Ван Хорн Д., Вахович Д. Основы финансового менеджмента

Подождите немного. Документ загружается.

Часть II

Оценка активов

Стоимость денег

во времени

Содержание • Процентная ставка

• Простые проценты

Сложные проценты

Единичные платежи

Аннуитеты

Смешанные денежные потоки

Начисление сложных процентов несколько раз

в течение года

Полугодичный и другие периоды начисления

сложных процентов

Непрерывное начисление сложных процентов

Эффективная годовая процентная ставка

Амортизация займа

Важнейшие формулы

Резюме

Вопросы

Задачи для самопроверки

Задачи

Решения задач для самопроверки

Рекомендуемая литература

Цели

После изучения материала главы 3 вы должны уметь:

• понимать, что подразумевается под

"изменением стоимости денег во времени";

• понимать сущность связи между приведенной и

будущей стоимостью;

• показать, как можно использовать процентную

ставку для приведения стоимости денежных

потоков к единому моменту времени;

• вычислять приведенную и будущую стоимость: а)

суммы, инвестированной сегодня; Ь) равных

денежных потоков (аннуитета); с) смешанных

денежных потоков;

• понимать разницу между "обычным аннуитетом"

и"срочным

аннуитетом";

• уметь пользоваться таблицами процентных

коэффициентов и понимать, как с их помощью

можно вычислять приведенную и будущую

стоимость;

• использовать таблицы процентных

коэффициентов для нахождения неизвестной

процентной ставки или темпов роста, если

известны количество периодов времени, а также

приведенная и будущая стоимость;

• построить "календарный план амортизации" для

кредита с выплатой в рассрочку.

Основная ценность денег заключается в том, что мы живем в мире,

где эта ценность явно завышена.

X. Л. Менкен Из "Хрестоматии Менкена"

Процентная ставка

то бы вы предпочли: получить 1000 долл. сегодня или через десять лет?

Здравый смысл подсказывает, что лучше все же иметь эти деньги сегодня,

поскольку мы осознаем, что стоимость денег зависит от времени (time value to

money). Немедленное получение 1000 долл. дает нам возможность заставить

наши деньги работать уже сейчас и приносить нам проценты (interest). В том

случае, когда мы имеем дело с фиксированными денежными потоками, про-

центная ставка (rate of interest) может использоваться для выражения стоимо-

сти денег во времени (time value of money)

. Как станет ясно из последующего

материала, процентная ставка позволяет нам корректировать стоимость денеж-

ных потоков, когда бы они ни возникали, применительно к любому конкретному

моменту времени. Располагая подобной возможностью, мы сможем ответить

и на более сложные вопросы, например, следует ли предпочесть 1000 долл. сего-

дня получению 2000 долл. через десять лет? Чтобы ответить на этот вопрос, не-

обходимо рассматривать скорректированные по времени (time adjusted) денеж-

ные потоки на вполне конкретный (единый для всех) момент времени, что даст

нам возможность выполнить их корректное сравнение.

Проценты (interest)

Денежная плата, взимаемая (выплачиваемая) за использование денег,

ЕСЛИ

же мы

хотим учитывать

своем анализе неопределенность получаемых

денежных потоков, то для ее компенсации к процентной ставке необходимо доба-

вить дополнительную премию за риск. В последующих главах мы покажем, как

учитывать эту неопределенность, т.е. риск. Сейчас же мы сосредоточимся на

стоимости денег во времени и способах использования процентной ставки для

приведения стоимости денежных потоков к единой точке во времени.

Большинство финансовых решений — как личных, так и касающихся бизнеса —

связано с учетом стоимости денег во времени. В главе 1 читатели узнали, что цель

руководства корпорации заключается в максимизации благосостояния акционеров, а

это, в свою очередь, зависит — по крайней мере частично — от распределения денеж-

ных потоков во времени. Не удивительно поэтому, что одним из важных примене-

ний концепций, представленных в этой главе, выступает оценивание денежных по-

токов, т.е. определение величины их стоимости. Действительно, усвоение читателя-

ми материала данной книги зависит от понимания ими этой главы. Вы никогда по-

настоящему не поймете суть финансов, пока не усвоите концепцию стоимости денег

во времени. Хотя в последующем обсуждении нам не обойтись без математики, мы

приведем здесь лишь самые важные формулы, которые помогут вам лучше понять

Можно также использовать выражение временная ценность денег. — Примеч. ред.

