Тиманюк В.А., Животова Е.Н. Биофизика

Подождите немного. Документ загружается.

201

íî áîëüøèìè çíà÷åíèÿìè òåïëîåìêîñòåé. Îñîáåííî îò÷åòëèâî ýòî

ïðîÿâëÿåòñÿ äëÿ îðãàíè÷åñêèõ æèäêîñòåé, ìîëåêóëû êîòîðûõ ñî-

ñòîÿò èç áîëüøîãî ÷èñëà àòîìîâ ëåãêèõ ýëåìåíòîâ Í, Î, Ñ, N.

Òåïëîåìêîñòè òàêèõ æèäêîñòåé ñóùåñòâåííî çàâèñÿò îò òåìïåðà-

òóðû. Äëÿ îðãàíè÷åñêèõ æèäêîñòåé ýòà çàâèñèìîñòü èìååò âèä:

Cabt

, (7.1.5)

ãäå à è b — êîýôôèöèåíòû, îäèíàêîâûå äëÿ äàííîãî êëàññà æèä-

êîñòåé; t — òåìïåðàòóðà, [t ] = °Ñ.

Ñóùåñòâóþò òâåðäûå òåëà, íàçûâàåìûå àìîðôíûìè (íàïðèìåð,

ñòåêëî, ñìîëû), êîòîðûå ïî ñâîèì ñâîéñòâàì áîëåå áëèçêè ê æèä-

êîñòÿì, ÷åì ê òâåðäûì òåëàì. Ïî ñóòè àìîðôíûå òåëà ÿâëÿþòñÿ

ïåðåîõëàæäåííûìè æèäêîñòÿìè ñ î÷åíü íèçêèìè çíà÷åíèÿìè êî-

ýôôèöèåíòà âÿçêîñòè è áîëüøèìè âåëè÷èíàìè âðåìåí ðåëàêñàöèè.

Êàê ïðàâèëî, æèäêîñòè èçîòðîïíû, òî åñòü èõ ñâîéñòâà îäèíà-

êîâû ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì. Èñêëþ÷åíèå ñîñòàâëÿþò òàê íàçûâà-

åìûå æèäêèå êðèñòàëëû — æèäêîñòè, ñîñòîÿùèå èç óäëèíåííûõ,

óïîðÿäî÷åííî îðèåíòèðîâàííûõ ìîëåêóë, âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå

êîòîðûõ, òàê æå, êàê è â îáû÷íûõ æèäêîñòÿõ, íå îáíàðóæèâàåò

äàëüíåãî ïîðÿäêà. Ïîäðîáíåå ÿâëåíèÿ èçîòðîïèè è àíèçîòðîïèè

ðàññìîòðåíû â § 7.4.

§ 7.2. ÃÈÄÐÎÑÒÀÒÈÊÀ È ÃÈÄÐÎÄÈÍÀÌÈÊÀ

Ãèäðîñòàòèêîé íàçûâàåòñÿ ðàçäåë ãèäðîìåõàíèêè, â êîòîðîì

èçó÷àåòñÿ ðàâíîâåñèå æèäêîñòè è âîçäåéñòâèå ïîêîÿùåéñÿ æèä-

êîñòè íà ïîãðóæåííûå â íåå òåëà.

Ç à ê î í Ï à ñ ê à ë ÿ ãëàñèò: äàâëåíèå, îêàçûâàåìîå íà æèä-

êîñòü â êàêîé-ëèáî åå òî÷êå (ñèëà òÿæåñòè ïðè ýòîì íå ó÷èòûâàåò-

ñÿ), ïåðåäàåòñÿ ýòîé æèäêîñòüþ îäèíàêîâî âî âñåõ íàïðàâëåíèÿõ.

Äàâëåíèå, îêàçûâàåìîå íåñæèìàåìîé æèäêîñòüþ íà ãëóáèíå h

â ïîëå ñèëû òÿæåñòè, ðàâíî:

pgh

, (7.2.1)

ãäå ρ — ïëîòíîñòü æèäêîñòè; g —óñêîðåíèå ñèëû òÿæåñòè.

Îòñþäà íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò ç à ê î í À ð õ è ì å ä à: íà òåëî,

ïîãðóæåííîå â æèäêîñòü (ãàç), äåéñòâóåò âûòàëêèâàþùàÿ (ïîäúåì-

íàÿ) ñèëà F

, ÷èñëåííî ðàâíàÿ âåñó æèäêîñòè (ãàçà) â îáúåìå, âû-

òåñíåííîì òåëîì:

FgV

, (7.2.2)

§ 7.2. Ãèäðîñòàòèêà è ãèäðîäèíàìèêà

202

ãäå V — îáúåì æèäêîñòè (ãàçà), âûòåñíåííûé òåëîì; ρ — ïëîòíîñòü

æèäêîñòè (ãàçà).

Ãèäðîäèíàìèêîé íàçûâàåòñÿ ðàçäåë ãèäðîìåõàíèêè, â êîòîðîì

èçó÷àåòñÿ äâèæåíèå íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé è èõ âçàèìîäåéñòâèå

ñ òâåðäûìè òåëàìè.

Ðàññìîòðèì îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ ãèäðîäèíàìèêè èäåàëüíîé æèä-

êîñòè. Èäåàëüíîé æèäêîñòüþ íàçûâàåòñÿ íåñæèìàåìàÿ è íå èìåþ-

ùàÿ âÿçêîñòè æèäêîñòü. Â äâèæóùåéñÿ æèäêîñòè ìîæíî âûäåëèòü

ëèíèè òîêà — êðèâûå, êàñàòåëüíûå â êàæäîé òî÷êå êîòîðûõ ñî-

âïàäàþò ñ íàïðàâëåíèåì âåêòîðà ñêîðîñòè ÷àñòèö â ýòèõ òî÷êàõ.

