Тиманюк В.А., Животова Е.Н. Биофизика

Подождите немного. Документ загружается.

211

§ 7.4. ÑÒÐÎÅÍÈÅ ÒÂÅÐÄÛÕ ÒÅË

Òâåðäûìè òåëàìè íàçûâàþòñÿ òåëà, ñîõðàíÿþùèå ñâîþ ôîðìó

è îáúåì. Ðàçëè÷àþò êðèñòàëëè÷åñêèå è àìîðôíûå òâåðäûå òåëà.

Êðèñòàëëè÷åñêèå òâåðäûå òåëà èìåþò ïðàâèëüíîå ïåðèîäè÷å-

ñêîå ðàñïîëîæåíèå ñîñòàâëÿþùèõ èõ ÷àñòèö, îáðàçóþùèõ êðèñòàë-

ëè÷åñêóþ ðåøåòêó. Â ðàñïîëîæåíèè ÷àñòèö êðèñòàëëè÷åñêîãî òåëà

èìååò ìåñòî äàëüíèé ïîðÿäîê. Â äàííîì ñëó÷àå ýíåðãèÿ âçàèìî-

äåéñòâèÿ ÷àñòèö íàìíîãî ïðåâûøàåò ýíåðãèþ èõ òåïëîâîãî äâèæå-

íèÿ

, êîòîðîé õâàòàåò ëèøü íà êîëåáàíèå ÷àñòèö îêîëî ïîëî-

æåíèé ðàâíîâåñèÿ (òàê íàçûâàåìûõ óçëîâ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè,

ãäå ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèö ìèíèìàëüíà), íî íåäîñòàòî÷íî

äëÿ ðàçðóøåíèÿ ïðàâèëüíîé êðèñòàëëè÷åñêîé ñòðóêòóðû.

Îòëè÷èòåëüíîé îñîáåííîñòüþ êðèñòàëëè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ ÿâ-

ëÿåòñÿ àíèçîòðîïèÿ (îò ãðå÷. ànisos — íåðàâíûé è trîpos — íàïðàâ-

ëåíèå) — çàâèñèìîñòü ôèçè÷åñêèõ ñâîéñòâ (ìåõàíè÷åñêèõ, òåïëî-

âûõ, ýëåêòðè÷åñêèõ, ìàãíèòíûõ, îïòè÷åñêèõ) îò íàïðàâëåíèÿ. Òåëà,

ïðîÿâëÿþùèå ñâîéñòâî àíèçîòðîïèè, íàçûâàþòñÿ àíèçîòðîïíûìè;

íå ïðîÿâëÿþùèå — èçîòðîïíûìè. Èçîòðîïíûìè òåëàìè ÿâëÿþòñÿ

ãàçû, æèäêîñòè (çà èñêëþ÷åíèåì æèäêèõ êðèñòàëëîâ), à òàêæå àìîðô-

íûå òåëà.

Ïðè÷èíà àíèçîòðîïèè êðèñòàëëîâ êðîåòñÿ â óïîðÿäî÷åííîì

ðàñïîëîæåíèè ñîñòàâëÿþùèõ èõ ÷àñòèö. Íàïðèìåð, êðèñòàëëû

ñëþäû ìîæíî ðàññëîèòü íà ïëàñòèíêè òîëüêî âäîëü îïðåäåëåííîé

ïëîñêîñòè, òàê êàê ïàðàëëåëüíî ýòîé ïëîñêîñòè ñèëû ñöåïëåíèÿ

ìåæäó ÷àñòèöàìè ñëþäû íàèìåíüøèå.

Â äåéñòâèòåëüíîñòè áîëüøèíñòâî êðèñòàëëè÷åñêèõ òåë íå ïðî-

ÿâëÿåò ñâîéñòâî àíèçîòðîïèè, òàê êàê ñîñòîÿò èç áîëüøîãî ÷èñëà

ñðîñøèõñÿ, áåñïîðÿäî÷íî îðèåíòèðîâàííûõ êðèñòàëëèêîâ. Àíè-

çîòðîïèÿ ïðîÿâëÿåòñÿ òîëüêî â ïðåäåëàõ ýòèõ êðèñòàëëèêîâ. Ñîç-

äàâ ñîîòâåòñòâóþùèå óñëîâèÿ êðèñòàëëèçàöèè, ìîæíî ïîëó÷èòü òàê

íàçûâàåìûå ìîíîêðèñòàëëû — êðèñòàëëû, èìåþùèå âî âñåì îáúåìå

åäèíóþ êðèñòàëëè÷åñêóþ ðåøåòêó.

Ïî õàðàêòåðó ñèë âçàèìîäåéñòâèÿ, òèïó ñâÿçè è òîìó, êàêèå

÷àñòèöû ðàñïîëîæåíû â óçëàõ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè, ðàçëè÷à-

þò ñëåäóþùèå òèïû êðèñòàëëè÷åñêèõ òâåðäûõ òåë.