104 Часть II. Оценка активов

базовые положения и основополагающие принципы финансов. Мы начнем с обсуж-

дения простых процентов и используем это понятие в качестве отправной точки

для развития концепции сложных процентов. Кроме того, чтобы влияние слож-

ных процентов стало более наглядным, большая часть примеров в этой главе пред-

полагает годовую процентную ставку, равную 8%.

Прежде чем мы приступим к изложению основного материала, хотим обратить

внимание читателей на несколько важных моментов. Примеры, использованные

в этой главе, зачастую содержат числа, которые возводятся в n-ю степень: на-

пример, (1,05) в третьей степени равняется (1,05)

= ((1,05) х (1,05)х(1,05)), Однако

эту операцию легко выполнить с помощью калькулятора; кроме того, существу-

ют таблицы, по которым можно найти уже готовый результат таких операций. Не-

смотря на большое удобство пользования такими таблицами, нельзя полагаться

на то, что с их помощью вам удастся решить любую задачу. Далеко не каждая

процентная ставка и не любой временной период могут быть представлены

в каждой такой таблице. Следовательно, вы должны быть хорошо знакомы с

формулами, по которым вычисляются эти таблицы. (Напоминаем, что соответст-

вующая формула приводится в верхней части каждой такой таблицы,) Те из вас,

у кого есть бизнес-калькулятор, могут поддаться соблазну проигнорировать как

таблицы, так и формулы, и воспользоваться всевозможными функциональными

клавишами, предусмотренными в таких калькуляторах для определения стои-

мости денег во времени. Однако мы все же настоятельно рекомендуем вам ос-

воить логику процедур, описанных в этой главе, Даже самый совершенный

калькулятор не поможет вам избежать ошибок, вызванных неправильной после-

довательностью операций, запрограммированной пользователем.

Простые проценть

Простые проценты (simple interest) — это проценты, которые выплачива-

ются (или приносятся) лишь на исходную, или основную, сумму (principal),

взятую (или отданную) в долг. Денежное выражение простых процентов яв-

ляется функцией трех переменных: исходной, или основной, суммы

(principal), взятой (или отданной) в долг; процентной ставки за один период

времени; и количества периодов времени, на которые основная сумма берется

(или отдается) в долг.

Простые проценты (simple Interest)

Проценты, которые выплачиваются (приносятся) лишь на исходную, или основную,

сумму (principal), взятую (или отданную) в долг,

Формула для вычисления простых процентов имеет следующий вид:

SI = P

(i)(n), (3.1)

где SI — простые проценты в денежном выражении;

Р„ — основная, или исходная, сумма, заимствованная (или одолженная)

в первоначальный момент времени (точка 0 в начале первого периода);

i — процентная ставка за один период времени;

п — количество периодов времени.

Глава 3. Стоимость денег во времени 105

Допустим, например, что вы открываете сберегательный вклад на 100 долл.,

предполагающий выплату простых процентов в размере 8%, и намереваетесь хра-

нить эти деньги в течение 10 лет. В конце десятилетнего периода сумма накоплен-

ных процентов составит:

$80 = $100(0,08)(10).

Чтобы определить будущую стоимость (которую иногда называют конеч-

ной стоимостью) суммы на этом счете на конец десятилетнего периода (FV

мы добавляем проценты, заработанные только на основную сумму, к инвести-

рованной исходной сумме.

Будущая стоимость (конечная стоимость) (future value, terminal value)

Стоимость имеющейся в настоящее время суммы денег (или последовательности

платежей) в какой-то момент времени в будущем, оцениваемая с учетом заданной

процентной ставки.

Таким образом,

= $100 + Г$100(0,08)(10)] = $180.