Ïîâåðõíîñòü, îáðàçîâàííàÿ ëèíèÿìè òîêà, ïðîâåäåííûìè ÷åðåç

âñå òî÷êè ìàëîãî çàìêíóòîãî êîíòóðà, íàçûâàåòñÿ òðóáêîé òîêà.

Äâèæåíèå æèäêîñòè íàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíûì, åñëè ñêîðîñòü

äâèæåíèÿ æèäêîñòè â êàæäîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà åå òå÷åíèÿ íå

èçìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè.

Â ïðîòèâíîì ñëó÷àå äâèæåíèå æèäêîñòè

íåñòàöèîíàðíî.

Äëÿ ðàññìîòðåíèÿ çàêîíîâ ãèäðîäèíàìèêè óäîáíî ââåñòè ïî-

íÿòèÿ ëèíåéíîé è îáúåìíîé ñêîðîñòè òå÷åíèÿ æèäêîñòè. Ëèíåé-

íîé ñêîðîñòüþ v íàçûâàåòñÿ ïóòü, ïðîõîäèìûé ÷àñòèöàìè æèäêî-

ñòè çà åäèíèöó âðåìåíè. Îáúåìíîé ñêîðîñòüþ Q, èëè ïîòîêîì

æèäêîñòè, íàçûâàåòñÿ îáúåì æèäêîñòè, ïðîòåêàþùèé ÷åðåç ïîïå-

ðå÷íîå ñå÷åíèå òðóáêè òîêà çà åäèíèöó âðåìåíè. Ëèíåéíàÿ è îáúåì-

íàÿ ñêîðîñòè ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ïðîñòûì ñîîòíîøåíèåì:

QvS=

, (7.2.3)

ãäå S — ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ òðóáêè òîêà.

Åñëè òå÷åíèå æèäêîñòè ñòàöèîíàðíî, òî ÷åðåç ïðîèçâîëüíîå

ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå îäíîé è òîé æå òðóáêè òîêà ïðîòåêàåò îäèíà-

êîâûé îáúåì íåñæèìàåìîé æèäêîñòè â åäèíèöó âðåìåíè, òî åñòü

constQvS==

. (7.2.4)

Âûðàæåíèå (7.2.4) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóùíîñòü òåîðåìû î íå-

ðàçðûâíîñòè ñòðóè.

Ïðè ñòàöèîíàðíîì äâèæåíèè èäåàëüíîé æèäêîñòè â ïîëå ñèë

òÿãîòåíèÿ âäîëü òðóáêè òîêà îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé âåëè÷èíà:

const

gh p

+ρ + =

, (7.2.5)

ãäå ρ — ïëîòíîñòü æèäêîñòè; v — ñêîðîñòü ýëåìåíòà îáúåìà æèä-

êîñòè; g — óñêîðåíèå ñèëû òÿæåñòè; h — âûñîòà ðàñïîëîæåíèÿ

ýëåìåíòà îáúåìà æèäêîñòè, èçìåðåííàÿ îòíîñèòåëüíî íåêîåãî óðîâ-

íÿ îòñ÷åòà; ð — äàâëåíèå.

Ãëàâà 7. Ñâîéñòâà æèäêîñòåé è òâåðäûõ òåë

203

Ñîîòíîøåíèå (7.2.5) íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Áåðíóëëè. Ïåðâûé

÷ëåí â ýòîì óðàâíåíèè — ãèäðîäèíàìè÷åñêîå äàâëåíèå, âòîðîé —

ãèäðîñòàòè÷åñêîå äàâëåíèå, à òðåòèé — ñòàòè÷åñêîå äàâëåíèå, ñæè-

ìàþùåå ÷àñòèöó æèäêîñòè.

Ñëàãàåìûå, âõîäÿùèå â óðàâíåíèå Áåðíóëëè, èìåþò è äðóãîé

ôèçè÷åñêèé ñìûñë. Ïåðâîå èç íèõ ðàâíî êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè

åäèíèöû îáúåìà æèäêîñòè; ñóììà äâóõ âòîðûõ — ïîòåíöèàëüíîé

ýíåðãèè åäèíèöû îáúåìà. Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå Áåðíóëëè

îòðàæàåò çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè äëÿ ñòàöèîíàðíîãî ïîòîêà

èäåàëüíîé æèäêîñòè.

Òåîðåìà î íåðàçðûâíîñòè ñòðóè è óðàâíåíèå Áåðíóëëè áûëè

äîêàçàíû äëÿ òå÷åíèÿ èäåàëüíûõ æèäêîñòåé â óçêèõ òðóáêàõ òîêà.

Îäíàêî ýòè çàêîíû ïðèìåíèìû è äëÿ òå÷åíèÿ ðåàëüíûõ æèäêîñòåé

ïî òðóáàì â òîì ñëó÷àå, åñëè: 1) â êàæäîé òî÷êå ïðîèçâîëüíîãî ñå-

÷åíèÿ òðóáû ñêîðîñòè òå÷åíèÿ æèäêîñòè ìàëî îòëè÷àþòñÿ, è äëÿ

êàæäîãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ìîæíî çàäàòü îäíî çíà÷åíèå ñêîðî-

ñòè è 2) ñæèìàåìîñòü è âÿçêîñòü æèäêîñòè íåâåëèêè, è â äàííûõ

óñëîâèÿõ èìè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü.