Èîííûå êðèñòàëëû. Â óçëàõ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè ðàñïîëî-

æåíû ïðàâèëüíî ÷åðåäóþùèåñÿ ïîëîæèòåëüíûå è îòðèöàòåëüíûå

èîíû. Èîííàÿ (ãåòåðîïîëÿðíàÿ) ñâÿçü îñóùåñòâëÿåòñÿ â îñíîâíîì

ýëåêòðîñòàòè÷åñêèìè âçàèìîäåéñòâèÿìè. Òèïè÷íûì ïðèìåðîì

èîííûõ êðèñòàëëîâ ÿâëÿþòñÿ êðèñòàëëû ïîâàðåííîé ñîëè.

Àòîìíûå êðèñòàëëû. Â óçëàõ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè íàõî-

äÿòñÿ íåéòðàëüíûå àòîìû, âçàèìîäåéñòâóþùèå çà ñ÷åò êîâàëåíò-

§ 7.4. Ñòðîåíèå òâåðäûõ òåë

212

íûõ (ãîìåîïîëÿðíûõ) ñâÿçåé, èìåþùèõ êâàíòîâîìåõàíè÷åñêóþ

ïðèðîäó. Ñâÿçü ìåæäó êàæäûìè äâóìÿ àòîìàìè âîçíèêàåò çà ñ÷åò

âçàèìîäåéñòâèÿ èõ âàëåíòíûõ ýëåêòðîíîâ, îáðàçóþùèõ îáùóþ ýëåê-

òðîííóþ ïàðó. ×èñëî ñâÿçåé, â êîòîðûõ ìîæåò ó÷àñòâîâàòü êàæäûé

àòîì, ðàâíî ÷èñëó åãî âàëåíòíûõ èîíîâ. Ïðèìåðàìè àòîìíûõ êðè-

ñòàëëîâ ÿâëÿþòñÿ àëìàç è ãðàôèò, à òàêæå òèïè÷íûå ïîëóïðîâîä-

íèêè — ãåðìàíèé è êðåìíèé.

Ìåòàëëè÷åñêèå êðèñòàëëû. Â óçëàõ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè

ðàñïîëîæåíû ïîëîæèòåëüíûå èîíû, îáðàçîâàâøèåñÿ ïðè îòùåï-

ëåíèè îò àòîìîâ âàëåíòíûõ ýëåêòðîíîâ. Ïîñëåäíèå ñîâåðøàþò

áåñïîðÿäî÷íîå äâèæåíèå ìåæäó óçëàìè ðåøåòêè, îáðàçóÿ ãàç ñâî-

áîäíûõ ýëåêòðîíîâ. Ìåòàëëè÷åñêàÿ ñâÿçü îáóñëîâëåíà ýëåêòðîñòà-

òè÷åñêèì è îáìåííûì âçàèìîäåéñòâèåì. Ìåòàëëè÷åñêèå ðåøåòêè

õàðàêòåðíû äëÿ ìåòàëëîâ.

Ìîëåêóëÿðíûå êðèñòàëëû. Â óçëàõ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè

íàõîäÿòñÿ îïðåäåëåííûì îáðàçîì îðèåíòèðîâàííûå íåéòðàëüíûå

ìîëåêóëû. Ñèëàìè âçàèìîäåéñòâèÿ â ìîëåêóëÿðíûõ êðèñòàëëàõ ÿâ-

ëÿþòñÿ ñèëû Âàí-äåð-Âààëüñà, èìåþùèìè òó æå ïðèðîäó, ÷òî

è ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ìîëåêóëàìè ãàçîâ, ïðèâîäÿùèå ê èõ

îòêëîíåíèþ îò èäåàëüíîñòè. Ìîëåêóëÿðíûå êðèñòàëëû îáðàçóþò

âîäà, óãëåêèñëûé ãàç, àçîò, âîäîðîä, êèñëîðîä.

Êðèñòàëëû îáðàçóþòñÿ òàêæå èç òàêèõ ñëîæíûõ âåùåñòâ, êàê

áåëêè, íóêëåèíîâûå êèñëîòû è äàæå âèðóñû. Áèîëîãè÷åñêèå êðèñ-

òàëëû èìåþò áîëüøèå ïåðèîäû êðèñòàëëè÷åñêèõ ðåøåòîê, ÷òî ïî-

çâîëÿåò èçó÷àòü èõ ìåòîäàìè ýëåêòðîííîé ìèêðîñêîïèè. Ñïîñîá-

íîñòü áèîëîãè÷åñêèõ ìîëåêóë ê êðèñòàëëèçàöèè äåëàåò âîçìîæíûì

ïðèìåíåíèå ðåíòãåíîñòðóêòóðíîãî àíàëèçà äëÿ èõ èññëåäîâàíèÿ.

