

"'^-".

Л->0

8.237.

ІітГ-

8.238. 1іт(х + 2

)

. 8.239. 1іт(тс-2х)

8.240. Довести, що задані границі не можуть бути знайдені

за правилом Лопіталя. Знайти ці границі безпосередньо.

а) Ііт

. 1

81П

—

.Ї-»0

8Ш

б) Ііт

81П

*-»0

х +

81П

362 Глава 8. Диференціальне числення функцій однієї змінної

Формула Тейлора

8.241.

Розкласти многочлен Р(х) = х

- 5х

+ х

- Зх + 4 за

степенями двочлена х - 4 .

8.242. Розкласти многочлен Р(х) = х

+ Зх

- 2х + 4 за сте-

пенями двочлена х +1.

8.243. Нехай Р(х) - многочлен четвертого степеня. Обчис-

лити Р(-1),

Р'(0),

Р\\), якщо відомо, що Р{2) =

-1,

Р'{2) = 0,

Р"(2) = 2, Р'"(2) = -12, Р

!У

(2) = 26.

8.244. Розкласти задану функцію /(х) за формулою Мак-

лорена до члена вказаного порядку включно.

)

) =

Д° члена з х" ;

б) /(х) = е

, до члена з х ;

в) /(х) = VI - х + 2х

, до члена з х

;

г) /(х) = хе

, до члена з х".

8.245. Розкласти задану функцію /(х) за формулою Тей-

лора з центром розкладу у точці х = а (за степенями (х - а)) до

члена вказаного порядку включно.

а) /~(х) = —, а =

-1,

до члена з (х + 1)";

б) /(х) = >/х , а = 4, до члена з (х - 4)

;

в) /(х) = х

Іпх , а = 1, до члена з (х - І)

;

) /(х) = зіп —, я = 1, до члена з (х -1)

§2.

Застосування диференціального числення

363

8.246. Написати формулу Тейлора для заданої функції /(х)

з центром у точці х = а до члена вказаного порядку включно.

Побудувати графік даної функції і її многочлена Тейлора.

) /(*) = і&х, а = 0, до члена з х;

б) /(х) = агсзіп х , а = 0, до члена з х

;

) /(х) =

1п

х, а = 1, до члена з (х - І)

8.247. За допомогою формули Тейлора обчислити набли-

жені значення чисел з точністю до 10 .

а)зіп1;

б) Те; в)1п1,05; г) Чз~3.

8.248. Використовуючи розклади функцій за формулою

Маклорена, обчислити задані границі:

1-созх

.. іех-зіпх

а)

Ііт—-——г-

; б) Ііт-

*->о х

+ х

.. л/і + х - л/і - X . ..

в) Ііт ; г) Ііт

х-*0

X х^уО

зіп2х-2ї§х

д) Ііт —; е) Ііт

3 , 4

X +Х

созх - е

+е~

- -2

*-+о Іпіі

х") *-ю 2х"

Дослідження функцій та побудова графіків

У задачах

8.249

8.269

провести повне дослідження

функцій та побудувати їх графіки.

8.249. у =

—^Ц-.

8.250. у = '

1 + х

' '

- х

V X

8.251.

у = . 8.252. у = — .

-1 х

-1

.х

-5ї

8.253. у 8.254. у = ——-

125 2(х-1)

364

Глава 8. Диференціальне числення функцій однієї змінної

8.255. у = . 8.256. у = —.

-3 е

8.257. у =

*'*

8.258. у = хе* .

8.259. у = (2х-\)е

8.260.1/

ХІПХ

8.261.

у = х -

1п

(х +1). 8.262. у =

1п

(х

+ 1).

8.263. у = л/х

-2х . 8.264. у =

л/і-х

8.265. у = —

. 8.266. у = -

л/х

8.267. у

=х

+1. 8.268. / =х(х-1)

ока ^ х

-2

8.269. у = .

Зх

У задачах

8.270

8.273

дослідити функції, задані парамет-

рично, та побудувати їх графіки.

8.270. х =

-21,

у = Г +2(.

8.271.

х = / + е~', у = 2і

е~

8.272. х = г

-Зп, у = І

-6агс1§/.

8.273. х = г-, у = .

+ /

+ ?

У задачах

8.274

8.278

дослідити лінії, рівняння яких за-

дані у полярних координатах, та побудувати їх.