Äî ñèõ ïîð ìû íå ó÷èòûâàëè òàêîå âàæíîå ñâîéñòâî æèäêîñòè,

êàê âÿçêîñòü, èëè âíóòðåííåå òðåíèå. Èäåàëüíàÿ æèäêîñòü, â êî-

òîðîé îòñóòñòâóåò âÿçêîñòü, ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç ôèçè÷åñêèõ àáñò-

ðàêöèé. Ñâîéñòâî âÿçêîñòè ïðèñóùå âñåì ðåàëüíûì æèäêîñòÿì.

Âÿçêîñòü æèäêîñòåé ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû è äàâ-

ëåíèÿ. Ñ ïîâûøåíèåì òåìïåðàòóðû âÿçêîñòü æèäêîñòåé áûñòðî

óìåíüøàåòñÿ [ñì. § 4.6], ñ óâåëè÷åíèåì äàâëåíèÿ — âîçðàñòàåò.

Âÿçêîñòü çàâèñèò îò ìîëÿðíîãî îáúåìà æèäêîñòè ñëåäóþùèì îá-

ðàçîì:

η=

−

, (7.2.6)

ãäå V

— ìîëÿðíûé îáúåì æèäêîñòè; b — êîíñòàíòà â óðàâíåíèè

Âàí-äåð-Âààëüñà (ñì. § 4.4); ñ — ïîñòîÿííàÿ.

Îñíîâíûì çàêîíîì âÿçêîãî òå÷åíèÿ æèäêîñòè ÿâëÿåòñÿ ôîð-

ìóëà Íüþòîíà:

=−η

, (7.2.7)

ãäå F — ñèëà âÿçêîãî òðåíèÿ, íàïðàâëåííàÿ ïðîòèâ âåêòîðà ñêîðî-

ñòè ïåðïåíäèêóëÿðíî åå ãðàäèåíòó; η — êîýôôèöèåíò äèíàìè÷å-

ñêîé âÿçêîñòè,

[]

= Ïà•ñ; v — ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ñëîÿ æèäêîñòè

èëè ãàçà, ïåðåìåùàþùåãîñÿ ïåðïåíäèêóëÿðíî îñè õ ;

d/dvx

—

ãðàäèåíò ñêîðîñòè â íàïðàâëåíèè îñè õ; S — ïëîùàäü ñîïðèêàñà-

þùèõñÿ ñëîåâ æèäêîñòè.

§ 7.2. Ãèäðîñòàòèêà è ãèäðîäèíàìèêà

204

Æèäêîñòè, òå÷åíèå êîòîðûõ ïîä÷èíÿåòñÿ óðàâíåíèþ (7.2.7),

íàçûâàþòñÿ íüþòîíîâñêèìè. Äëÿ íèõ êîýôôèöèåíò âÿçêîñòè ÿâëÿ-

åòñÿ ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé ïðè äàííûõ òåìïåðàòóðå è äàâëåíèè

è íå çàâèñèò îò óñëîâèé òå÷åíèÿ æèäêîñòè, à ñèëà âÿçêîãî òðåíèÿ

ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíà ãðàäèåíòó ñêîðîñòè ( ~d /dFvx).

Äëÿ íåêîòîðûõ, òàê íàçûâàåìûõ íåíüþòîíîâñêèõ, æèäêîñòåé

êîýôôèöèåíò âÿçêîñòè çàâèñèò íå òîëüêî îò òåìïåðàòóðû è äàâëå-

íèÿ, íî è îò ãðàäèåíòà ñêîðîñòè, à çàâèñèìîñòü ñèëû âÿçêîãî òðå-

íèÿ îò ãðàäèåíòà ñêîðîñòè íåëèíåéíà [

()

~d/d

Fvx, ãäå n — íå-

êèé ïàðàìåòð, çàâèñÿùèé îò óñëîâèé òå÷åíèÿ æèäêîñòè]. Äëÿ òàêèõ

æèäêîñòåé ââîäèòñÿ ïîíÿòèå óñëîâíîãî êîýôôèöèåíòà âÿçêîñòè,

õàðàêòåðèçóþùåãî âÿçêîñòü æèäêîñòè â îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ

òå÷åíèÿ. Íåíüþòîíîâñêèìè æèäêîñòÿìè ÿâëÿþòñÿ ðàñòâîðû èç

êðóïíûõ è ñëîæíûõ ìîëåêóë, ñóñïåíçèè, â ÷àñòíîñòè, êðîâü.

Äëÿ ìåäèöèíû îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò òå÷åíèå âÿçêîé

æèäêîñòè ïî òðóáàì, òàê êàê òàêèì îáðàçîì ìîæíî ñìîäåëèðîâàòü

òå÷åíèå êðîâè ïî êðîâåíîñíûì ñîñóäàì. Ñîãëàñíî ôîðìóëå Ïóà-

çåéëÿ, îáúåìíàÿ ñêîðîñòü òå÷åíèÿ æèäêîñòè ÷åðåç òðóáó ðàäèóñîì

R è äëèíîé l ðàâíà

=∆

, (7.2.8)

ãäå ∆p — ðàçíîñòü äàâëåíèé íà êîíöàõ òðóáû.