Àìîðôíûìè íàçûâàþòñÿ âåùåñòâà, íå îáëàäàþùèå â êîíäåíñè-

ðîâàííîì ñîñòîÿíèè êðèñòàëëè÷åñêèì ñòðîåíèåì. Èõ ñòðóêòóðà

áëèçêà ê ñòðóêòóðå æèäêîñòåé: äëÿ àìîðôíûõ òåë, êàê è äëÿ æèä-

êîñòåé, õàðàêòåðíû áëèæíèé ïîðÿäîê ðàñïîëîæåíèÿ ÷àñòèö

è îòñóòñòâèå àíèçîòðîïèè. Àìîðôíûå òåëà äåëÿòñÿ íà äâå ãðóïïû:

ïðîñòûå àìîðôíûå âåùåñòâà (íèçêîìîëåêóëÿðíûå æèäêîñòè, íåîð-

ãàíè÷åñêèå ñòåêëà, ïëàâëåíûé êâàðö è ò. ï.( è âûñîêîïîëèìåðíûå

ñîåäèíåíèÿ (êàó÷óêè, ðåçèíà, îðãàíè÷åñêèå ñòåêëà, ñìîëû).

§ 7.5. ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÒÂÅÐÄÛÕ ÒÅË

Óïðóãèå ñâîéñòâà. Âíåøíèå ñèëû èçìåíÿþò ôîðìó è îáúåì ðå-

àëüíîãî òåëà, òî åñòü äåôîðìèðóþò åãî. Ïðè äåôîðìàöèè ïðîèñõî-

äèò îòíîñèòåëüíîå ñìåùåíèå ýëåìåíòîâ òåëà (åãî àòîìîâ èëè ìî-

ëåêóë). Äåôîðìàöèè, èñ÷åçàþùèå ñ ïðåêðàùåíèåì äåéñòâèÿ ñèëû,

Ãëàâà 7. Ñâîéñòâà æèäêîñòåé è òâåðäûõ òåë

213

íàçûâàþòñÿ óïðóãèìè. Ïðè ïðåâûøåíèè ïðåäåëà óïðóãîñòè â êðè-

ñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêå âîçíèêàþò íåîáðàòèìûå èçìåíåíèÿ: ïðîèñ-

õîäèò ïëàñòè÷åñêàÿ äåôîðìàöèÿ òåëà, îíî íå âîçâðàùàåòñÿ ê èñ-

õîäíîé ôîðìå ïîñëå ïðåêðàùåíèÿ äåéñòâèÿ âíåøíèõ ñèë.

Â ñëó÷àå óïðóãîé äåôîðìàöèè ïðîäîëüíîãî ðàñòÿæåíèÿ (èëè

îäíîñòîðîííåãî ñæàòèÿ) ñòåðæíÿ îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèå åãî

äëèíû, ñîãëàñíî ç à ê î í ó Ã ó ê à, ðàâíî

1lF

lES

∆

=⋅

, (7.5.1)

èëè

σ= ε

, (7.5.2)

ãäå F — ðàñòÿãèâàþùàÿ (ñæèìàþùàÿ) ñèëà; S — ïëîùàäü ïîïåðå÷-

íîãî ñå÷åíèÿ; l — íà÷àëüíàÿ äëèíà ñòåðæíÿ; ∆l — èçìåíåíèå äëèíû

ïîä äåéñòâèåì âíåøíåé ñèëû; Å — ìîäóëü óïðóãîñòè, èëè ìîäóëü

Þíãà, [E]= Í/ì

= Ïà; /FS

σ=

— íàïðÿæåíèå, [σ]=Í/ì

=Ïà;

/ll

ε=∆

— îòíîñèòåëüíàÿ ïðîäîëüíàÿ äåôîðìàöèÿ.

Ìåõàíè÷åñêîå ðàñòÿæåíèå â ïðîäîëüíîì íàïðàâëåíèè, êðîìå

óäëèíåíèÿ, âûçûâàåò ïîïåðå÷íîå ñæàòèå òåëà. Îòíîñèòåëüíîå èç-

ìåíåíèå òîëùèíû ñòåðæíÿ ïðè ïðîäîëüíîì ðàñòÿæåíèè ðàâíî

∆∆

=−µ

, (7.5.3)

ãäå d — ïîïåðå÷íûé ðàçìåð òåëà; ∆d — èçìåíåíèå ïîïåðå÷íîãî

ñå÷åíèÿ; µ — êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà.

Äëÿ çàêðó÷èâàíèÿ ñòåðæíÿ (ïðîâîëîêè) íà íåêîòîðûé óãîë ϕ

íåîáõîäèìî ïðèëîæèòü ìîìåíò ïàðû ñèë

πϕ

, (7.5.4)

ãäå Ì — ìîìåíò ïàðû ñèë, [Ì] = Í•ì; R — ðàäèóñ ñòåðæíÿ; l — äëèíà

ñòåðæíÿ; G — ìîäóëü ñäâèãà ìàòåðèàëà ñòåðæíÿ, [G] = Í/ì

= Ïà.

Ìîäóëü óïðóãîñòè, êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà è ìîäóëü ñäâèãà

ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ñîîòíîøåíèåì:

()

=+µ

. (7.5.5)

Òåïëîâîå ðàñøèðåíèå. Ïðè íàãðåâàíèè òâåðäûõ òåë àìïëèòóäà

êîëåáàíèé ìîëåêóë óâåëè÷èâàåòñÿ, ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè âîçðà-

ñòàåò, è òåëî óâåëè÷èâàåòñÿ â ñâîåì îáúåìå.