ДЛЯ любых простых процентов будущая стоимость суммы на счете в конце

и периодов определяется по формуле

+SI = P

(i)(n),

или, что то же самое,

FV„=P

[i + (i)(n)]. (3.2)

Иногда нам приходится двигаться в обратном направлении. Иными слова-

ми, нам известна будущая стоимость вклада при i процентах на п лет, но неиз-

вестна первоначально инвестированная основная сумма — приведенная

(текущая, современная) стоимость суммы на счете (PV

= Р

Приведенная (современная) стоимость (present value)

Текущая стоимость какой-либо будущей суммы денег или последовательности

предстоящих платежей, оцениваемая по заданной процентной ставке.

Все, что нам требуется в этом случае, — по-другому представить уравнение (3.2),

а именно

=FV,ftl+(i)(n)]. (3-3)

Теперь, когда мы познакомились с механизмом начисления простых про-

центов, читателям, наверное, будет не очень приятно узнать, что большинство

ситуаций в финансах, связанных со стоимостью денег во времени, не имеет

вообще никакого отношения к простым процентам. Обычно в таких ситуаци-

ях используются сложные проценты. Однако понимание механизма начисле-

ния простых процентов поможет вам лучше разобраться в концепции слож-

ных процентов.

106 Часть II. Оценка активов

Сложные проценты

Разницу между простыми и сложными процентами можно лучше понять на

примере. Табл. 3.1 иллюстрирует весьма серьезное влияние, которое сложные

проценты оказывают на стоимость инвестиций во времени (особенно, если

сравнивать его с тем влиянием, которое оказывают на стоимость инвестиций

простые проценты). Из этой таблицы нетрудно понять, почему некоторые эко-

номисты называют сложные проценты величайшим изобретением человечества.

Концепция сложных процентов (compound interest) имеет большое значе-

ние для понимания всей финансовой математики. Сам по себе этот термин

просто означает, что проценты, выплачиваемые (приносимые) по займу

(инвестиции), периодически добавляются к основной сумме. В результате

проценты зарабатываются на проценты, а также на первоначальную основную

сумму. Именно эффект этих "процентов на проценты" определяет колоссаль-

ную разницу между простыми и сложными процентами. Как будет показано,

сложные проценты можно использовать для решения широкого спектра фи-

нансовых задач.

Сложные проценты (compound interest)

Проценты, выплачиваемые (приносимые) на любые ранее выплаченные (принесенные)

проценты, а также на основную сумму, взятую (или отданную) в долг.

Таблица 3.1. Будущая стоимость инвестированного 1 долл. для различных

периодов времени при годовой процентной ставке 8%

Годы При использовании простых При использовании сложных

процентов (долл.) процентов (долл.)

1,16

1,17

2,60

4,66

200

17,00

4 838949,59

Единичные платежи

Будущая (или сложная) стоимость. Для начала рассмотрим ситуацию, ко-

гда мы помещаем на сберегательный счет 100 долл. Если процентная ставка рав-

няется 8%, сколько будут стоить эти 100 долл. к концу года при условии ежегодно-

го начисления сложных процентов? Решая эту задачу, мы определяем будущую

стоимость (которую в нашем случае можно назвать также сложной стоимо-

стью), которая окажется на этом счете в конце года

{

= Р

(1 + г) = $100(1,08) = $108.

Интересно отметить, что сумма за первый год совпадает с суммой, которую мы

получили бы при использовании простых процентов. Но на этом вся простота за-

канчивается.

Что произойдет, если мы оставим 100 долл. на сберегательном счете на два

года? При использовании сложных годовых процентов, составляющих 8%, на-

чальная сумма вклада (100 долл.) вырастет к концу первого года до 108 долл. По

Глава 3. Стоимость денег во времени 107

окончании второго года

108

ДОЛЛ.

превратятся

уже в

116,64

долл., поскольку

8 долл. в виде процентов начисляются на первоначальные 100 долл., а 0,64 долл.

начисляются на 8 долл. процентов, поступивших на наш счет в конце первого

года. Иными словами, проценты начисляются на ранее начисленные проценты

(отсюда и название — сложные проценты). Таким образом, будущая стоимость

в конце второго года составит:

+ 0 =

0(1

+ 0 =

^«(1

= $108(1,08) = $100(1,08)(1,08) = $100(1,08)

= $116,64.