Êàê âèäíî èç ôîðìóëû (7.2.8), ïîòîê æèäêîñòè ïðîïîðöèîíà-

ëåí âåëè÷èíå ïåðåïàäà äàâëåíèÿ, ïðèõîäÿùåãîñÿ íà åäèíèöó äëè-

íû (

/pl

∆

), ÷åòâåðòîé ñòåïåíè ðàäèóñà òðóáû è îáðàòíî ïðîïîð-

öèîíàëåí êîýôôèöèåíòó âÿçêîñòè æèäêîñòè. Ñëåäóåò ïîìíèòü, ÷òî

ôîðìóëà Ïóàçåéëÿ ñïðàâåäëèâà òîëüêî äëÿ ëàìèíàðíîãî (ñì. íèæå)

òå÷åíèÿ ãîìîãåííîé æèäêîñòè ïî æåñòêèì òðóáêàì.

Ôîðìóëà Ïóàçåéëÿ (7.2.8) ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíà â ñëåäóþ-

ùåì âèäå:

∆

, (7.2.9)

ãäå âåëè÷èíà

8 l

(7.2.10)

íàçûâàåòñÿ ãèäðàâëè÷åñêèì, èëè ãèäðîäèíàìè÷åñêèì ñîïðîòèâëåíèåì.

Òàêèì îáðàçîì, ôîðìóëà Ïóàçåéëÿ â ãèäðîäèíàìèêå àíàëîãè÷-

íà çàêîíó Îìà â ýëåêòðîäèíàìèêå: îáúåìíàÿ ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ñî-

îòâåòñòâóåò ýëåêòðè÷åñêîìó òîêó, à ïåðåïàä äàâëåíèé íà êîíöàõ

òðóáû — ýëåêòðè÷åñêîìó íàïðÿæåíèþ íà ó÷àñòêå öåïè. Ïîäîáíàÿ

Ãëàâà 7. Ñâîéñòâà æèäêîñòåé è òâåðäûõ òåë

205

àíàëîãèÿ ïîçâîëÿåò âû÷èñëÿòü ãèäðàâëè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå ïî-

ñëåäîâàòåëüíî èëè ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûõ òðóá òàê æå, êàê âû-

÷èñëÿåòñÿ ñîïðîòèâëåíèå â ïîñëåäîâàòåëüíûõ è ïàðàëëåëüíûõ ýëåêò-

ðè÷åñêèõ öåïÿõ:

123

XXXX

=++



; (7.2.11)

123

1111

XXXX

=++K



, (7.2.12)

ãäå Õ

ïîñë

è Õ

ïàðàë

— ñóììàðíîå ãèäðàâëè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå ïî-

ñëåäîâàòåëüíî è ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûõ òðóáîê ñîîòâåòñòâåííî.

Ôîðìóëà Ïóàçåéëÿ ëåæèò â îñíîâå îäíîãî èç ìåòîäîâ îïðåäå-

ëåíèÿ âÿçêîñòè æèäêîñòè

— êàïèëëÿðíîãî ìåòîäà. Ïðîïóñêàÿ

æèäêîñòü ÷åðåç êàïèëëÿð èçâåñòíîãî ðàäèóñà è èçìåðÿÿ ïåðåïàä

äàâëåíèé è îáúåìíóþ ñêîðîñòü òå÷åíèÿ, ìîæíî âû÷èñëèòü âÿç-

êîñòü äàííîé æèäêîñòè.

Îäíèì èç ïðîÿâëåíèé ñâîéñòâà âÿçêîñòè ÿâëÿåòñÿ ñîïðîòèâëå-

íèå æèäêîñòåé ïðîäâèæåíèþ òåë â íèõ. Ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ ñëîæ-

íûì îáðàçîì çàâèñèò îò ñêîðîñòè è ãåîìåòðèè äâèæóùåãîñÿ òåëà.

Ïðè ìàëûõ ñêîðîñòÿõ è íåáîëüøèõ ðàçìåðàõ òåë, òî åñòü ïðè íå-

áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ ÷èñëà Ðåéíîëüäñà (ñì. íèæå), ñèëà ñîïðîòèâ-

ëåíèÿ ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíà âÿçêîñòè æèäêîñòè, ðàçìåðàì òåëà

è ñêîðîñòè åãî ïðîäâèæåíèÿ, à êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñ-

òè îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìîé òåëà.

Òàê, äëÿ òåë ñôåðè÷åñêîé ôîðìû ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ äâèæå-

íèþ â âÿçêîé æèäêîñòè ðàâíà

сопр

6FRv=− πη

, (7.2.13)

ãäå η — êîýôôèöèåíò äèíàìè÷åñêîé âÿçêîñòè æèäêîñòè; R — ðà-

äèóñ òåëà;

— ñêîðîñòü òåëà. Ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ

сопр

íàçû-

âàåòñÿ ñèëîé Ñòîêñà, à âûðàæåíèå (7.2.13) — ôîðìóëîé Ñòîêñà.

Ôîðìóëà Ñòîêñà ëåæèò â îñíîâå äðóãîãî ìåòîäà âèñêîçèìåòðèè —

ìåòîäà Ñòîêñà.

Ñóùåñòâóþò äâà âèäà òå÷åíèÿ æèäêîñòåé: ëàìèíàðíîå è òóðáó-

ëåíòíîå. Ëàìèíàðíûì (îò ëàò. lamina — ïëàñòèíêà, ïîëîñêà) íàçû-

âàåòñÿ òàêîå òå÷åíèå æèäêîñòè, ïðè êîòîðîì åå ÷àñòèöû äâèæóòñÿ

âäîëü ïëàâíûõ òðàåêòîðèé, íå ïåðåìåøèâàÿñü. Ïðè ëàìèíàðíîì

òå÷åíèè æèäêîñòü ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå ñëîåâ, ñêîëüçÿ-

ùèõ îòíîñèòåëüíî äðóã äðóãà. Òàêîå äâèæåíèå ñòàöèîíàðíî. Ïðè

ýòîì ñîñåäíèå ñëîè, äâèæóùèåñÿ ñ ðàçëè÷íûìè ñêîðîñòÿìè, èñïû-

Ñîâîêóïíîñòü ìåòîäîâ îïðåäåëåíèÿ âÿçêîñòè æèäêîñòåé íàçûâàåòñÿ âèñêî-

çèìåòðèåé.