Äëÿ ëèíåéíîãî òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ â õîðîøåì ïðèáëèæå-

íèè ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà

§ 7.5. Ñâîéñòâà òâåðäûõ òåë

214

ll t

∆= α∆

()

1ll t=+α∆, (7.5.6)

ãäå l

— íà÷àëüíàÿ äëèíà òåëà ïðè òåìïåðàòóðå t

; l

— êîíå÷íàÿ

äëèíà òåëà ïðè òåìïåðàòóðå t

;

ll l

∆= −

— óäëèíåíèå òåëà;

tt t

∆= −

— ðàçíîñòü òåìïåðàòóð; α — òåìïåðàòóðíûé êîýôôè-

öèåíò ëèíåéíîãî ðàñøèðåíèÿ, [α] = Ê

–1

Äâóìåðíîå ðàñøèðåíèå òâåðäîãî òåëà ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê

ëèíåéíîå ðàñøèðåíèå â äâóõ íàïðàâëåíèÿõ:

2SS t

∆= ⋅α∆

èëè

()

12SS t=+α∆, (7.5.7)

ãäå S

— ïëîùàäü òåëà ïðè òåìïåðàòóðå t

; S

— ïëîùàäü òåëà ïðè

òåìïåðàòóðå t

;

SS S

∆= −

— èçìåíåíèå ïëîùàäè òåëà.

Îáúåìíîå ðàñøèðåíèå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ëèíåéíîå ðàñ-

øèðåíèå â òðåõ íàïðàâëåíèÿõ:

3VV t

∆= ⋅α∆

()

13VV t=+α∆, (7.5.8)

ãäå

V — íà÷àëüíûé îáúåì òåëà ïðè òåìïåðàòóðå

t ;

V — êîíå÷-

íûé îáúåì òåëà ïðè òåìïåðàòóðå

t ;

VVV

∆= −

— èçìåíåíèå

îáúåìà òåëà.

Êàæäûé ìàòåðèàë õàðàêòåðèçóåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì

êîýôôèöèåíòà ëèíåéíîãî ðàñøèðåíèÿ α. Ïðè îõëàæäåíèè ðàçíîñòü

òåìïåðàòóð ∆t îòðèöàòåëüíà.

Òåïëîåìêîñòü. Îòíîøåíèå ïîäâåäåííîãî ê òåëó êîëè÷åñòâà òåï-

ëîòû ê äîñòèãíóòîé ðàçíîñòè òåìïåðàòóð íàçûâàåòñÿ òåïëîåìêîñ-

òüþ äàííîãî òåëà:

∆

, (7.5.9)

èëè â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå

. (7.5.10)

Îòíîøåíèå òåïëîåìêîñòè òåëà ê åãî ìàññå íàçûâàåòñÿ óäåëüíîé

òåïëîåìêîñòüþ âåùåñòâà äàííîãî òåëà:

= Ñ/ò, (7.5.11)

ó÷èòûâàÿ ôîðìóëû (7.5.9) è (7.5.10), ïîëó÷àåì

∆

èëè

=⋅

. (7.5.12)

Ãëàâà 7. Ñâîéñòâà æèäêîñòåé è òâåðäûõ òåë

215

Óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü ðàâíà êîëè÷åñòâó òåïëîòû, êîòîðîå íå-

îáõîäèìî ïîäâåñòè ê îäíîìó êèëîãðàììó âåùåñòâà, äëÿ òîãî ÷òî-

áû íàãðåòü åãî íà îäèí ãðàäóñ: [ñ

] = Äæ/(êã•Ê).

Ìîëÿðíîé òåïëîåìêîñòüþ íàçûâàåòñÿ êîëè÷åñòâî òåïëîòû, êî-

òîðîå íåîáõîäèìî ïîäâåñòè ê îäíîìó ìîëþ âåùåñòâà, äëÿ òîãî ÷òîáû

íàãðåòü åãî íà îäèí ãðàäóñ. Ìîëÿðíàÿ òåïëîåìêîñòü Ñ

ñâÿçàíà

ñ óäåëüíîé ñëåäóþùèì îáðàçîì:

CMc

=⋅, (7.5.13)

ãäå M — ìîëÿðíàÿ ìàññà âåùåñòâà. Åäèíèöà ìîëÿðíîé òåïëîåìêîñ-

òè: [Ñ

] = Äæ/(ìîëü•Ê).

Ïðè íå î÷åíü íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ (âûøå òåìïåðàòóðû Äåáàÿ,

ïðè êîòîðîé âîçáóæäàþòñÿ âñå íîðìàëüíûå êîëåáàíèÿ ðåøåòêè)

äëÿ õèìè÷åñêè ïðîñòûõ òâåðäûõ òåë ñïðàâåäëèâ ç à ê î í Ä þ ë î í-

ãà è Ïòè:

325CR

=≈

Äæ/(ìîëü•Ê), (7.5.14)

ãäå Ñ

— ìîëÿðíàÿ òåïëîåìêîñòü âñåõ õèìè÷åñêè ïðîñòûõ òâåðäûõ

òåë; R = 8,31 Äæ/(ìîëü•Ê) — óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ.

