Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 1

Подождите немного. Документ загружается.

§2.

Застосування диференціального числення

351

При / =

у,

х = 0, у = а .

Отже,

тзк

у[^

а .

' = у.

= °. У = ~

•

0тже

Утт = У{^~~ \ = ~а-

Враховуючи,

що

(=0

йу_

0, *

;

г=2тг

маємо,

що

дотична

до

кривої

в цих

точках горизонтальна.

Знаходимо точки,

яких

сіх

сі(

й-неО

СОЗ

сіх

<іх

сі(асо5

І)

Засоз"" І

•

(—

кіп/) Засоз г-зіп/

Маємо,

що —~

0 при 0 < / < я -

крива вгнута,

сіх

—^-

< 0 при я

2п -

крива опукла.

сіх'

На основі дослідження будуємо криву.

Ця

крива називається астроїдою.

-4

-а

Рис.8.6^

Приклад

26.

Дослідити

та

побудувати графік функції,

за-

даної

полярних координатах рівнянням

р = а

зіп Зф (трипе-

люсткова троянда).

352

Глава

Диференціальне числення функцій однієї змінної

• 1. Періодичність (знаходження такого значення Т, що

ЛФ+П

/(Ф)).

8Іп[3 (ф + Т)] = кіп Зф ,

3(ф + Г) =

Зф

+ 2л,

ЗГ = 2л,

Область визначення (ті значення ф , при яких р > 0).

віпЗф > 0,

0 < Зф < я ,

0<ф<-.

• 2я 4я 5я

Далі, з урахуванням періоду, маємо — < ф < я, — < ф < —.

Промені симетрії (такі півпрямі, що виходять з полюса, відносно

яких графік функції симетричний).

Враховуючи, що для функції у - віпф промінь симетрії ф = ^ , то для

функції р =

а5ІпЗф

маємо Зф = —, звідки ф =

—

- промінь симетрії. Вра-

2 6

ховуючи періодичність, отримуємо ще два промені:

_ я 2л _ 5я

_ 5л 2л _ 9л Зл

Знаходимо точки екстремуму.

р =ЗасокЗф; р'= ЗясозЗф = 0, сов3ф = 0, ф =

—

р*

= -9а8ІпЗф < 0 на

0,-

0ТЖЄ

' Ртах = Р| |-1 =

а&іп^

= а .

р'

> 0 при ф є

0,— І - функція зростає на цьому проміжку;

§2.

Застосування диференціального числення

353

' , Я Я

р <0 при фє| -,-

- функція спадає на цьому проміжку.

Складаємо таблицю значень функції на проміжку

0,-

я я я

Ї8 І2

б"

Зф

я я

зіп Зф

л/2

—а

л/2"

На основі дослідження будуємо графік трипелюсткової троянди.

2к

Рис.8.7 <

Відшукання найбільших та найменших

значень функції

Приклад 27. Знайти найбільше М та найменше т зна-

чення функції /(х) = х

- Зх

- 9х + 35 на відрізку [-4,4].

• Знаходимо критичні точки даної функції, що лежать всередині

відрізка

[-4,4]

і обчислюємо значення функції в цих точках:

/'(х) = 3х

-6х-9; Зх

-6х-9 = 0;

354

Глава 8. Диференціальне числення функцій однієї змінної

х =

-1,

х = 3 - критичні точки функції, що належать заданому відрізку;

Д-1) = 40, /(3) = 8.

Обчислюємо значення даної функції в точках х - -4 , х = 4 - межах

відрізка [-4,4]: /(-4) = -41, /(4) = 15 .

З отриманих чотирьох значень вибираємо найбільше та найменше.

Отже, М = /(-1) = 40 , т= /(-4) = -41. <

Приклад 28. Знайти такий циліндр, який мав би найбіль-

ший об'єм при заданій повній поверхні 5.

•

Нехай радіус основи циліндра К = х ,а висота Н = у.

Тоді

5 = 25

осн

6ічн

= 2кх

+2кху.

Звідси

8-2ш

2кх

Отже, об'єм циліндра представиться так:

і.

,,, ч о гг 2 8

—

2'кх

3 я

2лх 2

Задача зводиться до дослідження функції У(х) на максимум при х > 0 .

У'(х) = --3пх

; --3кх

=0; * = ,/—.

2 2 І/бп

Це критична точка. Дослідимо її на екстремум.

У\х) = -впх; V

.6я

-6л,|—

= -л/6л5<0.

Отже, в точці х -. І— функція має максимум, тобто об'єм має найбіль-

ші

6л

ше значення. Висота циліндра при цьому така:

5-2л

Н=у

\6п

6л =2

І—=2х = 2Я.

6л

Отже, висота Н циліндра дорівнює 2К - діаметру основи циліндра.

За цієї умови циліндр має найбільший об'єм. А

§2.