По окончании трех лет на нашем счете окажется сумма:

= FV

(1+0 =

0(1 + 0 = -Ро(1 + О

= $ 116,64(1,08) = $108(1,08)(1,08) = $ 100(1,08)

= $125,97.

В общем случае, FVn, будущая (сложная) стоимость вклада в конце п периодов

будет равняться:

(\ + i)

(3.4)

или

FV„=P

(FVIF

), (3.5)

где мы полагаем FVIF

, т.е. коэффициент будущей стоимости при i процентах

для п периодов, равным (1+г')и. Табл. 3.2, в которой показаны значения буду-

щей стоимости для нашего примера на конец каждого года из 10 последующих

лет с момента помещения 100 долл. на сберегательный вклад, иллюстрирует

концепцию начисления процентов на уже начисленные проценты.

Таблица 3.2. Иллюстрация начисления сложных процентов

(первоначальный вклад —100 долл., процентная ставка — 8% годовых)

Год

Начальная сум-

ма (долл.)

Проценты, начисленные

за указанный период (8% от перво-

начальной суммы) (долл.)

Будущая стои-

мость (FV„) (долл.)

100,00

8,00

108,00

8,64

116,64

9,33

125,97

10,08

136,05

10,88

146,93

11,76

158,69

12,69

171,38

13,71

185,09

14,81

199,90

15,99

215,89

108 Часть II. Оценка активов

С помощью калькулятора пользоваться уравнением (3.4) чрезвычайно

просто. Кроме того, таблицы составлены для значений (1+г)я — FVIF

— для

широкого диапазона i и п. Эти таблицы, называемые соответственно Таблица-

ми расчета коэффициента будущей (конечной) стоимости (Future Value

Interest Factor, Terminal Value Interest Factor), предназначены для совместно-

го использования с уравнением (3.5). Табл. 3.3 представляет собой единый

пример, охватывающий различные процентные ставки — от 1 до 15%. Заго-

ловки Процентная ставка (г) и Период (п) в этой таблице напоминают коор-

динаты на географической карте. Они помогают нам найти соответствующий

коэффициент процентной ставки. Например, коэффициент будущей стоимо-

сти при 8% годовых за девять лет (FVIF

8%9

) находится на пересечении столбца,

соответствующего 8%, строки, соответствующей периоду 9, и равняется 1,999.

Это число (1,999) означает, что 1 долл., инвестированный при 8% годовых, при

начислении сложных процентов принесет вам за девять лет примерно 2 долл.;

эта сумма включает первоначальную сумму плюс накопленные проценты.

(Более полная таблица — табл. I — приведена в Приложении, помещенном в

конце этой книги.)

Таблица 3.3. Коэффициенты будущей стоимости для 1 долл.

При использовании ставки

процетов

конце

периодов (FVIF

)

(FVIFJ = (1+/)п

Период(п) Процентная ставка (I)