Òåïëîîáìåí, óðàâíåíèå òåïëîâîãî áàëàíñà. Åñëè äâà òåëà c ðàç-

ëè÷íûìè òåìïåðàòóðàìè ïîìåùåíû â òåðìîñòàò è ïðèâåäåíû

â ñîïðèêîñíîâåíèå, ìåæäó íèìè ïðîèñõîäèò òåïëîîáìåí, êîòî-

ðûé ïðèâîäèò ê âûðàâíèâàíèþ òåìïåðàòóð òåë. Ïî ç à ê î í ó Ð è õ-

ìàíà:

èëè

()()

11 1 2 2 2

cm T T cm T T

−=− −

общ об щ

, (7.5.15)

ãäå Q

— êîëè÷åñòâî òåïëîòû, îòäàâàåìîå òåëîì; Q

— êîëè÷åñòâî

òåïëîòû, âîñïðèíèìàåìîå äðóãèì òåëîì;

c ,

m ,

t è

c ,

m ,

t —

óäåëüíûå òåïëîåìêîñòè, ìàññû è íà÷àëüíûå òåìïåðàòóðû òåë 1 è 2;



— êîíå÷íàÿ ðàâíîâåñíàÿ òåìïåðàòóðà îáîèõ òåë.

Åñëè â òåïëîîáìåíå ó÷àñòâóþò áîëåå äâóõ òåë, òî ïðè äîñòèæå-

íèè òåïëîâîãî ðàâíîâåñèÿ ñïðàâåäëèâî óðàâíåíèå:

()

ii i

mc T T

−=

∑

общ

. (7.5.16)

Ïðè èçìåíåíèè â ïðîöåññå òåïëîîáìåíà àãðåãàòíîãî ñîñòîÿ-

íèÿ îäíîãî èç êîìïîíåíòîâ íåîáõîäèìî ó÷åñòü âûñâîáîäèâøååñÿ

ïðè ýòîì êîëè÷åñòâî òåïëîòû.

Òåïëîïðîâîäíîñòü. Òåïëîïðîâîäíîñòü òåëà îïðåäåëÿåò åãî ñïî-

ñîáíîñòü ïðîâîäèòü òåïëîòó. Òåïëîïðîâîäíîñòü íàçûâàåòñÿ ñòà-

§ 7.5. Ñâîéñòâà òâåðäûõ òåë

216

öèîíàðíîé, åñëè âûçûâàþùàÿ åå ðàçíîñòü òåìïåðàòóð ∆Ò ñîõðàíÿ-

åòñÿ íåèçìåííîé âî âðåìåíè. Â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ðå÷ü èäåò î íå-

ñòàöèîíàðíîé òåïëîïðîâîäíîñòè. Äëÿ îäíîðîäíîãî ñòåðæíÿ, êîí-

öû êîòîðîãî íàõîäÿòñÿ ïðè òåìïåðàòóðå Ò

è Ò

QSt

∆

=−κ ∆

, (7.5.17)

ãäå Q — ïåðåäàâàåìîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû; S — ïëîùàäü ïîïåðå÷-

íîãî ñå÷åíèÿ ñòåðæíÿ; t — ïðîäîëæèòåëüíîñòü ïðîöåññà òåïëîïå-

ðåäà÷è;

∆∆

∆T — ðàçíîñòü òåìïåðàòóð íà êîíöàõ ñòåðæíÿ; l — äëèíà

ñòåðæíÿ; κ — êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè ìàòåðèàëà ñòåðæíÿ.

Â ñëó÷àå íåñòàöèîíàðíîé òåïëîïðîâîäíîñòè

grad

QStT=−κ ∆

, (7.5.18)

ãäå grad Ò — ãðàäèåíò òåìïåðàòóðû.

Îòíîøåíèå

Φ=

∆

(7.5.19)

íàçûâàåòñÿ òåïëîâûì ïîòîêîì, [Ô] = Âò, à îòíîøåíèå

= — (7.5.20)

ïëîòíîñòüþ òåïëîâîãî ïîòîêà, [I

] = Âò/ì

Â ñîîòâåòñòâèè ñ îòíîøåíèåì (7.5.19) ôîðìóëà (7.5.17) ìîæåò áûòü

çàïèñàíà â âèäå:

ST T

κ∆ ∆

Φ=− =− , (7.5.21)

ãäå âåëè÷èíà

— (7.5.22)

òåïëîâîå ñîïðîòèâëåíèå. Åäèíèöà òåïëîâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ: [R

] = Ê/Âò.

Êàê âèäèì, ÿâëåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè è ýëåêòðîïðîâîäíîñòè ôîð-

ìàëüíî àíàëîãè÷íû äðóã äðóãó. Ïî àíàëîãèè ñ çàêîíîì Îìà — /IUR= ,

çàêîí äëÿ ó÷àñòêà òåïëîïðîâîäÿùåé öåïè èìååò âèä:

∆

Φ=− . (7.5.23)

Òåïëîâîå ñîïðîòèâëåíèå ìîæåò ñîñòîÿòü èç ðÿäà îòäåëüíûõ

ñîïðîòèâëåíèé, âêëþ÷åííûõ ïàðàëëåëüíî èëè ïîñëåäîâàòåëüíî. Äëÿ

âû÷èñëåíèÿ ïîëíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ñëåäóåò ïîëüçîâàòüñÿ ïðàâè-

ëàìè âû÷èñëåíèÿ ïîëíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè.