8.274. а) р = азіпЗф (трипелюсткова троянда);

б) р = а соз Зф (трипелюсткова троянда).

§2.

Застосування диференціального числення

365

8.275. а) р =

зіп 2ф (чотирипелюсткова троянда);

б) р = Зсо§2ф (чотирипелюстковатроянда).

8.276. р = ал/со82ф (лемніскатаБернуллі).

8.277. р = а(1 + созф) (кардіоїда).

8.278. р = — (жезл).

У задачах

8.279

8.280

дослідити та побудувати лінії, по-

передньо привівши їх рівняння до полярних координат.

8.279. (х

+ у

)

=а

(х

-у

8.280. (х

+у

)

=4а

Задачі

на відшукання найбільших та найменших

значень

функції

У задачах 8.281 -

8.286

знайти найбільше М та найменше

т значення функцій на вказаних відрізках.

8.281.

у = х

-2х

+ 5; [-2,2].

8.282. у = уіШ-Х

; [-6,8].

8.283. у = ^-;

[0,4].

х + 1

8.284. у=]~

Х + х2

;[0Л]-

+ х-х

8.285. у =

8\п2х

-х ;

Ті

2'2

8.286.

= агсІ§--^;

[0,1].

+ х

8.287. Число 8 розбити на два таких доданки, щоб сума їх

кубів була найменшою.

8.288. Яке додатне число, складене з оберненим йому чис-

лом,

дає найменшу суму?

366

Глава 8. Диференціальне числення функцій однієї змінної

8.289. Число 36 розкласти на два таких множники, щоб сума

їх квадратів була найменшою.

8.290. Об'єм правильної трикутної призми дорівнює V

Яка

повинна бути сторона основи, щоб повна поверхня призми

була найменшою?

8.291.

Периметр вісьового перерізу циліндра дорівнює 6а.

Знайти найбільший об'єм такого циліндра.

8.292. Циліндр вписаний в конус з висотою И і радіусом

основи г. Знайти найбільший об'єм вписаного циліндра.

8.293. Знайти найменший об'єм конуса, описаного на-

вколо кулі радіуса г.

8.294. Знайти найбільший об'єм конуса при заданій дов-

жині / його твірної.

8.295. Визначити найбільшу площу прямокутника, вписа-

ного в круг радіуса г.

8.296. На параболі у-х

знайти точку N, яка найменш

віддалена від прямої

^=2х-4.

8.297. У півколо радіуса К вписано прямокутник з най-

більшою площею. Визначити його основу х та висоту у .

8.298. Відрізок довжини а розділити на дві частини так,

щоб сума площ квадратів, побудованих на цих частинах, була

найменшою.

ГЛАВА 9. ТИПОВІ РОЗРАХУНКОВІ ЗАВДАННЯ

§1.

Індивідуальне завдання 1.

Векторна алгебра та аналітична геометрія

Задача 1. [гл. 1, §2, приклади 9, 7, 5 ].

Задані вектори а =

(а

а2,Дз),

Ь ={Ь\,

,63),

с = (с

,с

,б

з).

Визначити:

1) довжину вектора а :

2) скалярний добуток векторів а та £ : (З, £);

3) косинус кута між векторами а та Ь ;

4) векторний добуток векторів 5 та 6 : а х 6 ;

5) площу паралелограма 5і та площу трикутника 5

, побудованих на

векторах а та Ь ;

6) мішаний добуток векторів а , Ь , с : (а,Ь,с);

7) об'єм паралелепіпеда К] та об'єм трикутної піраміди К

, побудо-

ваних на векторах а , Ь , с ;

8) чи колінеарні вектори а та і;

9) чи компланарні вектори а , 6 , с .

Варіанти завдань

а =

(2,3,1),

ї = (-і,о,-і),

с =

(2,2,2).

а =

(2,3,1),

£ = (2,3,4),

с =

(3,1,-1)

а =

(1,5,2),

ь = (-і,і,-і),

с =

(1,1,1).

а =

(1,-1,-3),

£ = (2,3,1),'

(2,3,4).

а =

(3,3,1),

£ = (1,-2,1),

І =

(1,1,1).

6. а =

(3,1,-1),

£ =

(-2,-1,

0),

с =

(5,2,-1)

(4,3,1),

£ = (1,-2,1),

с =

(2,2,2)

11 =

(4,3,1),

£ = (6, 7,4), с =

(2,0,-1)

9. а =

(3,2,1),

£ = (1,-3,-7), с =

(1,

2, 3)

10.