§ 7.2. Ãèäðîñòàòèêà è ãèäðîäèíàìèêà

206

òûâàþò äåéñòâèå êàñàòåëüíûõ ñèë, îáóñëîâëåííûõ ñèëàìè âíóò-

ðåííåãî òðåíèÿ.

Ïðè ëàìèíàðíîì òå÷åíèè ñêîðîñòü ñëîåâ æèäêîñòè èçìåíÿåò-

ñÿ ñ ðàññòîÿíèåì îò îñè òðóáû ïî ïàðàáîëè÷åñêîìó çàêîíó

() 1

vr v



=−





, (7.2.14)

ãäå v — ñêîðîñòü ñëîÿ, íàõîäÿùåãîñÿ íà ðàññòîÿíèè r îò îñè òðó-

áû; R — ðàäèóñ òðóáû; v

— îñåâàÿ (ìàêñèìàëüíàÿ) ñêîðîñòü òå÷å-

íèÿ. Ïðîôèëü ñêîðîñòåé ïðè ëàìèíàðíîì òå÷åíèè ïðèâåäåí íà

ðèñ. 7.2.1, à.

Òóðáóëåíòíûì (îò ëàò. turbulentus — áóðíûé, áåñïîðÿäî÷íûé)

íàçûâàåòñÿ òàêîå òå÷åíèå æèäêîñòè, ïðè êîòîðîì åå ñêîðîñòü

è äàâëåíèå áûñòðî è íåðåãóëÿðíî èçìåíÿþòñÿ ñî âðåìåíåì, ÷òî

ïðèâîäèò ê èíòåíñèâíîìó ïå-

ðåìåøèâàíèþ ìåæäó ñëîÿìè

æèäêîñòè. Òóðáóëåíòíîå òå÷å-

íèå ñâÿçàíî ñ äîïîëíèòåëüíû-

ìè çàòðàòàìè ýíåðãèè. Íå-

ñìîòðÿ íà íåðåãóëÿðíîñòü, ïðè

íåèçìåííûõ âíåøíèõ óñëîâè-

ÿõ ñðåäíÿÿ ïî âðåìåíè ñêî-

ðîñòü â êàæäîé òî÷êå ñå÷åíèÿ

òðóáû îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé.

Ïðîôèëü îñðåäíåííîé ñêîðîñòè ïðè òóðáóëåíòíîì òå÷åíèè (ðèñ.

7.2.1, á) îòëè÷àåòñÿ îò ïàðàáîëè÷åñêîãî ïðîôèëÿ, õàðàêòåðíîãî äëÿ

ëàìèíàðíîãî òå÷åíèÿ.

Ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ ëàìèíàðíîå òå÷åíèå ñòàíîâèòñÿ

íåóñòîé÷èâûì. Õàðàêòåð òå÷åíèÿ æèäêîñòè îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíè-

åì áåçðàçìåðíîé âåëè÷èíû:

vlρ

, (7.2.15)

íàçûâàåìîé ÷èñëîì Ðåéíîëüäñà. Çäåñü ρ — ïëîòíîñòü æèäêîñòè; v —

ñðåäíÿÿ ïî ïîïåðå÷íîìó ñå÷åíèþ ñêîðîñòü ïîòîêà; l — õàðàêòåð-

íûé ðàçìåð, óêàçûâàþùèé ïîïåðå÷íûé ðàçìåð òðóáû, ïî êîòîðîé

òå÷åò æèäêîñòü, èëè ïîïåðå÷íûé ðàçìåð îáòåêàåìîãî æèäêîñòüþ

òåëà; η — äèíàìè÷åñêàÿ âÿçêîñòü æèäêîñòè. Îòíîøåíèå äèíàìè-

÷åñêîé âÿçêîñòè æèäêîñòè ê åå ïëîòíîñòè íàçûâàåòñÿ êèíåìàòè-

÷åñêîé âÿçêîñòüþ:

ν=

, (7.2.16)

Ðèñ. 7.2.1. Ïðîôèëü îñðåäíåííîé ñêîðîñ-

òè ïðè ëàìèíàðíîì (à) è òóðáóëåíòíîì (á)

òå÷åíèè

Ãëàâà 7. Ñâîéñòâà æèäêîñòåé è òâåðäûõ òåë

207

[ν] = ì

/ñ. Òîãäà ôîðìóëó (7.2.15) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå:

. (7.2.17)

Ïðè âåëè÷èíàõ Re, ìåíüøèõ íåêîòîðîãî çíà÷åíèÿ, íàçûâàåìî-

ãî êðèòè÷åñêèì (

кр

Re Re< ), òå÷åíèå æèäêîñòè ÿâëÿåòñÿ ëà-

ìèíàðíûì; ïðè

кр

Re Re> — òóðáóëåíòíûì. Íàïðèìåð, â ñëó÷àå òå-

÷åíèÿ âÿçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè â òðóáå êðóãëîãî ñå÷åíèÿ ñ l,

ðàâíûì äèàìåòðó

òðóáû,

кр

Re 2300≈ . Êàê âèäíî èç ôîðìóëû

(7.2.15), ÷åì áîëüøå âåëè÷èíà l, òåì ïðè áîëåå ìåíüøåé ñêîðîñòè

òå÷åíèå ïåðåõîäèò èç ëàìèíàðíîãî â òóðáóëåíòíîå.