Ãëàâà 7. Ñâîéñòâà æèäêîñòåé è òâåðäûõ òåë

217

ÏÐÈÌÅÐÛ ÐÅØÅÍÈß ÇÀÄÀ×

Çàäà÷à 7.1. Íà àïòå÷íûé ñêëàä ïîñòóïèë ýòèëîâûé ñïèðò â êîëè÷åñòâå

m = 200 êã. Äëÿ ïðîâåäåíèÿ ëàáîðàòîðíûõ ðàáîò áûëî âûäàíî íà êàôåäðû

V = 200 ë ñïèðòà. Îïðåäåëèòå îñòàâøååñÿ íà ñêëàäå êîëè÷åñòâî ñïèðòà,

åñëè îí âûäàâàëñÿ ïðè òåìïåðàòóðå 20 °Ñ? Êàê èçìåíèëñÿ áû îñòàòîê

ñïèðòà, åñëè áû òåìïåðàòóðà âî âðåìÿ âûäà÷è ñîñòàâëÿëà 30 °Ñ?

Ðåøåíèå. Êàê ïðàâèëî, ïîëó÷àåìûé ñïèðò ñîäåðæèò 96 % îáúåìíûõ

äîëåé ÷èñòîãî ñïèðòà. Ïî ñïðàâî÷íèêó íàõîäèì ïëîòíîñòü 96 %-íîãî ñïèðòà

ïðè òåìïåðàòóðå 20 °Ñ. Îíà ðàâíà 808,7 êã/ì

Îïðåäåëèì ìàññó âûäàííîãî ñïèðòà ïðè òåìïåðàòóðå 20 °Ñ.

выд выд

. 20 20

ãäå V

âûä

— îáúåì âûäàííîãî ñïèðòà; ρ

— ïëîòíîñòü ñïèðòà ïðè òåìïåðà-

òóðå 20 °Ñ. Ïîäñòàíîâêà ÷èñëåííûõ äàííûõ äàåò:

выд

−

=⋅⋅=

. 20

808,7 200 10 161,7m êã.

Òàêèì îáðàçîì, îñòàòîê ñïèðòà íà ñêëàäå ñîñòàâëÿåò:

= 200 — 161,7 = 38,3 êã,

èëè îáúåì ñïèðòà, ðàâíûé

38,3

0, 0474

808,7

V == =

= 47,4 ë.

Ðàññìîòðèì äðóãîé âàðèàíò, êîãäà ñïèðò âûäàâàëñÿ ïðè òåìïåðàòóðå

30 °Ñ. Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè òåìïåðàòóðå 30 °Ñ ïëîòíîñòü ñïèðòà ñòàíåò åùå

ìåíüøå.

Îïðåäåëèì ïëîòíîñòü ñïèðòà ïðè òåìïåðàòóðå 30 °Ñ. Êîýôôèöèåíò

îáúåìíîãî ðàñøèðåíèÿ β ñïèðòà â èíòåðâàëå òåìïåðàòóð 0—39 °Ñ ðàâåí

0,745•10

–3

–1

. Îáúåì ñïèðòà, ðàâíûé 1 ì

è èìåþùèé ìàññó, ðàâíóþ

808,7 êã, ïðè ïîâûøåíèè òåìïåðàòóðû íà 10 Ê ñòàíåò ðàâíûì

30 20 20 20

VV VVV T

=+∆=+

∆

ãäå V

è V

— îáúåìû ñïèðòà ïðè òåìïåðàòóðàõ 20 °Ñ è 30 °Ñ ñîîòâåò-

ñòâåííî. Ïëîòíîñòü ñïèðòà ïðè òåìïåðàòóðå 30 °Ñ ñîñòàâèò:

20 20

30 20 20

VVVTTT

ρ= = = = =

+β∆ +β∆ +β∆

808,7

10,74510 10

−

+⋅⋅

= 802,7 êã/ì

ÏÐÀÊÒÈ×ÅÑÊÈÅ È ÒÅÑÒÎÂÛÅ ÇÀÄÀÍÈß

Ïðàêòè÷åñêèå è òåñòîâûå çàäàíèÿ

218

Ìàññà ñïèðòà, âûäàííîãî ïðè òåìïåðàòóðå 30 °Ñ, áóäåò ðàâíà

−

=ρ = ⋅ ⋅ =

. 30

выд 30 выд

802,7 200 10 160,5 кг,mV

à îñòàòîê åãî ñîñòàâèò:

= 200 — 160,5 = 39,5 êã.

Èç ðåøåíèÿ çàäà÷è ñëåäóåò, ÷òî åñëè âûäàâàòü ñïèðò ïðè áîëåå âûñî-

êîé òåìïåðàòóðå, òî ðàçíèöà ïðè âûäà÷å 200 ë ñïèðòà ïðè 30 °Ñ ïî ñðàâ-

íåíèþ ñ 20 °Ñ ñîñòàâèò:

∆m = 39,5 — 38,3 = 1,2 êã.