а =

(3,7,2),

£ = (-2,0,-1),

с =

(2,2,1).

368

Глава 9. Типові розрахункові завдання

11.

—

1,-2,6),

ь =

[1,0,1),

с 12,-6,7)

12.

16,3,4),

ь =

.-1,-2,-1),

і =

[2,1,1).

13.

[7,3,4),

ь =

[-1,-2,-1),

—

(4,2,4).

14.

[2,3,2), ь = [4,7,5), с =

[1,-1,1).

15.

[5,3,4), ь =

[-1,0,-1),

с =

(4,2,4).

16.

[3,10,5),

ь =

[-2,-2,-3),

с (2,4,3).

17.

(-2,-4,-3),

ь =

[4,3,1),

і =

(6,7,4).

18.

= (3,1,-1),

ь =

[1,0,-1),

с =

(8,3,-2).

19.

(1,2,3),

ь =

[-2,3,0), с =

(2,

1,-6).

20.

(3,-2,3), ь =

(-1,2,1),

с =

(4,2,0).

21.

(2,3,2),

ь =

(4,6,4),

с - (2,-1,3).

22.

(4,0,3),

ь =

(1,-2,4), с = (1,-1,2).

23.

(5,-3,2),

ь =

(-4,1,

5),

с =

(0,2,4).

24. а

(2,3,0),

ь =

(2,-1,1),

с =

(-2,-2, 1)

25.

а =

(1,1,-2), ь =

(-2,-5,3), с -

(-1,0,2)

26.

(-3,1,0),

ь =

(1,6,5), с (1,1,0).

27.

(1,3,7),

ь =

(-1,3,5),

1 =

(-6,0,2)

28.

(-4,-3,0), ь =

(3,2,-1),

с =

(-3,2,2)

29.

(0,6,-3),

ь =

(-1,6,0), с

(4,4,2).

30.

(0,-5,4),

ь =

(4,-1,-2),

(5,0,4).

31.

(-3,3,1),

ь =

(1,0,-3), с =

(2,1,6).

Задача 2. [ гл. 1, §2, приклад 8; §], приклад 2 ].

Перевірити, що вектори р,ц,г утворюють базис. Написати розклад

вектора х за цим базисом.

Варіанти завдань

1. ї = (-2,4,7), р = (0,1,2), $ = (1,0,1), г=(-1,2,4).

х = (6,12,-1), ^ = (1,3,0), £ = (2,-1,1), Я =

(0,-1,

2).

х=(1,-4,4), р = (2,1,-1), $=(0,3,2), ? = (!,-!,1).

Індивідуальне завдання

369

(-9,5,5),

Р =

(4,1,1),

(2,0,3),

(-1,

2,1)

і =

(-5,

-5, 5),

Р-

(-2,0,1),

4 =

(1,3,-1),

У =

(0,4,1).

(13,

2, 7),

Р =

(5,1,0),

4 =

(2,-1,3),

г =

(1,0,-1).

(-19,1,

7),

Р =

(0,1,1),

4 =

(-2, 0, 1),

г =

(3,1,0).

(3,-3,4)

Р =

(1,0,2),

4 =

(0,

1, 1),

7 =

(2,-1,4)

••

(3,3,-1)

Р =

(3,1,

0),

4 =

(-1,2,1),

г=(

-1,0,

2).

10.

(-1,7,-4),

Р =

(-1,2,1),

4 =

(2,0,3),

(1,1,-1).

11.

А =

(6,5,-14),

Р =

(1,1,4),

4 =

(0,-3,2),

і' =

(2,1,-1).

12.

(6,-1,7),

Р =

(1,-2,0),

4 =

(-1,1,3),

—

(1,0,

4).

13.

(5,15,

0),

Р =

(1,

0, 5),

Ч =

(-1,3,2),

7 =

(0,-1,1).

14.

(2,-1,11),

Р =

(1,1,0),

(0,1,-2),

г =

(1,0,3).

15.

х =

(П,

5,-3),

Р =

(1,

0, 2),

4 =

(-1,0,1),

(2,5,-3)

16.

(8,0,5),

Р =

(2,0,1),

ч =

(1,

1, 0),

І =

(4,1,2).

17.

(3,

1,8),

Р =

(0,1,3),

я =

(1,2,-1),

г =

(2,0,-1)

18.