§ 7.3. ÏÎÂÅÐÕÍÎÑÒÍÛÅ ßÂËÅÍÈß

Ìîëåêóëû æèäêîñòè ðàñïîëîæåíû íà äîâîëüíî áëèçêèõ ðàññòî-

ÿíèÿõ, â ñâÿçè ñ ÷åì ìåæäó íèìè âîçíèêàþò çíà÷èòåëüíûå ñèëû

ïðèòÿæåíèÿ. Ðàññìîòðèì ìîëåêó-

ëó, íàõîäÿùóþñÿ âíóòðè æèäêî-

ñòè (ðèñ. 7.3.1, à). Òàê êàê äàííàÿ

ìîëåêóëà ñèììåòðè÷íî îêðóæåíà

äðóãèìè ìîëåêóëàìè, òî ðàâíî-

äåéñòâóþùàÿ âñåõ ñèë âçàèìîäåé-

ñòâèÿ, èñïûòûâàåìûõ åþ, ðàâíà

íóëþ. Äëÿ ìîëåêóëû, íàõîäÿùåé-

ñÿ íà ïîâåðõíîñòè, ïîäîáíàÿ ñèì-

ìåòðèÿ íàðóøàåòñÿ (ðèñ. 7.3.1, á),

â ðåçóëüòàòå ÷åãî íà íåå äåéñòâó-

åò ðåçóëüòèðóþùàÿ ñèëà, íàïðàâ-

ëåííàÿ âíóòðü æèäêîñòè. Ýòî ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ïîâåðõíîñòíûé

ñëîé æèäêîñòè ñòðåìèòñÿ ñîêðàòèòüñÿ, âûçûâàÿ ïîÿâëåíèå ñèëû ïî-

âåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ:

=σ



, (7.3.1)

ãäå σ — êîýôôèöèåíò ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ

[]σ

= Í/ì; l —

äëèíà ýëåìåíòà ãðàíèöû «æèäêîñòü—îêðóæàþùàÿ ñðåäà», ïåðïåí-

äèêóëÿðíî êîòîðîé äåéñòâóåò ñèëà



Ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæåíèå îáóñëîâëåíî ïîâûøåííîé ýíåðãèåé

ïîâåðõíîñòíîãî ñëîÿ ìîëåêóë æèäêîñòè ïî ñðàâíåíèþ ñ ýíåðãèåé

Åñëè â êà÷åñòâå õàðàêòåðíîãî ðàçìåðà l âçÿòü íå äèàìåòð, à ðàäèóñ òðóáû, òî

êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå ÷èñëà Ðåéíîëüäñà áóäåò â äâà ðàçà ìåíüøå.

Ðèñ. 7.3.1. Ñèëû, äåéñòâóþùèå íà ìî-

ëåêóëó, íàõîäÿùóþñÿ âíóòðè (à) è íà

ïîâåðõíîñòè (á) æèäêîñòè

§ 7.3. Ïîâåðõíîñòíûå ÿâëåíèÿ

208

ìîëåêóë, íàõîäÿùèõñÿ â ãëóáèíå æèäêîñòè. Ïîýòîìó æèäêîñòü

â îòñóòñòâèå âíåøíèõ ñèë, ñòðåìÿñü ìàêñèìàëüíî óìåíüøèòü ýíåð-

ãèþ, ïðèíèìàåò ôîðìó ñ ìèíèìàëüíîé ïîâåðõíîñòüþ, òî åñòü ôîðìó

øàðà. Ýòî æå ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî íà ñîçäàíèå ïîâåðõíîñòè æèä-

êîñòè íåîáõîäèìî çàòðàòèòü ýíåðãèþ, êîòîðàÿ ìîæåò çàòåì ïðå-

âðàòèòüñÿ â ðàáîòó, ñîâåðøàåìîé æèäêîñòüþ ïðè óìåíüøåíèè ïëî-

ùàäè ïîâåðõíîñòè, òî åñòü σ — ýòî âåëè÷èíà ñâîáîäíîé ýíåðãèè

åäèíèöû ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè. Êîýôôèöèåíò ïîâåðõíîñòíîãî íà-

òÿæåíèÿ ìîæíî òàêæå îïðåäåëèòü êàê îòíîøåíèå ðàáîòû À, çàòðà-

÷åííîé íà óâåëè÷åíèå ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè íà åäèíè-

öó ïëîùàäè:

σ=

∆

, (7.3.2)

ãäå S

∆

— èçìåíåíèå ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè. Ñ ïîâûøå-

íèåì òåìïåðàòóðû σ óìåíüøàåòñÿ è â êðèòè÷åñêîé òî÷êå îáðàùà-

åòñÿ â íóëü.

Íåêîòîðûå âåùåñòâà, íàçûâàåìûå ïîâåðõíîñòíî-àêòèâíûìè,

ïðè äîáàâëåíèè â æèäêîñòü èçìåíÿþò åå ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæå-

íèå. Òàêèìè âåùåñòâàìè ÿâëÿþòñÿ, íàïðèìåð, ìûëà è æèðíûå êèñ-

ëîòû.