Застосування диференціального числення

355

/V.

Задачі

для

практичних занять

Геометричні та механічні застосування похідної

8.151.

Знайти кутовий коефіцієнт дотичної,

яка

проведе-

на до параболи

у - х

початку координат;

2) у

точці (3,9);

точці (-2,4);

4) у

точках перетину

її з

прямою

у = Зх - 2.

8.152.

яких точках кутовий коефіцієнт дотичної до

ку-

бічної параболи

дорівнює

З?

8.153.

якій точці дотична

до

параболи

у - х :

1) паралельна осі

Ох ; 2)

утворює

віссю

Ох

кут

45°

8.154.

яких точках дотична

до

параболи

у - х

1) паралельна прямій

Ах -

5; 2) перпендикулярна до пря-

мої 2х

- 6у

5 = 0; 3) утворює з прямою Зх

- у +

= 0

кут

45° ?

8.155.

На

лінії

х (х-2)

знайти точки,

яких дотич-

на паралельна

осі

абсцис.

8.156.

На

лінії

у = —-

знайти точку,

якій дотична

(х

+ 2)

паралельна

осі

абсцис.

8.157. На параболі

зафіксовано дві точки

абсциса-

ми

х, = 1, х\

. Через

ці

точки проведено січну.

якій точці

параболи дотична

до неї

паралельна проведеній січній?

8.158. Написати рівняння дотичної

нормалі, проведених

до кривої

точці

абсцисою

Знайти піддотичну

5, і

піднормаль

8.159. Скласти рівняння дотичної

та

нормалі

до

гіперболи

у = —

точці

абсцисою

-~.

Знайти піддотичну

з, та

піднормаль

356

Глава

Диференціальне числення функцій однієї змінної

У задачах 8.160 - 8.164 скласти рівняння дотичної та нор-

малі до даних ліній в даній точці.

8.160. у = х

- 5х + 4, х

= -1.

8.161.

у = х

2х

- 4х -

, х

= -2 .

8.162. у = л/х , х

= 4.

8.163. у = і%2х, х

= 0.

8.164. у = Іпх, х

= 1.

8.165. Написати рівняння дотичної і нормалі в точці

(2,2) до кривої, заданої параметрично

1 + /

З _1_

[

" 2(

2 +

21'

8.166. Написати рівняння дотичної до кривої

X = ІС05І,

у ~ (5ІПІ

у початку координат і в точці і - —.

8.167. Написати рівняння дотичної та нормалі до кривої

+ у

2х - 6 = 0 в точці з ординатою у

= 3.

8.168. Написати рівняння дотичної у точці М

(1,1) до кри-

вої х

+ у

- 2ху = 0 .

2 2

X V

8.169. Довести, що дотична до еліпса — + =

в точці

а Ь

а,, \ •

хх

о УУо і

М(

о>_Уо) має рівняння —+

—т-

= і-

а Ь

§2.

Застосування диференціального числення

357

2 2

X у

8.170. Довести, що дотична до гіперболи — =-=

точці М(х

,у

) має рівняння

^~-Щ

= \.

а Ь

8.171.

Під яким кутом перетинається парабола у = х

з пря-

мою Зх-у-2 = 0?

У задачах 8.172 - 8.177 знайти кути, під якими перетина-

ються задані криві.

8.172. Параболи у - х

та у

= х.

8.173. Гіпербола у = — з параболою у = л/х .

8.174. Кола х

- 4х =

та х

+ у

2у = 9 .

8.175. Параболи у = (х - 2)

та у = 4х - х

+ 4.

2 2 2

8.176. Коло х +у = 8 та парабола у =2х.

2 2

2 2 XV

8.177. Гіпербола х - у = 5 та еліпс

—н — = 1.

18 8

8.178. Відстань, пройдена матеріальною точкою за час /, є

з =

-^1

+2(

+ \ (І- у секундах, 5 - у метрах). Знайти

швидкість руху даної точки у моменти часу І

0; 1; 2 с.

8.179. Задано рівняння руху точки вздовж осі Ох

х-

100

5(-0,00\і {1-у секундах, х - у метрах). Знайти

швидкість

та прискорення а цієї точки у моменти часу /

= 0,

/, = 1, (

= 10с.

8.180. Точка рухається прямолінійно, закон її руху

2 . пі

= —$т —

. Знайти прискорення в кінці першої секунди

(і

секундах, 5-у сантиметрах).

358

Глава 8. Диференціальне числення функцій однієї змінної

8.181.

Закон руху матеріальної точки по прямій має вигляд

х =

—

- 4(

б/

. Визначити:

а) в які моменти часу точка знаходиться у початку координат?

б) в які моменти часу її швидкість дорівнює нулю?

в) в які моменти часу напрямок її руху співпадає з додат-

ним напрямом осі Ох ?