(8,

1, 12),

Р =

(1,2,-1),

я =

(3,0,2),

г =

(-1,1,1).

19.

(-8,-9,3),

Р =

(1,4,1),

я =

(-3,2,0),

г =

(1,-1,

2).

20.

(-5,9,-13),

р =

(0,1,-2),

я =

(3,-1,1),

7 =

(4,1,0).

21.

і =

(-15,

5, 6),

Р =

(0,5,

1),

я =

(3,

2,-1),

7 =

(-1,1,0)

22.

(8,9,

4),

Р =

(1,0,1),

ч =

(0,-2,1),

7 =

(1,3,0).

23.

(2,-4,-3),

Р =

(2,1,0),

я =

(1,-1,0),

7 =

'-3,

2, 5)

24.

(3,1,3),

Р =

(2,1,0),

я =

(1,0,1),

7 =

(4,2,1).

25.

(-1,7,0),

Р =

(0,3,1),

я =

(1,-1,2),

7 =

(2,-1,

26.

(11,-1,4),

Р =

(1,-1,2),

я =

(3,2,0),

7 =

(-1,1,1).

27.

X =

(-13,2,18),

р =

(1,1,4),

я =

(-3,0,2),

7 =

(1,

2,-1).

28.

(0,-8,9),

Р =

(0,-2,1),

я =

(3,1,-1),

7 =

(4,0,

1).

29.

X =

(8,-7,-13),

р =

(

0,1,5)

я =

(3,-1,2),

7 =

(-1,0,1)

30.

X =

(2,

7, 5),

Р =

(1,0,1),

я =

(1,-2,0),

7 =

0,3,1).

370

Глава 9. Типові розрахункові завдання

31.

х = (15,-20,-1), р = (0,2,1), £ = (0,1,-1), ? = (5,-3,2).

Задача 3. [ гл. 1, §2, приклад 9 ].

Встановити, чи колінеарні вектори С\ та с-і, побудовані за векторами

а і 6 .

Варіанти завдань

1. а =

(1,-2,3),

6 =

(3,

0, -1),

с\

(25 + 46),

сг

= (36-5).

а =

(1,0,1),

ь =

(-2,3,5),

(5 + 26),

сг

= (35-6).

а =

(-2,4,1), 6 = (1,-2,7),

С\

(55 + 36),

сг

= (25-6).

а = (1,2,-3), ь =

(2,-1,

1),

С\

(45 + 36),

сі

= (85-6).

а =

(3,5,4),

ь = (5,9,7), С\

(-25+6),

сг

= (35-26).

6. а - (1,4,-2), ь =

(1,1,-1),

С\

(5 + 6),

сг

= (45 + 26).

а = (1,-2,5), ь = (3,-1,0), С\

(45-26),

= (6-25).

а =

(3,4,-1),

ь =

(2,-1,

1),

С\

(65-36), = (6-25).

9. а (-2,-3,2),

= (

1,0,5),

С\

(35 + 96),

сг

(-5-36)

10.

І і =

(-1,4,2),

ь =

(3,-2,6),

с\

(25-6),

= (36-65).

11.

а = (5,0,1), ь = (7,2,3), С\

(25-6),

= (36-65).

12.

а = (0,3,-2), 6 =

(1,-2,1),

С\

(55-26),

= (35 + 56).

13.

а =

(-2,7,-1),

ь =

(-3,5,2),

С\

(25 + 36),

= (35 + 26).

14. а = (3,7,0), 6 = (1,-3,4),

с\

(45-26),

сі

= (6-25).

15.

а =

(-1,2,-1),

ь =

(2,-7, 1),

с\

(65-26),

сі

= (6-35).

16.

а =

(7,9,-2), ь =

(5,4,3), С\

(45-6),

= (46-5).

17.

а =

(5,0,-2),

ь = (6,4,3),

с\

(55-36),

= (66-105)

18.

а = (8,3,-1),

ь =

(4,1,3),

с\

(25-6),

= (26-45).

19.

а = (3,-1,6),

ь =

(5,7,10),

(45-26),

сі

= (6-25).

20.

а = (1,-2,4), ь =

(7,3,5),

(65-36),

= (6-25).

21.

—

(3,7,0),

ь =

(4,6,-1),

(35 + 26),

сг

= (55 + 76).

22.

а =

(2,-1,4),

ь =

(3,-7,6),

(25-36),

= (35-26).