Íà ãðàíèöå ðàçäåëà æèäêîñòè è òâåðäîãî òåëà èëè äâóõ æèäêî-

ñòåé ìîãóò íàáëþäàòüñÿ ÿâëåíèÿ ñìà÷èâàíèÿ èëè íåñìà÷èâàíèÿ,

êîòîðûå îáóñëîâëåíû ñèëàìè âçàèìîäåéñòâèÿ ìîëåêóë ýòèõ âåùåñòâ

ìåæäó ñîáîé, à òàêæå ñ ìîëåêóëàìè îêðóæàþùèõ ãàçîâ. Ïîìåñòèì

êàïëþ æèäêîñòè íà ïîâåðõíîñòü òâåðäîãî òåëà. Óãîë ìåæäó ïîâåðõ-

íîñòüþ òâåðäîãî òåëà è ïëîñêîñòüþ, êàñàòåëüíîé ê ïîâåðõíîñòè

æèäêîñòè, ãðàíè÷àùåé ñ òåëîì, íàçûâàåòñÿ êðàåâûì óãëîì θ

(ðèñ. 7.3.2). Êðàåâîé óãîë

õàðàêòåðèçóåò ñèëû âçàè-

ìîäåéñòâèÿ ìîëåêóë æèä-

êèõ, òâåðäûõ è ãàçîîáðàç-

íûõ âåùåñòâ ìåæäó ñîáîé

è, ñëåäîâàòåëüíî, ñëóæèò

ìåðîé ñìà÷èâàíèÿ.

Åñëè

090<θ< °

, òî æèäêîñòü ñìà÷èâàåò âåùåñòâî. Â ýòîì ñëó-

÷àå ñèëû ñöåïëåíèÿ ìåæäó ìîëåêóëàìè æèäêîñòè è òâåðäîãî òåëà

áîëüøå ñèë ñöåïëåíèÿ ìåæäó ìîëåêóëàìè òâåðäîãî òåëà è ãàçà, ïî-

ýòîìó æèäêîñòü ðàñòåêàåòñÿ ïî ïîâåðõíîñòè (ðèñ. 7.3.2, à). Ýòî ÿâ-

ëåíèå íàçûâàåòñÿ ñìà÷èâàíèåì, à ïîâåðõíîñòü — ëèîôèëüíîé. Ïðè

0θ=

æèäêîñòü íåîãðàíè÷åííî ðàñòåêàåòñÿ ïî ïîâåðõíîñòè òâåðäîãî

òåëà (ÿâëåíèå ïîëíîãî ñìà÷èâàíèÿ). Ïðè

90 180°<θ< °

(ðèñ. 7.3.2, á)

èìååò ìåñòî íåñìà÷èâàíèå. Ìîëåêóëàì òâåðäîãî òåëà ýíåðãåòè÷åñêè

âûãîäíåå âçàèìîäåéñòâîâàòü ñ ìîëåêóëàìè ãàçà, ÷åì ñ ìîëåêóëàìè

æèäêîñòè, â ðåçóëüòàòå ÷åãî æèäêîñòü îòòàëêèâàåòñÿ îò ïîâåðõíîñ-

Ðèñ. 7.3.2. ×àñòè÷íîå ñìà÷èâàíèå (à) è íåñìà-

÷èâàíèå (á)

Ãëàâà 7. Ñâîéñòâà æèäêîñòåé è òâåðäûõ òåë

209

òè òâåðäîãî òåëà, êîòîðàÿ â ýòîì ñëó÷àå íàçûâàåòñÿ ëèîôîáíîé. Ïðè

180θ=

èìååò ìåñòî ïîëíîå íåñìà÷èâàíèå.

Ñòðåìëåíèå èñêðèâëåííîé ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè ê ñîêðàùå-

íèþ ïðèâîäèò ê âîçíèêíîâåíèþ äàâëåíèÿ ∆ð, äîïîëíèòåëüíîãî

ê âíåøíåìó. Âåëè÷èíà èçáûòî÷íîãî äàâëåíèÿ ∆ð îïðåäåëÿåòñÿ ïî

ôîðìóëå Ëàïëàñà :



∆=σ +





, (7.3.3)

ãäå

R è

R — ðàäèóñû êðèâèçíû äâóõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿð-

íûõ ñå÷åíèé ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè. Äëÿ ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñ-

òè

RRR

è, ñëåäîâàòåëüíî:

∆=

. (7.3.4)

Ðåçóëüòèðóþùàÿ ñèë ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ âñåãäà íàïðàâ-

ëåíà ê öåíòðó êðèâèçíû. Ïîýòîìó â ñëó÷àå âîãíóòîé ââåðõ ïîâåðõ-

íîñòè èçáûòî÷íîå äàâëåíèå

îòðèöàòåëüíî, à â ñëó÷àå âû-

ïóêëîé ââåðõ — ïîëîæèòåëü-

íî (ðèñ. 7.3.3).