г) в які моменти часу її прискорення дорівнює нулю?

8.182. Залежність шляху від часу задана рівнянням

і\п(1

+ 1) (/ - у секундах, 5-у метрах). Знайти швидкість

руху в кінці другої секунди.

8.183. По кубічній параболі у = х

рухається точка так, що

її ордината змінюється в залежності від часу І за законом

у = аі

. Яка швидкість зміни абсциси в залежності від часу?

Теореми про диференційовні функції

У задачах 8.184 - 8.187 перевірити справедливість теоре-

ми Ролля для заданої функції Дх) на даному відрізку [а,

Ь].

8.184. Дх) = х

+ 4х

- 7х -10, [-1,2].

8.185. /(х) =

1п

зіп х ,

л 5л

8.186. Дх) = 4

8Ш

[0,л].

8.187. Дх) = л/х

-Зх + 2,

[1,2].

8.188. Функція /(х) = Щх - 2)

на кінцях відрізка [0,4]

приймає рівні значення /(0) = Д4) = >/4 . Чи справедлива для

цієї функції теорема Ролля на відрізку [0,4] ?

8.189. Чи виконані умови теореми Ролля для функції

Дх) = 1§х на відрізку [0,л]?

§2.

Застосування диференціального числення

359

8.190. Чи виконані умови теореми Ролля для функції

2-х

Дх) = -т- на відрізку

[-1,1]?

8.191.

Перевірити виконання умов теореми Лагранжа і знайти

відповідну проміжну точку с для функції Дх) = х

на відрізку [-1,1].

8.192. Записавши формулу Лагранжа на відрізку [0,1] для

функції /(х) =

л/з

+ Зх , знайти на інтервалі (0,1) відповідне

значення с.

8.193. Для дуги параболи у = х

,щоміститьсяміжточками Д1,1)

та 5(3,9), знайти точку, дотична до якої паралельна хорді АВ.

8.194. Записавши формулу Коші на відрізку [0,2] для функцій

/(х) = 2 х

+ 5х +

та §(х) = х

+ 4, знайти відповідне значення с.

8.195. Для заданих функцій /(х) та §(х) перевірити ви-

конання умов теореми Коші на заданому відрізку [а,

Ь]

та знай-

ти відповідне значення с:

а) /(х) = х

+ 2, £(х) = х

-1, [а,

Ь]

[1,2];

б) /(х) = §іп х, §(х) = соз х, [а,

Ь] ••

°'2

Розкриття

невизначеностей за правилом Лопіталя

У задачах 8.196 -

8.207

знайти границі, використовуючи

правило Лопіталя (невизначеність типу

|-Ц|).

у[х-Ча

лп

- .. Іпсозх

8.196.

Ііт-т=

=. 8.197. Ііт .

л/х-лІа -

ОТО

І- О Г Є*" - СОЗ ОХ

8.198. Ііт . 8.199. Ііт—г .

*->о

зіпх

*->о

-созРх

360

Глава

Диференціальне числення функцій

однієї

змінної

х-агсІ§х

п1 л

.х

-а'

8.200. Ііт-— ,

. 8.201. Ііт-

*->о х

' х" - а"

-р~

-Зх

8.202. Ііт — . 8.203. Ііт , ,

Х-»о1п(1

+ х) «їх -4х +3

£>

—

СТЕГ Г -

8.204. Ііт— -. 8.205. ІІГТІ

Х-+о

агсзіп Зх 8Іп4х

«-.^ •• л-2агсІ§х „ „„„ ,• а

-Ь

8.206. Ііт -,——. 8.207. Ііт

.Ї->+со

' -І хл/і - X

У задачах

8.208

- 8.215 знайти границі, використовуючи

правило Лопіталя (невизначеність типу \ — і).

8.208. Ііт-^-. 8.209. Ііт ~.

8.210. Ііт — . 8.211. 1іт^,т>0.

Х->+0

1 + 2 ІП 8ІП X ДГ->+ОО

пх

„

„.

„

7 „ „., ,.

С08Х-1п(х-3)

8.212. Ііт . 8.213. Ііт

, Л

^і-о

1п

(1-х) *->з+о \

(е

-є

)

о-.,, ,• 1п(х-1) „,.. .. ІП8ІП2Х

8.214. Ііт — -. 8.215. Ііт .

Х->1+0

СІ§7ТХ *-++0 ІП8ІПХ

У задачах 8.216 - 8.221 знайти границі, використовуючи

правило Лопіталя (невизначеність типу {0

•

оо}).

8.216. Ііт х(е

]/х

-1). 8.217. Ііт

х"е~

X—»+00 X—>+°0

8.218. Ііт* зіп-. 8.219. Іітх

*?*

Х->ОО

~*®

8.220. 1ітх1п

х. 8.221. 1іт(л-х)1§-.

-Г->+0

Х->Л 2