Çàäà÷à 7.2. Äëÿ èçãîòîâëåíèÿ íàñòîåê èç ëåêàðñòâåííûõ òðàâ èñïîëüçóåò-

ñÿ, êàê ïðàâèëî, 70 %-íûé (ïî îáúåìó) ðàñòâîð ýòèëîâîãî ñïèðòà. ×åìó ðàâ-

íû îáúåìû 96 %-íîãî ðàñòâîðà ñïèðòà è âîäû, íåîáõîäèìûå äëÿ ïîëó÷åíèÿ

10 ë 70 %-íîãî ðàñòâîðà ñïèðòà? Îïðåäåëèòå ïëîòíîñòü 70 %-íîãî ðàñòâîðà

ñïèðòà. Ïëîòíîñòü ÷èñòîãî ýòèëîâîãî ñïèðòà ñîñòàâëÿåò ρ

= 796,3 êã/ì

ïëîòíîñòü âîäû — ρ

= 999 êã/ì

Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì îáúåì 96 %-íîãî ñïèðòà, íåîáõîäèìîãî äëÿ ïðè-

ãîòîâëåíèÿ ðàñòâîðà, ÷åðåç V

. Òîãäà îáúåì ÷èñòîãî ñïèðòà áóäåò ðàâåí

0,96

VV= .

Åñëè îáîçíà÷èòü îáùèé îáúåì 70 %-íîãî ðàñòâîðà ñïèðòà ÷åðåç V

òî ìîæíî ñîñòàâèòü óðàâíåíèå:

0, 7 0,96

VV= ,

îòêóäà ïîëó÷àåì:

0, 7

0,96

V = .

Ïîäñòàâëÿÿ ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ, èìååì:

0, 7 10 л

7, 29 л.

0, 96

⋅

Òàêèì îáðàçîì, îáúåì 96 %-íîãî ðàñòâîðà ñïèðòà ðàâåí 7,29 ë, à îáúåì

âîäû òîãäà ñîñòàâëÿåò:

10 ë – 7,29 ë = 2,71 ë.

Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîòíîñòè ïîëó÷åííîãî ðàñòâîðà îïðåäåëèì ìàññó

ñïèðòà è ìàññó âîäû:

cп cп cп

mV=ρ ;

ввв

mV=ρ ,

ãäå ρ

ñï

, ρ

— ïëîòíîñòè ñïèðòà è âîäû ñîîòâåòñòâåííî.

Ãëàâà 7. Ñâîéñòâà æèäêîñòåé è òâåðäûõ òåë

219

Îáùàÿ ìàññà ñìåñè ðàâíà:

cп cп в в

mV V=ρ +ρ ,

à ïëîòíîñòü ñìåñè ìîæíî âû÷èñëèòü, ðàçäåëèâ ìàññó ñìåñè íà åå îáúåì

, òî åñòü

cп cп в в

ρ+ρ

ρ= .(7.1)

Ïîäñòàâèâ ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ, ïîëó÷àåì

796,3 7, 29 10 999 2, 71 10

851 кг/м

10 10

−−

−

⋅⋅+⋅⋅

ρ= =

⋅

Ýòîò ðåçóëüòàò ñïðàâåäëèâ, åñëè ñóììà îáúåìîâ ñïèðòà è âîäû ðàâíà

îáúåìó ñìåñè. Â äåéñòâèòåëüíîñòè îáúåì ñìåñè áóäåò íåñêîëüêî ìåíü-

øèì è, ñëåäîâàòåëüíî, èñòèííàÿ ïëîòíîñòü ðàñòâîðà áóäåò íåñêîëüêî áîëü-

øå âû÷èñëåííîé, à äëÿ ïîëó÷åíèÿ 10 ë ðàñòâîðà íåîáõîäèìî âçÿòü áoëüøèå

îáúåìû êîìïîíåíòîâ. Â ñîîòâåòñòâóþùåé ñïðàâî÷íîé ëèòåðàòóðå ïðèâî-

äÿòñÿ îáúåìíûå è ìàññîâûå ñîîòíîøåíèÿ. Òàê, íàïðèìåð, äëÿ 70 %-íîãî

ðàñòâîðà ρ

= 889 êã/ì

ìàññîâàÿ äîëÿ ñïèðòà ω

= 0,624. Èñïîëüçóÿ ýòè

äàííûå, ïåðåñ÷èòàåì îáúåìû ñìåøèâàåìûõ ñïèðòà è âîäû. Îïðåäåëèì

äëÿ íà÷àëà ìàññó ñìåñè:

70 70 70

mV=ρ .

Äëÿ ñîñòàâëåíèÿ ðàñòâîðà íóæíî 62,4 % ÷èñòîãî ñïèðòà ïî ìàññå. Òîã-

äà ìàññà ñïèðòà â 70 %-íîì ðàñòâîðå ñîñòàâèò:

70 70 70

mV=ρ ω .