ßâëåíèå ïîâåðõíîñòíîãî

íàòÿæåíèÿ îáóñëîâëèâàåò òàê

íàçûâàåìûé êàïèëëÿðíûé ýô-

ôåêò — èçìåíåíèå âûñîòû

óðîâíÿ æèäêîñòè â óçêèõ

òðóáêàõ (êàïèëëÿðàõ) èëè çàçîðàõ. Ýôôåêò ñìà÷èâàíèÿ (íåñìà÷èâà-

íèÿ) ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ïîâåðõíîñòü æèäêîñòè â êàïèëëÿðå, îïó-

ùåííîì â ñîñóä, èìååò âîãíóòóþ (âûïóêëóþ) ôîðìó. Òàêèå èçîãíó-

òûå ïîâåðõíîñòè íàçûâàþò ìåíèñêàìè. Â ïåðâîì ñëó÷àå ñèëû

èçáûòî÷íîãî äàâëåíèÿ íàïðàâëåíû ââåðõ (ê öåíòðó êðèâèçíû) è îáåñ-

ïå÷èâàþò ïîäíÿòèå æèäêîñòè â êàïèëëÿðå ïî ñðàâíåíèþ ñ óðîâíåì

æèäêîñòè â ñîñóäå (ðèñ. 7.3.4, à), à âî âòîðîì — âíèç, â ñâÿçè ñ ÷åì

óðîâåíü æèäêîñòè â êàïèëëÿðå ïîíèæàåòñÿ (ðèñ. 7.3.4, á).

Â ðàâíîâåñèè èçáûòî÷íîå äàâëåíèå ∆ð óðàâíîâåøèâàåòñÿ ãèä-

ðîñòàòè÷åñêèì äàâëåíèåì

ρ=

, (7.3.5)

ãäå ρ — ïëîòíîñòü æèäêîñòè; h — ðàçíîñòü óðîâíåé æèäêîñòè â ñî-

ñóäå è êàïèëëÿðå; σ — ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæåíèå íà ãðàíèöå «æèä-

êîñòü — ãàç»; R — ðàäèóñ êðèâèçíû ìåíèñêà.

Ðèñ.7.3.3. Äàâëåíèå íàä ïðÿìîé è èçîãíóòû-

ìè ïîâåðõíîñòÿìè ðàçäåëà «æèäêîñòü—ãàç»:

— äàâëåíèå íàä ïëîñêîé ïîâåðõíîñòüþ; ∆p —

âåëè÷èíà èçáûòî÷íîãî äàâëåíèÿ, äîïîëíèòåëüíî-

ãî ê òîìó, êîòîðîå èñïûòûâàåò æèäêîñòü ñ ïëîñ-

êîé ïîâåðõíîñòüþ

§ 7.3. Ïîâåðõíîñòíûå ÿâëåíèÿ

210

Èç ðèñ. 7.3.4 âèäíî, ÷òî

cos

R =

. Ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå

â ôîðìóëó (7.3.5) è âûðàçèâ h, ïîëó÷àåì:

2cos

σθ

. (7.3.6)

Ðèñ. 7.3.4. Êàïèëëÿðíûé ýôôåêò â ñëó÷àå ñìà÷èâàíèÿ (à) è íåñìà÷èâàíèÿ (á) æèä-

êîñòüþ ñòåíîê êàïèëëÿðà

Ýòî âûðàæåíèå èçâåñòíî êàê ôîðìóëà Æþðåíà.

Òàê êàê ïðè ñìà÷èâàíèè

090<θ< °

, òî cos 0θ> è 0h

(æèä-

êîñòü ïîäíèìàåòñÿ); ïðè íåñìà÷èâàíèè

90 180°<θ<

, òîãäà

cos 0θ< è 0h

(æèäêîñòü îïóñêàåòñÿ). Åñëè

90θ= °

, òî èçìåíå-

íèå óðîâíÿ æèäêîñòè íå ïðîèñõîäèò ( 0h

Êàïèëëÿðíûé ýôôåêò èãðàåò âàæíóþ ðîëü â ñíàáæåíèè ðàñòå-

íèé âîäîé è ïåðåäâèæåíèè âîäû â ïî÷âå è ïîðèñòûõ òåëàõ. Íàëè-

÷èå èçáûòî÷íîãî äàâëåíèÿ ó èñêðèâëåííîé ïîâåðõíîñòè îáúÿñíÿ-

åò îïàñíîñòü ïîïàäàíèÿ ïóçûðüêîâ âîçäóõà â êðîâåíîñíûå ñîñóäû.

Ðàññìîòðèì ïóçûðåê, íàõîäÿùèéñÿ â êðîâåíîñíîì ñîñóäå (äèà-

ìåòðû ïóçûðüêà è êðîâåíîñíîãî ñîñóäà ïðèáëèçèòåëüíî ðàâíû).

Åñëè ïåðåìåùåíèå êðîâè îòñóòñòâóåò, òî äâå ñòîðîíû ïóçûðüêà

èìåþò îäèíàêîâûå ðàäèóñû êðèâèçíû è ñîîòâåòñòâåííî îäèíàêî-

âûå âåëè÷èíû èçáûòî÷íîãî äàâëåíèÿ, êîìïåíñèðóþùèå äðóã äðó-

ãà. Äàâëåíèå, ïîä äåéñòâèåì êîòîðîãî êðîâü äâèæåòñÿ ïî ñîñóäàì,

ïðèâîäèò ê èñêðèâëåíèþ ïîâåðõíîñòåé ïóçûðüêà, âñëåäñòâèå ÷åãî

ðàçíîñòü èçáûòî÷íûõ äàâëåíèé ñ ðàçíûõ ñòîðîí ïóçûðüêà ñòàíî-

âèòñÿ îòëè÷íîé îò íóëÿ, ÷òî ìîæåò âîñïðåïÿòñòâîâàòü äâèæåíèþ

êðîâè è âûçâàòü çàêóïîðêó ñîñóäà. Âîçíèêàþùåå ïðè ýòîì çàáîëå-

âàíèå íàçûâàåòñÿ ýìáîëèåé.

Ãëàâà 7. Ñâîéñòâà æèäêîñòåé è òâåðäûõ òåë