5% 8% 10%

15%

1.010 1,030 1,050

1,080 1,100 1,150

1,020

1,061

1,102 1,166

1,210 1,322

1,030 1,093

1,158 1,260

1,331

1,521

1,041

1,126

1,216 1,360 1,464

1,749

1,051 1,159

1,276

1,469

1,611

2,011

6 1,062 1,194

1,340 1,587 1,772

2,313

7 1,072 1,230 1,407 1,714

1,949

2,660

1,083

1,267 1,477

1,851

2,144

3,059

1,094

1,305

1,551

1,999

2,358

3,518

1,105

1,344

1,629

2,159

2,594

4,046

25 1,282

2,094

3,386

6,848

10,835

32,919

1,645

4,384

11,467

46,902

117,391

1 083,657

Если МЫ возьмем коэффициенты FVIF для 1 долл. в столбце 8% и умножим их

на 100 долл., то получим числа (если не обращать внимание на некоторые ошибки

округления), которые соответствуют нашим вычислениям для 100 долл. в послед-

нем столбце табл. 3.2. Обратите внимание и на то обстоятельство, что в строках,

Глава 3. Стоимость денег во времени 109

соответствующих двум и более годам, пропорциональное увеличение будущей

стоимости становится большим по мере возрастания процентной ставки. Эту си-

туацию можно прояснить с помощью подходящего рисунка. На рис. 3.1 мы ото-

бразили рост будущей стоимости для первоначального вклада, составляющего

100 долл., и процентных ставок 5,10 и 15%. Как видно из этого рисунка, чем боль-

ше процентная ставка, тем круче кривая роста, в соответствии с которой увели-

чивается будущая стоимость. Кроме того, чем больше количество лет, на протя-

жении которых начисляется сложный процент, тем, очевидно, больше будущая

стоимость.

Рис. 3.1. Будущая стоимость депозита в 100 долл., размещенного под 5,

10 и 15% годовых (начисляются сложные проценты)

Сложный рост. Несмотря на то что до сих пор нас интересовали в основном

процентные ставки, важно также понимать, что рассматриваемая нами концепция

применима к сложному росту любого вида: например, росту цен на бензин, платы

за обучение, корпоративной прибыли и дивидендов. Допустим, что самые послед-

ние дивиденды, выплачиваемые корпорацией, составляли 10 долл. на акцию, но

мы рассчитываем, что эти дивиденды будут увеличиваться, причем ежегодная

скорость их роста будет равняться 10%. Мы рассчитываем, что в течение после-

дующих пяти лет дивиденды будут увеличиваться так, как это показано в приве-

денной ниже таблице.

1 10 Часть II. Оценка активов

Год Коэффициент роста Ожидаемые дивиденды на акцию (долл.)

(1,10)

11,00

2 (1,10)

12,10

3 (1,10)

13,31

(1,10)"

14,64

(1,10)

16,11

ВОПРОС-ОТВЕТ

В 1790 году Джон Джейкоб Астор купил в восточной части острова Ман-

хэттен земельный участок площадью примерно в один акр за 58 долл. Ас-

тор, которого считали дальновидным инвестором, сделал за свою жизнь

немало таких покупок. Каким капиталом располагали бы его потомки

в 2005 году, если бы вместо покупки земельного участка на Манхэттене,

Астор поместил свои 58 долл. на сберегательный вклад под 5% годовых,

начисляемых в виде сложных процентов?

В табл. I Приложения мы не найдем FVIF для 1 долл, через 208 лет при 5% го-

довых, Однако ничто не мешает нам найти ЯУ/Гдля 1 долл. через 50 лет —

11,467— и FVIF для 1 долл. через 15 лет— 2,079, Это и все, что нам нужно,

Проявив немного смекалки, мы можем решить нашу задачу следующим

образом

i5 = P

x(1-H)

215

=Р

х (1+О

х (1 + О

х (1 + /У

х (1+О

х (1+/)

= $58 х 11,467 х 11,467 х 11,467 х 11,467 х 2,079 =

= $58 х 35946,26 = 2084883,08.

Учитывая нынешние цены на землю в центральной части Нью-Йорка, можно

утверждать, что решение Астора о покупке земельного участка площадью

в один акр оказалось весьма дальновидным. Интересно также отметить,

что с помощью весьма несложных рассуждений нам удалось воспользо-

ваться даже крайне ограниченным объемом данных, приведенных в базо-

вой таблице.

Аналогично мы можем определить будущие значения других переменных,

рост которых подчиняется закону сложных процентов. Этот принцип оказы-

вается особенно важным при рассмотрении конкретных моделей определения

стоимости обыкновенных акций, речь о которых пойдет в следующей главе.

Приведенная (или дисконтированная) стоимость. Все мы прекрасно

понимаем, что сегодняшний доллар стоит дороже, т.е. иными словами, его

ценность больше, чем доллар, который мы получим через один, два или три

года. Вычисление приведенной (текущей, современной) стоимости будущих

денежных потоков позволяет нам измерять все денежные потоки с помощью

единой шкалы, на которой все необходимые сравнения производятся в срав-

нении с "нынешними" долларами.

Мы используем здесь одно из правил, относящихся к возведению в степень. А именно: Л"*" = А

хА".