Òàêàÿ æå ìàññà ñïèðòà, íî â 96 %-íîì ðàñòâîðå, ðàâíà

96 96 96

mV=ρ ω ,

ãäå ρ

, V

, ω

— ñîîòâåòñòâåííî ïëîòíîñòü, îáúåì è ìàññîâàÿ äîëÿ

96 %-íîãî ðàñòâîðà ñïèðòà.

Ïðèðàâíÿâ äâà ïîñëåäíèõ óðàâíåíèÿ, ïîëó÷àåì:

70 70 70

96 96

ρω

Èç òàáëèö íàõîäèì çíà÷åíèÿ ρ

= 811,7 êã/ì

, ω

= 0,939. Ïîäñòàâèâ

÷èñëåííûå äàííûå, ïîëó÷àåì îáúåì 96 %-íîãî ðàñòâîðà ñïèðòà, íåîáõî-

äèìûé äëÿ ïîëó÷åíèÿ 10 ë 70 %-íîãî ðàñòâîðà ñïèðòà:

889,6 10 10 0,624

7, 28 10

811,7 0,939

−

⋅⋅ ⋅

==⋅

⋅

= 7,28 ë.

Ïðàêòè÷åñêèå è òåñòîâûå çàäàíèÿ

220

Äëÿ îïðåäåëåíèÿ îáúåìà âîäû ó÷òåì, ÷òî ìàññîâàÿ äîëÿ âîäû ñîñòàâëÿåò:

= 1 — ω

òî åñòü ìàññà âîäû ðàâíà

70 70 70

(1 )mV=ρ −ω .

Îáúåì âîäû V

îïðåäåëèì, ðàçäåëèâ ìàññó âîäû íà åå ïëîòíîñòü:

70 70 70

(1 )V

ρ−ω

Ïîäñòàâèâ ÷èñëåííûå äàííûå, ïîëó÷àåì:

889,6 10 10 (1 0,624)

3, 35 10

999

−

⋅⋅ ⋅−

==⋅ ì

= 3,35 ë.

Ïëîòíîñòü 70 %-íîãî ðàñòâîðà, ñîãëàñíî ôîðìóëå (7.1):

811, 7 7, 28 10 999 3,35 10

925, 6 кг/м

−−

−

⋅⋅+⋅⋅

ρ= =

Ñóììà îáúåìîâ 96 %-íîãî ðàñòâîðà ñïèðòà è âîäû òîãäà ñîñòàâèò

10,63 ë. Òàêèì îáðàçîì, ïðàâèëüíûé îòâåò: îáúåì 96 %-íîãî ðàñòâîðà

ñïèðòà ðàâåí 7,28 ë, îáúåì âîäû — 3,35 ë.

Çàäà÷à 7.3. Ñîãëàñíî íåêîòîðûì òåõíè÷åñêèì óñëîâèÿì, àìïóëû äîëæ-

íû ñîäåðæàòü V = 10 ìë ðàñòâîðà ëåêàðñòâåííîãî ïðåïàðàòà ïðè òåìïåðà-

òóðå 20 °Ñ. Çàïîëíåíèå àìïóë ïðîèñõîäèò ðàñòâîðîì, èìåþùèì òåìïåðàòó-

ðó 40 °Ñ. ×åìó äîëæåí áûòü ðàâåí îáúåì ðàñòâîðà ïðè çàïîëíåíèè àìïóëû,

åñëè êîýôôèöèåíò îáúåìíîãî ðàñøèðåíèÿ ðàñòâîðà β = 91•10

–5

–1

Ðåøåíèå. Ñ ïîâûøåíèåì òåìïåðàòóðû ðàñòâîðà åãî îáúåì óâåëè÷èâà-

åòñÿ. Èçìåíåíèå îáúåìà ñ èçìåíåíèåì òåìïåðàòóðû äîëæíî ïðîèñõîäèòü

ëèíåéíî, òî åñòü ïðîïîðöèîíàëüíî ïåðâîíà÷àëüíîìó îáúåìó V è èçìåíå-

íèþ òåìïåðàòóðû ∆T:

VVT∆=β∆,

ãäå êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè β — êîýôôèöèåíò îáúåìíîãî ðàñ-

øèðåíèÿ.

Ïîäñòàâëÿÿ ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ ∆T = 20 Ê, V = 10 ìë, β = 91•10

–5

–1

ïîëó÷àåì:

∆V = 91•10

–5

–1

•10 ìë•20 Ê = 0,182 ìë.

Òàêèì îáðàçîì, îáúåì çàïîëíåííûõ àìïóë ïðè òåìïåðàòóðå 40 °Ñ äîë-

æåí áûòü ðàâåí

V = V + ∆V = 10 ìë + 0,182 ìë = 10,182 ìë.

Çàäà÷à 7.4. Óêñóñíàÿ êèñëîòà ïðè àòìîñôåðíîì äàâëåíèè ïëàâèòñÿ ïðè

òåìïåðàòóðå t = 16,6 °Ñ. Ðàçíîñòü óäåëüíûõ îáúåìîâ æèäêîé è òâåðäîé ôàç

Ãëàâà 7. Ñâîéñòâà æèäêîñòåé è òâåðäûõ òåë